２７卷第９期摇第
２０１０年９月
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＭＡＣＨＩＮＥＤＥＳＩＧＮ
机摇械摇设摇计
Ｖｏｌ．２７Ｎｏ．９Ｓｅｐ．２０１０
曲柄摇杆机构的参数设计法
１２
程友联，吴晓红
（１．华中农业大学工程技术学院，湖北武汉摇４３００７０；２．武汉科技大学中南分校教务处，湖北武汉摇４３０２２３）
摘要：针对应用解析法设计曲柄摇杆机构时存在的问题，运用数学和机构性能知识，导出了满足曲柄摇杆机构的极”位夹角θ和摇杆摆角ψ的基本方程。完成了机构尺寸以传动角γ为参数的显式表达，以“γｍｉｎ＝［γ］为例介绍了机构的参数设计法。
关键词：曲柄摇杆机构；传动角；参数
ＴＨ１１２摇摇文献标识码：Ａ摇摇文章编号：１００１－２３５４（２０１０）０９－００６０－０３中图分类号：
摇摇曲柄摇杆机构的主要特征参数为极位夹角θ和摇
ａ＝ｃｓｉｎ
如图１所示，待求的尺寸为曲柄ａ、连杆ｂ、摇杆摆角ψ。
杆ｃ和机架ｄ。运用θ和ψ可列２个独立方程，称为基本要使机构有确定解，需２个附加条件，由附加条方程。
件确定的方程称为附加方程。在实际设计中，通常给定
ψ
２
（２）
２）代入式（１）得：将式（
ｄ２＝ｂ２＋ｃ２ｃｏｓ２
ψ
２
（３）
某一杆长和１个附加条件，如许用传动角等性能参数。
（１）只列出１从现已发表的文章来看，存在如下问题：个基本方程，给定了３个附加方程，导致设计结果不满
（２）需解联立方程；（３）不是以传动足给定的θ和ψ；
针对上述问题，文中首角为附加条件时要验算传动角。
先推导曲柄摇杆机构的基本方程；然后找出符合基本以工作行程止点的较小传动角为参方程的参数方程，数表达杆长的尺寸；最后以γｍｉｎ为给定的许用值［γ］为例介绍曲柄摇杆机构的参数设计法
。
２）和式（３）是正置曲柄摇杆机构的基本式（方程。
１．２摇偏置曲柄摇杆机构
偏置曲柄摇杆机构分为Ⅰ型曲柄摇杆机构和Ⅱ型曲柄摇杆机构ｄ２＞ｂ２＋ｃ２。
对Ⅰ型曲柄摇杆机构，在图１中，由△ＡＣ１Ｃ２和△ＤＣ１Ｃ２得：
２２
Ｃ１Ｃ２＝（ａ＋ｂ）＋（ｂ－ａ）－２（ｂ＋ａ）（ｂ－ａ）ｃｏｓθ
［１］
。ａ２＋Ⅰ型曲柄摇杆机构的条件为：
ａ２＋ｄ２＜ｂ２＋ｃ２，Ⅱ型曲柄摇杆机构的条件为：
Ｃ１Ｃ２＝２ｃｓｉｎ
ψ
２
整理得：
ａ２ｃｏｓ２
θθψ＋ｂ２ｓｉｎ２＝ｃ２ｓｉｎ２２２２
（４）
根据机构转化原理，解除图１中的机架ＡＤ，固定Ｃ２Ｄ。ＡＤ为摇杆的转化机原机构变成以Ｃ２Ｄ为机架、
图１摇曲柄摇杆机构示意图
构。将△ＡＤＣ１刚化后绕Ｄ旋转ψ，使Ｃ１Ｄ与Ｃ２Ｄ重合得△ＥＤＣ２，如图２所示。转化机构的极位夹角∠ＡＣ２Ｅ＝ψ－θ，仿上述得：
ａ２ｃｏｓ２
ψ－θψ－θψ
＋ｂ２ｓｉｎ２＝ｄ２ｓｉｎ２
２２２
１摇基本方程
按正置和偏置２种情况讨论曲柄摇杆机构。
１．１摇正置曲柄摇杆机构
正置曲柄摇杆机构的特征是θ＝０，ψ≠０。根据文１］：献［
ａ＋ｄ＝ｂ＋ｃ
２
２
２
２
（５）
对Ⅱ型曲柄摇杆机构，原型机构的方程式与４）相同，式（转化机构的方程为：
ａ２ｃｏｓ２
ψ＋θψ＋θψ
＋ｂ２ｓｉｎ２＝ｄ２ｓｉｎ２
２２２
（１）
（６）
１９５５—），作者简介：程友联（男，湖北浠水人，教授，硕士，专业方向：。
摇２０１０年９月程友联，等：曲柄摇杆机构的参数设计法６１
２］，参照文献［引进类型参数ｍ（对Ⅰ型曲柄摇杆
ｍ＝１；ｍ＝２），机构，对Ⅱ型曲柄摇杆机构，综合
ｍ
－１）ψ＋（θ
５）和式（６），并令ｔ０＝得：式（
２
ψ
ａｃｏｓｔ０＋ｂｓｉｎｔ０＝ｄｓｉｎ
２
２
２
２
２
２
２
９）、１１）和式（１２）代入式（１３）中，将式（式（得：
ψ
２
ｓｉｎｔ＝
ｃｏｓγｍｉｎ
ｓｉｎ
（７）（８）
１１）和式（１２）求出ｔａｎｔ和ｃｏｓｔ，再代入式（
中，得：
ｂ
＝ｃ
ｓｉｎψ
２ｃｏｓｃｏｓ
２
类型条件可表达成：
（－１）（ａ＋ｄ－ｂ－ｃ）＞０
ｍ
２
２
２
２
γｍｉｎ
４）和式（７）是偏置曲柄摇杆机构的基本式（方程
。
－ｓｉｎ
２
２
（１４）
ｄ
＝ｃ
ψ
ｃｏｓγｍｉｎ２
ψ
－ｓｉｎ２
２
（１５）
πγｍｉｎ∈［γ］
２
[
ｃｏｓ２γｍｉｎ
]
［———许用传动角。式中：γ］
９）、１４）和式（１５）是正置曲柄摇杆机构用式（式（
最小传动角表达的相对尺寸方程。２．２摇偏置曲柄摇杆机构
４）和式（７）变形得：将式（
２
（ａ／ｃ）
２＋ｓｉｎ（ψ／２）
ｃｏｓ（θ／２）
２
（ｂ／ｃ）
２＝１ｓｉｎ（ψ／２）
ｓｉｎ（θ／２）
[
图２摇原机构的转化机构示意图
][]
（１６）
()
ｄ
ｃ
２
＝
２摇杆长的参数方程
２）、３）和方程（４）、如果以上基本方程（方程（方
７）中杆长用参数表达，程（则在计算尺寸时能避免解联立方程。下面讨论符合基本方程的参数方程。２．１摇正置曲柄摇杆机构
２）和式（３）变对于正置曲柄摇杆机构，将式（
形得：
ａψ＝ｓｉｎｃ２
[
２
２＋ｓｉｎ（ψ／２）
ｃｏｓｔ０
][
２
２
ｓｉｎ（ψ／２）ｓｉｎｔ０
]
（１７）
１６）是椭圆柱面方程式，１７）是锥面方程式（式（
ａｂｄ
偏置曲柄摇杆机构的相对尺寸和是由椭式。
ｃｃｃ１６）的参数方程为：式（圆柱面和锥面的交线决定。
ψ
ａ２＝ｓｉｎｕｃθ
ｃｏｓ
２
ｓｉｎ
ｂｓｉｎ（ψ／２）＝ｃｏｓｕｃｓｉｎ（θ／２）
（１８）（１９）
（９）
ｂ
ｃ
２
()
ｄｃｃｏｓ２
２
２
－
()
ｃｏｓ２
１８）和式（１９）代入式（１７）得：将式（
２
＝１（１０）
()
ｄ
ｃ
２
＝
ｓｉｎ２ｕｃｏｓ２ｕ２
ｃｏｓｔ＋２ｔ００２２
ｃｏｓ（ｓｉｎ（θ／２）θ／２）
（２０）
１０）是双曲线表达式，式（其参数方程为：
ｂψ
＝ｃｏｓｔａｎｔｃ２ｄψ＝ｃｏｓ／ｃｏｓｔｃ２
１８）～式（２０）是偏置曲柄摇杆机构以ｕ为参式（
为了显示出参数的具体几何意义，数的杆长参数方程。
（１１）（１２）
下面导出以工作行程止点位置的较小传动角ｔ为参数
的机构相对尺寸方程。
２］得：当ψ≥θ时，对于Ⅰ型机构，根据文献［
ｂｓｉｎ（／２）
＝ｃｏｓ［ｔ＋ｔ０］ｃｓｉｎ（θ／２）
９）、１１）和式（１２）是正置曲柄摇杆机构的式（式（
杆长参数方程。
设计时，一般要控制工作行程的最小传动角，对于
工作行程的最小传动角就是机构正置曲柄摇杆机构，［１］
的最小传动角，即：
（２１）
ｔ是远止点的传动角；对于Ⅰ型机构，对于Ⅱ型机
ｔ是近止点的传动角。构，
当ψ＜θ时，对于Ⅰ型机构，如图３所示，止点的ｔ２２ＡＣ１
６２机摇械摇设摇计第２７卷第９期摇
∠Ｃ１ＥＣ２＝θ＝∠Ｃ１ＤＣ２＋∠ＥＣ１Ｄ＝ψ＋∠ＥＣ１Ｆ＋因为：
∠ＥＣ１Ｄ＝ψ＋∠ＥＣ１Ｆ＋θ／２－ψ／２
∠ＥＣ１Ｆ＝θ／２－ψ／２所以：
∠Ｂ１Ｃ１Ｆ＝∠ＡＣ１Ｅ＋∠ＥＣ１Ｆ＝ｔ＋（θ／２－ψ／２）则：
ＦＣ１＝２ＯＣ１ｃｏｓ
２（Ｃ１Ｄｓｉｎ
＝２
ｓｉｎ（ψθψ／２）
／ｓｉｎθ）ｃｏｓ＝ｃ２２ｓｉｎ（θ／２
）
ｔ＞［，γ］因此有：作行程的最小传动角时，
π－θ
ｔ∈［［－｜ｔ０｜）γ］
２
（２７）
３摇用参数法设计曲柄摇杆机构
１４）和式（１５）中最小传动角γｍｉｎ和式（２４）～式（
２６）中的工作行程的最小传动角，式（由其他的附加条件确定，如许用传动角等参数。下面以满足“γｍｉｎ＝［”为例，γ］介绍用参数方程设计偏置曲柄摇杆机构的方法和过程。
３．１摇根据条件列性能方程
３］，曲柄摇杆机构的最小传动角与机根据文献［
构尺寸的关系为：
ｃｏｓγｍｉｎ
ｍ２
［ｄ＋（－１）ａ］－ｂ２－ｃ２＝ｍ
２（－１）ｂｃ
等式右边的分子和分母同除以ｃ得：
图３摇曲柄摇杆机构ψ＜θ示意图
２
根据图解曲柄连杆分配律Ｂ１Ｃ１，因此有：
［３］
，ＦＢ１⊥ＡＣ１，且ｂ＝
ｃｏｓγｍｉｎ
ｄｍａ２
＋（－１）］－ｃｃ＝
ｍｂ－１）２（
ｃ
()
ｂｃ
２
－１
（２８）
ｂ＝Ｂ１Ｃ１＝ＦＣ１ｃｏｓ∠Ｂ１Ｃ１Ｆ＝ｃｂｓｉｎ（ψ／２）
＝（ｔ－ｔ０）ｃｓｉｎ（θ／２）
ｓｉｎ（／２）
ｃｏｓｔ－－ｓｉｎ（θ／２）２()
（２２）
２４）～式（２６）代入式（２８）中，将式（并令γｍｉｎ＝
［，γ］得：
ｘ４－Ａｘ３＋Ｂｘ２＋Ｃｘ－Ｄ＝０（２９）
ｘ＝ｃｏｓ（ｔ＋｜ｔ０｜）；式中：
Ａ＝２ｃｏｓｔ０ｃｏｓ［；γ］
θ２
Ｂ＝ｃｏｓ２ｃｏｓ２［γ］－ｓｉｎｔ０；
２
Ｃ＝Ａｓｉｎ２
θ２
θ２
对于Ⅱ型曲柄摇杆机构，止点的较小传动角在远同理可求得：止点，
ｂｓｉｎ（／２）＝（ｔ＋ｔ０）ｃｓｉｎ（θ／２）
（２３）ψ－θ
＜２（２４）
２１）～式（２３）２２）从式（知，只有式（中ｔ０＝
ｂｓｉｎ（ψ／２）
＝（ｔ＋｜ｔ０｜）ｃｓｉｎ（θ／２）
Ｄ＝ｃｏｓ２ｔ０ｓｉｎ２
０，－ｔ０＝｜ｔ０｜，２１）～式（２３）可表示成：因此式（
１９）与式（２４）对比得：ｕ＝ｔ＋｜ｔ０｜，将式（将其代１８）和式（２０）得：入式（
ａｓｉｎ（ψ／２）＝（ｔ＋｜ｔ０｜）ｃｃｏｓ（θ／２）
（２５）
()
ｄｃ
２
ｃｏｓ２ｔ０ｓｉｎｔ０
＝ｓｉｎ２（ｔ＋｜ｔ０｜）＋２ｃｏｓ２（ｔ＋｜ｔ０｜）２
ｃｏｓ（ｓｉｎ（θ／２）θ／２）
３．２摇求解参数
２９）是四次方程，式（可用公式求解，也可在ｔ∈π－θ［［－｜ｔ０｜）内，γ］在计算机上用二分法求解。
２
３．３摇计算机构相对尺寸
２４）～式（２６）计算机构相对尺寸的可利用式（
行解。
（２６）
２４）～式（２６）入式（８）得：将式（
π－θ
ｔ∈［０－｜ｔ０｜）
２
４摇设计举例
例１摇已知最小传动角γｍｉｎ＝５３°，行程速比系数ｋ＝１．１，从动摇杆的摆角ψ＝４０°，机架的杆长ｄ＝１，确定Ｉ型曲柄摇杆机构曲柄ａ、连杆的杆长ｂ及摇杆的杆长ｃ。
（１）由ｋ＝１．１，ｔ０＝ψ＝４０°，求得θ＝８５７１４°，１５７１４３°；２７）得ｔ∈［５３°，７０°）。由式（
页）
２４）～式（２６）是偏置曲柄摇杆机构用工作行式（
程止点位置的较小传动角ｔ表达的相对尺寸方程。偏置曲柄摇杆机构工作行程的最小传动角在止点
［４］
。
；
９６机摇械摇设摇计
２００１．社，
第２７卷第９期摇
相对于外圆的同轴度为０．０１。
（１０）安装技术要求。支承板１０轴向移动其中心线必须通过分度盘４的中心线。
［７］摇黄鹤汀．机械制造装备［Ｍ］．北京：机械工业出版
２００１．社，
［８］摇大连组合机床研究所．组合机床设计［Ｍ］．北京：机械工
１９７５．业出版社，
ＤｅｓｉｇｎｏｆｑｕｉｃｋｉｎｄｅｘｉｎｇｕｎｉｖｅｒｓａｌａｎｄａｄｊｕｓｔａｂｌｅｄｒｉｌｌｊｉｇＺＨＡＮＧＪｉｅ
（ＳｈｅｎｙａｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＯｃｃｕｐａｔｉｏｎａｌＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ１１００４５，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄｏｎｎｅｅｄｆｏｒｔｈｅｃｕｒｒｅｎｔｓｉｎｇｌｅｐｉｅｃｅａｎｄｍｕｌｔｉｐｌｅｋｉｎｄｓｓｍａｌｌｂａｔｃｈｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ，ａｋｉｎｄｏｆｑｕｉｃｋｉｎｄｅｘｉｎｇｕｎｉｖｅｒｓａｌａｎｄａｄｊｕｓｔａｂｌｅｄｒｉｌｌｊｉｇｗａｓｄｅｓｉｇｎｅｄ．Ｐｒａｃｔｉｃｅｈａｓｐｒｏｖｅｄｔｈｉｓｓｅｔｏｆｑｕｉｃｋｉｎｄｅｘｉｎｇｕｎｉｖｅｒｓａｌａｎｄａｄｊｕｓｔａｂｌｅｄｒｉｌｌｊｉｇｄｅｓｉｇｎｅｄｂｙｕｓｃａｎｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔｌｙｅｎｈａｎｃｅｔｈｅｒｅｓｐｏｎｓｅｃａｐａｂｉｌｉｔｙａｔｔｈｅｗｏｒｋｓｈｏｐｓｉｔｅ，ｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｓｉｔｕａｔｉｏｎｔｈａｔｔｈｅｔｉｍｅｕｓｅｄｆｏｒｐｒｅｐａｒｉｎｇｄｒｉｌｌｊｉｇａｔｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｓｉｔｅｉｓｌｏｎｇ．Ｉｔｉｓｗｅｌｃｏｍｅｄｂｙｂｏｔｈｏｐｅｒａｔｏｒｓａｎｄｍａｎａｇｅｒｓｉｎｔｈｅｗｏｒｋｓｈｏｐ，ｔｈｅｄｅｓｉｇｎｔａｒｇｅｔｔｈａｔｓｐｅｃｉａｌｄｒｉｌｌｊｉｇｓｈｏｕｌｄｂｅｆｌｅｘｉｂｌｅａｎｄｕｎｉｖｅｒｓａｌｉｓａｃｈｉｅｖｅｄ．Ｉｔｉｓａｋｉｎｄｏｆｄｒｉｌｌｉｎｇｆｉｘｔｕｒｅｄｅｓｉｇｎｗｏｒｔｈｙｏｆｅｘｔｅｎｓｉｖｅｐｒｏｍｏｔｉｏｎａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｅｓｉｇｎｐｒｏｐｏｓａｌ；ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌｄｅｓｉｇｎ；ｋｅｙｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
Ｆｉｇ１Ｔａｂ０Ｒｅｆ８
“ＪｉｘｉｅＳｈｅｊｉ”０２８７
４摇结束语
文中设计的快捷分度通用可调钻夹具满足了刚
性、精度和寿命的工艺要求；结构设计紧凑、简明、合理；产品质量稳定，而且具有较强互换性，定位元件设计融入标准化元素；特别是安装、调整、测量便利，可替代组合夹具。
参考文献
［１］摇谢家瀛．组合机床设计简明手册［Ｍ］．北京：机械工业
１９９４．出版社，
［２］摇周建方．材料力学［Ｍ］．北京：机械工业出版社，２００２．［３］摇徐锦康．机械设计［Ｍ］．北京：机械工业出版社，２００１．［４］摇陈秀宁，Ｍ］．浙江：浙江大施高义．机械设计课程设计［
２００２．学出版社，
［５］摇沈世德．机械原理［Ｍ］．北京：机械工业出版社，２００１．［６］摇吉卫喜．机械制造技术［Ｍ］．北京：机械工业出版
欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍
［２］程友联，Ｊ］．武汤柳明．曲柄摇机构的参数方程及应用［（上接第６２页）
２０００（３）：３１７－３１９．汉交通科技大学学报，（２）将γｍｉｎ＝５３°，ｔ０＝ψ＝４０°，θ＝８５７１４°，
［３］程友联．曲柄连杆图解分配律及实用机构设计［Ｊ］．机１５７１４３°代入式（２９）中，在计算机上用二分法求得：
２０００（６）：３４－３５．构工程师，
ｔ１＝５８６７０１°，ｔ２＝６２４０３８°。
［４］魏引焕，郑晨升，王宁侠，等．曲柄摇杆机构慢行程最小
（３）２４）～式（２６）得：将ｔ１＝５８６７０１°代入式（
ａｂｄ＝０３３０３＝１２３２０＝１３４７７ｃｃｃ
３０１－３０４．
ＰａｒａｍｅｔｅｒｄｅｓｉｇｎｍｅｔｈｏｄｏｆｃｒａｎｋｒｏｃｋｅｒｍｅｃｈａｎｉｓｍＣＨＥＮＧＹｏｕｌｉａｎ１，ＷＵＸｉａｏｈｏｎｇ２
（１．ＨｕａｚｈｏｎｇＡｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｈａｎ４３００７０，Ｃｈｉｎａ；２．ＺｈｏｎｇｎａｎＢｒａｎｃｈｏｆＷｕｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｗｕｈａｎ４３０２２３，Ｃｈｉｎａ）
Ｊ］．西安科技学院学报，２００１（３）：传动角位置分析［
２５）～式（２７）得：同理，将ｔ２＝６２４０３８°代入式（
ａｂｄ＝０３３５６＝０９４２３＝１２０３８ｃｃｃ
ｂ＝０９１４１，ｃ＝０７４２０，ｄ＝１和即ａ＝０２４５１，ａ＝０２７８８，ｂ＝０７８２８，ｃ＝０８３０７，ｄ＝１两组解。
例２摇设已知最小传动角γｍｉｎ＝４５°，行程速比系数ｋ＝１，从动摇杆的摆角ψ＝８０°，机架的杆长ｄ＝１，试设计正置曲柄摇杆机构。
９）、１４）和式（１５）中，将已知条件代入式（式（得：
ａｂｄ
＝０６４２８＝１６７１１＝１８３８３ｃｃｃ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｉｍｉｎｇａｔｔｈｅｄｅｓｉｇｎｐｒｏｂｌｅｍｓｉｎｄｅｓｉｇｎｉｎｇｃｒａｎｋｒｏｃｋｅｒｍｅｃｈａｎｉｓｍｂｙｕｓｉｎｇａｎａｌｙｔｉｃｍｅｔｈｏｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ａｂａｓｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｔｈａｔｃａｎｓａｔｉｓｆｙｂｏｔｈｔｈｅｅｘｔｒｅｍｅｐｏｓｉｔｉｏｎａｎｇｌｅθａｎｄｔｈｅｃｒａｎｋｓｗｉｎｇａｎｇｌｅψｏｆｔｈｅｃｒａｎｋｒｏｃｋｅｒｍｅｃｈａｎｉｓｍｂｙａｐｐｌｙｉｎｇｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｎｄｍｅｃｈａｎｉｓｍｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｋｎｏｗｌｅｄｇｅ．Ｔｈｅｅｘｐｌｉｃｉｔｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｆｏｒｍｅｃｈａｎｉｓｍｓｉｚｅｗａｓａｃｈｉｅｖｅｄｂｙｕｓｉｎｇｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎａｎｇｌｅγａｓｔｈｅｐａｒａｍｅｔｅｒ．Ｔｈｅｐａｒａｍｅｔｅｒｄｅｓｉｇｎｍｅｔｈｏｄｏｆｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｓｍｈａｓｂｅｅｎｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｂｙｕｓｉｎｇγｍｉｎ＝［ａｓａｎｅｘγ］ａｍｐｌｅ．
Ｋｅｙ
ｗｏｒｄｓ：ｃｒａｎｋｒｏｃｋｅｒ
ｍｅｃｈａｎｉｓｍ；ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ
“ＪｉｘｉｅＳｈｅｊｉ”９３０８
Ｆｉｇ３Ｔａｂ０４
ｂ＝９０９０，ｃ＝５４４０，ｄ＝１。即ａ＝０３４９７，
参考文献
［１１１０－１１２．
２７卷第９期摇第
２０１０年９月
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＭＡＣＨＩＮＥＤＥＳＩＧＮ
机摇械摇设摇计
Ｖｏｌ．２７Ｎｏ．９Ｓｅｐ．２０１０
曲柄摇杆机构的参数设计法
１２
程友联，吴晓红
（１．华中农业大学工程技术学院，湖北武汉摇４３００７０；２．武汉科技大学中南分校教务处，湖北武汉摇４３０２２３）
摘要：针对应用解析法设计曲柄摇杆机构时存在的问题，运用数学和机构性能知识，导出了满足曲柄摇杆机构的极”位夹角θ和摇杆摆角ψ的基本方程。完成了机构尺寸以传动角γ为参数的显式表达，以“γｍｉｎ＝［γ］为例介绍了机构的参数设计法。
关键词：曲柄摇杆机构；传动角；参数
ＴＨ１１２摇摇文献标识码：Ａ摇摇文章编号：１００１－２３５４（２０１０）０９－００６０－０３中图分类号：
摇摇曲柄摇杆机构的主要特征参数为极位夹角θ和摇
ａ＝ｃｓｉｎ
如图１所示，待求的尺寸为曲柄ａ、连杆ｂ、摇杆摆角ψ。
杆ｃ和机架ｄ。运用θ和ψ可列２个独立方程，称为基本要使机构有确定解，需２个附加条件，由附加条方程。
件确定的方程称为附加方程。在实际设计中，通常给定
ψ
２
（２）
２）代入式（１）得：将式（
ｄ２＝ｂ２＋ｃ２ｃｏｓ２
ψ
２
（３）
某一杆长和１个附加条件，如许用传动角等性能参数。
（１）只列出１从现已发表的文章来看，存在如下问题：个基本方程，给定了３个附加方程，导致设计结果不满
（２）需解联立方程；（３）不是以传动足给定的θ和ψ；
针对上述问题，文中首角为附加条件时要验算传动角。
先推导曲柄摇杆机构的基本方程；然后找出符合基本以工作行程止点的较小传动角为参方程的参数方程，数表达杆长的尺寸；最后以γｍｉｎ为给定的许用值［γ］为例介绍曲柄摇杆机构的参数设计法
。
２）和式（３）是正置曲柄摇杆机构的基本式（方程。
１．２摇偏置曲柄摇杆机构
偏置曲柄摇杆机构分为Ⅰ型曲柄摇杆机构和Ⅱ型曲柄摇杆机构ｄ２＞ｂ２＋ｃ２。
对Ⅰ型曲柄摇杆机构，在图１中，由△ＡＣ１Ｃ２和△ＤＣ１Ｃ２得：
２２
Ｃ１Ｃ２＝（ａ＋ｂ）＋（ｂ－ａ）－２（ｂ＋ａ）（ｂ－ａ）ｃｏｓθ
［１］
。ａ２＋Ⅰ型曲柄摇杆机构的条件为：
ａ２＋ｄ２＜ｂ２＋ｃ２，Ⅱ型曲柄摇杆机构的条件为：
Ｃ１Ｃ２＝２ｃｓｉｎ
ψ
２
整理得：
ａ２ｃｏｓ２
θθψ＋ｂ２ｓｉｎ２＝ｃ２ｓｉｎ２２２２
（４）
根据机构转化原理，解除图１中的机架ＡＤ，固定Ｃ２Ｄ。ＡＤ为摇杆的转化机原机构变成以Ｃ２Ｄ为机架、
图１摇曲柄摇杆机构示意图
构。将△ＡＤＣ１刚化后绕Ｄ旋转ψ，使Ｃ１Ｄ与Ｃ２Ｄ重合得△ＥＤＣ２，如图２所示。转化机构的极位夹角∠ＡＣ２Ｅ＝ψ－θ，仿上述得：
ａ２ｃｏｓ２
ψ－θψ－θψ
＋ｂ２ｓｉｎ２＝ｄ２ｓｉｎ２
２２２
１摇基本方程
按正置和偏置２种情况讨论曲柄摇杆机构。
１．１摇正置曲柄摇杆机构
正置曲柄摇杆机构的特征是θ＝０，ψ≠０。根据文１］：献［
ａ＋ｄ＝ｂ＋ｃ
２
２
２
２
（５）
对Ⅱ型曲柄摇杆机构，原型机构的方程式与４）相同，式（转化机构的方程为：
ａ２ｃｏｓ２
ψ＋θψ＋θψ
＋ｂ２ｓｉｎ２＝ｄ２ｓｉｎ２
２２２
（１）
（６）
１９５５—），作者简介：程友联（男，湖北浠水人，教授，硕士，专业方向：。
摇２０１０年９月程友联，等：曲柄摇杆机构的参数设计法６１
２］，参照文献［引进类型参数ｍ（对Ⅰ型曲柄摇杆
ｍ＝１；ｍ＝２），机构，对Ⅱ型曲柄摇杆机构，综合
ｍ
－１）ψ＋（θ
５）和式（６），并令ｔ０＝得：式（
２
ψ
ａｃｏｓｔ０＋ｂｓｉｎｔ０＝ｄｓｉｎ
２
２
２
２
２
２
２
９）、１１）和式（１２）代入式（１３）中，将式（式（得：
ψ
２
ｓｉｎｔ＝
ｃｏｓγｍｉｎ
ｓｉｎ
（７）（８）
１１）和式（１２）求出ｔａｎｔ和ｃｏｓｔ，再代入式（
中，得：
ｂ
＝ｃ
ｓｉｎψ
２ｃｏｓｃｏｓ
２
类型条件可表达成：
（－１）（ａ＋ｄ－ｂ－ｃ）＞０
ｍ
２
２
２
２
γｍｉｎ
４）和式（７）是偏置曲柄摇杆机构的基本式（方程
。
－ｓｉｎ
２
２
（１４）
ｄ
＝ｃ
ψ
ｃｏｓγｍｉｎ２
ψ
－ｓｉｎ２
２
（１５）
πγｍｉｎ∈［γ］
２
[
ｃｏｓ２γｍｉｎ
]
［———许用传动角。式中：γ］
９）、１４）和式（１５）是正置曲柄摇杆机构用式（式（
最小传动角表达的相对尺寸方程。２．２摇偏置曲柄摇杆机构
４）和式（７）变形得：将式（
２
（ａ／ｃ）
２＋ｓｉｎ（ψ／２）
ｃｏｓ（θ／２）
２
（ｂ／ｃ）
２＝１ｓｉｎ（ψ／２）
ｓｉｎ（θ／２）
[
图２摇原机构的转化机构示意图
][]
（１６）
()
ｄ
ｃ
２
＝
２摇杆长的参数方程
２）、３）和方程（４）、如果以上基本方程（方程（方
７）中杆长用参数表达，程（则在计算尺寸时能避免解联立方程。下面讨论符合基本方程的参数方程。２．１摇正置曲柄摇杆机构
２）和式（３）变对于正置曲柄摇杆机构，将式（
形得：
ａψ＝ｓｉｎｃ２
[
２
２＋ｓｉｎ（ψ／２）
ｃｏｓｔ０
][
２
２
ｓｉｎ（ψ／２）ｓｉｎｔ０
]
（１７）
１６）是椭圆柱面方程式，１７）是锥面方程式（式（
ａｂｄ
偏置曲柄摇杆机构的相对尺寸和是由椭式。
ｃｃｃ１６）的参数方程为：式（圆柱面和锥面的交线决定。
ψ
ａ２＝ｓｉｎｕｃθ
ｃｏｓ
２
ｓｉｎ
ｂｓｉｎ（ψ／２）＝ｃｏｓｕｃｓｉｎ（θ／２）
（１８）（１９）
（９）
ｂ
ｃ
２
()
ｄｃｃｏｓ２
２
２
－
()
ｃｏｓ２
１８）和式（１９）代入式（１７）得：将式（
２
＝１（１０）
()
ｄ
ｃ
２
＝
ｓｉｎ２ｕｃｏｓ２ｕ２
ｃｏｓｔ＋２ｔ００２２
ｃｏｓ（ｓｉｎ（θ／２）θ／２）
（２０）
１０）是双曲线表达式，式（其参数方程为：
ｂψ
＝ｃｏｓｔａｎｔｃ２ｄψ＝ｃｏｓ／ｃｏｓｔｃ２
１８）～式（２０）是偏置曲柄摇杆机构以ｕ为参式（
为了显示出参数的具体几何意义，数的杆长参数方程。
（１１）（１２）
下面导出以工作行程止点位置的较小传动角ｔ为参数
的机构相对尺寸方程。
２］得：当ψ≥θ时，对于Ⅰ型机构，根据文献［
ｂｓｉｎ（／２）
＝ｃｏｓ［ｔ＋ｔ０］ｃｓｉｎ（θ／２）
９）、１１）和式（１２）是正置曲柄摇杆机构的式（式（
杆长参数方程。
设计时，一般要控制工作行程的最小传动角，对于
工作行程的最小传动角就是机构正置曲柄摇杆机构，［１］
的最小传动角，即：
（２１）
ｔ是远止点的传动角；对于Ⅰ型机构，对于Ⅱ型机
ｔ是近止点的传动角。构，
当ψ＜θ时，对于Ⅰ型机构，如图３所示，止点的ｔ２２ＡＣ１
６２机摇械摇设摇计第２７卷第９期摇
∠Ｃ１ＥＣ２＝θ＝∠Ｃ１ＤＣ２＋∠ＥＣ１Ｄ＝ψ＋∠ＥＣ１Ｆ＋因为：
∠ＥＣ１Ｄ＝ψ＋∠ＥＣ１Ｆ＋θ／２－ψ／２
∠ＥＣ１Ｆ＝θ／２－ψ／２所以：
∠Ｂ１Ｃ１Ｆ＝∠ＡＣ１Ｅ＋∠ＥＣ１Ｆ＝ｔ＋（θ／２－ψ／２）则：
ＦＣ１＝２ＯＣ１ｃｏｓ
２（Ｃ１Ｄｓｉｎ
＝２
ｓｉｎ（ψθψ／２）
／ｓｉｎθ）ｃｏｓ＝ｃ２２ｓｉｎ（θ／２
）
ｔ＞［，γ］因此有：作行程的最小传动角时，
π－θ
ｔ∈［［－｜ｔ０｜）γ］
２
（２７）
３摇用参数法设计曲柄摇杆机构
１４）和式（１５）中最小传动角γｍｉｎ和式（２４）～式（
２６）中的工作行程的最小传动角，式（由其他的附加条件确定，如许用传动角等参数。下面以满足“γｍｉｎ＝［”为例，γ］介绍用参数方程设计偏置曲柄摇杆机构的方法和过程。
３．１摇根据条件列性能方程
３］，曲柄摇杆机构的最小传动角与机根据文献［
构尺寸的关系为：
ｃｏｓγｍｉｎ
ｍ２
［ｄ＋（－１）ａ］－ｂ２－ｃ２＝ｍ
２（－１）ｂｃ
等式右边的分子和分母同除以ｃ得：
图３摇曲柄摇杆机构ψ＜θ示意图
２
根据图解曲柄连杆分配律Ｂ１Ｃ１，因此有：
［３］
，ＦＢ１⊥ＡＣ１，且ｂ＝
ｃｏｓγｍｉｎ
ｄｍａ２
＋（－１）］－ｃｃ＝
ｍｂ－１）２（
ｃ
()
ｂｃ
２
－１
（２８）
ｂ＝Ｂ１Ｃ１＝ＦＣ１ｃｏｓ∠Ｂ１Ｃ１Ｆ＝ｃｂｓｉｎ（ψ／２）
＝（ｔ－ｔ０）ｃｓｉｎ（θ／２）
ｓｉｎ（／２）
ｃｏｓｔ－－ｓｉｎ（θ／２）２()
（２２）
２４）～式（２６）代入式（２８）中，将式（并令γｍｉｎ＝
［，γ］得：
ｘ４－Ａｘ３＋Ｂｘ２＋Ｃｘ－Ｄ＝０（２９）
ｘ＝ｃｏｓ（ｔ＋｜ｔ０｜）；式中：
Ａ＝２ｃｏｓｔ０ｃｏｓ［；γ］
θ２
Ｂ＝ｃｏｓ２ｃｏｓ２［γ］－ｓｉｎｔ０；
２
Ｃ＝Ａｓｉｎ２
θ２
θ２
对于Ⅱ型曲柄摇杆机构，止点的较小传动角在远同理可求得：止点，
ｂｓｉｎ（／２）＝（ｔ＋ｔ０）ｃｓｉｎ（θ／２）
（２３）ψ－θ
＜２（２４）
２１）～式（２３）２２）从式（知，只有式（中ｔ０＝
ｂｓｉｎ（ψ／２）
＝（ｔ＋｜ｔ０｜）ｃｓｉｎ（θ／２）
Ｄ＝ｃｏｓ２ｔ０ｓｉｎ２
０，－ｔ０＝｜ｔ０｜，２１）～式（２３）可表示成：因此式（
１９）与式（２４）对比得：ｕ＝ｔ＋｜ｔ０｜，将式（将其代１８）和式（２０）得：入式（
ａｓｉｎ（ψ／２）＝（ｔ＋｜ｔ０｜）ｃｃｏｓ（θ／２）
（２５）
()
ｄｃ
２
ｃｏｓ２ｔ０ｓｉｎｔ０
＝ｓｉｎ２（ｔ＋｜ｔ０｜）＋２ｃｏｓ２（ｔ＋｜ｔ０｜）２
ｃｏｓ（ｓｉｎ（θ／２）θ／２）
３．２摇求解参数
２９）是四次方程，式（可用公式求解，也可在ｔ∈π－θ［［－｜ｔ０｜）内，γ］在计算机上用二分法求解。
２
３．３摇计算机构相对尺寸
２４）～式（２６）计算机构相对尺寸的可利用式（
行解。
（２６）
２４）～式（２６）入式（８）得：将式（
π－θ
ｔ∈［０－｜ｔ０｜）
２
４摇设计举例
例１摇已知最小传动角γｍｉｎ＝５３°，行程速比系数ｋ＝１．１，从动摇杆的摆角ψ＝４０°，机架的杆长ｄ＝１，确定Ｉ型曲柄摇杆机构曲柄ａ、连杆的杆长ｂ及摇杆的杆长ｃ。
（１）由ｋ＝１．１，ｔ０＝ψ＝４０°，求得θ＝８５７１４°，１５７１４３°；２７）得ｔ∈［５３°，７０°）。由式（
页）
２４）～式（２６）是偏置曲柄摇杆机构用工作行式（
程止点位置的较小传动角ｔ表达的相对尺寸方程。偏置曲柄摇杆机构工作行程的最小传动角在止点
［４］
。
；
９６机摇械摇设摇计
２００１．社，
第２７卷第９期摇
相对于外圆的同轴度为０．０１。
（１０）安装技术要求。支承板１０轴向移动其中心线必须通过分度盘４的中心线。
［７］摇黄鹤汀．机械制造装备［Ｍ］．北京：机械工业出版
２００１．社，
［８］摇大连组合机床研究所．组合机床设计［Ｍ］．北京：机械工
１９７５．业出版社，
ＤｅｓｉｇｎｏｆｑｕｉｃｋｉｎｄｅｘｉｎｇｕｎｉｖｅｒｓａｌａｎｄａｄｊｕｓｔａｂｌｅｄｒｉｌｌｊｉｇＺＨＡＮＧＪｉｅ
（ＳｈｅｎｙａｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＯｃｃｕｐａｔｉｏｎａｌＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ１１００４５，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄｏｎｎｅｅｄｆｏｒｔｈｅｃｕｒｒｅｎｔｓｉｎｇｌｅｐｉｅｃｅａｎｄｍｕｌｔｉｐｌｅｋｉｎｄｓｓｍａｌｌｂａｔｃｈｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ，ａｋｉｎｄｏｆｑｕｉｃｋｉｎｄｅｘｉｎｇｕｎｉｖｅｒｓａｌａｎｄａｄｊｕｓｔａｂｌｅｄｒｉｌｌｊｉｇｗａｓｄｅｓｉｇｎｅｄ．Ｐｒａｃｔｉｃｅｈａｓｐｒｏｖｅｄｔｈｉｓｓｅｔｏｆｑｕｉｃｋｉｎｄｅｘｉｎｇｕｎｉｖｅｒｓａｌａｎｄａｄｊｕｓｔａｂｌｅｄｒｉｌｌｊｉｇｄｅｓｉｇｎｅｄｂｙｕｓｃａｎｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔｌｙｅｎｈａｎｃｅｔｈｅｒｅｓｐｏｎｓｅｃａｐａｂｉｌｉｔｙａｔｔｈｅｗｏｒｋｓｈｏｐｓｉｔｅ，ｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｓｉｔｕａｔｉｏｎｔｈａｔｔｈｅｔｉｍｅｕｓｅｄｆｏｒｐｒｅｐａｒｉｎｇｄｒｉｌｌｊｉｇａｔｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｓｉｔｅｉｓｌｏｎｇ．Ｉｔｉｓｗｅｌｃｏｍｅｄｂｙｂｏｔｈｏｐｅｒａｔｏｒｓａｎｄｍａｎａｇｅｒｓｉｎｔｈｅｗｏｒｋｓｈｏｐ，ｔｈｅｄｅｓｉｇｎｔａｒｇｅｔｔｈａｔｓｐｅｃｉａｌｄｒｉｌｌｊｉｇｓｈｏｕｌｄｂｅｆｌｅｘｉｂｌｅａｎｄｕｎｉｖｅｒｓａｌｉｓａｃｈｉｅｖｅｄ．Ｉｔｉｓａｋｉｎｄｏｆｄｒｉｌｌｉｎｇｆｉｘｔｕｒｅｄｅｓｉｇｎｗｏｒｔｈｙｏｆｅｘｔｅｎｓｉｖｅｐｒｏｍｏｔｉｏｎａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｅｓｉｇｎｐｒｏｐｏｓａｌ；ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌｄｅｓｉｇｎ；ｋｅｙｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
Ｆｉｇ１Ｔａｂ０Ｒｅｆ８
“ＪｉｘｉｅＳｈｅｊｉ”０２８７
４摇结束语
文中设计的快捷分度通用可调钻夹具满足了刚
性、精度和寿命的工艺要求；结构设计紧凑、简明、合理；产品质量稳定，而且具有较强互换性，定位元件设计融入标准化元素；特别是安装、调整、测量便利，可替代组合夹具。
参考文献
［１］摇谢家瀛．组合机床设计简明手册［Ｍ］．北京：机械工业
１９９４．出版社，
［２］摇周建方．材料力学［Ｍ］．北京：机械工业出版社，２００２．［３］摇徐锦康．机械设计［Ｍ］．北京：机械工业出版社，２００１．［４］摇陈秀宁，Ｍ］．浙江：浙江大施高义．机械设计课程设计［
２００２．学出版社，
［５］摇沈世德．机械原理［Ｍ］．北京：机械工业出版社，２００１．［６］摇吉卫喜．机械制造技术［Ｍ］．北京：机械工业出版
欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍
［２］程友联，Ｊ］．武汤柳明．曲柄摇机构的参数方程及应用［（上接第６２页）
２０００（３）：３１７－３１９．汉交通科技大学学报，（２）将γｍｉｎ＝５３°，ｔ０＝ψ＝４０°，θ＝８５７１４°，
［３］程友联．曲柄连杆图解分配律及实用机构设计［Ｊ］．机１５７１４３°代入式（２９）中，在计算机上用二分法求得：
２０００（６）：３４－３５．构工程师，
ｔ１＝５８６７０１°，ｔ２＝６２４０３８°。
［４］魏引焕，郑晨升，王宁侠，等．曲柄摇杆机构慢行程最小
（３）２４）～式（２６）得：将ｔ１＝５８６７０１°代入式（
ａｂｄ＝０３３０３＝１２３２０＝１３４７７ｃｃｃ
３０１－３０４．
ＰａｒａｍｅｔｅｒｄｅｓｉｇｎｍｅｔｈｏｄｏｆｃｒａｎｋｒｏｃｋｅｒｍｅｃｈａｎｉｓｍＣＨＥＮＧＹｏｕｌｉａｎ１，ＷＵＸｉａｏｈｏｎｇ２
（１．ＨｕａｚｈｏｎｇＡｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｈａｎ４３００７０，Ｃｈｉｎａ；２．ＺｈｏｎｇｎａｎＢｒａｎｃｈｏｆＷｕｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｗｕｈａｎ４３０２２３，Ｃｈｉｎａ）
Ｊ］．西安科技学院学报，２００１（３）：传动角位置分析［
２５）～式（２７）得：同理，将ｔ２＝６２４０３８°代入式（
ａｂｄ＝０３３５６＝０９４２３＝１２０３８ｃｃｃ
ｂ＝０９１４１，ｃ＝０７４２０，ｄ＝１和即ａ＝０２４５１，ａ＝０２７８８，ｂ＝０７８２８，ｃ＝０８３０７，ｄ＝１两组解。
例２摇设已知最小传动角γｍｉｎ＝４５°，行程速比系数ｋ＝１，从动摇杆的摆角ψ＝８０°，机架的杆长ｄ＝１，试设计正置曲柄摇杆机构。
９）、１４）和式（１５）中，将已知条件代入式（式（得：
ａｂｄ
＝０６４２８＝１６７１１＝１８３８３ｃｃｃ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｉｍｉｎｇａｔｔｈｅｄｅｓｉｇｎｐｒｏｂｌｅｍｓｉｎｄｅｓｉｇｎｉｎｇｃｒａｎｋｒｏｃｋｅｒｍｅｃｈａｎｉｓｍｂｙｕｓｉｎｇａｎａｌｙｔｉｃｍｅｔｈｏｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ａｂａｓｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｔｈａｔｃａｎｓａｔｉｓｆｙｂｏｔｈｔｈｅｅｘｔｒｅｍｅｐｏｓｉｔｉｏｎａｎｇｌｅθａｎｄｔｈｅｃｒａｎｋｓｗｉｎｇａｎｇｌｅψｏｆｔｈｅｃｒａｎｋｒｏｃｋｅｒｍｅｃｈａｎｉｓｍｂｙａｐｐｌｙｉｎｇｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｎｄｍｅｃｈａｎｉｓｍｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｋｎｏｗｌｅｄｇｅ．Ｔｈｅｅｘｐｌｉｃｉｔｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｆｏｒｍｅｃｈａｎｉｓｍｓｉｚｅｗａｓａｃｈｉｅｖｅｄｂｙｕｓｉｎｇｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎａｎｇｌｅγａｓｔｈｅｐａｒａｍｅｔｅｒ．Ｔｈｅｐａｒａｍｅｔｅｒｄｅｓｉｇｎｍｅｔｈｏｄｏｆｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｓｍｈａｓｂｅｅｎｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｂｙｕｓｉｎｇγｍｉｎ＝［ａｓａｎｅｘγ］ａｍｐｌｅ．
Ｋｅｙ
ｗｏｒｄｓ：ｃｒａｎｋｒｏｃｋｅｒ
ｍｅｃｈａｎｉｓｍ；ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ
“ＪｉｘｉｅＳｈｅｊｉ”９３０８
Ｆｉｇ３Ｔａｂ０４
ｂ＝９０９０，ｃ＝５４４０，ｄ＝１。即ａ＝０３４９７，
参考文献
［１１１０－１１２．