东南大学几何与代数(B)数学实验报告

10-11-2《几何与代数》

数学实验报告

学号: 姓名: 得分: . 要求:报告中应包含实验中你所输入的所有命令及运算结果,用

前交给任课老师。

实验一:

某市有下图所示的交通图,每条道路都是单行线,需要调查每条道路每小时的车流量。图中的数字表示该路段的车流数。如果每个道口进入和离开的车辆数相同,整个街区进入和离开的车辆数也相同。

A 4纸打印.并在第15周之

(1) 建立描述每条道路车流量的线性方程组; (2) 分析哪些流量数据是多余的;

(3) 为了确定未知流量,需要增添哪几条道路的车流量统计?

解:(1)因为假设每个道口进入和离开的车辆数相同,整个街区进入和离开的车辆数也相

同,所以每个节点(交叉口)进入的车数和离开的车数相等, 由此可建立线性方程组:

x1+x7=180+220; x1-x2+x9=300; x2-x11=300-100; x3+x7-x8=350; x3-x4+x9-x10=0; x4-x11+x12=500; x5+x8=150+160;

x5-x6+x10=400; x6-x12=150-290;

(2) 把线性方程组的增广矩阵输入matlab 软件:

>>A=[1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,400; 1,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,300; 0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,200; 0,0,1,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,350; 0,0,-1,1,0,0,0,0,-1,1,0,0,0; 0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,1,500; 0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,310; 0,0,0,0,1,-1,0,0,0,1,0,0,400; 0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,-140]

点击“回车”键,

A =

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 400 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 300 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 200 0 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 350 0 0 -1 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 1 500 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 310 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 1 0 0 400 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 -140

把增广矩阵经初等变换成最简阶梯型矩阵 >> rref(A)

点击“回车”键,得到最简阶梯型矩阵 ans =

1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 500 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 200 0 0 1 0 0 0 0 0 1 -1 -1 1 500 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 1 500 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 260 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 -140 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 1 0 -100 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 1 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

由于最简阶梯型矩阵最后一行均为“0”,所以最后一个方程中的数据“150”和“290”是多余的。

(4) 由于(2)中的最简阶梯型矩阵的1-8行均存在非零首元,所以x9,x10,x11,x12可

作为自由未知量,x1-x8可用x9,x10,x11,x12表示,故只需要增添x9,x10,x11,x12这四条道路的车流量统计即可。统计完成后,把x9,x10,x11,x12的数据带入方程组的通解:

x1=-x9+x11+500; x2=x11+200;

x3=-x9+x10+x11-x12+500; x4=x11-x12+500; x5=-x10+x12+260; x6=x12-140; x7=x9-x11-100; x8=x10-x12+50;

可确定所有街道的流量。

实验二:

“eigshow ”是Matlab 中平面线性变换的演示函数。对于2⨯2矩阵A ,键入eigshow (A ), 显示不同的单位向量x 及经变换后的向量y =Ax 。用鼠标拖动x 旋转,可以使x 产生一个

⎛12⎫⎛31⎫⎛3-1⎫单位圆,并显示Ax 所产生的轨迹。分别对矩阵A = ⎪, B = ⎪, C = ⎪,

212323⎝⎭⎝⎭⎝⎭

考察单位向量x 变化时,变换后所得向量y 的轨迹,回答下列问题,并用代数方法解释。

(1)问:x 和y 会不会在同一直线上?

(2)如果x 和y 在同一直线上,它们的长度之比是多少? (3)对什么样的矩阵,y 的轨迹是一直线段?

(4)你还发现什么有什么规律?

在matlab 中

>> A=[1,2;2,1]

点击“回车”键,得 A =

1 2 2 1

>> eigshow(A)

点击“回车”键,在新窗口中拉动x 的坐标,显示如下图形

同理,按上述操作输入矩阵B ,拉动x ,得到如下相应图形:

输入矩阵C ,拉动x

,得到如下相应图形:

(1) 根据输入矩阵的不同,x,y 会同时在一条直线上,当输入的矩阵P=kE时(E

为单位矩阵,k 为不等于零的常数)时,x,y 在同一直线上;

因为对于平面上任意点x(m;n),有y=(k,0;0,k)*(m;n )=(km;kn).此时y=(km;kn)=k(m;n)=kx.所以y 与x 共线。

(2) 当x 和y 在同一直线上时,有(1)可知,y 和x 的长度之比为变换矩阵P=kE中的k;

因为由(1)知此时y=kx,所以长度之比为k.

(3) 当y 的轨迹是一直线段时,输入的矩阵为P 的行列式应该为0;

因为对于变换矩阵P=(a,b;c,d),平面上任意点x=(m;n) ,y=P*x=(am+bn,cm+dn),如果矩阵P 的行列式为零,即ad=bc,

y=(am+bn;cm+dn)=(am+bn;adm/b+bcn/a)=(am+bn;d/b(am+bn)),也就是说当Q 的行列式为零时,y 的从坐标与其横坐标成线性关系,所以此时y 的轨迹是一条线段。

(4) 我还发现,当变换矩阵的行列式大于零时,拉动x 时,y 的旋转方向与x 的旋

转方向相同;当变换矩阵的行列式小于零时,拉动x 时,y 的旋转方向与x 的旋转方向相反;

10-11-2《几何与代数》

数学实验报告

学号: 姓名: 得分: . 要求:报告中应包含实验中你所输入的所有命令及运算结果,用

前交给任课老师。

实验一:

某市有下图所示的交通图,每条道路都是单行线,需要调查每条道路每小时的车流量。图中的数字表示该路段的车流数。如果每个道口进入和离开的车辆数相同,整个街区进入和离开的车辆数也相同。

A 4纸打印.并在第15周之

(1) 建立描述每条道路车流量的线性方程组; (2) 分析哪些流量数据是多余的;

(3) 为了确定未知流量,需要增添哪几条道路的车流量统计?

解:(1)因为假设每个道口进入和离开的车辆数相同,整个街区进入和离开的车辆数也相

同,所以每个节点(交叉口)进入的车数和离开的车数相等, 由此可建立线性方程组:

x1+x7=180+220; x1-x2+x9=300; x2-x11=300-100; x3+x7-x8=350; x3-x4+x9-x10=0; x4-x11+x12=500; x5+x8=150+160;

x5-x6+x10=400; x6-x12=150-290;

(2) 把线性方程组的增广矩阵输入matlab 软件:

>>A=[1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,400; 1,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,300; 0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,200; 0,0,1,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,350; 0,0,-1,1,0,0,0,0,-1,1,0,0,0; 0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,1,500; 0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,310; 0,0,0,0,1,-1,0,0,0,1,0,0,400; 0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,-140]

点击“回车”键,

A =

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 400 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 300 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 200 0 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 350 0 0 -1 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 1 500 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 310 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 1 0 0 400 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 -140

把增广矩阵经初等变换成最简阶梯型矩阵 >> rref(A)

点击“回车”键,得到最简阶梯型矩阵 ans =

1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 500 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 200 0 0 1 0 0 0 0 0 1 -1 -1 1 500 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 1 500 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 260 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 -140 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 1 0 -100 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 1 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

由于最简阶梯型矩阵最后一行均为“0”,所以最后一个方程中的数据“150”和“290”是多余的。

(4) 由于(2)中的最简阶梯型矩阵的1-8行均存在非零首元,所以x9,x10,x11,x12可

作为自由未知量,x1-x8可用x9,x10,x11,x12表示,故只需要增添x9,x10,x11,x12这四条道路的车流量统计即可。统计完成后,把x9,x10,x11,x12的数据带入方程组的通解:

x1=-x9+x11+500; x2=x11+200;

x3=-x9+x10+x11-x12+500; x4=x11-x12+500; x5=-x10+x12+260; x6=x12-140; x7=x9-x11-100; x8=x10-x12+50;

可确定所有街道的流量。

实验二:

“eigshow ”是Matlab 中平面线性变换的演示函数。对于2⨯2矩阵A ,键入eigshow (A ), 显示不同的单位向量x 及经变换后的向量y =Ax 。用鼠标拖动x 旋转,可以使x 产生一个

⎛12⎫⎛31⎫⎛3-1⎫单位圆,并显示Ax 所产生的轨迹。分别对矩阵A = ⎪, B = ⎪, C = ⎪,

212323⎝⎭⎝⎭⎝⎭

考察单位向量x 变化时,变换后所得向量y 的轨迹,回答下列问题,并用代数方法解释。

(1)问:x 和y 会不会在同一直线上?

(2)如果x 和y 在同一直线上,它们的长度之比是多少? (3)对什么样的矩阵,y 的轨迹是一直线段?

(4)你还发现什么有什么规律?

在matlab 中

>> A=[1,2;2,1]

点击“回车”键,得 A =

1 2 2 1

>> eigshow(A)

点击“回车”键,在新窗口中拉动x 的坐标,显示如下图形

同理,按上述操作输入矩阵B ,拉动x ,得到如下相应图形:

输入矩阵C ,拉动x

,得到如下相应图形:

(1) 根据输入矩阵的不同,x,y 会同时在一条直线上,当输入的矩阵P=kE时(E

为单位矩阵,k 为不等于零的常数)时,x,y 在同一直线上;

因为对于平面上任意点x(m;n),有y=(k,0;0,k)*(m;n )=(km;kn).此时y=(km;kn)=k(m;n)=kx.所以y 与x 共线。

(2) 当x 和y 在同一直线上时,有(1)可知,y 和x 的长度之比为变换矩阵P=kE中的k;

因为由(1)知此时y=kx,所以长度之比为k.

(3) 当y 的轨迹是一直线段时,输入的矩阵为P 的行列式应该为0;

因为对于变换矩阵P=(a,b;c,d),平面上任意点x=(m;n) ,y=P*x=(am+bn,cm+dn),如果矩阵P 的行列式为零,即ad=bc,

y=(am+bn;cm+dn)=(am+bn;adm/b+bcn/a)=(am+bn;d/b(am+bn)),也就是说当Q 的行列式为零时,y 的从坐标与其横坐标成线性关系,所以此时y 的轨迹是一条线段。

(4) 我还发现,当变换矩阵的行列式大于零时,拉动x 时,y 的旋转方向与x 的旋

转方向相同;当变换矩阵的行列式小于零时,拉动x 时,y 的旋转方向与x 的旋转方向相反;


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