三角函数 解三角形
⎧正角:按逆时针方向旋转形成的角⎪
1、任意角⎨负角:按顺时针方向旋转形成的角
⎪零角:不作任何旋转形成的角⎩
2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．
{}第二象限角的集合为{αk ⋅360+90
第三象限角的集合为{αk ⋅360+180
终边在y 轴上的角的集合为{αα=k ⋅180+90, k ∈Z} 终边在坐标轴上的角的集合为{αα=k ⋅90, k ∈Z}
3、与角α终边相同的角的集合为{ββ=k ⋅360+α, k ∈Z}
第一象限角的集合为αk ⋅360
4、已知α是第几象限角，确定
α
(n ∈N)所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴n
*
的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为区域．
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．
6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是α=7、弧度制与角度制的换算公式：
α
终边所落在的n
l ． r
2π=360 ，π弧度=180 ，1 =
π180
弧度，1弧度=(180) ≈5718
π
'
8、若扇形的圆心角为αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l =r ，C =2r +l ，
()
11
S =lr =αr 2．
22
y x y
, cos α=, tan α= r r x
10．三角函数线的特征是：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点A (1,0)处(起点是A )”.
9．三角函数定义：sin α=
11各象限角的各种三角函数值符号: 一全二正弦, 三切四余弦
T
B S
O M x
sin α=
y x y cos α= tan α=, r r x
2
1-c o αs
12. 同角三角函数的基本关系：
2
α=(1)sin 2α+cos 2α=1 (s i n
2
, c αo s =-12αi n )s ；
(2)
sin α
=tan α cos α
sin α⎫⎛
sin α=tan αcos α,cos α= ⎪．
tan α⎝⎭
13. 角函数的诱导公式：
(1)sin (2k π+α)=sin α，cos (2k π+α)=cos α，tan (2k π+α)=tan α．
(2)sin (π+α)=-sin α，cos (π+α)=-cos α，tan (π+α)=tan α． (3)sin (-α)=-sin α，cos (-α)=cos α，tan (-α)=-tan α．
(4)sin (π-α)=sin α，cos (π-α)=-cos α，tan (π-α)=-tan α．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
(5)sin ⎛
⎫⎛π⎫
-α⎪=cos α，cos -α⎪=sin α． ⎝2⎭⎝2⎭π⎫⎛π⎫
，+α=cos αcos +α(6)sin ⎛ ⎪ ⎪=-sin α． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
⎝2⎭⎝2⎭
π
14．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
①sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β②cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β③tan(α±β) =
tan α±tan β
。
1 tan αtan β
④sin 2α=2sin αcos α；⑤cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；⑥tan 2α=
2tan α
。 2
1-tan α
15．三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：
“一角二名三结构”。即首先观察角与角之间的关系；第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”； 第三观察代数式的结构特点。
（1）巧变角：如α=(α+β) -β=(α-β) +β，2α=(α+β) +(α-β) ，
α+βα+ββ
，2α=(β+α) -(β-α) ，α+β=2⋅=α---β等；
2222
(2)三角函数次数的降升
1+cos2α1-cos 2α
(降幂公式：cos 2α=，sin 2α=与升幂公式：1+cos2α=2cos 2α，1-cos2α=2sin 2α) 。
22
()(
)
（3）设置辅助角
：a sin x +b cos x =
(x +θ)(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，
θ角的值由tan θ=
16. 图像变换
b
确定) 在求最值、化简时起着重要作用。 a
法一：函数y =sin x 的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数y =sin (x +ϕ)的图象；再将函数y =sin (x +ϕ)的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
倍（纵坐标不变），得到函数ω
y =sin (ωx +ϕ)的图象；再将函数y =sin (ωx +ϕ)的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍
（横坐标不变），得到函数y =Asin (ωx +ϕ)的图象．
法二：函数y =sin x 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
y =sin ωx 的图象；再将函数y =sin ωx 的图象上所有点向左（右）平移
（横坐标不变），得到函数y =Asin (ωx +ϕ)的图象．
1
倍（纵坐标不变），得到函数ω
ϕ
ω
个单位长度，得到函数
y =sin (ωx +ϕ)的图象；再将函数y =sin (ωx +ϕ)的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍
18. 函数y =Asin (ωx +ϕ)(A>0, ω>0)的性质： ①振幅：A；②周期：T=
2π
ω
；③频率：f =
1ω
；④相位：ωx +ϕ；⑤初相：ϕ． =
T2π
函数y =Asin (ωx +ϕ)+B，当x =x 1时，取得最小值为y min ；当x =x 2时，取得最大值为y max ，则
A=
11T
(y max -y min )，B=(y max +y min )，=x 2-x 1(x 1
19五点描点法
a b c
===2R 20. 正弦定理：在△ABC 中，
sin A sin B sin C
（
1）可解决问题：①已知两边和一角 ②已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。 （2）正弦定理的变形公式：
a b c ，sin B=，sin C =； 2R 2R 2R
a +b +c a b c
③a :b :c =sin A:sinB:sinC ； ④． ===
sin A+sin B+sin C sin Asin Bsin C
①a =2R sin A，b =2R sin B，c =2R sin C ； ②sin A=21. 三角形解的个数的讨论 方法一：画图看
方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数。
(1)若Ａ≥９０°时，则有 ①a>b时有一解； ②a ≤b 时无解.
（2）若Ａ＜９０°时，则有 ①若a ＜bsinA ，则无解； ②若a ＝bsinA ，则有一解；
③若bsinA ＜a ＜b ，则有两解； ④若a ≥b ，则有一解. 22. 余弦定理： a =b +c -2bc cos A，b =a +c -2ac cos B，c =a +b -2ab cos C ．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b 2+c 2-a 2a 2+c 2-b 2a 2+b 2-c 2
（1）余弦定理的推论：cos A=，cos B=，cos C =．
2bc 2ab 2ac
（2）可解决问题：①已知三边求三角 ②已知两边及夹角，解三角形
111
bc sin A=ab sin C =ac sin B． 222
A +B C C A +B
24. 在△ABC 中：①sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=--cosC ，sin =cos，cos =sin
2222
23. 三角形面积公式：S ∆ABC =
②若a +b =c ，则C =90； 若a +b >c ，则C 90． ③A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B =60︒
④∆ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列 ⑤等边对等角，等角对等边，大边对大角，大角对大边。 ⑥三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
2
2
2
222 222
六 常规函数的图像
常规函数图像主要有：
指数函数：逆时针旋转， 底数越来越大
对数函数：逆时针旋转， 底数越来越小
幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。其他象限图象看函数奇偶性确定。
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.
第九章 直线、平面、简单几何体
Ⅰ、平行与垂直位置关系的论证
1、线线、线面、面面平行关系的转化：
面面平行性质 α//β
α γ=a , β γ
⇒a //b
⎫
⎬=b ⎭
2、 线线、线面、面面垂直关系的转化：
面面垂直定义
α β=l ，且二面角α-l -β⎫
成直二面角
⎬⇒α⊥β ⎭
3、平行与垂直关系的转化：
a //b ⎫a ⊥α
⎬⇒b ⊥α⎭
a ⊥α⎫a
⊥β⎬⇒α
//β
a ⊥α⎫b ⊥α⎭
⎬⇒
a //b
α//β⎫
a ⊥α
4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”其中核心的位置关系
是 ，它既与其它位置关系有着最紧密的联系，又是解决角度与距离问题的前提，所以在解答立体几何题时，尽可能地先从图形中找出线面垂直的位置关系 Ⅱ、空间中的角与距离的数量关系的求法
三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三指、四算” 即：（1） ； （2） ； （3） （4） 1 、异面直线所成的角θ：
（1）定义：如图
（2）范围： （3）求法： 注：（1）求异面直线所成的角的最关键是要找出一个点，
把其作为角的顶点，然后把两条直线“平行平移”过来，这个角就完成了。 这个点有时很好找，中点、交点、对称点等。
⎬a ⊥β⎭
（2）若用平移转化烦琐或无法平移时，可考虑是否异面垂直，即可通过证明垂直的位置关系得
到90°的数量关系
2、直线与平面所成的角： （1）定义：如图
（2）范围：
（θ=0︒时，b ∥α或b ⊂α）
（3）求法：
即三余弦定理： （其中α、β、θ分 别是斜线与射影（即线与面）、射影与面内线、斜线与面内线所成的角)
3、二面角：
（1）定义 ：
（2）求法：如图，即所谓的常见的点、线、面法
另外，还有
公式法：①、利用面积射影公式，即 （直棱柱中截面与底面夹角）
②、利用异面直线上任意两点间的距离公式l =m +n +d -2mn cos θ
向量法：最后是向量的夹角还是其补角，要在图形中注出法向量的方向后判定，若方向是
同进同出，则是其补角，若是一进一出，则就是此角
注：（1）当二面角由两个等腰三角形构成时，利用底面的两个中线 （2）求正棱锥侧面夹角时，利用全等三角形
（3）若是无棱二面角，一种办法是作出交线，利用结论：若三个平面两两相交于在三条直线，则
三条直线平行或相交于一点，即要么作平行线，要么延长相交，就能作出交线。
另外，也可用面积射影公式
2
2
2
2
三角函数 解三角形
⎧正角:按逆时针方向旋转形成的角⎪
1、任意角⎨负角:按顺时针方向旋转形成的角
⎪零角:不作任何旋转形成的角⎩
2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．
{}第二象限角的集合为{αk ⋅360+90
第三象限角的集合为{αk ⋅360+180
终边在y 轴上的角的集合为{αα=k ⋅180+90, k ∈Z} 终边在坐标轴上的角的集合为{αα=k ⋅90, k ∈Z}
3、与角α终边相同的角的集合为{ββ=k ⋅360+α, k ∈Z}
第一象限角的集合为αk ⋅360
4、已知α是第几象限角，确定
α
(n ∈N)所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴n
*
的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为区域．
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．
6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是α=7、弧度制与角度制的换算公式：
α
终边所落在的n
l ． r
2π=360 ，π弧度=180 ，1 =
π180
弧度，1弧度=(180) ≈5718
π
'
8、若扇形的圆心角为αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l =r ，C =2r +l ，
()
11
S =lr =αr 2．
22
y x y
, cos α=, tan α= r r x
10．三角函数线的特征是：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点A (1,0)处(起点是A )”.
9．三角函数定义：sin α=
11各象限角的各种三角函数值符号: 一全二正弦, 三切四余弦
T
B S
O M x
sin α=
y x y cos α= tan α=, r r x
2
1-c o αs
12. 同角三角函数的基本关系：
2
α=(1)sin 2α+cos 2α=1 (s i n
2
, c αo s =-12αi n )s ；
(2)
sin α
=tan α cos α
sin α⎫⎛
sin α=tan αcos α,cos α= ⎪．
tan α⎝⎭
13. 角函数的诱导公式：
(1)sin (2k π+α)=sin α，cos (2k π+α)=cos α，tan (2k π+α)=tan α．
(2)sin (π+α)=-sin α，cos (π+α)=-cos α，tan (π+α)=tan α． (3)sin (-α)=-sin α，cos (-α)=cos α，tan (-α)=-tan α．
(4)sin (π-α)=sin α，cos (π-α)=-cos α，tan (π-α)=-tan α．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
(5)sin ⎛
⎫⎛π⎫
-α⎪=cos α，cos -α⎪=sin α． ⎝2⎭⎝2⎭π⎫⎛π⎫
，+α=cos αcos +α(6)sin ⎛ ⎪ ⎪=-sin α． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
⎝2⎭⎝2⎭
π
14．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
①sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β②cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β③tan(α±β) =
tan α±tan β
。
1 tan αtan β
④sin 2α=2sin αcos α；⑤cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；⑥tan 2α=
2tan α
。 2
1-tan α
15．三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：
“一角二名三结构”。即首先观察角与角之间的关系；第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”； 第三观察代数式的结构特点。
（1）巧变角：如α=(α+β) -β=(α-β) +β，2α=(α+β) +(α-β) ，
α+βα+ββ
，2α=(β+α) -(β-α) ，α+β=2⋅=α---β等；
2222
(2)三角函数次数的降升
1+cos2α1-cos 2α
(降幂公式：cos 2α=，sin 2α=与升幂公式：1+cos2α=2cos 2α，1-cos2α=2sin 2α) 。
22
()(
)
（3）设置辅助角
：a sin x +b cos x =
(x +θ)(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，
θ角的值由tan θ=
16. 图像变换
b
确定) 在求最值、化简时起着重要作用。 a
法一：函数y =sin x 的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数y =sin (x +ϕ)的图象；再将函数y =sin (x +ϕ)的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
倍（纵坐标不变），得到函数ω
y =sin (ωx +ϕ)的图象；再将函数y =sin (ωx +ϕ)的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍
（横坐标不变），得到函数y =Asin (ωx +ϕ)的图象．
法二：函数y =sin x 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
y =sin ωx 的图象；再将函数y =sin ωx 的图象上所有点向左（右）平移
（横坐标不变），得到函数y =Asin (ωx +ϕ)的图象．
1
倍（纵坐标不变），得到函数ω
ϕ
ω
个单位长度，得到函数
y =sin (ωx +ϕ)的图象；再将函数y =sin (ωx +ϕ)的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍
18. 函数y =Asin (ωx +ϕ)(A>0, ω>0)的性质： ①振幅：A；②周期：T=
2π
ω
；③频率：f =
1ω
；④相位：ωx +ϕ；⑤初相：ϕ． =
T2π
函数y =Asin (ωx +ϕ)+B，当x =x 1时，取得最小值为y min ；当x =x 2时，取得最大值为y max ，则
A=
11T
(y max -y min )，B=(y max +y min )，=x 2-x 1(x 1
19五点描点法
a b c
===2R 20. 正弦定理：在△ABC 中，
sin A sin B sin C
（
1）可解决问题：①已知两边和一角 ②已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。 （2）正弦定理的变形公式：
a b c ，sin B=，sin C =； 2R 2R 2R
a +b +c a b c
③a :b :c =sin A:sinB:sinC ； ④． ===
sin A+sin B+sin C sin Asin Bsin C
①a =2R sin A，b =2R sin B，c =2R sin C ； ②sin A=21. 三角形解的个数的讨论 方法一：画图看
方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数。
(1)若Ａ≥９０°时，则有 ①a>b时有一解； ②a ≤b 时无解.
（2）若Ａ＜９０°时，则有 ①若a ＜bsinA ，则无解； ②若a ＝bsinA ，则有一解；
③若bsinA ＜a ＜b ，则有两解； ④若a ≥b ，则有一解. 22. 余弦定理： a =b +c -2bc cos A，b =a +c -2ac cos B，c =a +b -2ab cos C ．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b 2+c 2-a 2a 2+c 2-b 2a 2+b 2-c 2
（1）余弦定理的推论：cos A=，cos B=，cos C =．
2bc 2ab 2ac
（2）可解决问题：①已知三边求三角 ②已知两边及夹角，解三角形
111
bc sin A=ab sin C =ac sin B． 222
A +B C C A +B
24. 在△ABC 中：①sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=--cosC ，sin =cos，cos =sin
2222
23. 三角形面积公式：S ∆ABC =
②若a +b =c ，则C =90； 若a +b >c ，则C 90． ③A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B =60︒
④∆ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列 ⑤等边对等角，等角对等边，大边对大角，大角对大边。 ⑥三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
2
2
2
222 222
六 常规函数的图像
常规函数图像主要有：
指数函数：逆时针旋转， 底数越来越大
对数函数：逆时针旋转， 底数越来越小
幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。其他象限图象看函数奇偶性确定。
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.
第九章 直线、平面、简单几何体
Ⅰ、平行与垂直位置关系的论证
1、线线、线面、面面平行关系的转化：
面面平行性质 α//β
α γ=a , β γ
⇒a //b
⎫
⎬=b ⎭
2、 线线、线面、面面垂直关系的转化：
面面垂直定义
α β=l ，且二面角α-l -β⎫
成直二面角
⎬⇒α⊥β ⎭
3、平行与垂直关系的转化：
a //b ⎫a ⊥α
⎬⇒b ⊥α⎭
a ⊥α⎫a
⊥β⎬⇒α
//β
a ⊥α⎫b ⊥α⎭
⎬⇒
a //b
α//β⎫
a ⊥α
4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”其中核心的位置关系
是 ，它既与其它位置关系有着最紧密的联系，又是解决角度与距离问题的前提，所以在解答立体几何题时，尽可能地先从图形中找出线面垂直的位置关系 Ⅱ、空间中的角与距离的数量关系的求法
三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三指、四算” 即：（1） ； （2） ； （3） （4） 1 、异面直线所成的角θ：
（1）定义：如图
（2）范围： （3）求法： 注：（1）求异面直线所成的角的最关键是要找出一个点，
把其作为角的顶点，然后把两条直线“平行平移”过来，这个角就完成了。 这个点有时很好找，中点、交点、对称点等。
⎬a ⊥β⎭
（2）若用平移转化烦琐或无法平移时，可考虑是否异面垂直，即可通过证明垂直的位置关系得
到90°的数量关系
2、直线与平面所成的角： （1）定义：如图
（2）范围：
（θ=0︒时，b ∥α或b ⊂α）
（3）求法：
即三余弦定理： （其中α、β、θ分 别是斜线与射影（即线与面）、射影与面内线、斜线与面内线所成的角)
3、二面角：
（1）定义 ：
（2）求法：如图，即所谓的常见的点、线、面法
另外，还有
公式法：①、利用面积射影公式，即 （直棱柱中截面与底面夹角）
②、利用异面直线上任意两点间的距离公式l =m +n +d -2mn cos θ
向量法：最后是向量的夹角还是其补角，要在图形中注出法向量的方向后判定，若方向是
同进同出，则是其补角，若是一进一出，则就是此角
注：（1）当二面角由两个等腰三角形构成时，利用底面的两个中线 （2）求正棱锥侧面夹角时，利用全等三角形
（3）若是无棱二面角，一种办法是作出交线，利用结论：若三个平面两两相交于在三条直线，则
三条直线平行或相交于一点，即要么作平行线，要么延长相交，就能作出交线。
另外，也可用面积射影公式
2
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