构造平行四边形巧解几何问题

构造平行四边形巧解几何问题

株洲市五中 谢 超

【摘要】

平行四边形是研究平面直线形图形的重要基本图形，它为证明和计算几何问题提供了极大的方便.根据本人实际的教学和竞赛培训经验，通过证线段互相平分、直线平行、角相等、三线共点、线段的和差倍分以及相关几何计算中的应用，渗透了平行四边形的构造方法，体现了平行四边形在几何中的重要地位.

【关键词】

平行四边形构造技巧 证线段互相平分 证直线平行 证角相等 证三线共点 证线段的和差倍分 在几何计算中的妙用

平行四边形是一类特殊的四边形，它的特殊性体现在边、角和对角线上．矩形、菱形又是特殊的平行四边形，它们除拥有平行四边形的性质外，各自还有独特的性质．正方形是最特殊的四边形，它集中了矩形、菱形等特殊四边形的所有性质．平行四边形是研究平面直线形图形的重要基本图形，它为证明几何问题提供了极大的方便，比如证角相等、线段相等、直线平行或垂直等都可以转化为证平行四边形，而构造平行四边形是该类问题中常用的技巧． 一、证线段互相平分 例1 如图所示．在分．

【分析】由于平行四边形的对角线互相平分，所以只要证明ENFM是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手． 证明 ∵□ABCD ∴AD

BC，AB

CD，∠B=∠D．又∵AE⊥BC，CF⊥AD，

ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：EF与MN互相平

∴矩形AECF，∴AE=CF．∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，∴BE=DF．又由已知BM=DN，∴△BEM≌△DFN(SAS)，∴ME=NF．∵AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，∴△MAF≌△NCE(SAS)，∴ MF=NF．∴四边形ENFM是平行四边形.从而对角线EF与MN互相平分．

二、证直线平行

例2在△ABC中，AE、BD、CF为中线，FM∥BD，DM∥AB。 求证：MC∥

AE

1

证明：连结AM、FD。

∵FM∥BD，DM∥AB，∴四边形FBDM为平行四边形 ∴BF∥DM ∵AF＝BF ∴AFDM ∴四边形AFDM为平行四边形

∴AMFD

又∵F、D、E分别为AB、AC、BC边中点 ∴FD

EC

F

∴AMEC，

∴四边形AECM为平行四边形 ∴MC∥AE。

三、证角相等

例3 如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是CD、AB的中点，直线EF分别交BC、AD延长线于S、T，求证：∠ATF=∠BSF.

C

H

【分析】由于∠ATF和∠BSF不在同一个三角形内，又不可能在两个全等的三角形内，所以需要把两个角转移，由此想到会通过某些点做平行线，再结合平行四边形性质和全等三角形性质以达到目的. 证明 过点F做GH

CD，且FG=FH，连接DG、CH、AG、BH.则四边形DGHC和四

边形AGBH是平行四边形.∴AG=BH，DG=CH，DG//SF//CH. ∴∠ADG=∠ATF，∠BCH=∠BSF.又∵AD=BC，∴△ADG≌△BCH（SSS），∴∠ADG=∠BCH，∴∠ATF=∠BSF.

四、证三线共点

例4 求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连线这三线共点. D L A

M

2

【分析】 如图，即证EF、MN和HL三线共点，易猜想这三线两两互相平分，结合平行四边形对角线性质，可想到构造平行四边形.

证明 如图，设N、H、M、L、F、E分别为AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点，只需证明EF、LH和ML三线共点.

连接LE，EH，HF，LF，NE，EM，MF，FN.则LE、HF分别为△ABD和△ABC的

11

中位线，所以LEAB，HFAB，所以LEHF，故四边形EHFL是平行四边

22

形，设EF，LH相交于O，则O平分EF.同理可证：四边形NFME是平行四边形，所以MN平分EF，即MN经过点O.故EF，LH，MN三线共点.

五、证线段的和差倍分 例5 如图4，在△ABC的边AB上截取AE＝BF，过E作ED∥BC交AC于D，过F作FG∥BC交AC于G。 求证：EDFGBC

证明：过G作GH∥AB交BC于H，则四边形FBHG为平行四边形

FGBH，FBGH∵AEBF，∴AEGH∵AB//GH，ED//BC

∴∠A∠HGC，∠ADE∠C ∴△AED≌△GHC∴EDHC

∴EDFGHCBHBC

F G H

C

例6如图5，分别以△ABC的边AB、BC为边向外作正方形ABDE和BCFG，BM为AC边上的中线。 求证：DG＝2BM

证明：延长BM到N，使MN＝BM，连结AN、CN。 则四边形ANCB为平行四边形 ∴AN＝BC

又∵BG＝BC，∴AN＝BG 又∠DBG＝180°－∠ABC ∠BAN＝180°－∠ABC

3

D

B

G

F

∴∠DBG＝∠BAN ∵DB＝BA ∴△DBG≌△BAN ∴DG＝BN，而BN＝2BM ∴DG＝2BM

六、在几何计算中的妙用

例4 如图，在等腰△ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连结DE，恰有AD=BC=CE=DE，求∠BAC的度数.

E

F

【分析】 题设条件给出的是线段的等量关系，要求的却是角的度数，相等的线段可得到全等三角形、特殊三角形，为此需通过构造平行四边形改变它们的位置.

证明 过点C做CF//AD，过点D做DF//BC，CF与DF相交于F，连结EF.则四边形DBFC是平行四边形，所以DF=BC，FC=DB.

△ADE中，AD=ED，其底角∠EAD必为锐角，则∠BAC必为钝角，必为△ABC的顶角，所以AB=AC，又∵EC=AD，∴AE=DB，∴AE=FC. ∵AD//FC，∴∠EAD=∠ECF，∴△ADE≌△CEF（SAS），∴EF=DE，从而DE=DF=EF，故△EDF是等边三角形.

1800a

设∠BAC=a，则∠ADF=∠ABC=，∠DAE=1800a，∠ADE=1800-2∠

2

000

DAE=1802(180a)2a180.因为∠ADF+∠ADE=∠EDF=600，所以：

1800a

+(2a1800)600，解之得a1000，即∠BAC=1000. 2

例5 四边形ABCD中，已知AB=6，BC=53，CD=6，∠ABC=1350，∠BCD=1200，求AD的长.

F

B E

G

D

4

【分析】 所给的条件与要求的AD无法直接建立关系，因此需要将AD转移到某个特殊三角形内，注意到∠ABC和∠BCD的补角的度数分别是450和600，不难做出辅助线了.

解 过点A作AF⊥CB于F，过点D作DE⊥BC于E，则AF//DE，再过点F作FG//AD交DE于G，那么四边形AFGD为平行四边形. ∵∠ABC=1350，∠BCD=1200 ∴∠FBA=450，∠ECD=600 在Rt△ABF中， AF=BF=

2

2

AB=3 在Rt△CED中，

CE=1

2CD=3

DE=CD2CE262323

∴EG=DE-DG=DE-AF=2，EF=FB+BC+CE=8 在Rt△FEG中，

FG=FE2EG22 故AD=2

主要参考文献：

培优竞赛新方法

黄东坡著 初中数学竞赛热点专题

湖南师范大学出版社 初中数学奥林匹克实用教程

湖南师范大学出版社 初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全 山西教育出版社 全国奥林匹克初中竞赛教材

奥林匹克出版社

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构造平行四边形巧解几何问题

株洲市五中 谢 超

【摘要】

平行四边形是研究平面直线形图形的重要基本图形，它为证明和计算几何问题提供了极大的方便.根据本人实际的教学和竞赛培训经验，通过证线段互相平分、直线平行、角相等、三线共点、线段的和差倍分以及相关几何计算中的应用，渗透了平行四边形的构造方法，体现了平行四边形在几何中的重要地位.

【关键词】

平行四边形构造技巧 证线段互相平分 证直线平行 证角相等 证三线共点 证线段的和差倍分 在几何计算中的妙用

平行四边形是一类特殊的四边形，它的特殊性体现在边、角和对角线上．矩形、菱形又是特殊的平行四边形，它们除拥有平行四边形的性质外，各自还有独特的性质．正方形是最特殊的四边形，它集中了矩形、菱形等特殊四边形的所有性质．平行四边形是研究平面直线形图形的重要基本图形，它为证明几何问题提供了极大的方便，比如证角相等、线段相等、直线平行或垂直等都可以转化为证平行四边形，而构造平行四边形是该类问题中常用的技巧． 一、证线段互相平分 例1 如图所示．在分．

【分析】由于平行四边形的对角线互相平分，所以只要证明ENFM是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手． 证明 ∵□ABCD ∴AD

BC，AB

CD，∠B=∠D．又∵AE⊥BC，CF⊥AD，

ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：EF与MN互相平

∴矩形AECF，∴AE=CF．∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，∴BE=DF．又由已知BM=DN，∴△BEM≌△DFN(SAS)，∴ME=NF．∵AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，∴△MAF≌△NCE(SAS)，∴ MF=NF．∴四边形ENFM是平行四边形.从而对角线EF与MN互相平分．

二、证直线平行

例2在△ABC中，AE、BD、CF为中线，FM∥BD，DM∥AB。 求证：MC∥

AE

1

证明：连结AM、FD。

∵FM∥BD，DM∥AB，∴四边形FBDM为平行四边形 ∴BF∥DM ∵AF＝BF ∴AFDM ∴四边形AFDM为平行四边形

∴AMFD

又∵F、D、E分别为AB、AC、BC边中点 ∴FD

EC

F

∴AMEC，

∴四边形AECM为平行四边形 ∴MC∥AE。

三、证角相等

例3 如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是CD、AB的中点，直线EF分别交BC、AD延长线于S、T，求证：∠ATF=∠BSF.

C

H

【分析】由于∠ATF和∠BSF不在同一个三角形内，又不可能在两个全等的三角形内，所以需要把两个角转移，由此想到会通过某些点做平行线，再结合平行四边形性质和全等三角形性质以达到目的. 证明 过点F做GH

CD，且FG=FH，连接DG、CH、AG、BH.则四边形DGHC和四

边形AGBH是平行四边形.∴AG=BH，DG=CH，DG//SF//CH. ∴∠ADG=∠ATF，∠BCH=∠BSF.又∵AD=BC，∴△ADG≌△BCH（SSS），∴∠ADG=∠BCH，∴∠ATF=∠BSF.

四、证三线共点

例4 求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连线这三线共点. D L A

M

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【分析】 如图，即证EF、MN和HL三线共点，易猜想这三线两两互相平分，结合平行四边形对角线性质，可想到构造平行四边形.

证明 如图，设N、H、M、L、F、E分别为AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点，只需证明EF、LH和ML三线共点.

连接LE，EH，HF，LF，NE，EM，MF，FN.则LE、HF分别为△ABD和△ABC的

11

中位线，所以LEAB，HFAB，所以LEHF，故四边形EHFL是平行四边

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形，设EF，LH相交于O，则O平分EF.同理可证：四边形NFME是平行四边形，所以MN平分EF，即MN经过点O.故EF，LH，MN三线共点.

五、证线段的和差倍分 例5 如图4，在△ABC的边AB上截取AE＝BF，过E作ED∥BC交AC于D，过F作FG∥BC交AC于G。 求证：EDFGBC

证明：过G作GH∥AB交BC于H，则四边形FBHG为平行四边形

FGBH，FBGH∵AEBF，∴AEGH∵AB//GH，ED//BC

∴∠A∠HGC，∠ADE∠C ∴△AED≌△GHC∴EDHC

∴EDFGHCBHBC

F G H

C

例6如图5，分别以△ABC的边AB、BC为边向外作正方形ABDE和BCFG，BM为AC边上的中线。 求证：DG＝2BM

证明：延长BM到N，使MN＝BM，连结AN、CN。 则四边形ANCB为平行四边形 ∴AN＝BC

又∵BG＝BC，∴AN＝BG 又∠DBG＝180°－∠ABC ∠BAN＝180°－∠ABC

3

D

B

G

F

∴∠DBG＝∠BAN ∵DB＝BA ∴△DBG≌△BAN ∴DG＝BN，而BN＝2BM ∴DG＝2BM

六、在几何计算中的妙用

例4 如图，在等腰△ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连结DE，恰有AD=BC=CE=DE，求∠BAC的度数.

E

F

【分析】 题设条件给出的是线段的等量关系，要求的却是角的度数，相等的线段可得到全等三角形、特殊三角形，为此需通过构造平行四边形改变它们的位置.

证明 过点C做CF//AD，过点D做DF//BC，CF与DF相交于F，连结EF.则四边形DBFC是平行四边形，所以DF=BC，FC=DB.

△ADE中，AD=ED，其底角∠EAD必为锐角，则∠BAC必为钝角，必为△ABC的顶角，所以AB=AC，又∵EC=AD，∴AE=DB，∴AE=FC. ∵AD//FC，∴∠EAD=∠ECF，∴△ADE≌△CEF（SAS），∴EF=DE，从而DE=DF=EF，故△EDF是等边三角形.

1800a

设∠BAC=a，则∠ADF=∠ABC=，∠DAE=1800a，∠ADE=1800-2∠

2

000

DAE=1802(180a)2a180.因为∠ADF+∠ADE=∠EDF=600，所以：

1800a

+(2a1800)600，解之得a1000，即∠BAC=1000. 2

例5 四边形ABCD中，已知AB=6，BC=53，CD=6，∠ABC=1350，∠BCD=1200，求AD的长.

F

B E

G

D

4

【分析】 所给的条件与要求的AD无法直接建立关系，因此需要将AD转移到某个特殊三角形内，注意到∠ABC和∠BCD的补角的度数分别是450和600，不难做出辅助线了.

解 过点A作AF⊥CB于F，过点D作DE⊥BC于E，则AF//DE，再过点F作FG//AD交DE于G，那么四边形AFGD为平行四边形. ∵∠ABC=1350，∠BCD=1200 ∴∠FBA=450，∠ECD=600 在Rt△ABF中， AF=BF=

2

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AB=3 在Rt△CED中，

CE=1

2CD=3

DE=CD2CE262323

∴EG=DE-DG=DE-AF=2，EF=FB+BC+CE=8 在Rt△FEG中，

FG=FE2EG22 故AD=2

主要参考文献：

培优竞赛新方法

黄东坡著 初中数学竞赛热点专题

湖南师范大学出版社 初中数学奥林匹克实用教程

湖南师范大学出版社 初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全 山西教育出版社 全国奥林匹克初中竞赛教材

奥林匹克出版社

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