用分类讨论的思维策略解题

用分类讨论的思维策略解题

分类讨论实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”的思维策略。用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备（即分类对象彼此交集为空集，并集为全集）。其关键是“为什么分类，怎样分类”。本文就此探讨如下：

1．有些概念、性质、公式本身就是分类给出的，运用时应按规定分类，再按常规方法求解。

中学数学中的绝对值，指数和对数函数的单调性，不等式性质和解法，等比数列的前n项和公式，直线的倾斜角和斜率、直线系、圆锥曲线的统一定义，复数的模和辐角主值，排列组合应用，二次函数在某动区间上的最值问题等都是分类给出的。要弄清限制条件，由概念的内涵和限制条件按规定分类。

例1 （2006年江苏卷）设a为实数，记函数f(x)axxx的最大值为g(a)。

（Ⅰ）设t＝xx，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；（Ⅱ）求g(a)（Ⅲ）试求满足g(a)g(1)的所有

2

a

实数a

【思维展示】

换元化归二次函数和分段函数区间上的问题，研究对称轴和区间的关系合理分类切入， （I）∵txx，

∴要使t有意义，必须1x0且1x0，即1x1

∵t

2

2

22x[2,4]，且t0……① ∴t的取值范围是

2

[2,2]

。

2

x



12

t1

2

，∴m(t)a(1t

2

1)t12at

2

12

at

2

ta

，t[

2,2]

2,2]

。

（II）由题意知g(a)即为函数m(t)值，

∵直线t1是抛物线m(t)

a

12at

2

ta

，t[的最大

ta

的对称轴，∴可分以下几的图象是开口向上的抛

种情况进行讨论：

（1）当a0时，函数ym(t)，t[物线的一段， 由t1

a0

2,2]

知m(t)在t[

2,2]

上单调递增，故g(a)m(2)a2；

（2）当a0时，m(t)t，t[2,2]，有g(a)=2； （3）当a0时，，函数ym(t)，t[2,2]的图象是开口向下的抛物线的一段， 若t1

aa(0,

2]

即a即a(

222

时，g(a)m(

,1

2)2

，

1

若t1

a2a22

若t1(2,)即a(1,0)时，g(a)m(2)a2。

a2

(2,2]

]时，g(a)m(

1

)a

，

综上所述，有g(a)=



a2

1

a

2a



2

(a

,(

22

12

)12))

a

22

。

(a

（III）分段函数值域问题，依据分段的意义合理分类， 当a1时，g(a)a2

2

32

2

；

)，

12a

(

22

,1]，∴a22

1a

12a

当

22

a

12

时，a[1,

2

22

， ；

g(a)a

12a

2(a)(

0

12a

)2

，故当a知：a2



时，g(a)

2

2

当a0时，1

aa

1a当a0时，

，由g(a)

1

g()aa

，故a1；

2

1

，故a1或1

1

，从而有g(a)

或g(1)

a

2

，

要使g(a)时，g(a)

1g()a

，必须有a

。

a

22

，1

a



22

，即

2a

22

，此

1

2g()

a

综上所述，满足g(a)g(1)的所有实数a为：

2a

22

或a1。

【学习体验】

本题主要考查函数、方程等基本知识，更考查分类讨论的数学思维方法和综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，应注重概念，公式，函数性质中的分类原则和方法的积累。

2．有些问题在推导过程中，在不同条件下有不同结论，就必须区分不同情况分别讨论。

例2 已知等比数列的前n项和为S，前n +1项和为S

n

n

1

，

公比q >0令

Tn

SnSn1

(nN)

。求

limTn

n

。

【思维展示】

公比q为参数，用公式求和需分类，用重要极限结论也要分类。

（1）当q =1时，（2）当q1时，则

limTnlim

n

Snn, Sn1n1

，

limTnlim

n

nn1

n

1

Sn

a1(1q)1q

n

Sn1

a1(1q1q

n1

)

，

，再分类。

1q1q

n

n

n1

。为用重要极限

；

1q

limTn0(q1)

n

①0

n

limTn1

n

limTnlim

n

1n11()qq1n1()1q

②q>1时，综上

。

1(0q1),

limTn1n(q1).

q

limq

n

n

【学习体验】

等比数列求和公式应按公比q =1和q1分类推导，求时，应按q

1,q1,q1,q1

分别求解，一般数列的切入点更

体现如何分类的问题，这是求解数列及数列极限中的常见的分类方法。

3．由于参数和已知条件相对关系不确定而导致分类 例3 设k为实常数，问方程(8k)x何种曲线？

【思维展示】

变形试图化归标准方程，借助参数的不同取值，合理分类切入， 方程可化为

x

2

2

(k4)y

2

(8k)(k4)

表示

k4



y

2

8k

1

，但这需k

4

且k

8

，还需考虑

(k4)(8k)的正负引起曲线类型的不同，同时应注意圆的特殊

性，则分界点k =4，6，8。所以k应分成6类。方程表示的曲线为

直线 (k4或8),

圆 (k6),

椭圆 (4k8且k6),双曲线(k4或k8).

【学习体验】

曲线的形状随着参数的变化而变换，这是圆锥曲线的定义揭示的曲线的本质属性，也是讨论曲线形状常用的分类的思

维策略，应积累这种学习体验 4．由图形位置变化而引起分类

a

例4 正三棱柱底面一边的长为a，侧棱长为2，过底面一边作一个截面与底面所成角为，求此截面面积。

【思维展示】

截面所在位置的不同导致合理分类，由截面位置即形状为三角形或梯形，用平面角θ分类研究。

AA作截面ABC，取BC中点M，连AM、AM,M

1

1

1

是二面角ABC

A1

的平面角，记为a. 易求得

tga

AA1AM



33

，即

a



6

。现应分两类求面积。

1

①当则





6

时，截面与AA相交于D，设AD/AM

32

a2

2

tgm,

ADmAMam,

3.

DMAD

2

AM

2

3m

2

tg

2

故

SBDC

12

a

a2

3m3

4

a

2

4

asec

22

。

actg

②当





6

OM时，截面与上底面相交，成梯形BCFE，，

梯形高又A1EF

O1M

a

2

4



a

2

4

ctg

2

a2m

m

2

1

。

S梯形

(6tg

3)a

2

EF

∽ABC，则

a



3m3m

3

。故

12sintg

。

【学习体验】

空间图形的不同位置导致分类，要借助空间概念合理分类，将空间问题平面化，这是立体几何本身的特点决定的，应积累这种学习体验。

5．有条件力争避免或简化分类讨论 例5 若

x[0,



4

]

，求使关于x的方程cosx

asinxa

有解

的正数a的取值范围。 【思维展示】 若用辅助角方法化为究。 若注意

(1a)cos

2

sin(xarctg

1a

)

aa1

，则需分两类研

a0，平方可避免分类。平方整理为 x2asinxcosx0.

2

由于

x[0,



4

]

，cosx0，同除以cos

0

a12a

1

x有

tgx

a12a

且tgx[0,1].

构造不等式且

a0,

a10,

所以a12a,

a1,

即322a322,

从而所求a的范围为[1,32

2]

。

【学习体验】

要充分挖掘问题潜在的特殊性和简单性，灵活地采用相应的解题策略，可简化或避免分类讨论.

用分类讨论的思维策略解题

分类讨论实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”的思维策略。用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备（即分类对象彼此交集为空集，并集为全集）。其关键是“为什么分类，怎样分类”。本文就此探讨如下：

1．有些概念、性质、公式本身就是分类给出的，运用时应按规定分类，再按常规方法求解。

中学数学中的绝对值，指数和对数函数的单调性，不等式性质和解法，等比数列的前n项和公式，直线的倾斜角和斜率、直线系、圆锥曲线的统一定义，复数的模和辐角主值，排列组合应用，二次函数在某动区间上的最值问题等都是分类给出的。要弄清限制条件，由概念的内涵和限制条件按规定分类。

例1 （2006年江苏卷）设a为实数，记函数f(x)axxx的最大值为g(a)。

（Ⅰ）设t＝xx，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；（Ⅱ）求g(a)（Ⅲ）试求满足g(a)g(1)的所有

2

a

实数a

【思维展示】

换元化归二次函数和分段函数区间上的问题，研究对称轴和区间的关系合理分类切入， （I）∵txx，

∴要使t有意义，必须1x0且1x0，即1x1

∵t

2

2

22x[2,4]，且t0……① ∴t的取值范围是

2

[2,2]

。

2

x



12

t1

2

，∴m(t)a(1t

2

1)t12at

2

12

at

2

ta

，t[

2,2]

2,2]

。

（II）由题意知g(a)即为函数m(t)值，

∵直线t1是抛物线m(t)

a

12at

2

ta

，t[的最大

ta

的对称轴，∴可分以下几的图象是开口向上的抛

种情况进行讨论：

（1）当a0时，函数ym(t)，t[物线的一段， 由t1

a0

2,2]

知m(t)在t[

2,2]

上单调递增，故g(a)m(2)a2；

（2）当a0时，m(t)t，t[2,2]，有g(a)=2； （3）当a0时，，函数ym(t)，t[2,2]的图象是开口向下的抛物线的一段， 若t1

aa(0,

2]

即a即a(

222

时，g(a)m(

,1

2)2

，

1

若t1

a2a22

若t1(2,)即a(1,0)时，g(a)m(2)a2。

a2

(2,2]

]时，g(a)m(

1

)a

，

综上所述，有g(a)=



a2

1

a

2a



2

(a

,(

22

12

)12))

a

22

。

(a

（III）分段函数值域问题，依据分段的意义合理分类， 当a1时，g(a)a2

2

32

2

；

)，

12a

(

22

,1]，∴a22

1a

12a

当

22

a

12

时，a[1,

2

22

， ；

g(a)a

12a

2(a)(

0

12a

)2

，故当a知：a2



时，g(a)

2

2

当a0时，1

aa

1a当a0时，

，由g(a)

1

g()aa

，故a1；

2

1

，故a1或1

1

，从而有g(a)

或g(1)

a

2

，

要使g(a)时，g(a)

1g()a

，必须有a

。

a

22

，1

a



22

，即

2a

22

，此

1

2g()

a

综上所述，满足g(a)g(1)的所有实数a为：

2a

22

或a1。

【学习体验】

本题主要考查函数、方程等基本知识，更考查分类讨论的数学思维方法和综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，应注重概念，公式，函数性质中的分类原则和方法的积累。

2．有些问题在推导过程中，在不同条件下有不同结论，就必须区分不同情况分别讨论。

例2 已知等比数列的前n项和为S，前n +1项和为S

n

n

1

，

公比q >0令

Tn

SnSn1

(nN)

。求

limTn

n

。

【思维展示】

公比q为参数，用公式求和需分类，用重要极限结论也要分类。

（1）当q =1时，（2）当q1时，则

limTnlim

n

Snn, Sn1n1

，

limTnlim

n

nn1

n

1

Sn

a1(1q)1q

n

Sn1

a1(1q1q

n1

)

，

，再分类。

1q1q

n

n

n1

。为用重要极限

；

1q

limTn0(q1)

n

①0

n

limTn1

n

limTnlim

n

1n11()qq1n1()1q

②q>1时，综上

。

1(0q1),

limTn1n(q1).

q

limq

n

n

【学习体验】

等比数列求和公式应按公比q =1和q1分类推导，求时，应按q

1,q1,q1,q1

分别求解，一般数列的切入点更

体现如何分类的问题，这是求解数列及数列极限中的常见的分类方法。

3．由于参数和已知条件相对关系不确定而导致分类 例3 设k为实常数，问方程(8k)x何种曲线？

【思维展示】

变形试图化归标准方程，借助参数的不同取值，合理分类切入， 方程可化为

x

2

2

(k4)y

2

(8k)(k4)

表示

k4



y

2

8k

1

，但这需k

4

且k

8

，还需考虑

(k4)(8k)的正负引起曲线类型的不同，同时应注意圆的特殊

性，则分界点k =4，6，8。所以k应分成6类。方程表示的曲线为

直线 (k4或8),

圆 (k6),

椭圆 (4k8且k6),双曲线(k4或k8).

【学习体验】

曲线的形状随着参数的变化而变换，这是圆锥曲线的定义揭示的曲线的本质属性，也是讨论曲线形状常用的分类的思

维策略，应积累这种学习体验 4．由图形位置变化而引起分类

a

例4 正三棱柱底面一边的长为a，侧棱长为2，过底面一边作一个截面与底面所成角为，求此截面面积。

【思维展示】

截面所在位置的不同导致合理分类，由截面位置即形状为三角形或梯形，用平面角θ分类研究。

AA作截面ABC，取BC中点M，连AM、AM,M

1

1

1

是二面角ABC

A1

的平面角，记为a. 易求得

tga

AA1AM



33

，即

a



6

。现应分两类求面积。

1

①当则





6

时，截面与AA相交于D，设AD/AM

32

a2

2

tgm,

ADmAMam,

3.

DMAD

2

AM

2

3m

2

tg

2

故

SBDC

12

a

a2

3m3

4

a

2

4

asec

22

。

actg

②当





6

OM时，截面与上底面相交，成梯形BCFE，，

梯形高又A1EF

O1M

a

2

4



a

2

4

ctg

2

a2m

m

2

1

。

S梯形

(6tg

3)a

2

EF

∽ABC，则

a



3m3m

3

。故

12sintg

。

【学习体验】

空间图形的不同位置导致分类，要借助空间概念合理分类，将空间问题平面化，这是立体几何本身的特点决定的，应积累这种学习体验。

5．有条件力争避免或简化分类讨论 例5 若

x[0,



4

]

，求使关于x的方程cosx

asinxa

有解

的正数a的取值范围。 【思维展示】 若用辅助角方法化为究。 若注意

(1a)cos

2

sin(xarctg

1a

)

aa1

，则需分两类研

a0，平方可避免分类。平方整理为 x2asinxcosx0.

2

由于

x[0,



4

]

，cosx0，同除以cos

0

a12a

1

x有

tgx

a12a

且tgx[0,1].

构造不等式且

a0,

a10,

所以a12a,

a1,

即322a322,

从而所求a的范围为[1,32

2]

。

【学习体验】

要充分挖掘问题潜在的特殊性和简单性，灵活地采用相应的解题策略，可简化或避免分类讨论.