新课程高中数学必修4基础知识汇整。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。上传。罔觞
第一部分 三角函数与三角恒等变换
1．任意角和弧度制
⑴ 1弧度角：等于半径的弧长所对的圆心角为1弧度角
⑵ 弧度数公式：
=
l R
⑶ 角度制与弧度制的互化：
π弧度=180，1
=
π
180
弧度，1弧度=(
180
π
) ≈5718
'
.
⑷ 弧长公式：l =|α|R
S =
12
；
扇形面积公式：
|α|R =
2
12
Rl
.
2．三角函数定义：
⑴ 设α是一个任意角，终边与单位圆交于点P (x , y ) ， 那么y 叫作α的正弦，记作sin α； x 叫作α的余弦，记作cos α；
y x
叫作α的正切，记作tan α.
⑵ 角α中边上任意一点P 为(x , y ) ，设|OP |=r
y x
，则：
sin α=
y r
, cos α=
x r
, tan α=
.
三角函数在各象限的符号规律：一全二正弦，三切四余弦. 3．三角函数线：
正弦线：MP ； 余弦线：OM ； 正切线： AT . 4．诱导公式：
六组诱导公式统一为“
k π2
±α(k ∈Z ) ”，
记忆口诀一：奇变偶不变，符号看象限.
记忆口诀二：纵变横不变，符号看象限. 5．同角三角函数基本关系：
； sin α+cos α=1（平方和关系）
2
2
tan α=
sin αcos α
（商数关系）.
6．两角和与差的正弦、余弦、正切：
①
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin βcos(α±β) =cos αcos β sin αsin β
tan(α±β) =
tan α±tan β1 tan αtan β
；
② ；
③ .
两角和与差的正弦、余弦、正切的变形运用：
7．辅助角公式
：
y =a sin x +b cos x =x +
x ) =x +ϕ) .
8．二倍角公式：
①
sin 2α=2sin αcos α
2
；
2
2
2
②
cos 2α=cos α-sin α=2cos α-1=1-2sin α
tan 2α=
2tan α1-tan α
2
；
③ .
变形：升幂公式：
1+cos α=2cos
2
α
2
;
1-cos α=2sin
2
α
2
1±sin α=(cos
α
2
±sin
α
2
)
2
降幂公式：sin
2
α=
1-cos 2α
2
；
cos α=
2
1+cos 2α
2
.
(cos
9. 物理意义：
物理简谐运动
α
2
±sin
α
2
) =1±sin α
2
y =A sin(ωx +ϕ) , x ∈[0,+∞) ，其中A >0, ω>0
.
振幅为A ，表示物体离开平衡位置的最大距离；
周期为T =
2π
ω
，表示物体往返运动一次所需的时间；
频率为
f =
1T
=
ω
2π
，表示物体在单位时间内往返运动的次数；
ωx +ϕϕ
为初相.
为相位；
10．三角函数图象与性质：
11. 正弦型函数
y =A sin(ωx +ϕ) (A >0, ω>0) 的性质及研究思路：
=2π
，值域为[-A ,
① 最小正周期T
ω
A ].
② 五点法图：把“ωx +ϕ”看成一个整体，取ωx +ϕ=0,
π
2
, π,
3π2
, 2π
时的五个
自变量值，相应的函数值为0, 一个周期内的图象.
A , 0, -A , 0
，描出五个关键点，得到
③ 三角函数图象变换路线：
y =sin x −−−−−→
.
左移ϕ个单位
y =sin(x +ϕ)
或：
−−−−ω−→−−−−−→
横坐标变为
1
横坐标变为
1
倍
y =sin(ωx +ϕ)
左移
−−−−−→
ϕ
个单位
纵坐标变为A 倍
y =A sin(ωx +ϕ) y =sin x
ω
倍
ω
−−→y =sin ω(x +y =sin ωx −−−
ϕω
) −−−−−→y =A sin(ωx +ϕ) .
纵坐标变为A 倍
④ 单调性：
y =A sin(ωx +ϕ) (A >0, ω>0) 的增区间，
把“ω
x +ϕ
”代入到
y =sin x 增区间[-
π
2
+2k π,
π
2
+2k π](k ∈Z )
，
即求解
-
π
2
+2k π≤ωx +ϕ≤
π
2
+2k π(k ∈Z )
.
⑤ 整体思想：
把“ω
x +ϕ
”看成一个整体，代入
y =sin x 与y =tan x
的性质中进行求解. 这种整体思想的运用，主要体现在求单调区间
时，或取最大值与最小值时的自变量取值.
第二部分 平面向量
1. 向量与数量：
在数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，反之，把只有大小，没有方向的量称为数量. 向量常用有向线段来表示，记为a 或AB
（起点A ，终点B ）. 向量的大小叫做向量的长度（或模），记为|a |或|AB |. 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0；长度等于1个
单位的向量称为单位向量. 2. 平行向量：
//b ，并规定零向量平行于任意一个向量. 平行向量都可以移到同一直线上，因而也叫
共线向量. 方向相同且长度相等的向量称为相等向量，记作a =b . 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为-a ，
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作a 规定零向量的相反向量仍是零向量. 3. 向量加减法：
向量加减法运算遵循三角形法则与平行四边形法则.
如图所示，已知非零向量a , b ，在平面内任取一点 O A =a , AB =b ，则向量OB =a +b .
O ， 作
若作O A =a , O C =b
，则向量CA =a -b .
a +b =a -；b
结合律
(a +b ) +c =a +(
向量的加减法满足：交换律
b +. ) c
向量不等式：对于任意两个向量a , b ，有||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |.
向量加法多边形法则：向量首尾相接，结果首尾连. 4. 向量数乘运算：
实数λ与向量a
并规定：①
的乘积仍然是一个向量，这种运算称为向量的数乘，记作λa
，
|λa |=|λ||a |；
②当λ>0时，λa
当λ
当λ
的方向与a
的方向与a =0
.
的方向相同；
的方向相反；
=0时，λa
数乘运算满足下列运算律： 分配律(λ
+u ) a =λa +u a a ) =(λμ) a
.
、λ(a
+b ) =λa +λb
；
结合律λ(μ
对于任意向量a , b
，以及任意实数λ, u 1, u 2，恒有λ(u 1a ±u 2b ) =λu 1a ±λu 2b
.
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 5. 平面向量基本定理：
如果e 1, e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任意向量把不共线的向量e 1, e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
向量夹角：
a
，有且只有一对实数λ1, λ2，使a
=λ1e 1+λe 22
.
a , b ，在平面内任取一点
角是90°时，a 与b 垂直，记作a ⊥b .
对两个非零向量正交分解：
O ，作O A
=a , O B =b
，则θ=∠AO B 叫做向量a 与b 夹角. 当a 与b 夹
依据平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a
坐标表示：
，均可分解为不共线的两个向量λ1a 1 与λ2a 2 ，使a =λ1a 1+λ2a 2
. 若把
一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i , j 作为基底，则对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x 、
y ，使得a =xi +y j . 即平面内的任意向量a 都可由x 、y 唯一确定，把有序数对（x , y ）叫做向量a 的坐标，记作a =(x , y ) ，式
子a =(x , y ) 叫做向量的坐标表示.
6. 平面向量的数量积运算：
a ⋅b =θ
等于a
的长度|a |与b
把a
，其中θ是a 与b 的夹角，|
a |cos θ
的乘积.
叫做向量a 在b 方向上的投影.
a ⋅b
的几何意义：数量
a ⋅b
在a
的方向上的投影|b |cos θ
，从而|
⋅a
记作
2 2
2
a ，有性质a =|a | a |=
数量积运算满足下列运算律：
交换律：
a ⋅b =b ⋅a ；
数乘结合律：(λa ) ⋅b =λ(a ⋅b ) =a ⋅(λb ) ；
分配律：
a ⋅(b +c ) =a ⋅b +a ⋅c .
F
的作用下产生位移
力作功： 一个物体在力
s
，那么力
F
所作的功W
=|F ||s |cos θ
，其中θ是
F
与
s
的夹角，从而
W =F ⋅s .
7. 平面向量的坐标运算：设a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2)
加减法：
，则
a +b =(x 1+x 2, y 1+y 2) ，a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2)
=(λx 1, λy 1) ；
；
数乘：λa
向量数量积：
a ⋅b =x 1x 2+y 1y 2；
模：|a |=
距离：
d AB
=|AB |=|b -a |=
夹角：
cos =
=
x 1x 2+y 1y 2x 1+y 1
2
2
x 2+y 2
22
.
8. 向量共线：
设a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2)
，其中b ≠0，若a , b
共线，当且仅当存在实数λ，使a =λb
，
即a //b ⇔a =λb ⇔x 1y 2-x 2y 1=0. 由此可证明平行问题、三点共线等.
9. 向量垂直：
对于平面内任意两个非零向量a , b
设a
，
a ⊥b ⇔a ⋅b =0
，则
.
=(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2)
a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0
.
10. 线段定比分点的坐标：
已知点
P 1(x 1, y 1) ，P 2(x 2, y 2) ，点P (x , y )
是线段
P 1P 2上的一个分点，且
P 1P PP 2
=λ
，
则有P P =λPP 2，即(x -x 1, y -y 1) =λ(x 2-x , y 2-y ) 1
由此得到
，
x =
x 1+λx 21+λ
, y =
y 1+λy 1+λx 1+x 2
2
2
.
若λ=1，得到线段中点坐标公式x =, y =
y 1+y 2
2
.
11. 向量知识与平面几何的联系：
12. 向量法解决平面几何问题三步曲：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，
将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等； （3）把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论.
新课程高中数学必修4基础知识汇整。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。上传。罔觞
第一部分 三角函数与三角恒等变换
1．任意角和弧度制
⑴ 1弧度角：等于半径的弧长所对的圆心角为1弧度角
⑵ 弧度数公式：
=
l R
⑶ 角度制与弧度制的互化：
π弧度=180，1
=
π
180
弧度，1弧度=(
180
π
) ≈5718
'
.
⑷ 弧长公式：l =|α|R
S =
12
；
扇形面积公式：
|α|R =
2
12
Rl
.
2．三角函数定义：
⑴ 设α是一个任意角，终边与单位圆交于点P (x , y ) ， 那么y 叫作α的正弦，记作sin α； x 叫作α的余弦，记作cos α；
y x
叫作α的正切，记作tan α.
⑵ 角α中边上任意一点P 为(x , y ) ，设|OP |=r
y x
，则：
sin α=
y r
, cos α=
x r
, tan α=
.
三角函数在各象限的符号规律：一全二正弦，三切四余弦. 3．三角函数线：
正弦线：MP ； 余弦线：OM ； 正切线： AT . 4．诱导公式：
六组诱导公式统一为“
k π2
±α(k ∈Z ) ”，
记忆口诀一：奇变偶不变，符号看象限.
记忆口诀二：纵变横不变，符号看象限. 5．同角三角函数基本关系：
； sin α+cos α=1（平方和关系）
2
2
tan α=
sin αcos α
（商数关系）.
6．两角和与差的正弦、余弦、正切：
①
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin βcos(α±β) =cos αcos β sin αsin β
tan(α±β) =
tan α±tan β1 tan αtan β
；
② ；
③ .
两角和与差的正弦、余弦、正切的变形运用：
7．辅助角公式
：
y =a sin x +b cos x =x +
x ) =x +ϕ) .
8．二倍角公式：
①
sin 2α=2sin αcos α
2
；
2
2
2
②
cos 2α=cos α-sin α=2cos α-1=1-2sin α
tan 2α=
2tan α1-tan α
2
；
③ .
变形：升幂公式：
1+cos α=2cos
2
α
2
;
1-cos α=2sin
2
α
2
1±sin α=(cos
α
2
±sin
α
2
)
2
降幂公式：sin
2
α=
1-cos 2α
2
；
cos α=
2
1+cos 2α
2
.
(cos
9. 物理意义：
物理简谐运动
α
2
±sin
α
2
) =1±sin α
2
y =A sin(ωx +ϕ) , x ∈[0,+∞) ，其中A >0, ω>0
.
振幅为A ，表示物体离开平衡位置的最大距离；
周期为T =
2π
ω
，表示物体往返运动一次所需的时间；
频率为
f =
1T
=
ω
2π
，表示物体在单位时间内往返运动的次数；
ωx +ϕϕ
为初相.
为相位；
10．三角函数图象与性质：
11. 正弦型函数
y =A sin(ωx +ϕ) (A >0, ω>0) 的性质及研究思路：
=2π
，值域为[-A ,
① 最小正周期T
ω
A ].
② 五点法图：把“ωx +ϕ”看成一个整体，取ωx +ϕ=0,
π
2
, π,
3π2
, 2π
时的五个
自变量值，相应的函数值为0, 一个周期内的图象.
A , 0, -A , 0
，描出五个关键点，得到
③ 三角函数图象变换路线：
y =sin x −−−−−→
.
左移ϕ个单位
y =sin(x +ϕ)
或：
−−−−ω−→−−−−−→
横坐标变为
1
横坐标变为
1
倍
y =sin(ωx +ϕ)
左移
−−−−−→
ϕ
个单位
纵坐标变为A 倍
y =A sin(ωx +ϕ) y =sin x
ω
倍
ω
−−→y =sin ω(x +y =sin ωx −−−
ϕω
) −−−−−→y =A sin(ωx +ϕ) .
纵坐标变为A 倍
④ 单调性：
y =A sin(ωx +ϕ) (A >0, ω>0) 的增区间，
把“ω
x +ϕ
”代入到
y =sin x 增区间[-
π
2
+2k π,
π
2
+2k π](k ∈Z )
，
即求解
-
π
2
+2k π≤ωx +ϕ≤
π
2
+2k π(k ∈Z )
.
⑤ 整体思想：
把“ω
x +ϕ
”看成一个整体，代入
y =sin x 与y =tan x
的性质中进行求解. 这种整体思想的运用，主要体现在求单调区间
时，或取最大值与最小值时的自变量取值.
第二部分 平面向量
1. 向量与数量：
在数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，反之，把只有大小，没有方向的量称为数量. 向量常用有向线段来表示，记为a 或AB
（起点A ，终点B ）. 向量的大小叫做向量的长度（或模），记为|a |或|AB |. 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0；长度等于1个
单位的向量称为单位向量. 2. 平行向量：
//b ，并规定零向量平行于任意一个向量. 平行向量都可以移到同一直线上，因而也叫
共线向量. 方向相同且长度相等的向量称为相等向量，记作a =b . 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为-a ，
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作a 规定零向量的相反向量仍是零向量. 3. 向量加减法：
向量加减法运算遵循三角形法则与平行四边形法则.
如图所示，已知非零向量a , b ，在平面内任取一点 O A =a , AB =b ，则向量OB =a +b .
O ， 作
若作O A =a , O C =b
，则向量CA =a -b .
a +b =a -；b
结合律
(a +b ) +c =a +(
向量的加减法满足：交换律
b +. ) c
向量不等式：对于任意两个向量a , b ，有||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |.
向量加法多边形法则：向量首尾相接，结果首尾连. 4. 向量数乘运算：
实数λ与向量a
并规定：①
的乘积仍然是一个向量，这种运算称为向量的数乘，记作λa
，
|λa |=|λ||a |；
②当λ>0时，λa
当λ
当λ
的方向与a
的方向与a =0
.
的方向相同；
的方向相反；
=0时，λa
数乘运算满足下列运算律： 分配律(λ
+u ) a =λa +u a a ) =(λμ) a
.
、λ(a
+b ) =λa +λb
；
结合律λ(μ
对于任意向量a , b
，以及任意实数λ, u 1, u 2，恒有λ(u 1a ±u 2b ) =λu 1a ±λu 2b
.
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 5. 平面向量基本定理：
如果e 1, e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任意向量把不共线的向量e 1, e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
向量夹角：
a
，有且只有一对实数λ1, λ2，使a
=λ1e 1+λe 22
.
a , b ，在平面内任取一点
角是90°时，a 与b 垂直，记作a ⊥b .
对两个非零向量正交分解：
O ，作O A
=a , O B =b
，则θ=∠AO B 叫做向量a 与b 夹角. 当a 与b 夹
依据平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a
坐标表示：
，均可分解为不共线的两个向量λ1a 1 与λ2a 2 ，使a =λ1a 1+λ2a 2
. 若把
一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i , j 作为基底，则对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x 、
y ，使得a =xi +y j . 即平面内的任意向量a 都可由x 、y 唯一确定，把有序数对（x , y ）叫做向量a 的坐标，记作a =(x , y ) ，式
子a =(x , y ) 叫做向量的坐标表示.
6. 平面向量的数量积运算：
a ⋅b =θ
等于a
的长度|a |与b
把a
，其中θ是a 与b 的夹角，|
a |cos θ
的乘积.
叫做向量a 在b 方向上的投影.
a ⋅b
的几何意义：数量
a ⋅b
在a
的方向上的投影|b |cos θ
，从而|
⋅a
记作
2 2
2
a ，有性质a =|a | a |=
数量积运算满足下列运算律：
交换律：
a ⋅b =b ⋅a ；
数乘结合律：(λa ) ⋅b =λ(a ⋅b ) =a ⋅(λb ) ；
分配律：
a ⋅(b +c ) =a ⋅b +a ⋅c .
F
的作用下产生位移
力作功： 一个物体在力
s
，那么力
F
所作的功W
=|F ||s |cos θ
，其中θ是
F
与
s
的夹角，从而
W =F ⋅s .
7. 平面向量的坐标运算：设a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2)
加减法：
，则
a +b =(x 1+x 2, y 1+y 2) ，a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2)
=(λx 1, λy 1) ；
；
数乘：λa
向量数量积：
a ⋅b =x 1x 2+y 1y 2；
模：|a |=
距离：
d AB
=|AB |=|b -a |=
夹角：
cos =
=
x 1x 2+y 1y 2x 1+y 1
2
2
x 2+y 2
22
.
8. 向量共线：
设a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2)
，其中b ≠0，若a , b
共线，当且仅当存在实数λ，使a =λb
，
即a //b ⇔a =λb ⇔x 1y 2-x 2y 1=0. 由此可证明平行问题、三点共线等.
9. 向量垂直：
对于平面内任意两个非零向量a , b
设a
，
a ⊥b ⇔a ⋅b =0
，则
.
=(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2)
a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0
.
10. 线段定比分点的坐标：
已知点
P 1(x 1, y 1) ，P 2(x 2, y 2) ，点P (x , y )
是线段
P 1P 2上的一个分点，且
P 1P PP 2
=λ
，
则有P P =λPP 2，即(x -x 1, y -y 1) =λ(x 2-x , y 2-y ) 1
由此得到
，
x =
x 1+λx 21+λ
, y =
y 1+λy 1+λx 1+x 2
2
2
.
若λ=1，得到线段中点坐标公式x =, y =
y 1+y 2
2
.
11. 向量知识与平面几何的联系：
12. 向量法解决平面几何问题三步曲：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，
将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等； （3）把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论.