11．下列语句：①平行四边形不是梯形；②3
是无理数；③方程9x 2－1＝0的解是x ＝±；3
④这是一棵大树；⑤2008年8月8日是北京奥运会开幕的日子．
其中命题的个数是________．
解析：①②③⑤都是命题，对于④，由于“大树”没有界定标准，不能判断真假，所以④不是命题．
答案：4
2．(2011年高考山东卷改编) 已知a ，b ，c ∈R ，命题“a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________．
解析：由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为若“a ＋b
222＋c ≠3，则a ＋b ＋c
答案：若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2
3．命题“若b ≠3，则b 2≠9”的逆命题是________．
答案：若b 2≠9，则b ≠3
4．命题“一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根”，条件p ：________，结论q ：________，是________命题(填“真”或“假”) ．
解析：Δ＝b 2－4ac 无法判断是否大于0，因而命题为假命题．
答案：一个方程是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 它有两个不相等的实数根 假
一、填空题
1．命题“若a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是________．
答案：若a ＋b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数
2．设A 、B 为两个集合，下列四个命题：
①A ⃘B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ；
②A ⃘B ⇔A ∩B ＝∅；
③A ⃘B ⇔A ⊉B ；
④A ⃘B ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B .
其中真命题的序号是________．(把符合要求的命题序号都填上)
解析：A ⃘B 的情况有多种A 、B 之间的关系，A 中至少有一个元素不属于B .
答案：④
3．若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，则s 是p 的逆命题t 的________． 解析：设p 为“若A 则B ”，则r 为“若非A 则非B ”，s 为“若非B 则非A ”，t 为“若B 则A ”，故s 为t 的否命题．
答案：否命题
4．有下列四个命题：
①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b ≤0，则x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题；
④“若A ∪B ＝B ，则A B ”的逆否命题．
其中为真命题的是________．
解析：②逆命题为周长相等的三角形相似，假命题；④若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ，所以原命题假，由逆否命题的等价性可知②④错误．
答案：①③
5．命题“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆命题为________，否命题为________，逆否
命题为________．
答案：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0 若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0 若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0
26．命题“若x
①若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1；②若－11或x 1；④若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1.
解析：①是已知命题的否命题；②是逆命题；比较③、④知 ④正确．
答案：④
7．命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为________．
解析：∵“a >b ”的否定是“a ≤b ”，“2a >2b －1”的否定是“2a ≤2b －1”，∴原命题的否命题是“若a ≤b ，则2a ≤2b －1”．
答案：若a ≤b ，则2a ≤2b －1
8．命题“若∠A ＝60°，则△ABC 是等边三角形”的否命题“若∠A ≠60°，则△ABC 不是等边三角形”为________(真假性) ．
解析：“若∠A ＝60°，则△ABC 是等边三角形”的逆命题为“若△ABC 是等边三角形，则∠A ＝60°”，逆命题为真命题，所以否命题为真命题．
答案：真命题
二、解答题
9．命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d ”．写出其逆命题、否命题、逆否命题．
解：逆命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b ，c ＝d ；
否命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a 与b 、c 与d 不都相等，则a ＋c ≠b ＋d ； 逆否命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d ，则a 与b ，c 与d 不都相等．
110．写出命题“若a ≥－x 2＋x －a ＝0有实数根”的逆否命题，并判断其真假． 4
1解：逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实数根，则a
判断如下：∵x 2＋x －a ＝0无实数根，
1∴Δ＝1＋4a
1∴“若x 2＋x －a ＝0无实数根，则a
11．已知函数f (x ) 是(－∞，＋∞) 上的增函数，且a ，b ∈R ，若a ＋b ≥0，则f (a ) ＋f (b ) ≥f (－a ) ＋f (－b ) ．
(1)判断其逆命题的真假，并证明你的结论；
(2)判断其逆否命题的真假，并证明你的结论．
解：(1)逆命题：已知函数f (x ) 是(－∞，＋∞) 上的增函数，且a ，b ∈R ，若f (a ) ＋f (b ) ≥f (－a ) ＋f (－b ) ，则a ＋b ≥0. 为真命题．
用反证法证明：假设a ＋b
因为f (x ) 是(－∞，＋∞) 上的增函数，
则f (a )
所以f (a ) ＋f (b )
(2)逆否命题：已知函数f (x ) 是(－∞，＋∞) 上的增函数，且a ，b ∈R ，若f (a ) ＋f (b )
用原命题的真假判断逆否命题的真假，证明如下：
因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，b ≥－a .
因为f (x ) 在(－∞，＋∞) 上是增函数，
所以f (a ) ≥f (－b ) ，f (b ) ≥f (－a ) ．
所以f (a ) ＋f (b ) ≥f (－a ) ＋f (－b ) ．所以原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．
11．下列语句：①平行四边形不是梯形；②3
是无理数；③方程9x 2－1＝0的解是x ＝±；3
④这是一棵大树；⑤2008年8月8日是北京奥运会开幕的日子．
其中命题的个数是________．
解析：①②③⑤都是命题，对于④，由于“大树”没有界定标准，不能判断真假，所以④不是命题．
答案：4
2．(2011年高考山东卷改编) 已知a ，b ，c ∈R ，命题“a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________．
解析：由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为若“a ＋b
222＋c ≠3，则a ＋b ＋c
答案：若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2
3．命题“若b ≠3，则b 2≠9”的逆命题是________．
答案：若b 2≠9，则b ≠3
4．命题“一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根”，条件p ：________，结论q ：________，是________命题(填“真”或“假”) ．
解析：Δ＝b 2－4ac 无法判断是否大于0，因而命题为假命题．
答案：一个方程是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 它有两个不相等的实数根 假
一、填空题
1．命题“若a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是________．
答案：若a ＋b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数
2．设A 、B 为两个集合，下列四个命题：
①A ⃘B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ；
②A ⃘B ⇔A ∩B ＝∅；
③A ⃘B ⇔A ⊉B ；
④A ⃘B ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B .
其中真命题的序号是________．(把符合要求的命题序号都填上)
解析：A ⃘B 的情况有多种A 、B 之间的关系，A 中至少有一个元素不属于B .
答案：④
3．若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，则s 是p 的逆命题t 的________． 解析：设p 为“若A 则B ”，则r 为“若非A 则非B ”，s 为“若非B 则非A ”，t 为“若B 则A ”，故s 为t 的否命题．
答案：否命题
4．有下列四个命题：
①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b ≤0，则x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题；
④“若A ∪B ＝B ，则A B ”的逆否命题．
其中为真命题的是________．
解析：②逆命题为周长相等的三角形相似，假命题；④若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ，所以原命题假，由逆否命题的等价性可知②④错误．
答案：①③
5．命题“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆命题为________，否命题为________，逆否
命题为________．
答案：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0 若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0 若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0
26．命题“若x
①若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1；②若－11或x 1；④若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1.
解析：①是已知命题的否命题；②是逆命题；比较③、④知 ④正确．
答案：④
7．命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为________．
解析：∵“a >b ”的否定是“a ≤b ”，“2a >2b －1”的否定是“2a ≤2b －1”，∴原命题的否命题是“若a ≤b ，则2a ≤2b －1”．
答案：若a ≤b ，则2a ≤2b －1
8．命题“若∠A ＝60°，则△ABC 是等边三角形”的否命题“若∠A ≠60°，则△ABC 不是等边三角形”为________(真假性) ．
解析：“若∠A ＝60°，则△ABC 是等边三角形”的逆命题为“若△ABC 是等边三角形，则∠A ＝60°”，逆命题为真命题，所以否命题为真命题．
答案：真命题
二、解答题
9．命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d ”．写出其逆命题、否命题、逆否命题．
解：逆命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b ，c ＝d ；
否命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a 与b 、c 与d 不都相等，则a ＋c ≠b ＋d ； 逆否命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d ，则a 与b ，c 与d 不都相等．
110．写出命题“若a ≥－x 2＋x －a ＝0有实数根”的逆否命题，并判断其真假． 4
1解：逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实数根，则a
判断如下：∵x 2＋x －a ＝0无实数根，
1∴Δ＝1＋4a
1∴“若x 2＋x －a ＝0无实数根，则a
11．已知函数f (x ) 是(－∞，＋∞) 上的增函数，且a ，b ∈R ，若a ＋b ≥0，则f (a ) ＋f (b ) ≥f (－a ) ＋f (－b ) ．
(1)判断其逆命题的真假，并证明你的结论；
(2)判断其逆否命题的真假，并证明你的结论．
解：(1)逆命题：已知函数f (x ) 是(－∞，＋∞) 上的增函数，且a ，b ∈R ，若f (a ) ＋f (b ) ≥f (－a ) ＋f (－b ) ，则a ＋b ≥0. 为真命题．
用反证法证明：假设a ＋b
因为f (x ) 是(－∞，＋∞) 上的增函数，
则f (a )
所以f (a ) ＋f (b )
(2)逆否命题：已知函数f (x ) 是(－∞，＋∞) 上的增函数，且a ，b ∈R ，若f (a ) ＋f (b )
用原命题的真假判断逆否命题的真假，证明如下：
因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，b ≥－a .
因为f (x ) 在(－∞，＋∞) 上是增函数，
所以f (a ) ≥f (－b ) ，f (b ) ≥f (－a ) ．
所以f (a ) ＋f (b ) ≥f (－a ) ＋f (－b ) ．所以原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．