信号处理原理作业(2004下) 部分习题解答
第1章
1．判断题 1）⎰
∞-∞
Sa (t ) dt =π/2 错误
∞
2）e(t)与h(t)的卷积是⎰e (τ) h (t -τ) d τ. 正确
-∞
4）反因果信号只在时间零点之后有值。 错误 5）实信号的自相关函数是偶函数 正确
6）使用确定的时间函数可以描述所有的信号。 错误 7）Sa 函数是奇函数。 错误 8）图象和语音都是信号。 正确
9）函数是信号的数学描述，频谱也是信号的描述方式。 正确
二、填空
1）⎰f (t ) δ(t -t 0) dt = f (t 0)
0∞
2）任一个函数f(t)与信号δ(t -t 0) 的卷积等于。 f (t -t 0)
3）阶跃函数u(t)与符号函数的关系是。 sgn(t)=2u(t)-1
4）对于信号，任意给定一个自变量的值，我们可以唯一确定信号的取值。
确定性信号
5）元音表现出 准周期信号 6) Sa(0)= . 1
78）正弦信号的频率与角频率的关系是：角频率是频率的倍。 2π 9）如果信号是余弦信号，并且可以用f (t ) =P cos(2πωt +l ) 来表示，那么信号的角频
率为- -。 2πω
10）信号处理就是对信号进行、、、- 等等。 提取, 变换, 分析, 综合
11）指数信号的一个重要性质是它的积分、微分仍然是 指数形式
12）单位斜变信号的微分是 -。 单位阶跃信号 13）单位冲击信号在自变量由负无穷到正无穷上的积分为-。
14) 信号可以有以下分类方法：与随机信号，周期信号与周期信号 ，连续信号与 离散信号 ，模拟信号与 数字信号 。 15）信号可以代表一个实际的物理信号，也可以是一个数学上的函数或者序列，比如f(t)=sint是一个正弦信号 ，同时也是一个正弦函数。
三、选择题
（1）下列有关信号的说法错误的是：[c]
a 信号是消息的表现形式 b 声音和图象都是信号
c 信号都可以用一个确定的时间函数来描述 d 信号可以分解为周期信号和非周期信号 （2）哪种信号分解不是唯一的：[a] a 脉冲分量
b 直流分量与交流分量 c 偶分量和奇分量 3）⎰Sa (t ) dt 等于：d
0∞
a 1 b ∞ c π d π/2
4）为使用计算机来处理信号，需涉及下列步骤：b a 编码，传输，解码
b 模数转换，数字信号处理，数模转换 c 平移，反褶，相乘 d 采样，量化，计算
5) 图解法求卷积所涉及的操作有：b a ． 采样、量化、相乘
b ． 反褶、平移、相乘（积分） c ． 编码，传输、解码 d ． 相乘、取对数、相加 6) 卷积不具有的特性是 d a 交换律 b 结合律 c 分配律 d 互补性 四、综合题
1．证明[f 1(t ) *f 2(t )]*f 3(t ) =f 1(t ) *[f 2(t ) *f 3(t )] 证明：
[f 1(t ) *f 2(t )]*f 3(t ) ==
⎰
∞
-∞
[⎰
∞
-∞
f 1(λ) f 2(τ-λ) d λ]f 3(t -τ) d τ
⎰⎰
∞
-∞
f 1(λ)[⎰
∞
-∞
f 2(τ-λ) ]f 3(t -τ) d τ]d λ
=
∞-∞
f 1(λ)[⎰
∞
-∞
f 2(τ) ]f 3(t -τ-λ) dk ]d λ
=f 1(t ) *[f 2(t ) *f 3(t )]
2. 画出信号x(t)=sin(3t-π/3)的图像 解答略
3. 画出f(t)=u (cost)在（-3π, 3π）之间的波形
4. 绘出f(t)=sgn (cost)在区间（-3π, 3π）之间的波形
4、粗略绘出f(t)=Sgn [ Sa(t) ]的图像 解答略
2t 0≤t
解答略
第2章
一、判断题
1）有些信号没有有傅立叶变换存在 正确
2）实信号的傅立叶变换的相位频谱是偶函数。 错误 3）信号在频域中压缩等于在时域中压缩 。 错误 4）直流信号的傅立叶频谱是阶跃函数。 错误
5）按照抽样定理，抽样信号的频率比抽样频率的一半要大。 错误 6）信号时移只会对幅度谱有影响。 错误
二、选择题
1) 下列说法正确的是：[d]
a 直流信号的傅立叶频谱是阶跃函数 b δ(t ) 在t=0时，取值为零
c 复指数频谱中负频率出现是数学运算的结果，有相应的物理意义。 D
(δ(t ) )=1
1≤t
以及
df (t ) dt
的波形。
4
2) 对于傅立叶变换来说，下列哪个说法是错误的：[c]
a 信号在时域上是非周期连续的，则其频谱也是非周期连续的 b 信号在时域上周期离散，则其频谱也是周期离散的
c 信号的频谱不是周期连续的, 那么信号在时域也不周期连续 d 信号在 时域非周期离散，则其频谱是周期连续的 3) 下列说法不正确的是：b c d
a 单位冲激函数的频谱等于常数 b 直流信号的频谱是阶跃函数 c 信号时移会使其幅度谱发生变化
d 可以同时压缩信号的等效脉宽和等效带宽 4) 下列说法正确的是：b
a 非因果信号在时间零点之前不可能有值
b ．通过与三角函数相乘可以使信号的频谱发生搬移 c ．频谱是阶跃函数的信号一定是直流信号
e ． 信号的等效脉宽和等效带宽可以被同时压缩
三、填空题
1．冲击信号的傅立叶频谱为常数，这样的频谱成为均匀谱或者-----------------。（白色谱） 2．时间函数f(t)与它的FT 频谱称为-----------------，记作------------------。（傅立叶变换对，记作：f (t)
3．两个函数的傅立叶变换与逆傅立叶变换都是相等的，这两个函数----------是相等的。 (一定)
4．信号的傅立叶变换存在的充分条件是信号f(t)-----------，用数学表示就是--------------。 （绝对可积）
5）符号函数不满足绝对可积条件但是却存在--------------------。 FT 6) 用数学表达式描述信号f (t)的FT 的线性性和叠加性，线性性的描述为
[k f (t)]=------------------.。叠加性的描述为 [f (t)+g (t)]=--------------------.。 ( k[f (t)]， [f(t)]+ [g (t)] )
7) 若信号在时域被压缩，则其频谱会--------------------。 （扩展）
8）单位冲击信号的特性有对称性，时域压扩性，其时域压扩性的数学表达式是 ------------------------。
9．关于FT 的反褶与共轭的描述是：信号反褶的FT 等于-------------------的反褶，信号共扼的FT 等于--------------------的共轭。（信号的FT ， 信号FT 的反褶）
10) 傅立叶变换以及傅立叶逆变换的定义中分别引入了核函数，这两个核函数是---------------------------的。（共轭对称） 11) 傅立叶正变换的变换核函数为----------------------------（e
-j ωt
）
12) 傅立叶变换与傅立叶逆变换的本质是一致的，但是在数学形式上有着某中关系，这种关系称为------------，数学表示为-------------------。（对偶性，F [F (t )]=2πf (-ω) ）
13)FT 的尺度变换特性又称为-------------------，压扩特性
对它的数学描述是------------------------------------------------------。
14) 信号的时域平移不影响信号的FT 的-----------------，但是会影响到-----------------------。 （幅度谱 相位谱）
15) 所谓频谱搬移特性是指时间域信号乘一个复指数信号后的频谱相当于原来的频谱搬移到
复指数信号的 处。（频率位置）
16) 如果一个信号是偶函数那么它的反褶它本身，如果一个信号是奇函数那么至少经过 次反褶后才能还原为原始信号。（是 2）
17) 要保证信号抽样后的离散时间信号没有失真的恢复原始时间连续信号，或者说要保证信号的抽样不导致任何信号丢失，必须满足两个条件： 1．信号必须是的。 频带受限
2．采样频率至少是信号 ----------------------------------的2倍。 最高频率 18) 偶周期信号的傅立叶级数中只有直流项和-------------（余弦项） 19) 奇周期信号的傅立叶级数中只有。
20) 若信号f(t)的傅立叶变换为F (ω) =1，则F （t ）的傅立叶变换为---------------。2πδ(ω)
四、证明题
1、若 [f(t)]= F (ω) , 则F [f (t -t 0)]=F (ω) e 证明： 因为
令
x=t -t 0 则
[f (t -t 0)]=F[f (x)]=⎰
∞-∞
-j ωt 0
[f(t -t 0)]=⎰f (t -t 0) e -j ωt dt
-∞
∞
f (x ) e -j ω(x +t 0) dx
=e -j ωt
⎰
∞
-∞
f (x ) e -j ωx dx=F (ω) e -j ωt 0
2．证明单位冲击信号的频谱是均匀谱 解答略
3．已知[f (t)]=2 /j ω,,f ( t )是奇函数，请证明（1/ t）=-j πf (ω) . 。（提示，根据傅立叶变换与逆傅立叶变换之间的对偶性）
证明： 根据FT 的线性性，[f (t)]=2 /j ω，则 [ (j /2 )f ( t )]=1 /ω 根据FT 对偶性，可得
（1/t）= 2π[(j /2) f (-ω) ]=j πf (-ω) =-j πf (ω) 3．证明：复信号的虚实分量满足： （1）
[f τ(t )]=
12
[F (ω) +F (ω)]
*
（2）
[f i τ(t )]=
12j
[F (ω) -F (ω)]
*
证明： （ 1）
[f
τ(t )]=
1
21
[
f (t ) +f (t )
2
*
]
= =
[[f (t ) ]+
*
[f *(t ) ]]
2
[F (ω) +F (ω)]
*
2）
[f
i (t )]=
[f (t ) -f (t )]
2j
=
12j
12j
[[f (t
)]-
[f *(t )]]
=
[F (ω) -F (-ω)]
*
五、计算题
1．根据以下频谱搬移特性求取信号g (t)=cos2t的FT,
[f (t) cos(bt ) ]=[F (ω-b ) +F (ω+b )]
21
解：令f(t)=1，那么[F (ω) =2πδ(ω)
根据频谱搬移特性，[f (t) cos(2t ) ]=[F (ω-2) +F (ω+2)] =
21
⨯[2πδ(ω-2) +2πδ(ω+2) ]
1
2
=πδ(ω-2) +πδ(ω+2) 2．已知
[f (t )]=F (ω) , 且有F 1(ω) =[F (ω-ω0) +F (ω+ω0)]，试求
-1
[F 1(ω) ]
解：根据FT 变换的`线性性、频域卷积定理，卷积的分配律，δ函数频移特性, cos ω0t 的FT （由直流信号的FT ，FT 的搬移特性和线性性、欧拉公式等求出）
F (ω-ω0) =F (ω) *δ(ω-ω0) F (ω+ω0) =F (ω) *δ(ω+ω0)
F 1(ω) =F (ω) *δ(ω-ω0) +F
(ω) *δ(ω+ω0)
-1
[F 1(ω
)]=
-1
[F (ω) *δ(ω-ω0) +F (ω) *δ(ω+ω0) ]
=2
π
-1
[F
(ω)]1
-1
[δ(ω-ω0) +δ(ω+ω0]
=2πf (t )(
π
cos ω0t )
=2f (t ) cos ω0t )
3．试求信号f (t ) =e -at u (t ) 傅立叶变换的频谱函数F (ω) 解：F (ω) ==
=
⎰
+∞
-∞
e -at u (t ) e -j ωt dt
⎰⎰
+∞
0+∞
e -at e -j ωt dt
e -(a +j ω) t dt
=
1a +j ω
4) 设矩形脉冲信号G （t ）的脉幅为E ，脉宽为τ，求信号f (t ) =G (t ) cos(ω0t ) 的傅立叶变换
解：根据定义可求出
[G (t) ]= [EG τ(t )]=E τSa (
1
ωτ
2
) （详见教材52页）
根据频谱搬移特性[f (t) cos(bt ) ]=[F (ω-b ) +F (ω+b )]，
212
(ω-ω0) τ
2
(ω+ω0) τ
2
[G (t) cos(ω0t ) ]=
六、
1． 画出Sa(t)及其FT 的波形 解答略
{[E τSa []+E τSa []}
2． 画出矩形信号G τ(t)及其FT 的波形 解答略
3已知连续信号x(t)=sint+sin3t,采样频率ωs =3rad/s，试画出连续信号各分量以及采样信号的波形。
解：1）连续信号x(t)=sint+sin3t一共有两个分量，sint 和sin3t （波形略），
2π
2）采样信号的波形，ωs =3rad/s ，那么采样周期T s =，我们以这个采样周期对连
3
续信号x(t)=sint+sin3t的两个分量分别采样，可知sin3t 的采样值sin0，sin （3.
4π3
2π3
），sin(3。（波形
) 。。。。。。。。都为0，因此只需要画出 sint 的采样波形即可，采样周期为T s =
2π3
略）
3）分析：原来的sin3t 信号在采样序列中消失了，原因是：对信号sin3t 用ωs =3rad/s的采样频率是不满足采样定理的，所以造成连续信号sin3t 在采样信号中消失。
4、已知信号f(t)的频谱如下图所示，如果以2秒的时间间隔对f (t)进行理想抽样，试根据
F (ω) 绘出抽样信号的频谱。
图 信号f(t)的频谱
提示：（抽样信号的频谱：F s (ω) =
1T s
∑F (ω-n ωs ) ）
n =-∞
∞
解：时域信号是抽样信号那么其FT 将会是周期的波形（时域离散对应频域周期）
单个周期的波形形状还与题中所给连续信号f(t)的频谱图形形状一致
其频谱的周期与振幅都可由提示得出：频谱周期为ωs =
2πT s 12
=π，
振幅为 （波形略）
七、问答题 1．（8）不正确，缺少绝对值符号
1T s
=
2．奇周期信号（周期为T 1）的傅立叶级数中是否含有余弦项？为什么。
解：不会含有余弦项，因为：
根据傅立叶级数的定义，余弦分量的系数为： a n =
2T 1
⎰
t 0+T 1
t 0
f (t ) cos(n ω1t ) dt
由于f (t ) 是奇函数，所以f (t ) cos(n ω1t ) 还是奇函数，于是a n =0。 即，周期奇函数的傅立叶级数中不含余弦项。
3．设f(t)为一连续 的时间信号，试说明下列各种信号运算有什么不同？ （1）g (t ) =f (t ).[u (t ) -u (t -T )] （2）g (t ) *δ(t -T )
+∞
（3）
∑
n =-∞+∞
g (t ) *δ(t -nT )
（4）
∑
n =-∞
f (t ) *δ(t -nT )
（5）⎰f (t ) δ(t -nT ) dt
-∞+∞
∞
（6）
n =-∞
∑⎰
∞
-∞
f (t ) δ(t -nT ) dt
解：(1) 截取f (t ) 在0 ~ T之间的波形，得到一个片段（表示为新信号g (t ) 。 （2）将信号g (t ) 搬移到nT 处，即得g (t -nT ) 。 （3）将信号g (t ) 以T 为周期进行重复（或者延拓）
（4）对信号f (t ) 以T 为周期进行理想采样，得到一系列冲击值。 （5）筛选出信号f (t ) 在nT 处的值f (nT )
+∞
（6）把信号f (t ) 在所有时间值为T 的整数倍处的取值加起来，即
第3章
∑
n =-∞
f (nT )
一、判断题：
1．拉普拉斯变换满足线性性。 正确
2．拉普拉斯变换是连续时间系统进行分析的一种方法。 正确 3．冲击信号的拉氏变换结果是一个常数。 正确 4．单位阶跃响应的拉氏变换称为传递函数。 错误
5．系统的极点分布对系统的稳定性是有比较大的影响的。 正确 二、填空题
1．如果一个系统的幅频响应是常数，那么这个系统就称为。 全通系统
2．单位冲击信号的拉氏变换结果是( 1 ) 3．单位阶跃信号的拉氏变换结果是(1 / s)
4．系统的频率响应和系统的传递函数之间的关系是把传递函数中的s 因子用j ω代替后的
数学表达式。
5．传递函数零点全在左半平面的系统称为。 最小相位系统。 6．从数学定义式上可以看出，当双边拉氏变换的因子s=jω时，双边拉氏变换的就变成了傅立叶变换的定义式，所以双边拉氏变换又称为 。广义傅立叶变换 7、单边拉普拉斯变换(LT)的定义式是:F (s ) =8、双边拉普拉斯变换(LT)的定义式是:F (s ) =
⎰⎰
∞0∞-∞
f (t ) e
-st
dt . dt .
f (t ) e
-st
9、反拉普拉斯变换(LT)的定义式是:
⎧1⎪f (t ) =⎨2πj
⎪0, ⎩
⎰σ-j ∞F (s ) e
σ+j ∞
st
ds , t ≥0t
。
三、计算题
1. 试求函数f (t ) =sin(at +b ) 的拉氏变换及其ROC 解：f (t ) =sin(at +b ) =sin (at)。Cos b+cos at 。sinb 所以L [f (t )]=
(sinb ). s s +a
-t 2
2
+
(cosb ). a s +a
2
2
2. 试求函数f (t ) =e u (t -3) 的拉氏变换及其ROC
+∞
+∞
-t
-st
解：L [f (t ) =L [e u (t -3)]=
-t
⎰e u (t -3) e
3
dt =
⎰e e
3
-t -st
dt =
1s +1
。e
-3(s +1)
（R e(s)>0） 3. 求出以下传递函数的原函数 1）F （s ）=1/s 解：f (t ) =u (t ) 2）F(s)=
1s +1
-t
解：f (t)=e u (t ) 1
3）F(s)=
s (s -1)
1
2
解：F(s)=
s (s -1)
-t
2
=
1s (s -1)(s +1)
t
=+
0. 5s -1
+
0. 5
s +1s
-
1
f (t)= 0. 5e u (t ) +0. 5e u (t ) -u (t )
4．根据定义求取单位冲击函数和单位阶跃函数的拉氏变换。
+∞
L [δ(t )]=
⎰δ(t ) e
-∞+∞
-st
dt =1
+∞
L [u (t)]=
⎰u (t ) e
-∞
-st
dt =
⎰e
-st
dt =
1s
5、试求函数f (t ) =2δ(t ) -3u (t ) 的拉氏变换及其ROC 答案：L [f (t )]=2-
3s
(Re(s) > 0)
2s (1-e
-s
6、已知信号f(t)的单边LT 为F （s ）=L [f (t )]=么信号。
) ，试求信号f(t)，并说明f(t)是什
答案：f (t ) =2u (t ) -2u (t -1) ，是矩形信号。 7、已知信号f (t ) 是因果信号其拉氏变换为F （s ）=答案：f (0) =lim f (t ) =lim s ⋅F (s ) =lim
t →0
s →∞
1s
2
，试求f (0) =？
s s
2
s →∞
=0
8、已知信号f (t ) 是因果信号其拉氏变换为F （s ）=
答案：由终值定理
f (∞) =lim sF (s ) =lim s
s →0
s →0
(s +2)(s +10) s (s +10s +1000)
2
，试求f (∞) =？
(s +2)(s +10) s (s +10s +1000)
2
=0. 02
9、求f (t ) =t u (t ) 的拉氏变换 答案：L [f (t )]=
第4章练习
一、判断题
（1）如果x(n)是偶对称序列，则X(z)=X(z -1) 。 正确 （2）时不变系统的响应与激励施加的时刻有关。 错误 （3）nx(n)的Z 变换结果是-zX(z)。 错误 （4）单位阶跃序列的Z 变换结果是常数 错误 （5）序列ZT 的ROC 是以极点为边界的 正确 二、填空题
1．对于理想的低通滤波器，所有高于截止频率的频率分量都将而低于截止频率的频率分量都将 能够 的通过系统。 2．称X(n)与X （z ）是一对
6s
4
3
(Re(s) > 0)
3．一个序列是因果序列的充分必要条件是：，一个序列是反因果序列的充分必要条件是 x (n)=x(n).u(-n-1) 。
4．离散时间系统是指输入、输出都是的系统。
5．在没有激励的情况下，系统的响应称为 6．离散系统的传递函数定义式是：--------------------。H （z ）=Y(z) / X(z) 7. 。系统的零状态响应等于激励与---------------------之间的卷积。（其单位冲激响应） 8．只要输入有界，则输出一定有界的系统称为------------------。 （稳定系统） 9．输出的变化不领先于输入的变化的系统称为-------------------。 因果系统
10．一个信号序列经过一个离散系统后，其频率成分要发生变化，变化的量取决与系统的频率响应，幅频响应值 小 的频率成分被抑制，幅频响应值 大 的频率成分通过。
11．数字滤波器从功能上分，有 ，
12．如果离散系统的传递函数的所有 那么这样的系统就叫最小相位系统。
13．序列的ZT 在其收敛域，即ROC 内是解析的，因此ROC 内包含任何极点，而且ROC 是连通的 。
14．双边序列ZT 的ROC 是以模的大小相邻的两个极点的为半径的两个圆所形成的环形区域。
15．左边序列的ROC 是以其模最 16．从定义式可以看出序列的DTFT 是其在单位圆上的 抽样 ，这个结论成立的条件是：ZT 的ROC 包含 单位圆 。 17．Z [(-1) u (n )]=--------------------------。
n
z z +1
（|z|>1）
z z -1
18．单位阶跃序列的Z 变换为----------------------------。 （|z|>1）
19、序列x (n ) 为右边序列, 其Z 变换为X (z ) 向右平移5个单位后再求取单边Z 变换，结果
-5
是Z [x (n -5)]=z X (z ) 。
20、已知Z[x (n ) u (n ) ]=X (z ) ，序列向左平移5个单位后再求取单边Z 变换，结果是
4
5
Z [x (n +5) u (n )]=z [X (z ) -
∑
n =0
x (n ) z
-n
。
21、Z [2u (n ) +δ(n )]=
3z -1z -1
。
22、已知X （z ）=三. 选择
z 2(z -1)
2
，且序列x(n)为因果序列，那么x(n)=
12
nu (n ) 。
1、Z [2u (n )]= C
n
A 、
z z +2
B、
1z +1
C、
z z -2
D、
1z -1
2、（多选）已知双边序列 x(n)的ZT 有三个非0的极点和两个零点，其ROC 可能是 ： C D A 、 1
A 、u (n +1) B、y (n ) =x (n ) ⋅u (n ) C、x (k ) =k D、x (n ) =n ⋅u (n )
10z (z -1)(z -2)
4、已知 X (z ) =，其反变换 x (n)的第2项。
A 、0 B、 70 C 、10 D、 1
5．关于右边序列的ZT 的收敛域与其ZT 的极点的关系，以下描述正确的是 A C 。 A 、不包含极点 B、可能包含极点
C 、是某个圆外的区域 D、是某个圆内的区域 6、 脉离散系统的传递函数定义为 C 。 A 输出序列与输入序列之比；
B 系统输出的z 变换Y (z ) 与输入z 变换X (z ) 之比；
C 在初条件为零时，系统输出序列的z 变换Y (z ) 与因果序列输入的z 变换X (z ) 之比； D 在初条件为零时，系统输入序列的z 变换与输出序列的z 变换之比。
7、设序列x(n)的双边Z 变换为Z[x(n)]=X(z),则序列左移m 个单位后的双边Z 变换是 D 。
A 、z X (z ) 与某个表达式的和 B、z X (z ) C 、z
-m m
m
X (z ) 与某个表达式的和 D、z
-m
X (z )
8、关于单位冲击序列的说法正确的是 B C A 、 单位冲激序列是单位冲激函数的离散抽样 B 、 其ZT 的ROC ：0≤C 、表达式：δ(n ) =⎨
⎧1, ⎩0,
z ≤∞
(n =0) (n ≠0)
D 、是u(n)的微分
9、以下属于ZT 性质的是： A B D
A 、 线性性 B、 时域平移性 C 、 稳定性 D、 序列指数加权性 10、关于ZT 时域扩展性，正确的是 A B D 。
⎧⎛n ⎫x ⎪, ∆⎪⎪⎝a ⎭
A 、定义式：x (a ) (n ) =⎨
⎪0, ⎪⎩
n a ∈Z
(0≠a ∈Z ) ∉Z
，a 是扩展因子。
n a
B 、a >1 时，相当于在原序列每两点之间插入(a -1) 个零。
C 、a
D 、Z [x (a ) (n ) ]=
X z
()
a
11、以下说法正确的是 A C D 。
A 、偶对称序列的ZT 可能含有一对互为倒数的非零的零点。 B 、偶对称序列的ZT 不可能含有一对互为倒数的非零的极点。 C 、奇对称序列的ZT 可能含有一对互为倒数的非零的零点。 D 、奇对称序列的ZT 可能含有一对互为倒数的非零的极点。 12、关于有限长序列的说法正确的是： A B A 、序列x (n ) 在n n 2(其中n 1
C 、 肯定是因果序列
D 、 肯定在n=0点一定为0
13、关于实际的离散信号正确的是 A B C A 实际的离散信号通常都是因果序列。
B 、单边ZT 与双边ZT 是一致的，收敛域也相同。 C 、ROC 是z 平面上的某个圆外面的区域。 D 、ROC 是z 平面上的某个圆内部的区域。
14、属于求逆Z 变换的方法有 B C
A 、二分法 B、幂级数展开法 C 、留数法 D、微分法 15、关于部分分式展开法，正确的是 B C D A 、 把X (z ) 按z -1展开
B 、把X (z ) 展开成常见部分分式之和
C 、分别求各部分的逆变换，把各逆变换相加即可得到x (n ) D 、通常做展开的对象是
三、计算题
X (z ) z
1．（1）求取X （z ）=
z
2
2
z -1. 5z +0. 5
(|z |>1) 的IZT
解：上式可化为： X (z ) =
z
2
(z -1)(z -0. 5) A 1
A 2z -1
得： 可求出：
X (z ) z
=
z -0. 5
+
A 1=-1 A 2=2
于是，可以将X (z ) 展开为：
X (z ) z
=
2z z -1
-
z z -0. 5
由于x (n ) 序列是因果的（|z |>1），所以
n n
x (n ) =2u (n ) -0. 5u (n ) =(2-0. 5) u (n )
2．解答略
3 设一离散系统的差分方程为：y (n ) +ay (n -1) =bx (n ) ，求
（1） （2） （3） 解： （1）
该系统的传递函数H(z)
令a= -0.7，b=0.02，求输入为u(n)时的系统的零状态响应y(n)的Z 变换Y(z) 画出Y(z)的极点分布图。
将差分方程两边取Z 变换，并利用位移特性，得到
-1
Y (z ) +az Y (z ) =bX (z ) 所以，
H (z ) =
Y (z ) X (z )
=
b 1+az
-1
=
bz z +a
（2） 差分方程可化为y (n ) -0. 7y (n -1) =0. 02u (n ) , 于是对方程两边分别取Z
变换，可得
Y (z ) -0. 7z Y (z ) =
-1
0. 02z z -1
即
Y (z ) =
0. 02z
2
(z -0. 7)(z -1)
（3） 由上可知，Y(z)有两个一阶极点：(z 1) =0. 7，z 2=1（图形略）
4．解答略 5．解答略
x[n/3] n/3为整数 6．Z[x 1(n ) ]，其中，x 1(n ) = 0
解：根据双边Z 变换的定义 ，可得：
+∞
n/3为小数
+∞
1
X 1(z ) =
∑x
n =-∞
(n ) z
-n
=
∑x (n /3) z
n =-∞
-n
n/3为整数时，令m= n/3
+∞
+∞
-3m
X 1(z ) =
∑x (m ) z
m =-∞
=
∑x (m )(z
m =-∞
3-m
)
=X (z 3)
7、求x (n ) =(n -1) u (n -1) 的Z 变换
z (z -1)
2
解：因为Z [nu (n )]=
根据时域平移特性，Z [(n -1) u (n -1)]=z -1X (z ) =
8、以周期T 对信号f (t ) =2解：x (k ) =2
∞
1(z -1)
2
（|z|>1）
-t
进行采样，试求采样序列的z 变换。
-kT
依据z 变换定义：
∞
-k
X (z ) =
∑x (k ) z
k =0
=
∑2
k =0
-kT
z
-k
=1+2
-T
z
-1
+2
-2T
z
-2
+ +2
-kT
z
-k
+
等比级数公比q=2-T z -1,
X (z ) =
11-2
-T
z
-1
=
z z -2
-T
(|2-T z -1|
四、证明题
1．若已知X （z ）=Z[x(n)]，则Z[nx(n)]= -z 证明：根据Z 变换的定义，可得
∞
d dz
X (z )
X （z ）= Z [x (n)] =
∑x (n ) z
n =-∞-n
-n
那么
d dz d dz
∞
X (z ) =
∑
n =-∞
x (n )
dz
∞
dz
=
∑x (n ).(-n ) z
n =-∞
-n -1
∞
即
X (z ) =
∑x (n ).(-n ) z
n =-∞
-n -1
上式两边再同时乘-z ，得：
-z
d dz
∞
X (z ) =d dz
∑nx (n ) z
n =-∞
-n
所以-z X (z ) =Z[nx(n)]
（命题得证）
2． 设序列x(n)的双边Z 变换为Z[x(n)]=X(z),则 （1） 左移的双边Z 变换是Z [x (n +m )]=z m X (z ) 解：根据双边Z 变换的定义，可得
∞
Z [x (n+m)] =
∑x (n +m ) z
n =-∞
∞m
-n
=z
∑x (k ) z
k =-∞
-k
=z X (z )
m
（2） 右移的双边Z 变换是Z [x (n -m )]=z 解：根据双边Z 变换的定义，可得
∞
-m
X (z )
Z [x (n - m)] =
∑x (n -m ) z
n =-∞
∞
-n
=z
-m
∑x (k ) z
k =-∞
-k
=z
-m
X (z )
z
3． 若X(z)=Z[x(n)]，则Z [a n x (n )]=X ()
a
解：根据双边Z 变换的定义可得
∞
Z [a x (n )]=
n
∑a
n =0∞
n
x (n ) z
-n
=
∑
n =0
x (n )(
z a
)
-n
所以，Z [a x (n )]= X ()
a
n
z
4．设偶序列x(n)的Z 变换X （z ）是有理式，试证明 X （z ）=X(
1z
)
证明：因为x(n)为偶序列，x(n)=x (-n)，由z 变换的定义有：
X () =
z 1
+∞
∑
n =-∞
x (n )()
z
1
+∞
-n
=
∑
n =-∞
1-n
x (-n )()
z
令k =-n , 得
X () =
z 1
+∞
∑
n =-∞
x (k )()
z
1
+∞
k
=
∑x (k ) z
n =-∞
-k
=X (z )
五、画图题
1．某个序列的ZT 有3个极点-1,-2,-4，请画出其所有可能的ROC 区域（阴影表示）
解：4种可能：
1）序列为左边序列，收敛域：| z|4 3）序列为双边序列，收敛域：1
信号处理原理作业(2004下) 部分习题解答
第1章
1．判断题 1）⎰
∞-∞
Sa (t ) dt =π/2 错误
∞
2）e(t)与h(t)的卷积是⎰e (τ) h (t -τ) d τ. 正确
-∞
4）反因果信号只在时间零点之后有值。 错误 5）实信号的自相关函数是偶函数 正确
6）使用确定的时间函数可以描述所有的信号。 错误 7）Sa 函数是奇函数。 错误 8）图象和语音都是信号。 正确
9）函数是信号的数学描述，频谱也是信号的描述方式。 正确
二、填空
1）⎰f (t ) δ(t -t 0) dt = f (t 0)
0∞
2）任一个函数f(t)与信号δ(t -t 0) 的卷积等于。 f (t -t 0)
3）阶跃函数u(t)与符号函数的关系是。 sgn(t)=2u(t)-1
4）对于信号，任意给定一个自变量的值，我们可以唯一确定信号的取值。
确定性信号
5）元音表现出 准周期信号 6) Sa(0)= . 1
78）正弦信号的频率与角频率的关系是：角频率是频率的倍。 2π 9）如果信号是余弦信号，并且可以用f (t ) =P cos(2πωt +l ) 来表示，那么信号的角频
率为- -。 2πω
10）信号处理就是对信号进行、、、- 等等。 提取, 变换, 分析, 综合
11）指数信号的一个重要性质是它的积分、微分仍然是 指数形式
12）单位斜变信号的微分是 -。 单位阶跃信号 13）单位冲击信号在自变量由负无穷到正无穷上的积分为-。
14) 信号可以有以下分类方法：与随机信号，周期信号与周期信号 ，连续信号与 离散信号 ，模拟信号与 数字信号 。 15）信号可以代表一个实际的物理信号，也可以是一个数学上的函数或者序列，比如f(t)=sint是一个正弦信号 ，同时也是一个正弦函数。
三、选择题
（1）下列有关信号的说法错误的是：[c]
a 信号是消息的表现形式 b 声音和图象都是信号
c 信号都可以用一个确定的时间函数来描述 d 信号可以分解为周期信号和非周期信号 （2）哪种信号分解不是唯一的：[a] a 脉冲分量
b 直流分量与交流分量 c 偶分量和奇分量 3）⎰Sa (t ) dt 等于：d
0∞
a 1 b ∞ c π d π/2
4）为使用计算机来处理信号，需涉及下列步骤：b a 编码，传输，解码
b 模数转换，数字信号处理，数模转换 c 平移，反褶，相乘 d 采样，量化，计算
5) 图解法求卷积所涉及的操作有：b a ． 采样、量化、相乘
b ． 反褶、平移、相乘（积分） c ． 编码，传输、解码 d ． 相乘、取对数、相加 6) 卷积不具有的特性是 d a 交换律 b 结合律 c 分配律 d 互补性 四、综合题
1．证明[f 1(t ) *f 2(t )]*f 3(t ) =f 1(t ) *[f 2(t ) *f 3(t )] 证明：
[f 1(t ) *f 2(t )]*f 3(t ) ==
⎰
∞
-∞
[⎰
∞
-∞
f 1(λ) f 2(τ-λ) d λ]f 3(t -τ) d τ
⎰⎰
∞
-∞
f 1(λ)[⎰
∞
-∞
f 2(τ-λ) ]f 3(t -τ) d τ]d λ
=
∞-∞
f 1(λ)[⎰
∞
-∞
f 2(τ) ]f 3(t -τ-λ) dk ]d λ
=f 1(t ) *[f 2(t ) *f 3(t )]
2. 画出信号x(t)=sin(3t-π/3)的图像 解答略
3. 画出f(t)=u (cost)在（-3π, 3π）之间的波形
4. 绘出f(t)=sgn (cost)在区间（-3π, 3π）之间的波形
4、粗略绘出f(t)=Sgn [ Sa(t) ]的图像 解答略
2t 0≤t
解答略
第2章
一、判断题
1）有些信号没有有傅立叶变换存在 正确
2）实信号的傅立叶变换的相位频谱是偶函数。 错误 3）信号在频域中压缩等于在时域中压缩 。 错误 4）直流信号的傅立叶频谱是阶跃函数。 错误
5）按照抽样定理，抽样信号的频率比抽样频率的一半要大。 错误 6）信号时移只会对幅度谱有影响。 错误
二、选择题
1) 下列说法正确的是：[d]
a 直流信号的傅立叶频谱是阶跃函数 b δ(t ) 在t=0时，取值为零
c 复指数频谱中负频率出现是数学运算的结果，有相应的物理意义。 D
(δ(t ) )=1
1≤t
以及
df (t ) dt
的波形。
4
2) 对于傅立叶变换来说，下列哪个说法是错误的：[c]
a 信号在时域上是非周期连续的，则其频谱也是非周期连续的 b 信号在时域上周期离散，则其频谱也是周期离散的
c 信号的频谱不是周期连续的, 那么信号在时域也不周期连续 d 信号在 时域非周期离散，则其频谱是周期连续的 3) 下列说法不正确的是：b c d
a 单位冲激函数的频谱等于常数 b 直流信号的频谱是阶跃函数 c 信号时移会使其幅度谱发生变化
d 可以同时压缩信号的等效脉宽和等效带宽 4) 下列说法正确的是：b
a 非因果信号在时间零点之前不可能有值
b ．通过与三角函数相乘可以使信号的频谱发生搬移 c ．频谱是阶跃函数的信号一定是直流信号
e ． 信号的等效脉宽和等效带宽可以被同时压缩
三、填空题
1．冲击信号的傅立叶频谱为常数，这样的频谱成为均匀谱或者-----------------。（白色谱） 2．时间函数f(t)与它的FT 频谱称为-----------------，记作------------------。（傅立叶变换对，记作：f (t)
3．两个函数的傅立叶变换与逆傅立叶变换都是相等的，这两个函数----------是相等的。 (一定)
4．信号的傅立叶变换存在的充分条件是信号f(t)-----------，用数学表示就是--------------。 （绝对可积）
5）符号函数不满足绝对可积条件但是却存在--------------------。 FT 6) 用数学表达式描述信号f (t)的FT 的线性性和叠加性，线性性的描述为
[k f (t)]=------------------.。叠加性的描述为 [f (t)+g (t)]=--------------------.。 ( k[f (t)]， [f(t)]+ [g (t)] )
7) 若信号在时域被压缩，则其频谱会--------------------。 （扩展）
8）单位冲击信号的特性有对称性，时域压扩性，其时域压扩性的数学表达式是 ------------------------。
9．关于FT 的反褶与共轭的描述是：信号反褶的FT 等于-------------------的反褶，信号共扼的FT 等于--------------------的共轭。（信号的FT ， 信号FT 的反褶）
10) 傅立叶变换以及傅立叶逆变换的定义中分别引入了核函数，这两个核函数是---------------------------的。（共轭对称） 11) 傅立叶正变换的变换核函数为----------------------------（e
-j ωt
）
12) 傅立叶变换与傅立叶逆变换的本质是一致的，但是在数学形式上有着某中关系，这种关系称为------------，数学表示为-------------------。（对偶性，F [F (t )]=2πf (-ω) ）
13)FT 的尺度变换特性又称为-------------------，压扩特性
对它的数学描述是------------------------------------------------------。
14) 信号的时域平移不影响信号的FT 的-----------------，但是会影响到-----------------------。 （幅度谱 相位谱）
15) 所谓频谱搬移特性是指时间域信号乘一个复指数信号后的频谱相当于原来的频谱搬移到
复指数信号的 处。（频率位置）
16) 如果一个信号是偶函数那么它的反褶它本身，如果一个信号是奇函数那么至少经过 次反褶后才能还原为原始信号。（是 2）
17) 要保证信号抽样后的离散时间信号没有失真的恢复原始时间连续信号，或者说要保证信号的抽样不导致任何信号丢失，必须满足两个条件： 1．信号必须是的。 频带受限
2．采样频率至少是信号 ----------------------------------的2倍。 最高频率 18) 偶周期信号的傅立叶级数中只有直流项和-------------（余弦项） 19) 奇周期信号的傅立叶级数中只有。
20) 若信号f(t)的傅立叶变换为F (ω) =1，则F （t ）的傅立叶变换为---------------。2πδ(ω)
四、证明题
1、若 [f(t)]= F (ω) , 则F [f (t -t 0)]=F (ω) e 证明： 因为
令
x=t -t 0 则
[f (t -t 0)]=F[f (x)]=⎰
∞-∞
-j ωt 0
[f(t -t 0)]=⎰f (t -t 0) e -j ωt dt
-∞
∞
f (x ) e -j ω(x +t 0) dx
=e -j ωt
⎰
∞
-∞
f (x ) e -j ωx dx=F (ω) e -j ωt 0
2．证明单位冲击信号的频谱是均匀谱 解答略
3．已知[f (t)]=2 /j ω,,f ( t )是奇函数，请证明（1/ t）=-j πf (ω) . 。（提示，根据傅立叶变换与逆傅立叶变换之间的对偶性）
证明： 根据FT 的线性性，[f (t)]=2 /j ω，则 [ (j /2 )f ( t )]=1 /ω 根据FT 对偶性，可得
（1/t）= 2π[(j /2) f (-ω) ]=j πf (-ω) =-j πf (ω) 3．证明：复信号的虚实分量满足： （1）
[f τ(t )]=
12
[F (ω) +F (ω)]
*
（2）
[f i τ(t )]=
12j
[F (ω) -F (ω)]
*
证明： （ 1）
[f
τ(t )]=
1
21
[
f (t ) +f (t )
2
*
]
= =
[[f (t ) ]+
*
[f *(t ) ]]
2
[F (ω) +F (ω)]
*
2）
[f
i (t )]=
[f (t ) -f (t )]
2j
=
12j
12j
[[f (t
)]-
[f *(t )]]
=
[F (ω) -F (-ω)]
*
五、计算题
1．根据以下频谱搬移特性求取信号g (t)=cos2t的FT,
[f (t) cos(bt ) ]=[F (ω-b ) +F (ω+b )]
21
解：令f(t)=1，那么[F (ω) =2πδ(ω)
根据频谱搬移特性，[f (t) cos(2t ) ]=[F (ω-2) +F (ω+2)] =
21
⨯[2πδ(ω-2) +2πδ(ω+2) ]
1
2
=πδ(ω-2) +πδ(ω+2) 2．已知
[f (t )]=F (ω) , 且有F 1(ω) =[F (ω-ω0) +F (ω+ω0)]，试求
-1
[F 1(ω) ]
解：根据FT 变换的`线性性、频域卷积定理，卷积的分配律，δ函数频移特性, cos ω0t 的FT （由直流信号的FT ，FT 的搬移特性和线性性、欧拉公式等求出）
F (ω-ω0) =F (ω) *δ(ω-ω0) F (ω+ω0) =F (ω) *δ(ω+ω0)
F 1(ω) =F (ω) *δ(ω-ω0) +F
(ω) *δ(ω+ω0)
-1
[F 1(ω
)]=
-1
[F (ω) *δ(ω-ω0) +F (ω) *δ(ω+ω0) ]
=2
π
-1
[F
(ω)]1
-1
[δ(ω-ω0) +δ(ω+ω0]
=2πf (t )(
π
cos ω0t )
=2f (t ) cos ω0t )
3．试求信号f (t ) =e -at u (t ) 傅立叶变换的频谱函数F (ω) 解：F (ω) ==
=
⎰
+∞
-∞
e -at u (t ) e -j ωt dt
⎰⎰
+∞
0+∞
e -at e -j ωt dt
e -(a +j ω) t dt
=
1a +j ω
4) 设矩形脉冲信号G （t ）的脉幅为E ，脉宽为τ，求信号f (t ) =G (t ) cos(ω0t ) 的傅立叶变换
解：根据定义可求出
[G (t) ]= [EG τ(t )]=E τSa (
1
ωτ
2
) （详见教材52页）
根据频谱搬移特性[f (t) cos(bt ) ]=[F (ω-b ) +F (ω+b )]，
212
(ω-ω0) τ
2
(ω+ω0) τ
2
[G (t) cos(ω0t ) ]=
六、
1． 画出Sa(t)及其FT 的波形 解答略
{[E τSa []+E τSa []}
2． 画出矩形信号G τ(t)及其FT 的波形 解答略
3已知连续信号x(t)=sint+sin3t,采样频率ωs =3rad/s，试画出连续信号各分量以及采样信号的波形。
解：1）连续信号x(t)=sint+sin3t一共有两个分量，sint 和sin3t （波形略），
2π
2）采样信号的波形，ωs =3rad/s ，那么采样周期T s =，我们以这个采样周期对连
3
续信号x(t)=sint+sin3t的两个分量分别采样，可知sin3t 的采样值sin0，sin （3.
4π3
2π3
），sin(3。（波形
) 。。。。。。。。都为0，因此只需要画出 sint 的采样波形即可，采样周期为T s =
2π3
略）
3）分析：原来的sin3t 信号在采样序列中消失了，原因是：对信号sin3t 用ωs =3rad/s的采样频率是不满足采样定理的，所以造成连续信号sin3t 在采样信号中消失。
4、已知信号f(t)的频谱如下图所示，如果以2秒的时间间隔对f (t)进行理想抽样，试根据
F (ω) 绘出抽样信号的频谱。
图 信号f(t)的频谱
提示：（抽样信号的频谱：F s (ω) =
1T s
∑F (ω-n ωs ) ）
n =-∞
∞
解：时域信号是抽样信号那么其FT 将会是周期的波形（时域离散对应频域周期）
单个周期的波形形状还与题中所给连续信号f(t)的频谱图形形状一致
其频谱的周期与振幅都可由提示得出：频谱周期为ωs =
2πT s 12
=π，
振幅为 （波形略）
七、问答题 1．（8）不正确，缺少绝对值符号
1T s
=
2．奇周期信号（周期为T 1）的傅立叶级数中是否含有余弦项？为什么。
解：不会含有余弦项，因为：
根据傅立叶级数的定义，余弦分量的系数为： a n =
2T 1
⎰
t 0+T 1
t 0
f (t ) cos(n ω1t ) dt
由于f (t ) 是奇函数，所以f (t ) cos(n ω1t ) 还是奇函数，于是a n =0。 即，周期奇函数的傅立叶级数中不含余弦项。
3．设f(t)为一连续 的时间信号，试说明下列各种信号运算有什么不同？ （1）g (t ) =f (t ).[u (t ) -u (t -T )] （2）g (t ) *δ(t -T )
+∞
（3）
∑
n =-∞+∞
g (t ) *δ(t -nT )
（4）
∑
n =-∞
f (t ) *δ(t -nT )
（5）⎰f (t ) δ(t -nT ) dt
-∞+∞
∞
（6）
n =-∞
∑⎰
∞
-∞
f (t ) δ(t -nT ) dt
解：(1) 截取f (t ) 在0 ~ T之间的波形，得到一个片段（表示为新信号g (t ) 。 （2）将信号g (t ) 搬移到nT 处，即得g (t -nT ) 。 （3）将信号g (t ) 以T 为周期进行重复（或者延拓）
（4）对信号f (t ) 以T 为周期进行理想采样，得到一系列冲击值。 （5）筛选出信号f (t ) 在nT 处的值f (nT )
+∞
（6）把信号f (t ) 在所有时间值为T 的整数倍处的取值加起来，即
第3章
∑
n =-∞
f (nT )
一、判断题：
1．拉普拉斯变换满足线性性。 正确
2．拉普拉斯变换是连续时间系统进行分析的一种方法。 正确 3．冲击信号的拉氏变换结果是一个常数。 正确 4．单位阶跃响应的拉氏变换称为传递函数。 错误
5．系统的极点分布对系统的稳定性是有比较大的影响的。 正确 二、填空题
1．如果一个系统的幅频响应是常数，那么这个系统就称为。 全通系统
2．单位冲击信号的拉氏变换结果是( 1 ) 3．单位阶跃信号的拉氏变换结果是(1 / s)
4．系统的频率响应和系统的传递函数之间的关系是把传递函数中的s 因子用j ω代替后的
数学表达式。
5．传递函数零点全在左半平面的系统称为。 最小相位系统。 6．从数学定义式上可以看出，当双边拉氏变换的因子s=jω时，双边拉氏变换的就变成了傅立叶变换的定义式，所以双边拉氏变换又称为 。广义傅立叶变换 7、单边拉普拉斯变换(LT)的定义式是:F (s ) =8、双边拉普拉斯变换(LT)的定义式是:F (s ) =
⎰⎰
∞0∞-∞
f (t ) e
-st
dt . dt .
f (t ) e
-st
9、反拉普拉斯变换(LT)的定义式是:
⎧1⎪f (t ) =⎨2πj
⎪0, ⎩
⎰σ-j ∞F (s ) e
σ+j ∞
st
ds , t ≥0t
。
三、计算题
1. 试求函数f (t ) =sin(at +b ) 的拉氏变换及其ROC 解：f (t ) =sin(at +b ) =sin (at)。Cos b+cos at 。sinb 所以L [f (t )]=
(sinb ). s s +a
-t 2
2
+
(cosb ). a s +a
2
2
2. 试求函数f (t ) =e u (t -3) 的拉氏变换及其ROC
+∞
+∞
-t
-st
解：L [f (t ) =L [e u (t -3)]=
-t
⎰e u (t -3) e
3
dt =
⎰e e
3
-t -st
dt =
1s +1
。e
-3(s +1)
（R e(s)>0） 3. 求出以下传递函数的原函数 1）F （s ）=1/s 解：f (t ) =u (t ) 2）F(s)=
1s +1
-t
解：f (t)=e u (t ) 1
3）F(s)=
s (s -1)
1
2
解：F(s)=
s (s -1)
-t
2
=
1s (s -1)(s +1)
t
=+
0. 5s -1
+
0. 5
s +1s
-
1
f (t)= 0. 5e u (t ) +0. 5e u (t ) -u (t )
4．根据定义求取单位冲击函数和单位阶跃函数的拉氏变换。
+∞
L [δ(t )]=
⎰δ(t ) e
-∞+∞
-st
dt =1
+∞
L [u (t)]=
⎰u (t ) e
-∞
-st
dt =
⎰e
-st
dt =
1s
5、试求函数f (t ) =2δ(t ) -3u (t ) 的拉氏变换及其ROC 答案：L [f (t )]=2-
3s
(Re(s) > 0)
2s (1-e
-s
6、已知信号f(t)的单边LT 为F （s ）=L [f (t )]=么信号。
) ，试求信号f(t)，并说明f(t)是什
答案：f (t ) =2u (t ) -2u (t -1) ，是矩形信号。 7、已知信号f (t ) 是因果信号其拉氏变换为F （s ）=答案：f (0) =lim f (t ) =lim s ⋅F (s ) =lim
t →0
s →∞
1s
2
，试求f (0) =？
s s
2
s →∞
=0
8、已知信号f (t ) 是因果信号其拉氏变换为F （s ）=
答案：由终值定理
f (∞) =lim sF (s ) =lim s
s →0
s →0
(s +2)(s +10) s (s +10s +1000)
2
，试求f (∞) =？
(s +2)(s +10) s (s +10s +1000)
2
=0. 02
9、求f (t ) =t u (t ) 的拉氏变换 答案：L [f (t )]=
第4章练习
一、判断题
（1）如果x(n)是偶对称序列，则X(z)=X(z -1) 。 正确 （2）时不变系统的响应与激励施加的时刻有关。 错误 （3）nx(n)的Z 变换结果是-zX(z)。 错误 （4）单位阶跃序列的Z 变换结果是常数 错误 （5）序列ZT 的ROC 是以极点为边界的 正确 二、填空题
1．对于理想的低通滤波器，所有高于截止频率的频率分量都将而低于截止频率的频率分量都将 能够 的通过系统。 2．称X(n)与X （z ）是一对
6s
4
3
(Re(s) > 0)
3．一个序列是因果序列的充分必要条件是：，一个序列是反因果序列的充分必要条件是 x (n)=x(n).u(-n-1) 。
4．离散时间系统是指输入、输出都是的系统。
5．在没有激励的情况下，系统的响应称为 6．离散系统的传递函数定义式是：--------------------。H （z ）=Y(z) / X(z) 7. 。系统的零状态响应等于激励与---------------------之间的卷积。（其单位冲激响应） 8．只要输入有界，则输出一定有界的系统称为------------------。 （稳定系统） 9．输出的变化不领先于输入的变化的系统称为-------------------。 因果系统
10．一个信号序列经过一个离散系统后，其频率成分要发生变化，变化的量取决与系统的频率响应，幅频响应值 小 的频率成分被抑制，幅频响应值 大 的频率成分通过。
11．数字滤波器从功能上分，有 ，
12．如果离散系统的传递函数的所有 那么这样的系统就叫最小相位系统。
13．序列的ZT 在其收敛域，即ROC 内是解析的，因此ROC 内包含任何极点，而且ROC 是连通的 。
14．双边序列ZT 的ROC 是以模的大小相邻的两个极点的为半径的两个圆所形成的环形区域。
15．左边序列的ROC 是以其模最 16．从定义式可以看出序列的DTFT 是其在单位圆上的 抽样 ，这个结论成立的条件是：ZT 的ROC 包含 单位圆 。 17．Z [(-1) u (n )]=--------------------------。
n
z z +1
（|z|>1）
z z -1
18．单位阶跃序列的Z 变换为----------------------------。 （|z|>1）
19、序列x (n ) 为右边序列, 其Z 变换为X (z ) 向右平移5个单位后再求取单边Z 变换，结果
-5
是Z [x (n -5)]=z X (z ) 。
20、已知Z[x (n ) u (n ) ]=X (z ) ，序列向左平移5个单位后再求取单边Z 变换，结果是
4
5
Z [x (n +5) u (n )]=z [X (z ) -
∑
n =0
x (n ) z
-n
。
21、Z [2u (n ) +δ(n )]=
3z -1z -1
。
22、已知X （z ）=三. 选择
z 2(z -1)
2
，且序列x(n)为因果序列，那么x(n)=
12
nu (n ) 。
1、Z [2u (n )]= C
n
A 、
z z +2
B、
1z +1
C、
z z -2
D、
1z -1
2、（多选）已知双边序列 x(n)的ZT 有三个非0的极点和两个零点，其ROC 可能是 ： C D A 、 1
A 、u (n +1) B、y (n ) =x (n ) ⋅u (n ) C、x (k ) =k D、x (n ) =n ⋅u (n )
10z (z -1)(z -2)
4、已知 X (z ) =，其反变换 x (n)的第2项。
A 、0 B、 70 C 、10 D、 1
5．关于右边序列的ZT 的收敛域与其ZT 的极点的关系，以下描述正确的是 A C 。 A 、不包含极点 B、可能包含极点
C 、是某个圆外的区域 D、是某个圆内的区域 6、 脉离散系统的传递函数定义为 C 。 A 输出序列与输入序列之比；
B 系统输出的z 变换Y (z ) 与输入z 变换X (z ) 之比；
C 在初条件为零时，系统输出序列的z 变换Y (z ) 与因果序列输入的z 变换X (z ) 之比； D 在初条件为零时，系统输入序列的z 变换与输出序列的z 变换之比。
7、设序列x(n)的双边Z 变换为Z[x(n)]=X(z),则序列左移m 个单位后的双边Z 变换是 D 。
A 、z X (z ) 与某个表达式的和 B、z X (z ) C 、z
-m m
m
X (z ) 与某个表达式的和 D、z
-m
X (z )
8、关于单位冲击序列的说法正确的是 B C A 、 单位冲激序列是单位冲激函数的离散抽样 B 、 其ZT 的ROC ：0≤C 、表达式：δ(n ) =⎨
⎧1, ⎩0,
z ≤∞
(n =0) (n ≠0)
D 、是u(n)的微分
9、以下属于ZT 性质的是： A B D
A 、 线性性 B、 时域平移性 C 、 稳定性 D、 序列指数加权性 10、关于ZT 时域扩展性，正确的是 A B D 。
⎧⎛n ⎫x ⎪, ∆⎪⎪⎝a ⎭
A 、定义式：x (a ) (n ) =⎨
⎪0, ⎪⎩
n a ∈Z
(0≠a ∈Z ) ∉Z
，a 是扩展因子。
n a
B 、a >1 时，相当于在原序列每两点之间插入(a -1) 个零。
C 、a
D 、Z [x (a ) (n ) ]=
X z
()
a
11、以下说法正确的是 A C D 。
A 、偶对称序列的ZT 可能含有一对互为倒数的非零的零点。 B 、偶对称序列的ZT 不可能含有一对互为倒数的非零的极点。 C 、奇对称序列的ZT 可能含有一对互为倒数的非零的零点。 D 、奇对称序列的ZT 可能含有一对互为倒数的非零的极点。 12、关于有限长序列的说法正确的是： A B A 、序列x (n ) 在n n 2(其中n 1
C 、 肯定是因果序列
D 、 肯定在n=0点一定为0
13、关于实际的离散信号正确的是 A B C A 实际的离散信号通常都是因果序列。
B 、单边ZT 与双边ZT 是一致的，收敛域也相同。 C 、ROC 是z 平面上的某个圆外面的区域。 D 、ROC 是z 平面上的某个圆内部的区域。
14、属于求逆Z 变换的方法有 B C
A 、二分法 B、幂级数展开法 C 、留数法 D、微分法 15、关于部分分式展开法，正确的是 B C D A 、 把X (z ) 按z -1展开
B 、把X (z ) 展开成常见部分分式之和
C 、分别求各部分的逆变换，把各逆变换相加即可得到x (n ) D 、通常做展开的对象是
三、计算题
X (z ) z
1．（1）求取X （z ）=
z
2
2
z -1. 5z +0. 5
(|z |>1) 的IZT
解：上式可化为： X (z ) =
z
2
(z -1)(z -0. 5) A 1
A 2z -1
得： 可求出：
X (z ) z
=
z -0. 5
+
A 1=-1 A 2=2
于是，可以将X (z ) 展开为：
X (z ) z
=
2z z -1
-
z z -0. 5
由于x (n ) 序列是因果的（|z |>1），所以
n n
x (n ) =2u (n ) -0. 5u (n ) =(2-0. 5) u (n )
2．解答略
3 设一离散系统的差分方程为：y (n ) +ay (n -1) =bx (n ) ，求
（1） （2） （3） 解： （1）
该系统的传递函数H(z)
令a= -0.7，b=0.02，求输入为u(n)时的系统的零状态响应y(n)的Z 变换Y(z) 画出Y(z)的极点分布图。
将差分方程两边取Z 变换，并利用位移特性，得到
-1
Y (z ) +az Y (z ) =bX (z ) 所以，
H (z ) =
Y (z ) X (z )
=
b 1+az
-1
=
bz z +a
（2） 差分方程可化为y (n ) -0. 7y (n -1) =0. 02u (n ) , 于是对方程两边分别取Z
变换，可得
Y (z ) -0. 7z Y (z ) =
-1
0. 02z z -1
即
Y (z ) =
0. 02z
2
(z -0. 7)(z -1)
（3） 由上可知，Y(z)有两个一阶极点：(z 1) =0. 7，z 2=1（图形略）
4．解答略 5．解答略
x[n/3] n/3为整数 6．Z[x 1(n ) ]，其中，x 1(n ) = 0
解：根据双边Z 变换的定义 ，可得：
+∞
n/3为小数
+∞
1
X 1(z ) =
∑x
n =-∞
(n ) z
-n
=
∑x (n /3) z
n =-∞
-n
n/3为整数时，令m= n/3
+∞
+∞
-3m
X 1(z ) =
∑x (m ) z
m =-∞
=
∑x (m )(z
m =-∞
3-m
)
=X (z 3)
7、求x (n ) =(n -1) u (n -1) 的Z 变换
z (z -1)
2
解：因为Z [nu (n )]=
根据时域平移特性，Z [(n -1) u (n -1)]=z -1X (z ) =
8、以周期T 对信号f (t ) =2解：x (k ) =2
∞
1(z -1)
2
（|z|>1）
-t
进行采样，试求采样序列的z 变换。
-kT
依据z 变换定义：
∞
-k
X (z ) =
∑x (k ) z
k =0
=
∑2
k =0
-kT
z
-k
=1+2
-T
z
-1
+2
-2T
z
-2
+ +2
-kT
z
-k
+
等比级数公比q=2-T z -1,
X (z ) =
11-2
-T
z
-1
=
z z -2
-T
(|2-T z -1|
四、证明题
1．若已知X （z ）=Z[x(n)]，则Z[nx(n)]= -z 证明：根据Z 变换的定义，可得
∞
d dz
X (z )
X （z ）= Z [x (n)] =
∑x (n ) z
n =-∞-n
-n
那么
d dz d dz
∞
X (z ) =
∑
n =-∞
x (n )
dz
∞
dz
=
∑x (n ).(-n ) z
n =-∞
-n -1
∞
即
X (z ) =
∑x (n ).(-n ) z
n =-∞
-n -1
上式两边再同时乘-z ，得：
-z
d dz
∞
X (z ) =d dz
∑nx (n ) z
n =-∞
-n
所以-z X (z ) =Z[nx(n)]
（命题得证）
2． 设序列x(n)的双边Z 变换为Z[x(n)]=X(z),则 （1） 左移的双边Z 变换是Z [x (n +m )]=z m X (z ) 解：根据双边Z 变换的定义，可得
∞
Z [x (n+m)] =
∑x (n +m ) z
n =-∞
∞m
-n
=z
∑x (k ) z
k =-∞
-k
=z X (z )
m
（2） 右移的双边Z 变换是Z [x (n -m )]=z 解：根据双边Z 变换的定义，可得
∞
-m
X (z )
Z [x (n - m)] =
∑x (n -m ) z
n =-∞
∞
-n
=z
-m
∑x (k ) z
k =-∞
-k
=z
-m
X (z )
z
3． 若X(z)=Z[x(n)]，则Z [a n x (n )]=X ()
a
解：根据双边Z 变换的定义可得
∞
Z [a x (n )]=
n
∑a
n =0∞
n
x (n ) z
-n
=
∑
n =0
x (n )(
z a
)
-n
所以，Z [a x (n )]= X ()
a
n
z
4．设偶序列x(n)的Z 变换X （z ）是有理式，试证明 X （z ）=X(
1z
)
证明：因为x(n)为偶序列，x(n)=x (-n)，由z 变换的定义有：
X () =
z 1
+∞
∑
n =-∞
x (n )()
z
1
+∞
-n
=
∑
n =-∞
1-n
x (-n )()
z
令k =-n , 得
X () =
z 1
+∞
∑
n =-∞
x (k )()
z
1
+∞
k
=
∑x (k ) z
n =-∞
-k
=X (z )
五、画图题
1．某个序列的ZT 有3个极点-1,-2,-4，请画出其所有可能的ROC 区域（阴影表示）
解：4种可能：
1）序列为左边序列，收敛域：| z|4 3）序列为双边序列，收敛域：1