10-11-2《几何与代数》
数学实验报告
学号： 姓名： 得分： . 要求：报告中应包含实验中你所输入的所有命令及运算结果，用
前交给任课老师。
实验一：
某市有下图所示的交通图，每条道路都是单行线，需要调查每条道路每小时的车流量。图中的数字表示该路段的车流数。如果每个道口进入和离开的车辆数相同，整个街区进入和离开的车辆数也相同。
A 4纸打印．并在第15周之
（1） 建立描述每条道路车流量的线性方程组； （2） 分析哪些流量数据是多余的；
（3） 为了确定未知流量，需要增添哪几条道路的车流量统计？
解：（1）因为假设每个道口进入和离开的车辆数相同，整个街区进入和离开的车辆数也相
同，所以每个节点（交叉口）进入的车数和离开的车数相等， 由此可建立线性方程组：
x1+x7=180+220； x1-x2+x9=300; x2-x11=300-100; x3+x7-x8=350; x3-x4+x9-x10=0; x4-x11+x12=500; x5+x8=150+160;
x5-x6+x10=400; x6-x12=150-290;
(2) 把线性方程组的增广矩阵输入matlab 软件：
>>A=[1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,400; 1,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,300; 0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,200; 0,0,1,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,350; 0,0,-1,1,0,0,0,0,-1,1,0,0,0; 0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,1,500; 0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,310; 0,0,0,0,1,-1,0,0,0,1,0,0,400; 0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,-140]
点击“回车”键，
A =
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 400 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 300 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 200 0 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 350 0 0 -1 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 1 500 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 310 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 1 0 0 400 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 -140
把增广矩阵经初等变换成最简阶梯型矩阵 >> rref(A)
点击“回车”键，得到最简阶梯型矩阵 ans =
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 500 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 200 0 0 1 0 0 0 0 0 1 -1 -1 1 500 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 1 500 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 260 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 -140 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 1 0 -100 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 1 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
由于最简阶梯型矩阵最后一行均为“0”，所以最后一个方程中的数据“150”和“290”是多余的。
（4） 由于（2）中的最简阶梯型矩阵的1-8行均存在非零首元，所以x9,x10,x11,x12可
作为自由未知量，x1-x8可用x9,x10,x11,x12表示，故只需要增添x9,x10,x11,x12这四条道路的车流量统计即可。统计完成后，把x9,x10,x11,x12的数据带入方程组的通解：
x1=-x9+x11+500; x2=x11+200;
x3=-x9+x10+x11-x12+500; x4=x11-x12+500; x5=-x10+x12+260; x6=x12-140; x7=x9-x11-100; x8=x10-x12+50;
可确定所有街道的流量。
实验二：
“eigshow ”是Matlab 中平面线性变换的演示函数。对于2⨯2矩阵A ，键入eigshow （A ）， 显示不同的单位向量x 及经变换后的向量y =Ax 。用鼠标拖动x 旋转，可以使x 产生一个
⎛12⎫⎛31⎫⎛3-1⎫单位圆，并显示Ax 所产生的轨迹。分别对矩阵A = ⎪, B = ⎪, C = ⎪，
212323⎝⎭⎝⎭⎝⎭
考察单位向量x 变化时，变换后所得向量y 的轨迹，回答下列问题，并用代数方法解释。
（1）问：x 和y 会不会在同一直线上？
（2）如果x 和y 在同一直线上，它们的长度之比是多少？ （3）对什么样的矩阵，y 的轨迹是一直线段？
（4）你还发现什么有什么规律？
在matlab 中
>> A=[1,2;2,1]
点击“回车”键，得 A =
1 2 2 1
>> eigshow(A)
点击“回车”键，在新窗口中拉动x 的坐标，显示如下图形
同理，按上述操作输入矩阵B ，拉动x ，得到如下相应图形：
输入矩阵C ，拉动x
，得到如下相应图形：
（1） 根据输入矩阵的不同，x,y 会同时在一条直线上，当输入的矩阵P=kE时（E
为单位矩阵，k 为不等于零的常数）时，x,y 在同一直线上;
因为对于平面上任意点x(m;n),有y=(k,0;0,k)*（m;n ）=(km;kn).此时y=(km;kn)=k(m;n)=kx.所以y 与x 共线。
（2） 当x 和y 在同一直线上时，有(1)可知，y 和x 的长度之比为变换矩阵P=kE中的k;
因为由（1）知此时y=kx,所以长度之比为k.
（3） 当y 的轨迹是一直线段时，输入的矩阵为P 的行列式应该为0；
因为对于变换矩阵P=(a,b;c,d),平面上任意点x=(m；n) ，y=P*x=(am+bn,cm+dn),如果矩阵P 的行列式为零，即ad=bc，
y=(am+bn;cm+dn)=(am+bn;adm/b+bcn/a)=(am+bn;d/b(am+bn)),也就是说当Q 的行列式为零时，y 的从坐标与其横坐标成线性关系，所以此时y 的轨迹是一条线段。
（4） 我还发现，当变换矩阵的行列式大于零时，拉动x 时，y 的旋转方向与x 的旋
转方向相同；当变换矩阵的行列式小于零时，拉动x 时，y 的旋转方向与x 的旋转方向相反；
10-11-2《几何与代数》
数学实验报告
学号： 姓名： 得分： . 要求：报告中应包含实验中你所输入的所有命令及运算结果，用
前交给任课老师。
实验一：
某市有下图所示的交通图，每条道路都是单行线，需要调查每条道路每小时的车流量。图中的数字表示该路段的车流数。如果每个道口进入和离开的车辆数相同，整个街区进入和离开的车辆数也相同。
A 4纸打印．并在第15周之
（1） 建立描述每条道路车流量的线性方程组； （2） 分析哪些流量数据是多余的；
（3） 为了确定未知流量，需要增添哪几条道路的车流量统计？
解：（1）因为假设每个道口进入和离开的车辆数相同，整个街区进入和离开的车辆数也相
同，所以每个节点（交叉口）进入的车数和离开的车数相等， 由此可建立线性方程组：
x1+x7=180+220； x1-x2+x9=300; x2-x11=300-100; x3+x7-x8=350; x3-x4+x9-x10=0; x4-x11+x12=500; x5+x8=150+160;
x5-x6+x10=400; x6-x12=150-290;
(2) 把线性方程组的增广矩阵输入matlab 软件：
>>A=[1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,400; 1,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,300; 0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,200; 0,0,1,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,350; 0,0,-1,1,0,0,0,0,-1,1,0,0,0; 0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,1,500; 0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,310; 0,0,0,0,1,-1,0,0,0,1,0,0,400; 0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,-140]
点击“回车”键，
A =
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 400 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 300 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 200 0 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 350 0 0 -1 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 1 500 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 310 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 1 0 0 400 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 -140
把增广矩阵经初等变换成最简阶梯型矩阵 >> rref(A)
点击“回车”键，得到最简阶梯型矩阵 ans =
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 500 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 200 0 0 1 0 0 0 0 0 1 -1 -1 1 500 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 1 500 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 260 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 -140 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 1 0 -100 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 1 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
由于最简阶梯型矩阵最后一行均为“0”，所以最后一个方程中的数据“150”和“290”是多余的。
（4） 由于（2）中的最简阶梯型矩阵的1-8行均存在非零首元，所以x9,x10,x11,x12可
作为自由未知量，x1-x8可用x9,x10,x11,x12表示，故只需要增添x9,x10,x11,x12这四条道路的车流量统计即可。统计完成后，把x9,x10,x11,x12的数据带入方程组的通解：
x1=-x9+x11+500; x2=x11+200;
x3=-x9+x10+x11-x12+500; x4=x11-x12+500; x5=-x10+x12+260; x6=x12-140; x7=x9-x11-100; x8=x10-x12+50;
可确定所有街道的流量。
实验二：
“eigshow ”是Matlab 中平面线性变换的演示函数。对于2⨯2矩阵A ，键入eigshow （A ）， 显示不同的单位向量x 及经变换后的向量y =Ax 。用鼠标拖动x 旋转，可以使x 产生一个
⎛12⎫⎛31⎫⎛3-1⎫单位圆，并显示Ax 所产生的轨迹。分别对矩阵A = ⎪, B = ⎪, C = ⎪，
212323⎝⎭⎝⎭⎝⎭
考察单位向量x 变化时，变换后所得向量y 的轨迹，回答下列问题，并用代数方法解释。
（1）问：x 和y 会不会在同一直线上？
（2）如果x 和y 在同一直线上，它们的长度之比是多少？ （3）对什么样的矩阵，y 的轨迹是一直线段？
（4）你还发现什么有什么规律？
在matlab 中
>> A=[1,2;2,1]
点击“回车”键，得 A =
1 2 2 1
>> eigshow(A)
点击“回车”键，在新窗口中拉动x 的坐标，显示如下图形
同理，按上述操作输入矩阵B ，拉动x ，得到如下相应图形：
输入矩阵C ，拉动x
，得到如下相应图形：
（1） 根据输入矩阵的不同，x,y 会同时在一条直线上，当输入的矩阵P=kE时（E
为单位矩阵，k 为不等于零的常数）时，x,y 在同一直线上;
因为对于平面上任意点x(m;n),有y=(k,0;0,k)*（m;n ）=(km;kn).此时y=(km;kn)=k(m;n)=kx.所以y 与x 共线。
（2） 当x 和y 在同一直线上时，有(1)可知，y 和x 的长度之比为变换矩阵P=kE中的k;
因为由（1）知此时y=kx,所以长度之比为k.
（3） 当y 的轨迹是一直线段时，输入的矩阵为P 的行列式应该为0；
因为对于变换矩阵P=(a,b;c,d),平面上任意点x=(m；n) ，y=P*x=(am+bn,cm+dn),如果矩阵P 的行列式为零，即ad=bc，
y=(am+bn;cm+dn)=(am+bn;adm/b+bcn/a)=(am+bn;d/b(am+bn)),也就是说当Q 的行列式为零时，y 的从坐标与其横坐标成线性关系，所以此时y 的轨迹是一条线段。
（4） 我还发现，当变换矩阵的行列式大于零时，拉动x 时，y 的旋转方向与x 的旋
转方向相同；当变换矩阵的行列式小于零时，拉动x 时，y 的旋转方向与x 的旋转方向相反；