立体几何求角
一、线线角
例1(2005年全国高考福建卷) 如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ） D
1
C A ． 5 5
B ．
π 4π 2
A 1
E
B 1
G
C ．
D ．
D
C
F
例2(2005年全国高考浙江卷) 设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图) ．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．
C
图1
图2
例3(2005年全国高考天津卷) 如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB =90︒且PA =AC =BC =a ，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____．
P
A 1B
D
C B
6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ）
（A ）90°（B ）45°（C ）60°（D ）30°
7．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和的 中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ）
34
（A ）（B ）（C ）（D ）
10552
A
C
2、正方体中, E , F 分别是D 1C 1和BC 中点, O 是BD 的中点， (1)求EF 和底面ABCD 所成的角的正切值，
D 1
E
C 1
(2) 求EF 和侧面BCC 1B 1所成的角的正切值,
（
） 4
A 11
(3)求B 1O 和底面ABCD 所成的角的正切值 ，
D C
B
(4)求B 1O 和侧面BCC 1B 1所成的角的正切值。
（
5
3、正方体中, M , N 分别是AD 1和BD 的中点,
D C 1
A 1
(1)求AC 1和上底面A 1BC 11D
1所成的角的正切值（
B M
） 2
(2)求MN 和底面ABCD 所成的角（45°）
N
4、空间四边形PBCD 中, AC ⊥BC , PA ⊥平面ABC , AC =BC =2, PA =4 P
C B
(1)求PB 与平面PAC 所成的角正切值；
（
） 5） (2)求PC 和平面PAB 所成的角的正切值。
A B
12、直三棱柱中, ∠ABC =90 ,AB =BC =4, BB 1=3 ,M , N 分别是B 1C 1, AC
的中点, (1)求MN 和面ABC 所成的角(
3
) 2
9） 25
A 1
C
C 1
B (2)求异面直线AB 1和BC 1所成的角的余弦值（
14、点P
在正方形ABCD 所在平面外,PD ⊥平面ABCD, PD=AD, 求: (1)PB与底面ABCD 所成角的正切值（
C
） 2
(2)异面直线PA 和B D所成角大小是多少（60°）
1、如下图，在三棱锥S —ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC . （1）求证：AB ⊥BC ；
（2）若设二面角S —BC —A 为45°，SA =BC ，求二面角A —SC —B 的大小.
A
C
2、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .
（Ⅰ）证明P A //平面EDB ； （Ⅱ）证明PB ⊥平面EFD ；
（Ⅲ）求二面角C —PB —D 的大小.
3、如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE =EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .
（Ⅰ）求证AE ⊥平面BCE ；
（Ⅱ）求二面角B —AC —E 的大小； （Ⅲ）求点D 到平面ACE 的距离. 4、直角∆ABC 的斜边AB 在平面α内，AC , BC 与α所成角分别为30,45，CD 是斜边AB 上的高线，求CD 与
平面α所成角的正弦值。 C
H
A B D
α
5．已知在一个60的二面角的棱长有两点A , B ，AC , BD 分别是在这个二面角的两个平面内，且垂直于线段AB ，又知AB =4cm , AC =6cm , BD =8cm ，求CD 的长。
C
A
B
D
例4．如图，正方体的棱长为1，B 'C BC ' =O ，求： （1）AO 与A 'C '所成角；
D' C' （2）AO 与平面ABCD 所成角的正切值；
（3）平面AOB 与平面AOC 所成角。 B' A'
O
C D
E B A
1. 如图，AB ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，
若AB =BC =2BD ，求二面角B -AC -D 的正弦值。
A
B 。
3．如图，矩形ABCD , PD ⊥平面ABCD ，若PB =2, PB 与平面PCD 所成的角为45，PB 与平面ABD 成
30角，求：
（1）CD 的长；
（2）求PB 与CD 所成角；
（3）求二面角C -PB -D 的余弦值。
P
D
C
A B
立体几何求角
一、线线角
例1(2005年全国高考福建卷) 如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ） D
1
C A ． 5 5
B ．
π 4π 2
A 1
E
B 1
G
C ．
D ．
D
C
F
例2(2005年全国高考浙江卷) 设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图) ．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．
C
图1
图2
例3(2005年全国高考天津卷) 如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB =90︒且PA =AC =BC =a ，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____．
P
A 1B
D
C B
6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ）
（A ）90°（B ）45°（C ）60°（D ）30°
7．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和的 中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ）
34
（A ）（B ）（C ）（D ）
10552
A
C
2、正方体中, E , F 分别是D 1C 1和BC 中点, O 是BD 的中点， (1)求EF 和底面ABCD 所成的角的正切值，
D 1
E
C 1
(2) 求EF 和侧面BCC 1B 1所成的角的正切值,
（
） 4
A 11
(3)求B 1O 和底面ABCD 所成的角的正切值 ，
D C
B
(4)求B 1O 和侧面BCC 1B 1所成的角的正切值。
（
5
3、正方体中, M , N 分别是AD 1和BD 的中点,
D C 1
A 1
(1)求AC 1和上底面A 1BC 11D
1所成的角的正切值（
B M
） 2
(2)求MN 和底面ABCD 所成的角（45°）
N
4、空间四边形PBCD 中, AC ⊥BC , PA ⊥平面ABC , AC =BC =2, PA =4 P
C B
(1)求PB 与平面PAC 所成的角正切值；
（
） 5） (2)求PC 和平面PAB 所成的角的正切值。
A B
12、直三棱柱中, ∠ABC =90 ,AB =BC =4, BB 1=3 ,M , N 分别是B 1C 1, AC
的中点, (1)求MN 和面ABC 所成的角(
3
) 2
9） 25
A 1
C
C 1
B (2)求异面直线AB 1和BC 1所成的角的余弦值（
14、点P
在正方形ABCD 所在平面外,PD ⊥平面ABCD, PD=AD, 求: (1)PB与底面ABCD 所成角的正切值（
C
） 2
(2)异面直线PA 和B D所成角大小是多少（60°）
1、如下图，在三棱锥S —ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC . （1）求证：AB ⊥BC ；
（2）若设二面角S —BC —A 为45°，SA =BC ，求二面角A —SC —B 的大小.
A
C
2、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .
（Ⅰ）证明P A //平面EDB ； （Ⅱ）证明PB ⊥平面EFD ；
（Ⅲ）求二面角C —PB —D 的大小.
3、如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE =EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .
（Ⅰ）求证AE ⊥平面BCE ；
（Ⅱ）求二面角B —AC —E 的大小； （Ⅲ）求点D 到平面ACE 的距离. 4、直角∆ABC 的斜边AB 在平面α内，AC , BC 与α所成角分别为30,45，CD 是斜边AB 上的高线，求CD 与
平面α所成角的正弦值。 C
H
A B D
α
5．已知在一个60的二面角的棱长有两点A , B ，AC , BD 分别是在这个二面角的两个平面内，且垂直于线段AB ，又知AB =4cm , AC =6cm , BD =8cm ，求CD 的长。
C
A
B
D
例4．如图，正方体的棱长为1，B 'C BC ' =O ，求： （1）AO 与A 'C '所成角；
D' C' （2）AO 与平面ABCD 所成角的正切值；
（3）平面AOB 与平面AOC 所成角。 B' A'
O
C D
E B A
1. 如图，AB ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，
若AB =BC =2BD ，求二面角B -AC -D 的正弦值。
A
B 。
3．如图，矩形ABCD , PD ⊥平面ABCD ，若PB =2, PB 与平面PCD 所成的角为45，PB 与平面ABD 成
30角，求：
（1）CD 的长；
（2）求PB 与CD 所成角；
（3）求二面角C -PB -D 的余弦值。
P
D
C
A B