车辆转弯数学分析

单车及半挂车转弯的数学分析

1、单车转弯 1.1 单车转弯模型

单车转弯的模型比较简单，即为平面内单一刚体的运动，没有刚体之间的相对运动，因而，根据位移协调，可以唯一确定任意时刻单车各点的运动方向及速度。根据刚体运动的原理，如果能知道刚体上任意两点的运动速度的方向及其中任一速度的大小，就可以知道刚体上其它任意一点的运动速度及方向。原理很简单，描述如下：

对于刚体A，已知其上两点a、b的速度分别为va、vb，，求其上c点的运动方向及速度vc：

a、先由a、b两点的运动方向求其速度舜心，得到O点，再由任意一点速度求出其绕O点的角速度，即为整个刚体绕其速度舜心的角速度：

vavb



rarb

上式中va为向量va的模。

b、由速度舜心及角速度可得出任意一点的运动速度及方向：

vcrcv

上式中v为vc方向上的单位向量。

基于以上原理，可以求出车辆上任意一点的运动速度及方向，

因此也可以确

定车辆的内侧及外侧的最大扫空。

以下就对单车的转弯进行一些数学分析。 1.2 单车转弯的数学分析

此处通过数学分析来讨论单车转弯时通道圆宽度与前轮转角的关系。 设小汽车各项参数如下：

为简单计算，此处假设轮子外侧与车辆外轮廓平齐，并且不考虑轮子宽度，即认为轮子的横向中心在车辆的外轮廓线上。车辆转弯图如下：

为内前轮转角，图中，R为单车的通道圆内圆半径，R1为通道圆外圆半径，

由三角形知识可得，前后轮之间弧所对应的圆心角也为。对于一般单车而言，



0,。

4

a、通道圆的内圆半径R 由上图可得：tg

d，所以有Rdctg。(0,]。

R4

故对单车而言，当转向轮最大转角为45°时，

最小转弯半径为：Rminb、通道圆的外圆半径R1 根据三角关系：

R1

d。 2



C、道圆的宽度，设其为f，则

f

R1R



为避免变量过多，设

R

①

dctg

d1d

a，2b，则 dd

f

d



ctg 0,

4



为分析f随的变化关系，设

xctg x[0, )

cb21a



2

g(x)x

则

g

'x=

1

将cb21a代入上式得

g(x)’=

2

2

1a2

x[0,)，a、b0，上式中， b都是常数，且 a0，所以容易得出g(x)’

又xctg在(0,]上单调递减，所以f在(0,]单调递增。即单车转

44弯的通道圆的宽度随前轮转角的增大而增大。

当0时，有

limf0



limd

0

ctg

2



d2bctgb21ab2

1a

2b

2

d

dbd2

即当车辆直线向前行驶时，通道圆宽度达到最小值，即为单车本身的宽度。 2、半挂车转弯 2.1 半挂车的转弯模型

半挂车的转弯，因中间有一个挂点的存在，从而比单车的转弯多了一个自由度。

半挂车的转弯模型如下：

图中AB为牵引车，BC为挂车，B点为挂点。根据半挂车的运动规律，B点跟随A点运动，即B点运动方向始终指向A且保持固定距离AB，C点跟随B点运动，运动方向始终指向B点，且保持固定距离BC。根据实际经验，即使牵引车的转向轮转交保持不变，AB与BC的夹角也会不断变化（AB沿直线行驶除外）。因此，现在就对一般的跟随运动做一个研究，找出一般性跟随运动的规律，那么挂车的转弯就可简化为两个一般性跟随运动的组合，从而确定其转弯通道。

2.2跟随运动数学分析

设点A在平面内运动，运动轨迹方程为yfx，yfx在平面内存在连续二阶导数，B点跟随A运动，方向始终指向A，且与A保持固定距离d，求B的运动轨迹方程。

由前边分析可知，A、B始终绕A、B构成的体系的速度瞬心转动，A在外圆上，B在内圆上，且外圆半径R及内圆半径r都是转角的单值函数。即

rdctg

R

d

sin

设BA与x轴正向的夹角为β，B点的运动轨迹方程为ygx，由于B的运动方向始终指向A，故BA始终为ygx在B点的切线方向，即

g' tg

同理可得

② x

f'x ③ tg前面已经说过，当A点运动方向与BA成角时，B的运动轨迹所在的圆的半径为rdctg，此即为B的运动轨迹方程ygx在B点的曲率半径，根据曲线曲率半径表达式有：

1g'xrdctg

2

3

2

g''(x)

④

又

ctg

1tgtg1

 ⑤

tgtgtg

结合②③④⑤得

1g'x

2

32

g''(x)



1f'x1g'x

⑥

f'x1g'x即为B点的运动轨迹ygx所满足的微分方程。

式中，由于x与x1位置不同，故式中做了区别。其实，当x在任意位置时，

x1与x有以下简单的关系：

x1x

故⑥式的完整形式为

31g'2

x

2

g''(x)



f' xg'x上式即为一般跟随运动的跟随点运动轨迹方程。

⑦

单车及半挂车转弯的数学分析

1、单车转弯 1.1 单车转弯模型

单车转弯的模型比较简单，即为平面内单一刚体的运动，没有刚体之间的相对运动，因而，根据位移协调，可以唯一确定任意时刻单车各点的运动方向及速度。根据刚体运动的原理，如果能知道刚体上任意两点的运动速度的方向及其中任一速度的大小，就可以知道刚体上其它任意一点的运动速度及方向。原理很简单，描述如下：

对于刚体A，已知其上两点a、b的速度分别为va、vb，，求其上c点的运动方向及速度vc：

a、先由a、b两点的运动方向求其速度舜心，得到O点，再由任意一点速度求出其绕O点的角速度，即为整个刚体绕其速度舜心的角速度：

vavb



rarb

上式中va为向量va的模。

b、由速度舜心及角速度可得出任意一点的运动速度及方向：

vcrcv

上式中v为vc方向上的单位向量。

基于以上原理，可以求出车辆上任意一点的运动速度及方向，

因此也可以确

定车辆的内侧及外侧的最大扫空。

以下就对单车的转弯进行一些数学分析。 1.2 单车转弯的数学分析

此处通过数学分析来讨论单车转弯时通道圆宽度与前轮转角的关系。 设小汽车各项参数如下：

为简单计算，此处假设轮子外侧与车辆外轮廓平齐，并且不考虑轮子宽度，即认为轮子的横向中心在车辆的外轮廓线上。车辆转弯图如下：

为内前轮转角，图中，R为单车的通道圆内圆半径，R1为通道圆外圆半径，

由三角形知识可得，前后轮之间弧所对应的圆心角也为。对于一般单车而言，



0,。

4

a、通道圆的内圆半径R 由上图可得：tg

d，所以有Rdctg。(0,]。

R4

故对单车而言，当转向轮最大转角为45°时，

最小转弯半径为：Rminb、通道圆的外圆半径R1 根据三角关系：

R1

d。 2



C、道圆的宽度，设其为f，则

f

R1R



为避免变量过多，设

R

①

dctg

d1d

a，2b，则 dd

f

d



ctg 0,

4



为分析f随的变化关系，设

xctg x[0, )

cb21a



2

g(x)x

则

g

'x=

1

将cb21a代入上式得

g(x)’=

2

2

1a2

x[0,)，a、b0，上式中， b都是常数，且 a0，所以容易得出g(x)’

又xctg在(0,]上单调递减，所以f在(0,]单调递增。即单车转

44弯的通道圆的宽度随前轮转角的增大而增大。

当0时，有

limf0



limd

0

ctg

2



d2bctgb21ab2

1a

2b

2

d

dbd2

即当车辆直线向前行驶时，通道圆宽度达到最小值，即为单车本身的宽度。 2、半挂车转弯 2.1 半挂车的转弯模型

半挂车的转弯，因中间有一个挂点的存在，从而比单车的转弯多了一个自由度。

半挂车的转弯模型如下：

图中AB为牵引车，BC为挂车，B点为挂点。根据半挂车的运动规律，B点跟随A点运动，即B点运动方向始终指向A且保持固定距离AB，C点跟随B点运动，运动方向始终指向B点，且保持固定距离BC。根据实际经验，即使牵引车的转向轮转交保持不变，AB与BC的夹角也会不断变化（AB沿直线行驶除外）。因此，现在就对一般的跟随运动做一个研究，找出一般性跟随运动的规律，那么挂车的转弯就可简化为两个一般性跟随运动的组合，从而确定其转弯通道。

2.2跟随运动数学分析

设点A在平面内运动，运动轨迹方程为yfx，yfx在平面内存在连续二阶导数，B点跟随A运动，方向始终指向A，且与A保持固定距离d，求B的运动轨迹方程。

由前边分析可知，A、B始终绕A、B构成的体系的速度瞬心转动，A在外圆上，B在内圆上，且外圆半径R及内圆半径r都是转角的单值函数。即

rdctg

R

d

sin

设BA与x轴正向的夹角为β，B点的运动轨迹方程为ygx，由于B的运动方向始终指向A，故BA始终为ygx在B点的切线方向，即

g' tg

同理可得

② x

f'x ③ tg前面已经说过，当A点运动方向与BA成角时，B的运动轨迹所在的圆的半径为rdctg，此即为B的运动轨迹方程ygx在B点的曲率半径，根据曲线曲率半径表达式有：

1g'xrdctg

2

3

2

g''(x)

④

又

ctg

1tgtg1

 ⑤

tgtgtg

结合②③④⑤得

1g'x

2

32

g''(x)



1f'x1g'x

⑥

f'x1g'x即为B点的运动轨迹ygx所满足的微分方程。

式中，由于x与x1位置不同，故式中做了区别。其实，当x在任意位置时，

x1与x有以下简单的关系：

x1x

故⑥式的完整形式为

31g'2

x

2

g''(x)



f' xg'x上式即为一般跟随运动的跟随点运动轨迹方程。

⑦