高中数学教学论文向量法证明三点共线的又一方法及应用

向量法证明三点共线的又一方法及应用

平面向量既具有数量特征，又具有图形特征,学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明.



原题 已知OBλOAμOC，其中λμ1. 求证：A、B、C三点共线



思路：通过向量共线(如ABkAC)得三点共线.

证明：如图,由λμ1得λ1

μ,则

OBλOAμOC(1μ)OAμOC OBOAμ(OCOA) ABμAC

A、B、C三点共线.

思考：1. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法,点O具有灵活性；

：若A、B、C三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，满 2. 反之也成立（证明略）



足OBλOAμOC,且λμ1.揭示了三点贡献的又一个性质；

11

3. 特别地，λμ时，OB(OAOC)，点B为AC的中点，揭示了

22

中线OB的一个向量公式，应用广泛.

应用举例

平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN例1 如图，

用向量法证明：M、N、C三点共线.

向量法证明三点共线的又一方法及应用

平面向量既具有数量特征，又具有图形特征,学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明.



原题 已知OBλOAμOC，其中λμ1. 求证：A、B、C三点共线



思路：通过向量共线(如ABkAC)得三点共线.

证明：如图,由λμ1得λ1

μ,则

OBλOAμOC(1μ)OAμOC OBOAμ(OCOA) ABμAC

A、B、C三点共线.

思考：1. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法,点O具有灵活性；

：若A、B、C三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，满 2. 反之也成立（证明略）



足OBλOAμOC,且λμ1.揭示了三点贡献的又一个性质；

11

3. 特别地，λμ时，OB(OAOC)，点B为AC的中点，揭示了

22

中线OB的一个向量公式，应用广泛.

应用举例

平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN例1 如图，

用向量法证明：M、N、C三点共线.


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