第一讲：平面几何——梅涅劳斯定理、塞瓦定理
定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.
ABC 的三边BC 、AC 、AB 或其延长线交于D 、E 、F
三点，则 :
BD CE AF
. . =1 DC EA
FB
1）不过顶点的直线与三角形3 边的关系有两种情况：①若直线与三角形的一
边交于内点，则必与第二边交于内点，与第三边交于外点（延长线上的点）；②直线与三角形的三边均交于外点，因而本定理的图形有两个.
（2）定理的结构是：三角形三边上6条被截线段的比，首尾相连，组成一个比值为1 的等式. （3）这个定理反映了形与数的转化，是几何位置的定量描述：“三点共线”量化为比值等于“1”；反过来，若比值等于“1”成立时，可证“三点共线”（逆定理也成立）.
B 点到分点C 点到分点
⋅=1.
分点到C 点分点到A 点
（1）简易证法一：（平行线分线段成比例）过A 作AG //BC 交DF 延长线于G ，
AF AG CE CD
==∵AG //BC ，∴，， FB BD EA AG
AF CE BD AG CD BD AF BD CE
⋅⋅=⋅⋅=1，∴⋅⋅=1. ∴
FB EA CD BD AG CD FB DC EA
（2）简易证法二：（垂线构造线段成比例）分别过A 、B 、C 作AA ' 、BB ' 、CC ' 垂直
已知直线，由直角三角形相似比，易知
AF
FB AF
∴
FB AA ' BD BB ' CE CC '
==、、，
BB ' DC CC ' EA AA ' BD CE AA ' BB ' CC ' ⋅⋅=⋅⋅=
1. DC EA BB ' CC ' AA ' =
（3）其它证法：三角形面积比、正弦定理等方法涉及后面解三角形知识（置后）. （1）逆定理：（常用于证明三点共线）如果有三点D 、E 、F 分别在三角形ABC 的三
AF BD CE
⋅⋅
=1，则三点D 、E 、F 在同一直线上.
边或其延长线，且满足：
FB DC EA
1
（2）角元形式的梅涅劳斯定理：如果一直线顺次与三角形ABC 的三边BC 、AC 、AB
或其延长线交于
D 、E 、F
三点，则三点
DEF
共线等价于
sin ∠BAD sin ∠CBE sin ∠ACF
⋅⋅=1.
sin ∠DAC sin ∠EBA sin ∠FCB 例题1：已知过∆ABC 顶点C 的直线，与边AB 及中
AE 2AF
=线AD 分别交于点F 和E ，求证：. ED FB
证明：直线CEF 截∆ABD ，由梅涅劳斯定理，
得：
C
AF BC DE AF DE 1AE 2AF
⋅⋅=1，又BC =2CD ，∴⋅=，则=. FB CD EA FB EA 2ED FB
[注]此例证法甚多，如“平行线”、“面积法”等.
变式练习１：在△ABC 中，AG 是角平分线，D 是BC 中点，
DG ⊥AG 交AB 于E ，交AC 延长线与F ，求证：BE=CF=
1
(AB -AC ) ． 2
F
例题2：已知过∆ABC 重心G 的直线分别交边AB 、AC 及CB 延长线于点E 、F 、D ，
求证：
BE CF
+=1. EA FA
证明：连接AG 并延长交BC 于M ，则BM =CM
∵DEG 截∆ABM ，
BE AG MD ⋅⋅=1； EA GM DB
CF AG MD
⋅⋅=1 同理：
FA GM DC BE GM DB CF GM DC
=⋅=⋅∴，， EA AG MD FA AG MD
BE CF GM (DB +DC ) GM DB +DC 12BE CF
+==⋅=⨯=1，即+=1. ∴
EA FA AG ⋅MD AG MD 21EA FA
∴由梅氏定理得，
2
C
变式练习２：（塞瓦（Ceva ）定理）在△ABC 内任取一点O ，直线AO 、BO 、CO 分别交
AF BD CE
⋅⋅=1． 对边于D 、E 、F ，求证：
FB DC EA
例题1：若∆ABC 的∠A 的外角平分线交边BC 延长线于P ，∠B 的平分线交边AC 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，则P 、Q 、R 三点共线. 证明：由三角形内、外角平分线定理知：
BP BA CQ BC AR CA
=== ，，， PC CA QA AB RB CB
则
AR BP CQ CA BA BC ⋅⋅=⋅⋅=1， RB PC QA CB CA AB
P
故P 、Q 、R 三点共线.
变式练习１：（帕斯卡（Pascal ）定理）圆内接六边形ABCDEF 的三双对边的延长线
交于三点P 、Q 、R ，则这三点共线．（此线称为帕斯卡线）
3
例题2：（莱莫恩（Lemoine ）定理）过任意∆ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆
的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线.
证明：∵CR 是⊙O 的切线，
RA RC AC
==， RC RB CB
RA RA RC AC 2
=⋅=() ， 则
RB RC RB CB
∴∆RAC ∽∆RCB ，∴同理：
BP AB 2CQ BC 2
=() ，=() CP AC QA BA
∴
AR BP CQ CA BA BC 2⋅⋅=() 2⋅() 2⋅() =1， RB PC QA CB CA AB
故P 、Q 、R 三点共线.
变式练习2：（西姆松（Simson ）定理）若从△ABC 的外接圆上一点P 作BC 、AB 、AC
的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．（此线常称为西姆松线）
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第一讲：平面几何——梅涅劳斯定理、塞瓦定理
定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.
ABC 的三边BC 、AC 、AB 或其延长线交于D 、E 、F
三点，则 :
BD CE AF
. . =1 DC EA
FB
1）不过顶点的直线与三角形3 边的关系有两种情况：①若直线与三角形的一
边交于内点，则必与第二边交于内点，与第三边交于外点（延长线上的点）；②直线与三角形的三边均交于外点，因而本定理的图形有两个.
（2）定理的结构是：三角形三边上6条被截线段的比，首尾相连，组成一个比值为1 的等式. （3）这个定理反映了形与数的转化，是几何位置的定量描述：“三点共线”量化为比值等于“1”；反过来，若比值等于“1”成立时，可证“三点共线”（逆定理也成立）.
B 点到分点C 点到分点
⋅=1.
分点到C 点分点到A 点
（1）简易证法一：（平行线分线段成比例）过A 作AG //BC 交DF 延长线于G ，
AF AG CE CD
==∵AG //BC ，∴，， FB BD EA AG
AF CE BD AG CD BD AF BD CE
⋅⋅=⋅⋅=1，∴⋅⋅=1. ∴
FB EA CD BD AG CD FB DC EA
（2）简易证法二：（垂线构造线段成比例）分别过A 、B 、C 作AA ' 、BB ' 、CC ' 垂直
已知直线，由直角三角形相似比，易知
AF
FB AF
∴
FB AA ' BD BB ' CE CC '
==、、，
BB ' DC CC ' EA AA ' BD CE AA ' BB ' CC ' ⋅⋅=⋅⋅=
1. DC EA BB ' CC ' AA ' =
（3）其它证法：三角形面积比、正弦定理等方法涉及后面解三角形知识（置后）. （1）逆定理：（常用于证明三点共线）如果有三点D 、E 、F 分别在三角形ABC 的三
AF BD CE
⋅⋅
=1，则三点D 、E 、F 在同一直线上.
边或其延长线，且满足：
FB DC EA
1
（2）角元形式的梅涅劳斯定理：如果一直线顺次与三角形ABC 的三边BC 、AC 、AB
或其延长线交于
D 、E 、F
三点，则三点
DEF
共线等价于
sin ∠BAD sin ∠CBE sin ∠ACF
⋅⋅=1.
sin ∠DAC sin ∠EBA sin ∠FCB 例题1：已知过∆ABC 顶点C 的直线，与边AB 及中
AE 2AF
=线AD 分别交于点F 和E ，求证：. ED FB
证明：直线CEF 截∆ABD ，由梅涅劳斯定理，
得：
C
AF BC DE AF DE 1AE 2AF
⋅⋅=1，又BC =2CD ，∴⋅=，则=. FB CD EA FB EA 2ED FB
[注]此例证法甚多，如“平行线”、“面积法”等.
变式练习１：在△ABC 中，AG 是角平分线，D 是BC 中点，
DG ⊥AG 交AB 于E ，交AC 延长线与F ，求证：BE=CF=
1
(AB -AC ) ． 2
F
例题2：已知过∆ABC 重心G 的直线分别交边AB 、AC 及CB 延长线于点E 、F 、D ，
求证：
BE CF
+=1. EA FA
证明：连接AG 并延长交BC 于M ，则BM =CM
∵DEG 截∆ABM ，
BE AG MD ⋅⋅=1； EA GM DB
CF AG MD
⋅⋅=1 同理：
FA GM DC BE GM DB CF GM DC
=⋅=⋅∴，， EA AG MD FA AG MD
BE CF GM (DB +DC ) GM DB +DC 12BE CF
+==⋅=⨯=1，即+=1. ∴
EA FA AG ⋅MD AG MD 21EA FA
∴由梅氏定理得，
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C
变式练习２：（塞瓦（Ceva ）定理）在△ABC 内任取一点O ，直线AO 、BO 、CO 分别交
AF BD CE
⋅⋅=1． 对边于D 、E 、F ，求证：
FB DC EA
例题1：若∆ABC 的∠A 的外角平分线交边BC 延长线于P ，∠B 的平分线交边AC 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，则P 、Q 、R 三点共线. 证明：由三角形内、外角平分线定理知：
BP BA CQ BC AR CA
=== ，，， PC CA QA AB RB CB
则
AR BP CQ CA BA BC ⋅⋅=⋅⋅=1， RB PC QA CB CA AB
P
故P 、Q 、R 三点共线.
变式练习１：（帕斯卡（Pascal ）定理）圆内接六边形ABCDEF 的三双对边的延长线
交于三点P 、Q 、R ，则这三点共线．（此线称为帕斯卡线）
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例题2：（莱莫恩（Lemoine ）定理）过任意∆ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆
的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线.
证明：∵CR 是⊙O 的切线，
RA RC AC
==， RC RB CB
RA RA RC AC 2
=⋅=() ， 则
RB RC RB CB
∴∆RAC ∽∆RCB ，∴同理：
BP AB 2CQ BC 2
=() ，=() CP AC QA BA
∴
AR BP CQ CA BA BC 2⋅⋅=() 2⋅() 2⋅() =1， RB PC QA CB CA AB
故P 、Q 、R 三点共线.
变式练习2：（西姆松（Simson ）定理）若从△ABC 的外接圆上一点P 作BC 、AB 、AC
的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．（此线常称为西姆松线）
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