3.3.4点到直线的距离

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．与直线2x＋y＋1＝0的距离等于

A．2x＋y＝0

B．2x＋y－2＝0

C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0

D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0

解析： 根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，因为两直线间的距离等于＝|c－1|

22＋12，解得c＝0或c＝2.所以所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0. 55，所以d55的直线方程为( ) 5

答案： D

2．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有( )

A．1条

C．3条 B．2条 D．4条

解析： 由题意可知，所求直线显然不与y轴平行，

∴可设直线为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0.

|k－2＋b||3k－1＋b|∴d1＝1，d＝＝2. 2k＋1k＋1

b＝3，两式联立解得或k＝0， 4k＝－35b＝3

∴所求直线有两条．

答案： B

3．两条直线l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋by＋c＝0间的距离为3，则b＋c＝( )

A．－12

C．36 B．48 D．－12或48

解析： 因为两条直线l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋by＋c＝0间的距离为3，所以两条直线平行，故b＝8.由两条平行直线间的距离公式得

－12或b＋c＝48.

答案： D

4．与一对平行线5x－2y－6＝0,10x－4y＋3＝0等距离的点的轨迹方程是( )

A．20x－8y－9＝0 B．10x－4y－5＝0 |c－10|＝3，解得c＝40或c＝－20，所以b＋c＝10

C．5x－2y－3＝0 D．15x－6y－11＝0

解析： 5x－2y－6＝0即10x－4y－12＝0，

－12＋3－9， 22

∴所求直线方程为20x－8y－9＝0.

故选A.

答案： A

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________． 解析： 因为两直线平行，所以m＝2.

|6×0＋2×3－1|方法一 在直线3x＋y－3＝0上取点(0,3)，代入点到直线的距离公式，得d＝62＋22

＝104

1方法二 将6x＋2y－1＝0化为3x＋y－＝0，由两条平行线间的距离公式得d＝2

10

4

答案： 104－3＋123＋16．过点A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为________．

解析： 如右图，只有当直线l与OA垂直时，原点到l的距离最大，

1此时kOA＝，则kl＝－2， 2

所以方程为y－1＝－2(x－2)，

即2x＋y－5＝0.

答案： 2x＋y－5＝0

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离等于2.

解析： 设点P的坐标为(a，b)，

∵A(4，－3)，B(2，－1)，

∴线段AB中点M的坐标为(3，－2)，

而AB的斜率为kAB＝－1－－3＝－1. 2－4

∴线段AB的垂直平分线方程为y－(－2)＝x－3.

即x－y－5＝0.

而点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，

故将(a，b)代入方程，

得a－b－5＝0.①

由P到l的距离为2，得

由①②得

a＝1，或b＝－4|4a＋3b－2|＝2.② 4＋3 8b＝－7a＝27，7

278. ∴所求P点为(1，－4)或77

8．直线l过点A(2,4)，且被两平行直线x－y＋1＝0与x－y－1＝0所截得的线段的中点在直线x＋y－3＝0上，求直线l的方程．

解析： ∵线段的中点在直线x＋y－3＝0上，

∴设中点坐标为P(a,3－a)．

又∵中点P到两平行直线的距离相等，

|2a－2||2a－4|333＝，∴a＝，即P22. 22又∵直线l过点A(2,4)，

342∴kl＝＝5， 32－2

故所求直线l的方程为5x－y－6＝0.

尖子生题库☆☆☆

9．(10分)已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为5，求直线l1的方程． m8n解析： ∵l1∥l2，∴， 2m－1

m＝4，m＝－4，∴或 n≠－2n≠2.

(1)当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，

把l2的方程写成4x＋8y－2＝0.

|n＋2|

16＋64＝5，解得n＝－22或n＝18.

所以，所求直线l1的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.

(2)当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，l2的方程为2x－4y－1＝0， ∴|－n＋2|＝5，解得n＝－18或n＝22. 16＋64

所以，所求直线l1的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．与直线2x＋y＋1＝0的距离等于

A．2x＋y＝0

B．2x＋y－2＝0

C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0

D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0

解析： 根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，因为两直线间的距离等于＝|c－1|

22＋12，解得c＝0或c＝2.所以所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0. 55，所以d55的直线方程为( ) 5

答案： D

2．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有( )

A．1条

C．3条 B．2条 D．4条

解析： 由题意可知，所求直线显然不与y轴平行，

∴可设直线为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0.

|k－2＋b||3k－1＋b|∴d1＝1，d＝＝2. 2k＋1k＋1

b＝3，两式联立解得或k＝0， 4k＝－35b＝3

∴所求直线有两条．

答案： B

3．两条直线l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋by＋c＝0间的距离为3，则b＋c＝( )

A．－12

C．36 B．48 D．－12或48

解析： 因为两条直线l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋by＋c＝0间的距离为3，所以两条直线平行，故b＝8.由两条平行直线间的距离公式得

－12或b＋c＝48.

答案： D

4．与一对平行线5x－2y－6＝0,10x－4y＋3＝0等距离的点的轨迹方程是( )

A．20x－8y－9＝0 B．10x－4y－5＝0 |c－10|＝3，解得c＝40或c＝－20，所以b＋c＝10

C．5x－2y－3＝0 D．15x－6y－11＝0

解析： 5x－2y－6＝0即10x－4y－12＝0，

－12＋3－9， 22

∴所求直线方程为20x－8y－9＝0.

故选A.

答案： A

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________． 解析： 因为两直线平行，所以m＝2.

|6×0＋2×3－1|方法一 在直线3x＋y－3＝0上取点(0,3)，代入点到直线的距离公式，得d＝62＋22

＝104

1方法二 将6x＋2y－1＝0化为3x＋y－＝0，由两条平行线间的距离公式得d＝2

10

4

答案： 104－3＋123＋16．过点A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为________．

解析： 如右图，只有当直线l与OA垂直时，原点到l的距离最大，

1此时kOA＝，则kl＝－2， 2

所以方程为y－1＝－2(x－2)，

即2x＋y－5＝0.

答案： 2x＋y－5＝0

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离等于2.

解析： 设点P的坐标为(a，b)，

∵A(4，－3)，B(2，－1)，

∴线段AB中点M的坐标为(3，－2)，

而AB的斜率为kAB＝－1－－3＝－1. 2－4

∴线段AB的垂直平分线方程为y－(－2)＝x－3.

即x－y－5＝0.

而点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，

故将(a，b)代入方程，

得a－b－5＝0.①

由P到l的距离为2，得

由①②得

a＝1，或b＝－4|4a＋3b－2|＝2.② 4＋3 8b＝－7a＝27，7

278. ∴所求P点为(1，－4)或77

8．直线l过点A(2,4)，且被两平行直线x－y＋1＝0与x－y－1＝0所截得的线段的中点在直线x＋y－3＝0上，求直线l的方程．

解析： ∵线段的中点在直线x＋y－3＝0上，

∴设中点坐标为P(a,3－a)．

又∵中点P到两平行直线的距离相等，

|2a－2||2a－4|333＝，∴a＝，即P22. 22又∵直线l过点A(2,4)，

342∴kl＝＝5， 32－2

故所求直线l的方程为5x－y－6＝0.

尖子生题库☆☆☆

9．(10分)已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为5，求直线l1的方程． m8n解析： ∵l1∥l2，∴， 2m－1

m＝4，m＝－4，∴或 n≠－2n≠2.

(1)当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，

把l2的方程写成4x＋8y－2＝0.

|n＋2|

16＋64＝5，解得n＝－22或n＝18.

所以，所求直线l1的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.

(2)当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，l2的方程为2x－4y－1＝0， ∴|－n＋2|＝5，解得n＝－18或n＝22. 16＋64

所以，所求直线l1的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.