圆锥曲线
一、复习策略
高考圆锥曲线试题一般有3题(1个选择题， 1个填空题， 1个解答题)，共计22分左右，考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主，难度在中等以下，一般较容易得分，解答题重点考查圆锥曲线中的综合问题．圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、向量等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.
解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.
(1) 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．
(2)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域．
(3)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．
二、典例剖析
题型一：与圆锥曲线定义有关的问题
例1．(2008年北京高考)若点P到直线x=－1的距离比它到点(2，0)的距离小1，则点P的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
答案：D
例2．P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）
A. 6 B.7 C.8 D.9
答案：D
解：
设双曲线的两个焦点分别是F1(－5，0)与F2(5，0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝6＋3＝9，故选D．
题型二：求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等
例3．设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为（ ）
A．－1 B．2－ C． D．
答案：A
解：易知圆F2的半径为c，(2a－c)2＋c2=4c2，()2＋2()－2=0，=－1． 例4．如图，已知△P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程．
解：以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图的直角坐标系
.
设双曲线方程为=1(a＞0，b＞0)．
由e2=，得．
∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=－x．
设点P1(x1，x1)，P2(x2，－x2)(x1＞0，x2＞0)，则由点P分所成的比λ==2，得P点坐标为()，又点P在双曲线=1
上，所以
=1，
即(x1＋2x2)2－(x1－2x2)2=9a2，整理得8x1x2=9a2．①
即x1x2=．②
由①、②得a2=4，b2=9，故双曲线方程为题型三：直线与圆锥曲线的位置关系 =1.
例5．如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积
.
解法一：由题意，可设l的方程为y=x＋m，其中－5＜m＜0.
由方程组，消去y，得x2＋(2m－4)x＋m2=0 ①
∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，
∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0，
解得m＜1，又－5＜m＜0，∴m的范围为(－5，0)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)则x1＋x2=4－2m，x1·x2=m2，
∴
|MN|=4.
点A到直线l的距离为d=
.
∴S△=2(5＋m)，从而S△2=4(1－m)(5＋m)2．
=2(2－2m)·(5＋m)(5＋m)≤2()3=128．
∴S△≤8，当且仅当2－2m=5＋m，即m=－1时取等号.
故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8.
解法二：由题意，可设l与x轴相交于B(m，0)，l的方程为x = y＋m，其中0＜m＜5. 由方程组，消去x，得y2－4y－4m=0 ①
∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，
∴方程①的判别式Δ=(－4)2＋16m=16(1＋m)＞0必成立，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)则y1＋y2=4，y1·y2=－4m，
∴S△=
＝
4=4
．
∴S△≤8，当且仅当即m=1时取等号.
故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8
.
例6．已知双曲线C：2x2－y2=2与点P(1，2)．
(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.
(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.
解：
(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1)，代入C的方程，并整理得
(2－k2)x2＋2(k2－2k)x－k2＋4k－
6=0 (*)
(ⅰ)当2－k2=0，即k=±时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点．
(ⅱ)当2－k2≠0，即
k≠±时
Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2＋4k－6)=16(3－2k)．
①当Δ=0，即3－2k=0，k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.
②当△＞0，即k＜，又
k≠±，故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.
③当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点.
综上知：当k=±，或
k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；
当＜k＜，或－＜k＜，或k＜－时，l与C有两个交点； 当k＞时，l与C没有交点.
(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，则2x12－y12=2，2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1＋x2)=(y1－y2)(y1＋y2)．
又∵x1＋x2=2，y1＋y2=2，∴2(x1－x2)=y1－y2 即kAB
==2．
但渐近线斜率为±
为中点的弦不存在. ，结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q
题型四：圆锥曲线中的定值问题
例7．(08安徽)设椭圆 (Ⅰ)求椭圆C的方程； 过点，且左焦点为．
(Ⅱ)当过点P（4，1）的动直线与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足
解：(Ⅰ)由题意： ，证明：点Q总在某定直线上．
，解得a2=4，b2=2，所求椭圆方程为．
(Ⅱ)方法一：设点Q、A、B的坐标分别为(x，y)，（x1，y1），（x2，y2）．
由题设知均不为零，记，则且. 又A、P、B、Q四点共线，从而．
于是，．
，．
从而， (1)， (2)
又点A、B在椭圆C上，即
(1)＋(2)×2并结合(3)，(4)得4x＋2y=4，
即点Q（x，y）总在定直线2x＋y－2=0上．
方法二：设点Q（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）．由题设，
均不为零．
且
又P，A，Q，B四点共线，可设，于是
(1)
(2)
由于A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆C上，将(1)(2)分别代入C的方程x2＋2y2=4，整理得
(3)
(4)
(4)－(3)得．
，即点Q（x，y）总在定直线2x＋y－2=0上．
题型五：圆锥曲线中的最值问题
例8．如图，已知椭圆=1(2≤m≤5)，过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD||．
(1)求f(m)的解析式；
(2)求f(m)的最值．
解：
(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m，b2=m－1，c2=a2－b2=1．
∴椭圆的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．
故直线的方程为y=x＋1，又椭圆的准线方程为x=±，即x=±m． ∴A(－m，－m＋1)，D(m，m＋1)．
考虑方程组，消去y得：(m－1)x2＋m(x＋1)2=m(m－1)． 整理得：(2m－1)x2＋2mx＋2m－m2=0．
Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2．
∵2≤m≤5，∴Δ＞0恒成立，xB＋xC=
又∵A、B、C、D都在直线y=x＋1上． .
∴|AB|=|xB－xA|·=(xB－xA)·，
|CD|=(xD－xC)．
∴||AB|－
|CD||=|xB－xA＋xC－xD
|=|(xB＋xC)－(xA＋xD)|． 又∵xA=－m，xD=m，∴xA＋xD=0．
∴||AB|－|CD||=|xB＋xC|·=||·= (2≤m≤5)． 故
f(m)=，m∈［2，5］.
(2)由
f(m)= ，可知f(m)=．
又2－≤2－≤2－，∴f(m)∈．
故f(m)的最大值为，此时m=2；f(m)的最小值为，此时m=5． 题型六：多曲线的综合问题
例9．已知椭圆C1：
共弦AB过椭圆C1的右焦点. ，抛物线C2：，且C1、C2的公
(Ⅰ)当AB⊥轴时，求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上； (Ⅱ)是否存在、的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由
.
解：
(Ⅰ)当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为 x=1， 从而点A的坐标为(1，)或(1，－).
因为点A在抛物线上，所以，即.
此时C2的焦点坐标为(，0)，该焦点不在直线AB上.
(II)解法一：假设存在m、p的值使C2的焦点恰在直线AB上，由(I)知直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程为y=k(x－1).
由消去y得①
设A、B的坐标分别为(x1，y1)， (x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，x1＋x2＝. 由
消去y得. ②
因为C2的焦点在直线上，
所以，即.代入②有.
即. ③
由于x1，x2也是方程③的两根，所以x1＋x2＝.
从而＝.解得 ④
又AB过C1、C2的焦点，所以
，
则 ⑤
由④、⑤式得，即k4－5k2－6=0．
解得k2=6. 于是
因为C2的焦点在直线上，所以. ∴或.
由上知，满足条件的m、p存在，且或，.
解法二：设A、B的坐标分别为(x1，y1)，（x2，y2）.
因为AB既过C1的右焦点F（1，0），又过C2的焦点，
所以.
即. ①
由(Ⅰ)知x1≠x2，p≠2，于是直线AB的斜率， ② 且直线AB的方程是，
所以. ③
又因为，所以. ④
将①、②、③代入④得. ⑤
因为，所以. ⑥
将②、③代入⑥得⑦
由⑤、⑦得即．
解得.将代入⑤得
∴
或.
由上知，满足条件的m、p存在，且或，.
冲刺练习
一、选择题
1．方程的两个根可分别作为（ ）
A．一椭圆和一双曲线的离心率
B．两抛物线的离心率
C．一椭圆和一抛物线的离心率
D．两椭圆的离心率
2．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则（ ）
A． B．－4
C．4 D．
3．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）
A．－2 B．2
C．－4 D．4
4．已知双曲线(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A.( 1，2) B. (1，2]
C.[2，＋∞) D.(2，＋∞)
5.已知双曲线
离之比等于（ ） ，则双曲线右支上的点到右焦点的距离与点到右准线的距
A.
B.
C. 2 D. 4
6．设过点关于（ ） 的直线分别与轴的正半轴和为坐标原点，若轴的正半轴交于且＝1，则点两点，点
与点轴对称，的轨迹方程是
A． B．
C． D．
7．已知两点M(－2，0)、N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足
＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为（ ） A. B. C. D.
8．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若
则点A的坐标是（ ） ＝－4，
A．(2，±2) B. (1，±2)
C.(1，2) D.(2，2)
9．已知双曲线
则双曲线方程为（ ） (a＞0，b＞0)的一条渐近线为y=kx(k＞0)，离心率e=，
A．－=1 B．
C． D．
10．设“成等差数列”是“是右焦点为的椭圆上三个不同的点，则”的（ ）
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既非充分也非必要条件
[提示]
二、填空题
11．已知为双曲线的两个焦点，
为坐标原点．下面四个命题： 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，
A．的内切圆的圆心必在直线上；
B．的内切圆的圆心必在直线上；
C．的内切圆的圆心必在直线上；
D．的内切圆必通过点．
其中真命题的代号是___________(写出所有真命题的代号)．
12．已知抛物线y2=4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y12＋y22的最小值是___________.
13．双曲线
___________． 上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比是3，则m 等于
14．若曲线与直线没有公共点，则的取值范围是_________.
15．如图，把椭圆的上半部分于的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆七个点，
是椭圆的一个焦点，则
___________.
[答案]
三、解答题
16．如图，F为双曲线C：
点，且位于轴上方，M为左准线上一点，四边形，．
的右焦点．P为双曲线C右支上一为坐标原点．已知四边形为平行
(Ⅰ)写出双曲线C的离心率与的关系式；
(Ⅱ)当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程．
[答案]
17．在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
(1)求圆C的方程；
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．
[答案]
18．椭圆的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥PF2，|PF1
|=，| PF2|=.
(I)求椭圆C的方程；
(II)若直线l过圆x2＋y2＋4x－2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程．
[答案]
19．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且
A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．
(Ⅰ)证明为定值； ．过
(Ⅱ)设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．
[答案]
20．已知一列椭圆Cn：x2＋=1.0＜bn＜1，n=1，2……若椭圆C上有一点Pn，使Pn到右准线ln的距离d是｜PnFn｜与｜PnGn｜的等差中项，其中Fn、Gn分别是Cn的左、右焦点.
(Ⅰ)试证：bn≤(n≥1);
(Ⅱ)取bn＝，并用Sn表示ΔPnFnGn的面积，试证：
[答案] (n≥3).
1-5 AADCC 6-10 DBBCA
提示：
1、方程的两个根分别为2，，故选A．
2、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m
，且双曲线方程为
，∴ m=，选A．
3、椭圆
，故选D． 的右焦点为(2，0)，所以抛物线的焦点为(2，0)
，则
4、双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率
，∴ ≥，离心率e2=，∴ e≥2，选C．
5、依题意可知，，故选C.
6、设P(x，y)，则Q(－x，y)，又设A(a，0)，B(0，b)，则a>0，b>0
，于是
，由可得a＝x，b＝3y，所以x>0，y>0，
又＝(－a，b)＝(－x，3y)，由＝1可得．
7、设，，，，
则，由，则
，化简整理得，所以选B．
8、F(1，0)，设A(＝－4
，y0)，则＝(，y0)，＝(1－，－y0)，由
y0＝±2，故选B．
9、由题意知
，所以双曲线的方程为
．
10、a＝5，b＝3，c＝4，e＝，F(4，0)，由焦半径公式可得|AF|＝5－x1，
|BF|＝5－×4＝，|CF|＝5－x2，故成等差数(5－x1)
＋(5－x2)＝2
×，故选A．
答案： 11．A、 D
解析：设的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|
＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|，又点P在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，故|F1M|－|F2M|＝2a，而|F1M|＋|F2M|＝2c，设M点坐标为(x，0)，则由|F1M|－|F2M|＝2a可得(x＋c)－(c－x)＝2a解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故A、D正确． 12． 32
解析：显然≥0，又＝4()≥8，当且仅当时取
等号，所以所求的值为32．
13．
解析：双曲线上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比是3，即离
心率e=3，所以，m=.
14．[－1，1]
解析：曲线得|y|>1，∴ y>1或y
则的取值范围是[－1，1].
15．35
解析：把椭圆的上半部分于性知，∴
的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆
是椭圆的一个焦点，则根据椭圆的对称
，又
，
七个点，
，同理其余两对的和也是
=35．
16．解：(I)∵四边形是平行四边形，∴，作双曲线的右准线交
PM于H，则
．
，又
，
（Ⅱ）当时，，，，双曲线为，设，
则，即，将代入双曲线为，得，所以
直线OP的斜率为，则直线AB的方程为
又
，由
，代入到双曲线方程得：
得
，解得，则，所以即为所求.
17．解：(1)设圆心坐标为(m，n)(m0)，则该圆的方程为(x－m)2＋(y－n)2=8． 已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则
=2 即=4 ①
又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得m2＋n2=8 ②
联立方程①和②组成方程组解得 故圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2=8．
(2)=5，∴a2=25，则椭圆的方程为．
其焦距c==4，右焦点为(4，0)，那么=4．
要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，
我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)2＋y2=16与(1)所求的圆的交点数．
通过联立两圆的方程解得x=，y=．
即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长．
18．解法一：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.
在Rt△PF1F2中， 从而b2=a2－c2=4，
故椭圆的半焦距c=，
所以椭圆C的方程为＝1.
(Ⅱ)设A，B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．由圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2=5，所以圆心M的坐标为(－2，1)．从而可设直线l的方程为y=k(x＋2)＋1， 代入椭圆C的方程得(4＋9k2)x2＋(36k2＋18k)x＋36k2＋36k－27=0.
因为A，B关于点M对称，所以解得，
所以直线l的方程为即8x－9y＋25=0． (经检验，符合题意)
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2=5，所以圆心M的坐标为(－2，1).
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．由题意x1≠x2且
由①－②得③
因为A、B关于点M对称，所以x1＋x2=－4， y1＋y2=2，
代入③得＝，即直线l的斜率为，
所以直线l的方程为y－1＝符合题意.)
(x＋2)，即8x－9y＋25=0.(经检验，所求直线方程
19．解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由，
20、证明：（I）
由题设及椭圆的几何性质有，故．
设
，则右准线方程为．因此，由题意应满足
即解之得：．即从而对任意．
（II）设点的坐标为，则由及椭圆方程易知
因，
故的面积为，从而．
令．由得两根
从而易知函数在内是增函数。而在内是减函数．
现在由题设取则是增数列．
又易知
．故由前已证，知
，且．
圆锥曲线
一、复习策略
高考圆锥曲线试题一般有3题(1个选择题， 1个填空题， 1个解答题)，共计22分左右，考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主，难度在中等以下，一般较容易得分，解答题重点考查圆锥曲线中的综合问题．圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、向量等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.
解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.
(1) 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．
(2)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域．
(3)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．
二、典例剖析
题型一：与圆锥曲线定义有关的问题
例1．(2008年北京高考)若点P到直线x=－1的距离比它到点(2，0)的距离小1，则点P的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
答案：D
例2．P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）
A. 6 B.7 C.8 D.9
答案：D
解：
设双曲线的两个焦点分别是F1(－5，0)与F2(5，0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝6＋3＝9，故选D．
题型二：求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等
例3．设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为（ ）
A．－1 B．2－ C． D．
答案：A
解：易知圆F2的半径为c，(2a－c)2＋c2=4c2，()2＋2()－2=0，=－1． 例4．如图，已知△P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程．
解：以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图的直角坐标系
.
设双曲线方程为=1(a＞0，b＞0)．
由e2=，得．
∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=－x．
设点P1(x1，x1)，P2(x2，－x2)(x1＞0，x2＞0)，则由点P分所成的比λ==2，得P点坐标为()，又点P在双曲线=1
上，所以
=1，
即(x1＋2x2)2－(x1－2x2)2=9a2，整理得8x1x2=9a2．①
即x1x2=．②
由①、②得a2=4，b2=9，故双曲线方程为题型三：直线与圆锥曲线的位置关系 =1.
例5．如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积
.
解法一：由题意，可设l的方程为y=x＋m，其中－5＜m＜0.
由方程组，消去y，得x2＋(2m－4)x＋m2=0 ①
∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，
∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0，
解得m＜1，又－5＜m＜0，∴m的范围为(－5，0)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)则x1＋x2=4－2m，x1·x2=m2，
∴
|MN|=4.
点A到直线l的距离为d=
.
∴S△=2(5＋m)，从而S△2=4(1－m)(5＋m)2．
=2(2－2m)·(5＋m)(5＋m)≤2()3=128．
∴S△≤8，当且仅当2－2m=5＋m，即m=－1时取等号.
故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8.
解法二：由题意，可设l与x轴相交于B(m，0)，l的方程为x = y＋m，其中0＜m＜5. 由方程组，消去x，得y2－4y－4m=0 ①
∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，
∴方程①的判别式Δ=(－4)2＋16m=16(1＋m)＞0必成立，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)则y1＋y2=4，y1·y2=－4m，
∴S△=
＝
4=4
．
∴S△≤8，当且仅当即m=1时取等号.
故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8
.
例6．已知双曲线C：2x2－y2=2与点P(1，2)．
(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.
(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.
解：
(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1)，代入C的方程，并整理得
(2－k2)x2＋2(k2－2k)x－k2＋4k－
6=0 (*)
(ⅰ)当2－k2=0，即k=±时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点．
(ⅱ)当2－k2≠0，即
k≠±时
Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2＋4k－6)=16(3－2k)．
①当Δ=0，即3－2k=0，k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.
②当△＞0，即k＜，又
k≠±，故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.
③当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点.
综上知：当k=±，或
k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；
当＜k＜，或－＜k＜，或k＜－时，l与C有两个交点； 当k＞时，l与C没有交点.
(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，则2x12－y12=2，2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1＋x2)=(y1－y2)(y1＋y2)．
又∵x1＋x2=2，y1＋y2=2，∴2(x1－x2)=y1－y2 即kAB
==2．
但渐近线斜率为±
为中点的弦不存在. ，结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q
题型四：圆锥曲线中的定值问题
例7．(08安徽)设椭圆 (Ⅰ)求椭圆C的方程； 过点，且左焦点为．
(Ⅱ)当过点P（4，1）的动直线与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足
解：(Ⅰ)由题意： ，证明：点Q总在某定直线上．
，解得a2=4，b2=2，所求椭圆方程为．
(Ⅱ)方法一：设点Q、A、B的坐标分别为(x，y)，（x1，y1），（x2，y2）．
由题设知均不为零，记，则且. 又A、P、B、Q四点共线，从而．
于是，．
，．
从而， (1)， (2)
又点A、B在椭圆C上，即
(1)＋(2)×2并结合(3)，(4)得4x＋2y=4，
即点Q（x，y）总在定直线2x＋y－2=0上．
方法二：设点Q（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）．由题设，
均不为零．
且
又P，A，Q，B四点共线，可设，于是
(1)
(2)
由于A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆C上，将(1)(2)分别代入C的方程x2＋2y2=4，整理得
(3)
(4)
(4)－(3)得．
，即点Q（x，y）总在定直线2x＋y－2=0上．
题型五：圆锥曲线中的最值问题
例8．如图，已知椭圆=1(2≤m≤5)，过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD||．
(1)求f(m)的解析式；
(2)求f(m)的最值．
解：
(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m，b2=m－1，c2=a2－b2=1．
∴椭圆的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．
故直线的方程为y=x＋1，又椭圆的准线方程为x=±，即x=±m． ∴A(－m，－m＋1)，D(m，m＋1)．
考虑方程组，消去y得：(m－1)x2＋m(x＋1)2=m(m－1)． 整理得：(2m－1)x2＋2mx＋2m－m2=0．
Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2．
∵2≤m≤5，∴Δ＞0恒成立，xB＋xC=
又∵A、B、C、D都在直线y=x＋1上． .
∴|AB|=|xB－xA|·=(xB－xA)·，
|CD|=(xD－xC)．
∴||AB|－
|CD||=|xB－xA＋xC－xD
|=|(xB＋xC)－(xA＋xD)|． 又∵xA=－m，xD=m，∴xA＋xD=0．
∴||AB|－|CD||=|xB＋xC|·=||·= (2≤m≤5)． 故
f(m)=，m∈［2，5］.
(2)由
f(m)= ，可知f(m)=．
又2－≤2－≤2－，∴f(m)∈．
故f(m)的最大值为，此时m=2；f(m)的最小值为，此时m=5． 题型六：多曲线的综合问题
例9．已知椭圆C1：
共弦AB过椭圆C1的右焦点. ，抛物线C2：，且C1、C2的公
(Ⅰ)当AB⊥轴时，求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上； (Ⅱ)是否存在、的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由
.
解：
(Ⅰ)当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为 x=1， 从而点A的坐标为(1，)或(1，－).
因为点A在抛物线上，所以，即.
此时C2的焦点坐标为(，0)，该焦点不在直线AB上.
(II)解法一：假设存在m、p的值使C2的焦点恰在直线AB上，由(I)知直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程为y=k(x－1).
由消去y得①
设A、B的坐标分别为(x1，y1)， (x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，x1＋x2＝. 由
消去y得. ②
因为C2的焦点在直线上，
所以，即.代入②有.
即. ③
由于x1，x2也是方程③的两根，所以x1＋x2＝.
从而＝.解得 ④
又AB过C1、C2的焦点，所以
，
则 ⑤
由④、⑤式得，即k4－5k2－6=0．
解得k2=6. 于是
因为C2的焦点在直线上，所以. ∴或.
由上知，满足条件的m、p存在，且或，.
解法二：设A、B的坐标分别为(x1，y1)，（x2，y2）.
因为AB既过C1的右焦点F（1，0），又过C2的焦点，
所以.
即. ①
由(Ⅰ)知x1≠x2，p≠2，于是直线AB的斜率， ② 且直线AB的方程是，
所以. ③
又因为，所以. ④
将①、②、③代入④得. ⑤
因为，所以. ⑥
将②、③代入⑥得⑦
由⑤、⑦得即．
解得.将代入⑤得
∴
或.
由上知，满足条件的m、p存在，且或，.
冲刺练习
一、选择题
1．方程的两个根可分别作为（ ）
A．一椭圆和一双曲线的离心率
B．两抛物线的离心率
C．一椭圆和一抛物线的离心率
D．两椭圆的离心率
2．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则（ ）
A． B．－4
C．4 D．
3．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）
A．－2 B．2
C．－4 D．4
4．已知双曲线(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A.( 1，2) B. (1，2]
C.[2，＋∞) D.(2，＋∞)
5.已知双曲线
离之比等于（ ） ，则双曲线右支上的点到右焦点的距离与点到右准线的距
A.
B.
C. 2 D. 4
6．设过点关于（ ） 的直线分别与轴的正半轴和为坐标原点，若轴的正半轴交于且＝1，则点两点，点
与点轴对称，的轨迹方程是
A． B．
C． D．
7．已知两点M(－2，0)、N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足
＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为（ ） A. B. C. D.
8．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若
则点A的坐标是（ ） ＝－4，
A．(2，±2) B. (1，±2)
C.(1，2) D.(2，2)
9．已知双曲线
则双曲线方程为（ ） (a＞0，b＞0)的一条渐近线为y=kx(k＞0)，离心率e=，
A．－=1 B．
C． D．
10．设“成等差数列”是“是右焦点为的椭圆上三个不同的点，则”的（ ）
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既非充分也非必要条件
[提示]
二、填空题
11．已知为双曲线的两个焦点，
为坐标原点．下面四个命题： 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，
A．的内切圆的圆心必在直线上；
B．的内切圆的圆心必在直线上；
C．的内切圆的圆心必在直线上；
D．的内切圆必通过点．
其中真命题的代号是___________(写出所有真命题的代号)．
12．已知抛物线y2=4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y12＋y22的最小值是___________.
13．双曲线
___________． 上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比是3，则m 等于
14．若曲线与直线没有公共点，则的取值范围是_________.
15．如图，把椭圆的上半部分于的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆七个点，
是椭圆的一个焦点，则
___________.
[答案]
三、解答题
16．如图，F为双曲线C：
点，且位于轴上方，M为左准线上一点，四边形，．
的右焦点．P为双曲线C右支上一为坐标原点．已知四边形为平行
(Ⅰ)写出双曲线C的离心率与的关系式；
(Ⅱ)当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程．
[答案]
17．在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
(1)求圆C的方程；
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．
[答案]
18．椭圆的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥PF2，|PF1
|=，| PF2|=.
(I)求椭圆C的方程；
(II)若直线l过圆x2＋y2＋4x－2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程．
[答案]
19．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且
A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．
(Ⅰ)证明为定值； ．过
(Ⅱ)设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．
[答案]
20．已知一列椭圆Cn：x2＋=1.0＜bn＜1，n=1，2……若椭圆C上有一点Pn，使Pn到右准线ln的距离d是｜PnFn｜与｜PnGn｜的等差中项，其中Fn、Gn分别是Cn的左、右焦点.
(Ⅰ)试证：bn≤(n≥1);
(Ⅱ)取bn＝，并用Sn表示ΔPnFnGn的面积，试证：
[答案] (n≥3).
1-5 AADCC 6-10 DBBCA
提示：
1、方程的两个根分别为2，，故选A．
2、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m
，且双曲线方程为
，∴ m=，选A．
3、椭圆
，故选D． 的右焦点为(2，0)，所以抛物线的焦点为(2，0)
，则
4、双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率
，∴ ≥，离心率e2=，∴ e≥2，选C．
5、依题意可知，，故选C.
6、设P(x，y)，则Q(－x，y)，又设A(a，0)，B(0，b)，则a>0，b>0
，于是
，由可得a＝x，b＝3y，所以x>0，y>0，
又＝(－a，b)＝(－x，3y)，由＝1可得．
7、设，，，，
则，由，则
，化简整理得，所以选B．
8、F(1，0)，设A(＝－4
，y0)，则＝(，y0)，＝(1－，－y0)，由
y0＝±2，故选B．
9、由题意知
，所以双曲线的方程为
．
10、a＝5，b＝3，c＝4，e＝，F(4，0)，由焦半径公式可得|AF|＝5－x1，
|BF|＝5－×4＝，|CF|＝5－x2，故成等差数(5－x1)
＋(5－x2)＝2
×，故选A．
答案： 11．A、 D
解析：设的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|
＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|，又点P在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，故|F1M|－|F2M|＝2a，而|F1M|＋|F2M|＝2c，设M点坐标为(x，0)，则由|F1M|－|F2M|＝2a可得(x＋c)－(c－x)＝2a解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故A、D正确． 12． 32
解析：显然≥0，又＝4()≥8，当且仅当时取
等号，所以所求的值为32．
13．
解析：双曲线上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比是3，即离
心率e=3，所以，m=.
14．[－1，1]
解析：曲线得|y|>1，∴ y>1或y
则的取值范围是[－1，1].
15．35
解析：把椭圆的上半部分于性知，∴
的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆
是椭圆的一个焦点，则根据椭圆的对称
，又
，
七个点，
，同理其余两对的和也是
=35．
16．解：(I)∵四边形是平行四边形，∴，作双曲线的右准线交
PM于H，则
．
，又
，
（Ⅱ）当时，，，，双曲线为，设，
则，即，将代入双曲线为，得，所以
直线OP的斜率为，则直线AB的方程为
又
，由
，代入到双曲线方程得：
得
，解得，则，所以即为所求.
17．解：(1)设圆心坐标为(m，n)(m0)，则该圆的方程为(x－m)2＋(y－n)2=8． 已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则
=2 即=4 ①
又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得m2＋n2=8 ②
联立方程①和②组成方程组解得 故圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2=8．
(2)=5，∴a2=25，则椭圆的方程为．
其焦距c==4，右焦点为(4，0)，那么=4．
要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，
我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)2＋y2=16与(1)所求的圆的交点数．
通过联立两圆的方程解得x=，y=．
即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长．
18．解法一：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.
在Rt△PF1F2中， 从而b2=a2－c2=4，
故椭圆的半焦距c=，
所以椭圆C的方程为＝1.
(Ⅱ)设A，B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．由圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2=5，所以圆心M的坐标为(－2，1)．从而可设直线l的方程为y=k(x＋2)＋1， 代入椭圆C的方程得(4＋9k2)x2＋(36k2＋18k)x＋36k2＋36k－27=0.
因为A，B关于点M对称，所以解得，
所以直线l的方程为即8x－9y＋25=0． (经检验，符合题意)
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2=5，所以圆心M的坐标为(－2，1).
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．由题意x1≠x2且
由①－②得③
因为A、B关于点M对称，所以x1＋x2=－4， y1＋y2=2，
代入③得＝，即直线l的斜率为，
所以直线l的方程为y－1＝符合题意.)
(x＋2)，即8x－9y＋25=0.(经检验，所求直线方程
19．解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由，
20、证明：（I）
由题设及椭圆的几何性质有，故．
设
，则右准线方程为．因此，由题意应满足
即解之得：．即从而对任意．
（II）设点的坐标为，则由及椭圆方程易知
因，
故的面积为，从而．
令．由得两根
从而易知函数在内是增函数。而在内是减函数．
现在由题设取则是增数列．
又易知
．故由前已证，知
，且．