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平新乔《微观经济学十八讲》第10讲 策略性博弈与纳什均衡
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1．假设厂商A 与厂商B 的平均成本与边际成本都是常数，MC A =10，MC B =8，对厂商产出的需求函数是
Q D =500-20p
（1）如果厂商进行Bertrand 竞争，在纳什均衡下的市场价格是多少？ （2）每个厂商的利润分别为多少？ （3）这个均衡是帕累托有效吗？ 解：（1）如果厂商进行Bertrand 竞争，纳什均衡下的市场价格是p B =10-ε，p A =10，其中ε是一个极小的正数。理由如下：
假设均衡时厂商A 和B 对产品的定价分别为p A 和p B ，那么必有p A ≥10，p B ≥8，即厂商的价格一定要高于产品的平均成本。其次，达到均衡时，p A 和p B 都不会严格大于10。否则，价格高的厂商只需要把自己的价格降得比对手略低，它就可以获得整个市场，从而提高自己的利润。所以均衡价格一定满足p A ≤10，p B ≤10。但是由于p A 的下限也是10，所以均衡时p A =10。给定p A =10，厂商B 的最优选择是令p B =10-ε，这里ε是一个介于0到2之间的正数，这时厂商B 可以获得整个市场的消费者。综上可知，均衡时的价格为p A =10，p B =10-ε。
（2）由于厂商A 的价格严格高于厂商B 的价格，所以厂商A 的销售量为零，从而利润也是零。下面来确定厂商B 的销售量，此时厂商B 是市场上的垄断者，它的利润最大化问题为：
max pq -cq ①
ε>0
其中p =10-ε，q =500-20⨯(10-ε)，把这两个式子代入①式中，得到：
max (10-ε-8)⎡⎣500-20(10-ε)⎤⎦
ε>0
解得ε=0，由于ε必须严格大于零，这就意味着ε可以取一个任意小的正数，所以厂商B 的利润为：⎡⎣500-20⨯(10-ε)⎤⎦(10-ε)。
（3）这个结果不是帕累托有效的。因为厂商B 的产品的价格高于它的边际成本，所以
如果厂商B 和消费者可以为额外1单位的产品协商一个介于8到10-ε之间的价格，那么厂商B 的利润和消费者的剩余就都可以得到提高，同时又不损害厂商A 的剩余（因为A 的利润还是零）。
2．（单项选择）在下面的支付矩阵（表10-1）中，第一个数表示A 的支付水平，第二个数表示B 的支付水平，a 、b 、c 、d 是正的常数。如果A 选择“下”而B 选择“右”，
那么：
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表10-1 博弈的支付矩阵
（1）b >1且d
【分析】由于（下，右）是均衡策略，所以给定B 选择“右”，“下”是A 的最优选择，这就意味着c
3．史密斯与约翰玩数字匹配游戏。每一个人选择1、2或者3。如果数字相同，约翰支付给斯密3美元。如果数字不同，斯密支付给约翰1美元。
（1）描述这个对策的报酬矩阵，并且证明没有纯策略纳什均衡策略组。
1
（2）如果每一个局中人以的概率选择每一个数字，证明这个对策的混合策略确实有
3
一纳什均衡。这个对策的值是什么？
解：（1）根据题意，构造如下的支付矩阵（表10-2）（其中每一栏中前一个数字是史密斯的支付，后一个数字是约翰的支付）：
表10-2 玩数字匹配游戏的支付矩阵
首先由史密斯来选择，假设史密斯选择1，并期望约翰选择1，从而使自己得到3的支付。但是，如果史密斯选择1，则约翰一定会选择2或者3，从而使自己得到1，而不是-3。假设约翰选择2，他期望史密斯选择1或者3，以使得自己得到1，而实际上史密斯会选择2，使得约翰得到-3，等等。不断的循环反复，最终也无法达成一个使得双方都能够接受的方案。因此，这个对策没有一个纯策略纳什均衡。
（2）假设均衡时，约翰选择1、2、3的概率分别为x 1、x 2和1-x 1-x 2，那么此时史密斯在选择1、2、3之间是没有区别的，即：
3x 1-x 2-(1-x 1-x 2)=-x 1+3x 2-(1-x 1-x 2)=-x 1-x 2+3(1-x 1-x 2)
从而解得
x 1=x 2=1-x 1-x 2=
1 3
类似的方法可以解得史密斯在均衡状态下选择1、2、3的概率分别为1/3。
4．假定世界上氪的整个供给由20个人控制，每一个人拥有这种强有力的矿物10000克。世界对氪的需求是
Q =1000-1000p
其中p 是每克的价格。
（1）如果所有拥有者合谋控制氪的价格，他们设置的价格是多少？他们能够卖出的量是多少？
（2）为什么（1）中计算的价格是不稳定的？
（3）通过改变要求保持市场价格的产出，在没有厂商能够获利的意义下存在一个稳定的均衡时，氪的价格是多少？
解：（1）所有拥有者合谋控制氪的价格，此时总的利润函数为：
π= 1-Q ⎪Q
1000
利润最大化的一阶条件为：
d π1
=1-Q =0 d Q 500
⎛
⎝
1
⎫⎭
解得总供应量为Q =500（克）。此时p =1-
500/20=25（克）。
1
Q =0.5，每个厂商的供应量为1000
（2）对第一个厂商而言，给定其他每个厂商的供应量为25克，那么他的利润最大化问题为：
max
q 1
525-q 1
q 1 1000
根据一阶条件解得：
q 1=262.5
可见在其他厂商的供应量为25克的条件下，厂商1增加供应量会提高自己的利润。类似的结论对市场上的其他厂商也成立，所以合谋是不稳定的。
（3）题目要求完全竞争市场的均衡结果。令p =MC ，得到氪的价格为零。市场上的总供给量为1000克，每个成员的出售量为50克。
5．在下表所示的策略型博弈（表10-3）中，找出占优均衡。
表10-3 博弈的支付矩阵
答：对于行为人2而言，R 优于M ，所以行为人2将会剔除掉M 策略，只在R 、L 这两个策略中进行选择；对于行为人1来说，知道了行为人2会在L 、R 策略中选择，则U 占
优于M 和D 策略。当行为人2知道行为人1选择了U 策略时，他则最终会选择L 策略。所以，最终的占优均衡为（U ，L ）。
6．模型化下述划拳博弈：两个老朋友在一起划拳喝酒，每个人有四个纯策略：杆子、老虎，鸡和虫子。输赢规则是：杆子降考虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降杆子。两个人同时出令。如果一个打败另一个，赢者的效用为1，输者的效用为-1；否则，效用均为0。写出这个博弈的收益矩阵。这个博弈有纯策略纳什均衡吗？计算出混合策略纳什均衡。
答：（1）该题的支付矩阵（表10-4）为：
表10-4 划拳博弈的支付矩阵
（2）这是一个零和博弈，没有纯策略纳什均衡。这是因为：
对两个参与者，给定对方策略时，本方的占优策略对应的支付以下划线标注，均衡存在当且仅当在同一栏中出现两个下划线。由此可知，该博弈没有纯策略纳什均衡。
（3）记游戏者1分别选择各个策略的概率为{p 1, p 2, p 3, p 4}，游戏者2分别选择各个策略的概率为{q 1, q 2, q 3, q 4}。
当游戏者2分别以概率{q 1, q 2, q 3, q 4}选择四个策略时，游戏者1的四个策略的收益应该相等（根据同等支付原则）：
1⨯q 2+(-1)⨯q 4=(-1)⨯q 1+1⨯q 3=(-1)⨯q 2+1⨯q 4=1⨯q 1+(-1)⨯q 3
1
又因为q 1+q 2+q 3+q 4=1，可以得到：q 1=q 2=q 3=q 4=。
4
同理，当对于游戏者1分别以概率{p 1, p 2, p 3, p 4}选择四个策略时，游戏者2的四个策略的收益应该相等（根据同等支付原则）：
1⨯p 2+(-1)⨯p 4=(-1)⨯p 1+1⨯p 3=(-1)⨯p 2+1⨯p 4=1⨯p 1+(-1)⨯p 3
又因为p 1+p 2+p 3+p 4=1，可以得到：p 1=p 2=p 3=p 4=因此混合策略纳什均衡为：（σ1，σ2），其中
1
。 4
σ1= ⎪，σ2= ⎪
⎝4444⎭⎝4444⎭
7．巧克力市场上有两个厂商，各自都可以选择去市场的高端（高质量），还是去低端⎛1111⎫⎛1111⎫
（低质量）。相应的利润由如下收益矩阵（表10-5）给出：
表10－5 巧克力商的博弈
（1）如果有的话，哪些结果是纳什均衡？
（2）如果各企业的经营者都是保守的，并都采用最大最小化策略，结果如何？ （3）合作的结果是什么？
（4）哪个厂商从合作的结果中得好处最多？哪个厂商要说服另一个厂商需要给另一个厂商多少好处？
解：（1）纳什均衡的结果是（高，低）和（低，高），相应的收益分别为（100，800）和（900，600）。
（2）如果1选择低，则有min {-20,900}=-20；如果1选择高，则有min {100,50}=50。 因此如果1想要最大化它的最小支付，其最优决策为：
max {min {-20,900},min {100,50}}=max {-20,50}=50
所以1会选择高。类似的分析表明2也会选择高，因此两个人都采用最大最小策略的均衡结果为（高，高），相应的支付为（50，50）。
（3）如果双方进行合作，那么他们的目标就是总利润最大化，这样最终的结果就是（低，高），相应的支付为（900，600）。
（4）厂商1从合作的结果中获得的好处多。为了使得厂商2不选择另外一个纳什均衡（高，低），厂商1应当给厂商2一笔800-600=200的支付。
8．考虑在c ，f ，g ，三个主要汽车生产商之间的博弈。每一个厂商可以生产要么大型车，要么小型车，但不可同时生产两种型号的车。即，对于每一个厂商i ，i =c ，f ，g ，他的行动集合为AI ={SM , LG }。用αi 代表i 所选择的行动，αi A I ，πI (αc , αf , αg )代表厂商i 的利润。假设，每个厂商的利润函数定义如下：
πi ≡γ，如果αj =LG ，j =c ，f ，g ；
γ，如果αj =SM ， j =c ，f ，g ； α，如果αi =LG ，且αj =SM ，j ≠i ； α，如果αi =SM ，且αj =LG ，j ≠i ；
β，如果αi =αj =LG ，且αk =SM ，j ≠k ≠i ；
β，如果αi =αj =SM ，且αk =LG ，j ≠k ≠i ；
（1）当α>β>γ>0时，是否存在纳什均衡？请证明。 （2）当α>γ>β>0时，是否存在纳什均衡？请证明。 证明：该博弈的支付矩阵如表10-6和10-7所示。
表10-6 G汽车厂生产SM 型汽车
表10-7 G汽车厂生产LG 型的汽车
（1）该博弈存在纳什均衡。首先考虑三家选择的行动相同，那么任一个厂家都将得到数量为γ的利润。因为α>β>γ，所以任何厂商只要选择和其他两个工厂生产不同型号的产品，就可以获得更高的利润，所以三家工厂生产相同的产品不是纳什均衡。如果三个工厂生产不同的产品，比如说(αc , αf , αg )=(SM , LG , SM )，因为α>β>γ，所以C 厂已经获得了它可能获得的最高利润，因此它不会背叛；给定其他厂商的选择，F 厂生产LG 型号的汽车只能获得数量为β的利润，高于它生产SM 型号的汽车获得的数量为γ的利润，所以F 厂也不会背叛；给定其他厂商的选择，G 厂在生产两种型号的汽车之间是没有差异的，因为无论那种情况下，他都只能获得数量为β的利润，所以G 厂同样不会背叛。
综上可知(αc , αf , αg )=(SM , LG , SM )是一个纳什均衡。类似的分析表明，只要三个工厂生产不同的产品，就是纳什均衡。
（2）只要三个工厂生产的汽车型号不完全相同，这样的结果就是纳什均衡。分析类似于第（1）问。
9．考虑下列策略型博弈（表10-8）：
表10-8 博弈的支付矩阵
请问，该博弈里有几个均衡？为什么？ 答：（1）该博弈的纯策略均衡为（D ，R ）。
（2）下面分析混合策略均衡。设参与人A 分别选择策略U 、M 和D 的概率为{p 1, p 2, p 3}；设参与人B 分别选择策略L 、M 和R 的概率为{q 1, q 2, q 3}；下面分三种情况讨论：
①达到混合均衡时，如果参与人A 分别选择策略U 、M 和D 的概率都严格大于零，那么他选择策略U 、M 和D 的期望收益就要相等，即：q 1-2q 2=-2q 1+q 2=q 3
从而解得q 1=q 2=-q 3，矛盾，所以对参与人B 而言，不存在使得q 1，q 2，q 3同时大于零的混合均衡；对参与人A 也有类似的结论成立。
②尽管如此，以上的分析并不能说明不存在混合均衡。因为达到均衡时，有可能存在参与人选择某一行动的概率为零的可能。对A 而言，在U 、M 、D 三个行动中选择某一行动的概率等于零的情况共有三种可能。对B 也是一样，这样均衡时共有九种可能的情况，下面分别讨论：
a ．A 选择行动D 的概率为零，B 选择行动R 的概率为零，即p 3=q 3=0，从而得到如表10-9所示的支付矩阵：
表10-9 博弈的支付矩阵
达到均衡时，A 选择M 和U 应当得到相同的期望支付，即q 1-2q 2=-2q 1+q 2，整理得到q 1=q 2；又因为q 3=0，所以q 1+q 2=1。从而解得q 1=q 2=0.5；同理可得p 1=p 2=0.5。所以{q 1=0.5, q 2=0.5, q 3=0}和{p 1=0.5, p 2=0.5, p 3=0}就是一个混合均衡。
b ．A 选择行动D 的概率为零，B 选择行动M 的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。
c ．A 选择行动D 的概率为零，B 选择行动L 的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。
d ．A 选择行动M 的概率为零，B 选择行动R 的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。
e ．A 选择行动M 的概率为零，B 选择行动M 的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。
f ．A 选择行动M 的概率为零，B 选择行动L 的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。
g ．A 选择行动U 的概率为零，B 选择行动R 的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。
h ．A 选择行动U 的概率为零，B 选择行动M 的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。
i ．A 选择行动U 的概率为零，B 选择行动L 的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。
综合上述分析可知，唯一的混合均衡就是：σA ={0.5,0.5,0}，σB ={0.5,0.5,0}。 ③均衡时，如果A 选择某两个行动的概率都等于零，即A 只能选择一个行动。这就要求在B 的行动中，至少有一对行动可以给自己带来相同的支付，但是由支付矩阵可知，这一条件并不满足，这样均衡时，B 也只能选择一个行动，这就退化成了纯策略均衡。所以A 选择某两个行动的概率都等于零的混合均衡是不存在的；同理B 选择某两个行动的概率都等于零的混合均衡也是不存在的。
综合上述分析可知，该博弈只有唯一的混和均衡，即：
{q 1=0.5, q 2=0.5, q 3=0}和{p 1=0.5, p 2=0.5, p 3=0}
10．考虑如表10-10和10-11所示的策略型博弈
表10-10 参与人3选择A 时的支付矩阵
表10-11 参与人3选择B 时的支付矩阵
每一格左边的数字是游戏者1的得益，中间的数字为游戏者2的得益，右边的数字为游戏者3的得益。游戏者3的策略是选A 矩阵或选B 矩阵。
（1）上述博弈中有几个纯策略纳什均衡？为什么？
（2）如果三个游戏者中可以有两个人结盟共同对付另一个人，会出现什么结果？ 解：（1）上述博弈中有两个纯策略纳什均衡。它们分别为（U ，L ，A ）和（D ，R ，。对任意的参与人，给定其他两个参与者的行动，他的占优行动用下划线表示出来，由B ）
此可以得到这两个纯策略纳什均衡。
（2）若三人中有两人结盟，则不外乎下面三种情况：
①参与人1和2结盟，支付矩阵如表10-12所示，该博弈的均衡是（DR ，B ）。
表10-12 参与人1和2结盟后博弈的支付矩阵
②参与人1和3结盟，支付矩阵如表10-13所示，该博弈的均衡是（UA ，L ）和（DB ，。 R ）
表10-13 参与人1和3结盟后博弈的支付矩阵
③参与人2和3结盟，支付矩阵如表10-14所示，该博弈的均衡是（LA ，U ）和（RB ，。 D ）
表10-14 参与人2和3结盟后博弈的支付矩阵
若参与人1和2结盟，博弈的结果只能是（D ，R ，B ）。由于结果（U ，L ，A ）对应的支付对每个人而言都优于（D ，R ，B ）对应的支付，所以不结盟至少可以使每个人的境况和参与人1，2结盟时一样好，所以不结盟相对参与人1和2而言反而更优。
若参与人1和3结盟，博弈的结果完全同不结盟。 若参与人2和3结盟，博弈的结果完全同不结盟。
综合上述分析可知，在这个博弈中，任何两方都不会有结盟的动机。
11．在表10-15所示的策略型博弈里，什么是占优解？什么是纯策略纳什（Nash ）均衡解？
表10-15 博弈的支付矩阵
解：（1）这个博弈没有占优均衡。理由如下：在这个问题中，对于游戏者1而言，T 占优于D ，因此可以将D 排除掉。此时博弈的支付矩阵如表10-16所示。当游戏者1的可选策略只有T 和M 时，对游戏者2而言，R 占优于M ，因此可以把M 排除掉，此时博弈的支付矩阵如表10-17所示。至此，用剔除法寻找占优均衡的方法无法继续进行，所以这个博弈没有占优均衡。
表10-16 排除掉D 以后的支付矩阵
表10-17 排除掉M 以后的支付矩阵
（2）纯策略纳什均衡为（M ，L ），（T ，R ）。由表10-17可知，当游戏者2选择L 时，游戏者1的最优策略为M ，当游戏者2选择R 时，游戏者1的最优策略是T 。同样，当游戏者1选择T 时，游戏者2的最优策略是R ，当游戏者1选择M 时，游戏者2的最优策略为L 。因此，纯策略纳什均衡为（M ，L ），（T ，R ），此时游戏者得到的支付为（3，4），（4，2）。
12．判断对错，并简要说明理由。 （1）占优均衡一定是纳什均衡。
（2）在囚徒困境中，如果每一个囚犯都相信另一个囚犯会抵赖，那么两个人都会抵赖。 （3）一个将军有两个纯策略，要么把所有的部队从陆地运输，要么把所有的部队从海洋上运输。那么把1/4的部队从陆地运输，把其余3/4的部队从海洋运输构成一个混合策略。
答：（1）正确。理由如下：如果在博弈中，每个参与人都有自己的占优策略，这就意味着对任何一个参与人而言，无论其他参与人的策略如何，该参与人的占优策略对他而言都是最优的，特别地，当其他的参与人也选择自己的占优策略时，该参与人的占优策略对他还是最优的，根据纳什均衡的定义，可知占优均衡一定是纳什均衡。
（2）错误。理由如下：在囚徒困境中，如果每一个囚犯都相信另一个囚犯会抵赖，那么对每个囚犯而言，坦白将是他的最优选择。如果两个囚犯都这样考虑，那么均衡的结果就是两个人都坦白。
（3）错误。因为混合策略是在纯策略集合上确定的一个概率分布，而在本题中，将军分割军队的决定事实上是扩大了纯策略的集合，即将军的决定仍然是一个纯策略。
13．一个小镇中，有N 个人，每人有100元钱，如果每人都向一个集资箱中捐一笔钱（可以为零）而共收集到F 元，那么从一个基金中拿出相同数量的钱放入集资箱，最后当集资被分配时，每人获得2F /N 元，求解这一博弈的均衡。
解：假设参与人i 的捐款为F i ，他的收益为πi ，又记F -i =F -F i ，那么给定F -i =F ，参与人i 的收益为：
-i
πi =
-i 2i 2-i ⎛2⎫
F +F -F i = -1⎪F i +F N N ⎝N ⎭
()
特别地，πi 是F i 的线性函数，所以：
（1）当N >2时，
（2）当N =2时，
2-1
益，从而F i ∈(0, +∞)。
（3）当N =1时，2-1>0，这时参与人的捐款数量会趋向于正无穷，即F i →+∞。 N
由于所有行动者的行为相同，所以当N >2时，纳什均衡为F i =0，i =1，2，„，N ； 当N =2时，纳什均衡为F i ∈(0, +∞)，i =1，2；
当N =1时，纳什均衡为F i →+∞。
14．Frank 和Nancy 约定下一周的某一天在小镇的咖啡厅见面，但他们如此兴奋以至于忘记了在哪一个咖啡厅约会，所幸的是小镇上只有两个咖啡厅，“夕阳”和“海湾”，并且他们知道彼此的偏好。事实上，如果二人都去了“夕阳”，Frank 的效用是3而Nancy 的效用是2，如果二人都去了“海湾”，Frank 的效用是2而Nancy 的效用是3，如果二人去的地方不同，则效用水平都是0。
（1）这一博弈存在纯策略纳什均衡吗？存在混合均衡吗？
（2）这一博弈存在占优策略均衡吗？
答：（1）这一博弈存在纯策略纳什均衡和混合均衡。
①此博弈的支付矩阵如表10-18所示，根据支付矩阵可知该博弈的纯策略均衡为两个人都去相同的咖啡厅，即：（夕阳，夕阳）和（海湾，海湾）。
表10-18 约会博弈的支付矩阵
②假设Frank 去夕阳咖啡厅的概率为p ，那么他去海湾咖啡厅的概率就是1-p ，均衡时的概率应当使得Nancy 去夕阳或海湾咖啡厅的期望效用相等，即：
2p =3(1-p )
解得p =0.6，则1-p =0.4，即Frank 去夕阳餐厅的概率为0.6，去海湾餐厅的概率为0.4；同理可得Nancy 去夕阳餐厅的概率为0.4，去海湾餐厅的概率为0.6。
（2）这一博弈不存在占优策略均衡。若Nancy 选择去夕阳，则Frank 的最优策略是去夕阳；若Nancy 去海湾，则Frank 的最优策略是去海湾，因此对于Frank 而言不存在占优策略。同样，对于Nancy 来说也不存在一个占优策略，因此这一博弈不存在占优策略均衡。
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1．假设厂商A 与厂商B 的平均成本与边际成本都是常数，MC A =10，MC B =8，对厂商产出的需求函数是
Q D =500-20p
（1）如果厂商进行Bertrand 竞争，在纳什均衡下的市场价格是多少？ （2）每个厂商的利润分别为多少？ （3）这个均衡是帕累托有效吗？ 解：（1）如果厂商进行Bertrand 竞争，纳什均衡下的市场价格是p B =10-ε，p A =10，其中ε是一个极小的正数。理由如下：
假设均衡时厂商A 和B 对产品的定价分别为p A 和p B ，那么必有p A ≥10，p B ≥8，即厂商的价格一定要高于产品的平均成本。其次，达到均衡时，p A 和p B 都不会严格大于10。否则，价格高的厂商只需要把自己的价格降得比对手略低，它就可以获得整个市场，从而提高自己的利润。所以均衡价格一定满足p A ≤10，p B ≤10。但是由于p A 的下限也是10，所以均衡时p A =10。给定p A =10，厂商B 的最优选择是令p B =10-ε，这里ε是一个介于0到2之间的正数，这时厂商B 可以获得整个市场的消费者。综上可知，均衡时的价格为p A =10，p B =10-ε。
（2）由于厂商A 的价格严格高于厂商B 的价格，所以厂商A 的销售量为零，从而利润也是零。下面来确定厂商B 的销售量，此时厂商B 是市场上的垄断者，它的利润最大化问题为：
max pq -cq ①
ε>0
其中p =10-ε，q =500-20⨯(10-ε)，把这两个式子代入①式中，得到：
max (10-ε-8)⎡⎣500-20(10-ε)⎤⎦
ε>0
解得ε=0，由于ε必须严格大于零，这就意味着ε可以取一个任意小的正数，所以厂商B 的利润为：⎡⎣500-20⨯(10-ε)⎤⎦(10-ε)。
（3）这个结果不是帕累托有效的。因为厂商B 的产品的价格高于它的边际成本，所以
如果厂商B 和消费者可以为额外1单位的产品协商一个介于8到10-ε之间的价格，那么厂商B 的利润和消费者的剩余就都可以得到提高，同时又不损害厂商A 的剩余（因为A 的利润还是零）。
2．（单项选择）在下面的支付矩阵（表10-1）中，第一个数表示A 的支付水平，第二个数表示B 的支付水平，a 、b 、c 、d 是正的常数。如果A 选择“下”而B 选择“右”，
那么：
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（1）b >1且d
【分析】由于（下，右）是均衡策略，所以给定B 选择“右”，“下”是A 的最优选择，这就意味着c
3．史密斯与约翰玩数字匹配游戏。每一个人选择1、2或者3。如果数字相同，约翰支付给斯密3美元。如果数字不同，斯密支付给约翰1美元。
（1）描述这个对策的报酬矩阵，并且证明没有纯策略纳什均衡策略组。
1
（2）如果每一个局中人以的概率选择每一个数字，证明这个对策的混合策略确实有
3
一纳什均衡。这个对策的值是什么？
解：（1）根据题意，构造如下的支付矩阵（表10-2）（其中每一栏中前一个数字是史密斯的支付，后一个数字是约翰的支付）：
表10-2 玩数字匹配游戏的支付矩阵
首先由史密斯来选择，假设史密斯选择1，并期望约翰选择1，从而使自己得到3的支付。但是，如果史密斯选择1，则约翰一定会选择2或者3，从而使自己得到1，而不是-3。假设约翰选择2，他期望史密斯选择1或者3，以使得自己得到1，而实际上史密斯会选择2，使得约翰得到-3，等等。不断的循环反复，最终也无法达成一个使得双方都能够接受的方案。因此，这个对策没有一个纯策略纳什均衡。
（2）假设均衡时，约翰选择1、2、3的概率分别为x 1、x 2和1-x 1-x 2，那么此时史密斯在选择1、2、3之间是没有区别的，即：
3x 1-x 2-(1-x 1-x 2)=-x 1+3x 2-(1-x 1-x 2)=-x 1-x 2+3(1-x 1-x 2)
从而解得
x 1=x 2=1-x 1-x 2=
1 3
类似的方法可以解得史密斯在均衡状态下选择1、2、3的概率分别为1/3。
4．假定世界上氪的整个供给由20个人控制，每一个人拥有这种强有力的矿物10000克。世界对氪的需求是
Q =1000-1000p
其中p 是每克的价格。
（1）如果所有拥有者合谋控制氪的价格，他们设置的价格是多少？他们能够卖出的量是多少？
（2）为什么（1）中计算的价格是不稳定的？
（3）通过改变要求保持市场价格的产出，在没有厂商能够获利的意义下存在一个稳定的均衡时，氪的价格是多少？
解：（1）所有拥有者合谋控制氪的价格，此时总的利润函数为：
π= 1-Q ⎪Q
1000
利润最大化的一阶条件为：
d π1
=1-Q =0 d Q 500
⎛
⎝
1
⎫⎭
解得总供应量为Q =500（克）。此时p =1-
500/20=25（克）。
1
Q =0.5，每个厂商的供应量为1000
（2）对第一个厂商而言，给定其他每个厂商的供应量为25克，那么他的利润最大化问题为：
max
q 1
525-q 1
q 1 1000
根据一阶条件解得：
q 1=262.5
可见在其他厂商的供应量为25克的条件下，厂商1增加供应量会提高自己的利润。类似的结论对市场上的其他厂商也成立，所以合谋是不稳定的。
（3）题目要求完全竞争市场的均衡结果。令p =MC ，得到氪的价格为零。市场上的总供给量为1000克，每个成员的出售量为50克。
5．在下表所示的策略型博弈（表10-3）中，找出占优均衡。
表10-3 博弈的支付矩阵
答：对于行为人2而言，R 优于M ，所以行为人2将会剔除掉M 策略，只在R 、L 这两个策略中进行选择；对于行为人1来说，知道了行为人2会在L 、R 策略中选择，则U 占
优于M 和D 策略。当行为人2知道行为人1选择了U 策略时，他则最终会选择L 策略。所以，最终的占优均衡为（U ，L ）。
6．模型化下述划拳博弈：两个老朋友在一起划拳喝酒，每个人有四个纯策略：杆子、老虎，鸡和虫子。输赢规则是：杆子降考虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降杆子。两个人同时出令。如果一个打败另一个，赢者的效用为1，输者的效用为-1；否则，效用均为0。写出这个博弈的收益矩阵。这个博弈有纯策略纳什均衡吗？计算出混合策略纳什均衡。
答：（1）该题的支付矩阵（表10-4）为：
表10-4 划拳博弈的支付矩阵
（2）这是一个零和博弈，没有纯策略纳什均衡。这是因为：
对两个参与者，给定对方策略时，本方的占优策略对应的支付以下划线标注，均衡存在当且仅当在同一栏中出现两个下划线。由此可知，该博弈没有纯策略纳什均衡。
（3）记游戏者1分别选择各个策略的概率为{p 1, p 2, p 3, p 4}，游戏者2分别选择各个策略的概率为{q 1, q 2, q 3, q 4}。
当游戏者2分别以概率{q 1, q 2, q 3, q 4}选择四个策略时，游戏者1的四个策略的收益应该相等（根据同等支付原则）：
1⨯q 2+(-1)⨯q 4=(-1)⨯q 1+1⨯q 3=(-1)⨯q 2+1⨯q 4=1⨯q 1+(-1)⨯q 3
1
又因为q 1+q 2+q 3+q 4=1，可以得到：q 1=q 2=q 3=q 4=。
4
同理，当对于游戏者1分别以概率{p 1, p 2, p 3, p 4}选择四个策略时，游戏者2的四个策略的收益应该相等（根据同等支付原则）：
1⨯p 2+(-1)⨯p 4=(-1)⨯p 1+1⨯p 3=(-1)⨯p 2+1⨯p 4=1⨯p 1+(-1)⨯p 3
又因为p 1+p 2+p 3+p 4=1，可以得到：p 1=p 2=p 3=p 4=因此混合策略纳什均衡为：（σ1，σ2），其中
1
。 4
σ1= ⎪，σ2= ⎪
⎝4444⎭⎝4444⎭
7．巧克力市场上有两个厂商，各自都可以选择去市场的高端（高质量），还是去低端⎛1111⎫⎛1111⎫
（低质量）。相应的利润由如下收益矩阵（表10-5）给出：
表10－5 巧克力商的博弈
（1）如果有的话，哪些结果是纳什均衡？
（2）如果各企业的经营者都是保守的，并都采用最大最小化策略，结果如何？ （3）合作的结果是什么？
（4）哪个厂商从合作的结果中得好处最多？哪个厂商要说服另一个厂商需要给另一个厂商多少好处？
解：（1）纳什均衡的结果是（高，低）和（低，高），相应的收益分别为（100，800）和（900，600）。
（2）如果1选择低，则有min {-20,900}=-20；如果1选择高，则有min {100,50}=50。 因此如果1想要最大化它的最小支付，其最优决策为：
max {min {-20,900},min {100,50}}=max {-20,50}=50
所以1会选择高。类似的分析表明2也会选择高，因此两个人都采用最大最小策略的均衡结果为（高，高），相应的支付为（50，50）。
（3）如果双方进行合作，那么他们的目标就是总利润最大化，这样最终的结果就是（低，高），相应的支付为（900，600）。
（4）厂商1从合作的结果中获得的好处多。为了使得厂商2不选择另外一个纳什均衡（高，低），厂商1应当给厂商2一笔800-600=200的支付。
8．考虑在c ，f ，g ，三个主要汽车生产商之间的博弈。每一个厂商可以生产要么大型车，要么小型车，但不可同时生产两种型号的车。即，对于每一个厂商i ，i =c ，f ，g ，他的行动集合为AI ={SM , LG }。用αi 代表i 所选择的行动，αi A I ，πI (αc , αf , αg )代表厂商i 的利润。假设，每个厂商的利润函数定义如下：
πi ≡γ，如果αj =LG ，j =c ，f ，g ；
γ，如果αj =SM ， j =c ，f ，g ； α，如果αi =LG ，且αj =SM ，j ≠i ； α，如果αi =SM ，且αj =LG ，j ≠i ；
β，如果αi =αj =LG ，且αk =SM ，j ≠k ≠i ；
β，如果αi =αj =SM ，且αk =LG ，j ≠k ≠i ；
（1）当α>β>γ>0时，是否存在纳什均衡？请证明。 （2）当α>γ>β>0时，是否存在纳什均衡？请证明。 证明：该博弈的支付矩阵如表10-6和10-7所示。
表10-6 G汽车厂生产SM 型汽车
表10-7 G汽车厂生产LG 型的汽车
（1）该博弈存在纳什均衡。首先考虑三家选择的行动相同，那么任一个厂家都将得到数量为γ的利润。因为α>β>γ，所以任何厂商只要选择和其他两个工厂生产不同型号的产品，就可以获得更高的利润，所以三家工厂生产相同的产品不是纳什均衡。如果三个工厂生产不同的产品，比如说(αc , αf , αg )=(SM , LG , SM )，因为α>β>γ，所以C 厂已经获得了它可能获得的最高利润，因此它不会背叛；给定其他厂商的选择，F 厂生产LG 型号的汽车只能获得数量为β的利润，高于它生产SM 型号的汽车获得的数量为γ的利润，所以F 厂也不会背叛；给定其他厂商的选择，G 厂在生产两种型号的汽车之间是没有差异的，因为无论那种情况下，他都只能获得数量为β的利润，所以G 厂同样不会背叛。
综上可知(αc , αf , αg )=(SM , LG , SM )是一个纳什均衡。类似的分析表明，只要三个工厂生产不同的产品，就是纳什均衡。
（2）只要三个工厂生产的汽车型号不完全相同，这样的结果就是纳什均衡。分析类似于第（1）问。
9．考虑下列策略型博弈（表10-8）：
表10-8 博弈的支付矩阵
请问，该博弈里有几个均衡？为什么？ 答：（1）该博弈的纯策略均衡为（D ，R ）。
（2）下面分析混合策略均衡。设参与人A 分别选择策略U 、M 和D 的概率为{p 1, p 2, p 3}；设参与人B 分别选择策略L 、M 和R 的概率为{q 1, q 2, q 3}；下面分三种情况讨论：
①达到混合均衡时，如果参与人A 分别选择策略U 、M 和D 的概率都严格大于零，那么他选择策略U 、M 和D 的期望收益就要相等，即：q 1-2q 2=-2q 1+q 2=q 3
从而解得q 1=q 2=-q 3，矛盾，所以对参与人B 而言，不存在使得q 1，q 2，q 3同时大于零的混合均衡；对参与人A 也有类似的结论成立。
②尽管如此，以上的分析并不能说明不存在混合均衡。因为达到均衡时，有可能存在参与人选择某一行动的概率为零的可能。对A 而言，在U 、M 、D 三个行动中选择某一行动的概率等于零的情况共有三种可能。对B 也是一样，这样均衡时共有九种可能的情况，下面分别讨论：
a ．A 选择行动D 的概率为零，B 选择行动R 的概率为零，即p 3=q 3=0，从而得到如表10-9所示的支付矩阵：
表10-9 博弈的支付矩阵
达到均衡时，A 选择M 和U 应当得到相同的期望支付，即q 1-2q 2=-2q 1+q 2，整理得到q 1=q 2；又因为q 3=0，所以q 1+q 2=1。从而解得q 1=q 2=0.5；同理可得p 1=p 2=0.5。所以{q 1=0.5, q 2=0.5, q 3=0}和{p 1=0.5, p 2=0.5, p 3=0}就是一个混合均衡。
b ．A 选择行动D 的概率为零，B 选择行动M 的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。
c ．A 选择行动D 的概率为零，B 选择行动L 的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。
d ．A 选择行动M 的概率为零，B 选择行动R 的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。
e ．A 选择行动M 的概率为零，B 选择行动M 的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。
f ．A 选择行动M 的概率为零，B 选择行动L 的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。
g ．A 选择行动U 的概率为零，B 选择行动R 的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。
h ．A 选择行动U 的概率为零，B 选择行动M 的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。
i ．A 选择行动U 的概率为零，B 选择行动L 的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。
综合上述分析可知，唯一的混合均衡就是：σA ={0.5,0.5,0}，σB ={0.5,0.5,0}。 ③均衡时，如果A 选择某两个行动的概率都等于零，即A 只能选择一个行动。这就要求在B 的行动中，至少有一对行动可以给自己带来相同的支付，但是由支付矩阵可知，这一条件并不满足，这样均衡时，B 也只能选择一个行动，这就退化成了纯策略均衡。所以A 选择某两个行动的概率都等于零的混合均衡是不存在的；同理B 选择某两个行动的概率都等于零的混合均衡也是不存在的。
综合上述分析可知，该博弈只有唯一的混和均衡，即：
{q 1=0.5, q 2=0.5, q 3=0}和{p 1=0.5, p 2=0.5, p 3=0}
10．考虑如表10-10和10-11所示的策略型博弈
表10-10 参与人3选择A 时的支付矩阵
表10-11 参与人3选择B 时的支付矩阵
每一格左边的数字是游戏者1的得益，中间的数字为游戏者2的得益，右边的数字为游戏者3的得益。游戏者3的策略是选A 矩阵或选B 矩阵。
（1）上述博弈中有几个纯策略纳什均衡？为什么？
（2）如果三个游戏者中可以有两个人结盟共同对付另一个人，会出现什么结果？ 解：（1）上述博弈中有两个纯策略纳什均衡。它们分别为（U ，L ，A ）和（D ，R ，。对任意的参与人，给定其他两个参与者的行动，他的占优行动用下划线表示出来，由B ）
此可以得到这两个纯策略纳什均衡。
（2）若三人中有两人结盟，则不外乎下面三种情况：
①参与人1和2结盟，支付矩阵如表10-12所示，该博弈的均衡是（DR ，B ）。
表10-12 参与人1和2结盟后博弈的支付矩阵
②参与人1和3结盟，支付矩阵如表10-13所示，该博弈的均衡是（UA ，L ）和（DB ，。 R ）
表10-13 参与人1和3结盟后博弈的支付矩阵
③参与人2和3结盟，支付矩阵如表10-14所示，该博弈的均衡是（LA ，U ）和（RB ，。 D ）
表10-14 参与人2和3结盟后博弈的支付矩阵
若参与人1和2结盟，博弈的结果只能是（D ，R ，B ）。由于结果（U ，L ，A ）对应的支付对每个人而言都优于（D ，R ，B ）对应的支付，所以不结盟至少可以使每个人的境况和参与人1，2结盟时一样好，所以不结盟相对参与人1和2而言反而更优。
若参与人1和3结盟，博弈的结果完全同不结盟。 若参与人2和3结盟，博弈的结果完全同不结盟。
综合上述分析可知，在这个博弈中，任何两方都不会有结盟的动机。
11．在表10-15所示的策略型博弈里，什么是占优解？什么是纯策略纳什（Nash ）均衡解？
表10-15 博弈的支付矩阵
解：（1）这个博弈没有占优均衡。理由如下：在这个问题中，对于游戏者1而言，T 占优于D ，因此可以将D 排除掉。此时博弈的支付矩阵如表10-16所示。当游戏者1的可选策略只有T 和M 时，对游戏者2而言，R 占优于M ，因此可以把M 排除掉，此时博弈的支付矩阵如表10-17所示。至此，用剔除法寻找占优均衡的方法无法继续进行，所以这个博弈没有占优均衡。
表10-16 排除掉D 以后的支付矩阵
表10-17 排除掉M 以后的支付矩阵
（2）纯策略纳什均衡为（M ，L ），（T ，R ）。由表10-17可知，当游戏者2选择L 时，游戏者1的最优策略为M ，当游戏者2选择R 时，游戏者1的最优策略是T 。同样，当游戏者1选择T 时，游戏者2的最优策略是R ，当游戏者1选择M 时，游戏者2的最优策略为L 。因此，纯策略纳什均衡为（M ，L ），（T ，R ），此时游戏者得到的支付为（3，4），（4，2）。
12．判断对错，并简要说明理由。 （1）占优均衡一定是纳什均衡。
（2）在囚徒困境中，如果每一个囚犯都相信另一个囚犯会抵赖，那么两个人都会抵赖。 （3）一个将军有两个纯策略，要么把所有的部队从陆地运输，要么把所有的部队从海洋上运输。那么把1/4的部队从陆地运输，把其余3/4的部队从海洋运输构成一个混合策略。
答：（1）正确。理由如下：如果在博弈中，每个参与人都有自己的占优策略，这就意味着对任何一个参与人而言，无论其他参与人的策略如何，该参与人的占优策略对他而言都是最优的，特别地，当其他的参与人也选择自己的占优策略时，该参与人的占优策略对他还是最优的，根据纳什均衡的定义，可知占优均衡一定是纳什均衡。
（2）错误。理由如下：在囚徒困境中，如果每一个囚犯都相信另一个囚犯会抵赖，那么对每个囚犯而言，坦白将是他的最优选择。如果两个囚犯都这样考虑，那么均衡的结果就是两个人都坦白。
（3）错误。因为混合策略是在纯策略集合上确定的一个概率分布，而在本题中，将军分割军队的决定事实上是扩大了纯策略的集合，即将军的决定仍然是一个纯策略。
13．一个小镇中，有N 个人，每人有100元钱，如果每人都向一个集资箱中捐一笔钱（可以为零）而共收集到F 元，那么从一个基金中拿出相同数量的钱放入集资箱，最后当集资被分配时，每人获得2F /N 元，求解这一博弈的均衡。
解：假设参与人i 的捐款为F i ，他的收益为πi ，又记F -i =F -F i ，那么给定F -i =F ，参与人i 的收益为：
-i
πi =
-i 2i 2-i ⎛2⎫
F +F -F i = -1⎪F i +F N N ⎝N ⎭
()
特别地，πi 是F i 的线性函数，所以：
（1）当N >2时，
（2）当N =2时，
2-1
益，从而F i ∈(0, +∞)。
（3）当N =1时，2-1>0，这时参与人的捐款数量会趋向于正无穷，即F i →+∞。 N
由于所有行动者的行为相同，所以当N >2时，纳什均衡为F i =0，i =1，2，„，N ； 当N =2时，纳什均衡为F i ∈(0, +∞)，i =1，2；
当N =1时，纳什均衡为F i →+∞。
14．Frank 和Nancy 约定下一周的某一天在小镇的咖啡厅见面，但他们如此兴奋以至于忘记了在哪一个咖啡厅约会，所幸的是小镇上只有两个咖啡厅，“夕阳”和“海湾”，并且他们知道彼此的偏好。事实上，如果二人都去了“夕阳”，Frank 的效用是3而Nancy 的效用是2，如果二人都去了“海湾”，Frank 的效用是2而Nancy 的效用是3，如果二人去的地方不同，则效用水平都是0。
（1）这一博弈存在纯策略纳什均衡吗？存在混合均衡吗？
（2）这一博弈存在占优策略均衡吗？
答：（1）这一博弈存在纯策略纳什均衡和混合均衡。
①此博弈的支付矩阵如表10-18所示，根据支付矩阵可知该博弈的纯策略均衡为两个人都去相同的咖啡厅，即：（夕阳，夕阳）和（海湾，海湾）。
表10-18 约会博弈的支付矩阵
②假设Frank 去夕阳咖啡厅的概率为p ，那么他去海湾咖啡厅的概率就是1-p ，均衡时的概率应当使得Nancy 去夕阳或海湾咖啡厅的期望效用相等，即：
2p =3(1-p )
解得p =0.6，则1-p =0.4，即Frank 去夕阳餐厅的概率为0.6，去海湾餐厅的概率为0.4；同理可得Nancy 去夕阳餐厅的概率为0.4，去海湾餐厅的概率为0.6。
（2）这一博弈不存在占优策略均衡。若Nancy 选择去夕阳，则Frank 的最优策略是去夕阳；若Nancy 去海湾，则Frank 的最优策略是去海湾，因此对于Frank 而言不存在占优策略。同样，对于Nancy 来说也不存在一个占优策略，因此这一博弈不存在占优策略均衡。
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