等腰三角形和最短路径
知识点：两腰相等，两底角相等，三线合一，直角三角形30°角
例题1：如图，AB ∥CD ，∠A ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，CD ＝1，E 是AD 边中点。求证：CE ⊥BE 。
例题2如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC。
例题3：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 上一点，且AE 、BE 分别平分∠BAD 、∠ABC . （1）求证：AE ⊥BE ； （2）求证：E 是CD 的中点； （3）求证：AD +BC =AB .
例题4：已知：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，
在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小.
1
例题5：如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。
A · · B
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例题6：等腰三角形ABC 的顶角为120°，腰长为10，底长103，则腰和底的高分别是 。 例题7：已知，如图，△ABC 是等边三角形，AD//BC，AD ⊥BD ，AD ＝3，S △ABD =
①求BC 的长②求点C 到AB 的距离。
9
3， 2 D A
C
同步练习
1、△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90,AB=AC. ⑴若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：（1）DM ＝DN 。
M
°
B D
⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。 M
N B
C
N
2、已知：如图，AB=AC，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF，EF 交BC 于点D ．求证：DE=DF．
B
3、等腰三角形底边长为5cm ，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm 的两部分，则腰长为（ ） A 、2cm B、8cm C、2cm 或8cm D、不能确定
4、已知AD 为△ABC 的高，AB=AC，△ABC 周长为20cm ，△ADC 的周长为14cm ，求AD 的长。
5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45，则这个三角形是（ ）
2
C
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A 、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形
6、正三角形ABC 所在平面内有一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCA 都是等腰三角形，则这样的P 点有（ ） （A ）1个（B ）4个（C ）7个（D ）10个
7、 四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =（ ） A ．2
8、已知：如，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°．
求证：BD=
9、等腰三角形的底角为15°，腰长为20，求腰上的高．
B ．3
C
．
D
．1
AB ． 4
C
A
D C
10、△ABC 中，点D 为AC 的中点，∠DBC=90°， ∠ABC=120°. 证明：AB=2BC
11、∆ABC 中，AB =AC ，∠A =120，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，求证：DE =1BC 。
2
12、如图，△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB, ∠ABD=30°求证：
AD=DC
3
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13、某班举行文艺晚会，桌子摆成如图a 所示两直排(图中的AO ，BO ) ，AO 桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满了糖果，站在C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
14、如图，在△ABC 中，AB=AC，P 为底边BC 上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，•CF⊥AB 于F ，那么PD+PE与CF 相等吗？
4
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等腰三角形和最短路径
知识点：两腰相等，两底角相等，三线合一，直角三角形30°角
例题1：如图，AB ∥CD ，∠A ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，CD ＝1，E 是AD 边中点。求证：CE ⊥BE 。
例题2如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC。
例题3：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 上一点，且AE 、BE 分别平分∠BAD 、∠ABC . （1）求证：AE ⊥BE ； （2）求证：E 是CD 的中点； （3）求证：AD +BC =AB .
例题4：已知：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，
在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小.
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例题5：如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。
A · · B
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例题6：等腰三角形ABC 的顶角为120°，腰长为10，底长103，则腰和底的高分别是 。 例题7：已知，如图，△ABC 是等边三角形，AD//BC，AD ⊥BD ，AD ＝3，S △ABD =
①求BC 的长②求点C 到AB 的距离。
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3， 2 D A
C
同步练习
1、△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90,AB=AC. ⑴若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：（1）DM ＝DN 。
M
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B D
⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。 M
N B
C
N
2、已知：如图，AB=AC，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF，EF 交BC 于点D ．求证：DE=DF．
B
3、等腰三角形底边长为5cm ，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm 的两部分，则腰长为（ ） A 、2cm B、8cm C、2cm 或8cm D、不能确定
4、已知AD 为△ABC 的高，AB=AC，△ABC 周长为20cm ，△ADC 的周长为14cm ，求AD 的长。
5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45，则这个三角形是（ ）
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C
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A 、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形
6、正三角形ABC 所在平面内有一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCA 都是等腰三角形，则这样的P 点有（ ） （A ）1个（B ）4个（C ）7个（D ）10个
7、 四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =（ ） A ．2
8、已知：如，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°．
求证：BD=
9、等腰三角形的底角为15°，腰长为20，求腰上的高．
B ．3
C
．
D
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AB ． 4
C
A
D C
10、△ABC 中，点D 为AC 的中点，∠DBC=90°， ∠ABC=120°. 证明：AB=2BC
11、∆ABC 中，AB =AC ，∠A =120，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，求证：DE =1BC 。
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12、如图，△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB, ∠ABD=30°求证：
AD=DC
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13、某班举行文艺晚会，桌子摆成如图a 所示两直排(图中的AO ，BO ) ，AO 桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满了糖果，站在C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
14、如图，在△ABC 中，AB=AC，P 为底边BC 上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，•CF⊥AB 于F ，那么PD+PE与CF 相等吗？
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