第七章 生活中的轴对称
一、轴对称
1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。注意：有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．
2、理解轴对称图形要抓住以下几点：1）指一个图形；2）存在一条直线（对称轴）；3）图形被直线分成的两部分互相重合；4）轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条；5）线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形； 3、简单的轴对称图形：
线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线． 角：有一条对称轴：该角的平分线所在的直线．
等腰(非等边）三角形：有一条对称轴，底边中垂线． 等边三角形：有三条对称轴：每条边的中垂线． 3、轴对称的性质
1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点（对称点），能够重合的线段称为对应线段，能够重合的角称为对应角。
2、关于某条直线对称的两个图形是全等图形。但全等图形不一定成轴对称。 3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。 4、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。 5、对称轴是对应点的垂直平分线，对应点的连线互相平行。
6、如果两点所连线段被一条直线垂直平分，那这两点关于这条直线对称。
二、角是轴对称图形
1）角是轴对称图形
如图（1），设OC是∠AOB的角平分线，若沿着OC将∠AOB对折，则∠AOC与∠BOC能够完全重合，因此，角是轴对称图形，而角平分线所在直线就是它的对称轴，也只有这一条对称轴。
2）点到直线的距离
如图（2），设A为直线l外一点，过点A作l的垂线，垂足为B，则线段AB的长叫做点A到直线l的距离，而当A在直线l上时，我们认为A到直线l的距离为0。 2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
三、线段的垂直平分线（简称中垂线）：
定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。又叫线段的中垂线。
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
四、用坐标表示轴对称
1、关于坐标轴对称
点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y） 点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y） 2、关于原点对称
点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y） 3、关于坐标轴夹角平分线对称]
点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y，x） 点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x对称的点的坐标是（-y，-x） 4、关于平行于坐标轴的直线对称
点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m-x，y）； 点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2n-y）；
五、等腰三角形
1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰；另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。
2、等腰三角形的性质：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。 3、等腰三角形的判定：
1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等，简写为“等角对等边”。
4、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（等边三角形除外），其底边上的高或顶角的平分线，或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴。
5、等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴，它们所在的直线才是等腰三角
形的对称轴。 6、等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合，简称为“三线合一”。 它们所在直线都是等腰三角形的对称轴。“三线合一”是等腰三角形所特有的性质，一般三角形不具备这一重要性质。
7、有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形． 8、有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形． 9、有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形． 10、有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．
六、等边三角形：
1、等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形。又称正三角形，是最特殊的三角形。等边三角形有三条对称轴。 2、等边三角形的性质与判定定理：
1）等边三角形是底与腰相等的等腰三角形，所以等边三角形具备等腰三角形的所有性质。
2）等边三角形有三条对称轴，三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴。
3）等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于60° 4）三个角都相等的三角形是等边三角形
5）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
七、轴对称图形的性质
1）关于某条直线对称的两个图形是全等图形。
2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
注意：上面的（2）与（4）是互逆的两个命题，（2）可以看成是轴对称图形的性质定理，（4）则是判定定理。
八、镜面对称的性质
1、1）任何一个平面图形（物体）在镜子中的像与它是可以完全重合的。因此，一个轴对称图形在镜中的像仍是轴对称图形。
2）若一个平面图形正对镜面，则其左（右）侧在镜中的像是其像的右（左）侧。若一个平面图形（物体）垂直镜面放置，则靠近镜面的部分，其像也靠近于镜面。 2、关于数字0、1、3、8在镜面中像的两个结论：
1）如果写数字的纸条垂直于镜面摆放，则纸条上写的0、1、3、8所成的像与原来的数字完全一样。
2）如果纸条正对镜面摆放，则纸条上写的0、1、8这三个数字在镜中的像和原来的数字完全一样。
3、像与物体到镜面的距离相等。
4、像与物体的对应点连线被镜面垂直平分。
九、图案设计：
1、作出简单平面图形经过轴对称后的图形，实际上是轴对称图形的性质的灵活运用。 2、作出简单平面图形经过轴对称后的图形的步骤: 1）首先要确定一个简单平面图形上的几个特殊点；
2）然后利用轴对称的性质，作出其相应的对称点（对应点所连的线段被对称轴垂直平分）。 3）分别连接其对称点，则可得其对称图形。 3、表达方式（以点M为例）：
1）过点M作对称轴l的垂线，垂足为A；
’’’
2）延长MA到M到，使MA=MA，则点M就是点M关于直线l的对称点。
’
3）在复杂的作图中，也可以叙述为：作出点M关于直线l的对称点M. 4、在运用轴对称设计图案时，就注意以下几点： 1）要有明确的设计意图； 2）创意要新颖独特；
3）设计出的图案要符合要求；
4）能清楚地表达自己的设计意图和制作过程。
第七章 生活中的轴对称
一、轴对称
1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。注意：有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．
2、理解轴对称图形要抓住以下几点：1）指一个图形；2）存在一条直线（对称轴）；3）图形被直线分成的两部分互相重合；4）轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条；5）线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形； 3、简单的轴对称图形：
线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线． 角：有一条对称轴：该角的平分线所在的直线．
等腰(非等边）三角形：有一条对称轴，底边中垂线． 等边三角形：有三条对称轴：每条边的中垂线． 3、轴对称的性质
1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点（对称点），能够重合的线段称为对应线段，能够重合的角称为对应角。
2、关于某条直线对称的两个图形是全等图形。但全等图形不一定成轴对称。 3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。 4、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。 5、对称轴是对应点的垂直平分线，对应点的连线互相平行。
6、如果两点所连线段被一条直线垂直平分，那这两点关于这条直线对称。
二、角是轴对称图形
1）角是轴对称图形
如图（1），设OC是∠AOB的角平分线，若沿着OC将∠AOB对折，则∠AOC与∠BOC能够完全重合，因此，角是轴对称图形，而角平分线所在直线就是它的对称轴，也只有这一条对称轴。
2）点到直线的距离
如图（2），设A为直线l外一点，过点A作l的垂线，垂足为B，则线段AB的长叫做点A到直线l的距离，而当A在直线l上时，我们认为A到直线l的距离为0。 2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
三、线段的垂直平分线（简称中垂线）：
定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。又叫线段的中垂线。
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
四、用坐标表示轴对称
1、关于坐标轴对称
点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y） 点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y） 2、关于原点对称
点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y） 3、关于坐标轴夹角平分线对称]
点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y，x） 点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x对称的点的坐标是（-y，-x） 4、关于平行于坐标轴的直线对称
点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m-x，y）； 点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2n-y）；
五、等腰三角形
1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰；另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。
2、等腰三角形的性质：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。 3、等腰三角形的判定：
1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等，简写为“等角对等边”。
4、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（等边三角形除外），其底边上的高或顶角的平分线，或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴。
5、等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴，它们所在的直线才是等腰三角
形的对称轴。 6、等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合，简称为“三线合一”。 它们所在直线都是等腰三角形的对称轴。“三线合一”是等腰三角形所特有的性质，一般三角形不具备这一重要性质。
7、有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形． 8、有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形． 9、有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形． 10、有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．
六、等边三角形：
1、等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形。又称正三角形，是最特殊的三角形。等边三角形有三条对称轴。 2、等边三角形的性质与判定定理：
1）等边三角形是底与腰相等的等腰三角形，所以等边三角形具备等腰三角形的所有性质。
2）等边三角形有三条对称轴，三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴。
3）等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于60° 4）三个角都相等的三角形是等边三角形
5）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
七、轴对称图形的性质
1）关于某条直线对称的两个图形是全等图形。
2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
注意：上面的（2）与（4）是互逆的两个命题，（2）可以看成是轴对称图形的性质定理，（4）则是判定定理。
八、镜面对称的性质
1、1）任何一个平面图形（物体）在镜子中的像与它是可以完全重合的。因此，一个轴对称图形在镜中的像仍是轴对称图形。
2）若一个平面图形正对镜面，则其左（右）侧在镜中的像是其像的右（左）侧。若一个平面图形（物体）垂直镜面放置，则靠近镜面的部分，其像也靠近于镜面。 2、关于数字0、1、3、8在镜面中像的两个结论：
1）如果写数字的纸条垂直于镜面摆放，则纸条上写的0、1、3、8所成的像与原来的数字完全一样。
2）如果纸条正对镜面摆放，则纸条上写的0、1、8这三个数字在镜中的像和原来的数字完全一样。
3、像与物体到镜面的距离相等。
4、像与物体的对应点连线被镜面垂直平分。
九、图案设计：
1、作出简单平面图形经过轴对称后的图形，实际上是轴对称图形的性质的灵活运用。 2、作出简单平面图形经过轴对称后的图形的步骤: 1）首先要确定一个简单平面图形上的几个特殊点；
2）然后利用轴对称的性质，作出其相应的对称点（对应点所连的线段被对称轴垂直平分）。 3）分别连接其对称点，则可得其对称图形。 3、表达方式（以点M为例）：
1）过点M作对称轴l的垂线，垂足为A；
’’’
2）延长MA到M到，使MA=MA，则点M就是点M关于直线l的对称点。
’
3）在复杂的作图中，也可以叙述为：作出点M关于直线l的对称点M. 4、在运用轴对称设计图案时，就注意以下几点： 1）要有明确的设计意图； 2）创意要新颖独特；
3）设计出的图案要符合要求；
4）能清楚地表达自己的设计意图和制作过程。