题 目： 分离变量法在微分方程中的应用 姓 名： 张闪闪
学 号： [1**********]9
系 别： 数学与统计学院
专 业： 数学与应用数学
年级班级： 2010级数应1班 指导教师： 阮传同
2014年 5月 23日
毕业论文（设计）作者声明
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论文题目：分离变量法在微分方程中的应用 作者单位： 周口师范学院数学与统计学院 作者签名：
2014年 5 月23 日
目 录
摘要 . ............................................................................... 错误！未定义书签。 引言 . .................................................................................................................. 1 1 预备知识 . ............................................................... ....错误！未定义书签。
1．1Sturm -Liouville 问题 .................................................. .错误！未定义书签。 1．2分离变量法的定义 ....................................................... 错误！未定义书签。 1. 3分离变量法的一般理论. . ...................................... 错误！未定义书签。
2 分离变量法的具体步骤. . ............................................................................ 4
2. 1分离变量 .............................................................................................................. 4 2. 2解特征值问题. .................................................................................................... 5 2. 3特解的u n (x , t ) 的叠加 ......................................................................................... 6 2. 4系数a n , b n 的确定................................................................................................ .6
3 不同边界条件下X"(x)+λX(x)=0的特征值和特征函数.................................... 7 4 分离变量法在微分方程中的应用........................................................................ .7 5结束语 . .................................................................... ....错误！未定义书签。 参考文献 . ....................................................................... 错误！未定义书签。 致谢 . ............................................................................... 错误！未定义书签。
分离变量法在微分方程中的应用
摘 要：本文运用分离变量法来求解微分方程中的问题时，要求边界条件是齐次的，如果边界条件是非齐次的，则需要寻找合适的辅助函数u (x , t ) , 进行一系列的变换使得边界条件齐次化，本文讨论的是一个一般微分方程的定解问题的求解，给出辅助函数u (x , t ) 的形式，从而达到解决边界条件的齐次化问题，在这个基础上，经过变量分离法求得齐次微分方程在齐次边界条件之下的解.
关键词：分离变量法；Sturm -Liouville 问题；特征函数；特征值
Application of separation of variables in the equations
Abstract ：When we use the method of separation of variables in the equations to solve the problem, requiring the boundary conditions are homogeneous, if a non-homogeneous boundary conditions, you need to find a suitable helper u (x , t ) , making a series of transformation of the boundary conditions homogeneous, this article discusses a definite solution to solve the problem of a general differential equation is given in the form of an auxiliary function, so as to achieve homogeneous boundary conditions to solve the problem, on this basis, through the variable separation method to obtain homogeneous differential equation in homogeneous solution under the boundary conditions.
Keywords: separation of variables; Sturm -Liouville problems; characteristic function; Eigenvalues
引言
在偏微分方程中，求解混合问题的一个最普遍的基本方法之一就是变量分离法，即Fourier 法。分离变量法不仅仅可用在波动方程中，也可以用在热传导方程、调和方程，和一些形式更加复杂的方程和方程组。分离变量法其实质即使
将所给问题化成由常微分方程和边界条件组成的特征值问题。若定解问题中是非齐次边界条件，一般情况下构不成特征值问题。所以，求解非齐次混合问题时需要先使非齐次项齐次化，然后再运用分离变量法进行混合问题的求解.
很多文献都对变量分离法在微分方程中的应用这个部分做了概述，文献[2]主要介绍了施图姆-刘维尔（Sturm -Liouville ）问题，文献[4][5]分别介绍了变量分离法的定义和一般理论，文献[8][9]介绍了分离变量法的具体步骤，文献[10]-[13]给出了分离变量法在微分方程中的应用，还有其他的一些结论. 从本文可以总结出，分离变量法的特点是经过变量的分离，把微分方程的解分成几个分别只含一个变量的函数的乘积的形式，然后将所得的特解做适当线性组合，就可以得到微分方程的解.
本文先通过介绍Sturm-liouville 问题，自然地引出分离变量法，介绍了分离变量法的定义、一般理论和具体实施步骤，有队不同边界下经常求的方程
X"(x)+λX(x)=0的特征值和特征呢过函数进行归纳，直接利用结论可使计算简化，
最后用不同的实例展示出分离变量法的具体运用.
1 预备知识
1.1Sturm -Liouville 问题
对于问题
d dy
(p (x ) ) -q (x ) y +λρ(x ) y =0 dx dx
假设：
(1) p (x ) 和p ' (x ) 在[a , b ]上连续，p (x ) >0；
(2) q (x ) >0在[a , b ]上连续并且q (x ) ≥ 0或q (x ) 在(a , b )内连续，在区间的 端点有一阶奇性；
(3) 则p (x ) 在[a , b ]上连续且p (x ) >0 ①存在无穷多特征值λ1≤λ2≤λ3≤...... 当q (x ) ≥ 0时，X k ≥0(k =1,2......)
对应的这些特征值有无穷多个特征函数y 1(x ), y 2(x ), y 3(x )......
②设y k (x ) 是特征值λk 对应的特征函数，那么所有的y k 构成一个正交函数系
⎰
b
a
y k (x ) y m (x ) ρ(x ) dx =0(m ≠k )
(4)若函数f (x ) 在(a , b )上有一阶连续的导函数及分段连续的二阶导数且满足所给的边界条件，则f (x ) 在(a , b )内按特征函数展开为绝对且一致收敛的级数
f (x ) =∑C k y k (x )
k =1∞
其中
C k
=
b
a
f (x ) y k (x ) ρ(x ) dx
⎰
b
a
y (x ) ρ(x ) dx
2k
(k =1,2,3......)
1.2变量分离法的定义
使用具有变量分离的形式的特解进行构造初边值的问题解的方法被称作分离变量法。
1.3分离变量法的一般理论
在这里讨论波动方程的问题
⎧u tt -a 2u xx =f (x , t ),00, ⎪
⎨u (x ,0) =φ(x ), u t (x ,0) =ψ(x ),0≤x ≤L , ⎪u (0,t ) =u (L , t ) =0, t ≥0. ⎩
首先使用边界条件齐次化方法化，将非齐次条件齐次化：然后，因为方程及条件均是线性的，所以由解的叠加性原和方程齐次化原理，可将上述的波动方程问题转化成下面的混合问题（1.1）
⎧u tt =a 2u xx , 00,(1)⎪
⎨u (x ,0) =φ(x ), u t (x ,0) =ψ(x ),0≤x ≤L ,(2) （1.1） ⎪u (0,t ) =u (L , t ) =0, t ≥0.(3)⎩
因此只需要讨论的是问题（1.1）的求解。下面运用分离变量法求解问题（1.1）
2 分离变量法的具体步骤
下面来详细的介绍一下用变量分离法求解定解问题的主要步骤： 2.1变量分离
设问题（1.1）存在非零变量分离解u (x , t ) =X (x ) T (t ) . （4） 将（4）式代入到方程（1）可得到
X (x ) T '' (t ) =a X '' (x ) T (t ),
2
即
''
T （t ）X '' (x )
= 2 （1.5）
a T (t ) X (x )
由于在（5）式中，左边仅是关于t 的函数，右边仅是关于x 的函数，左右两边要相等，只有同为一个函数的情况下才可能，记作-λ，于是可得到关于T(t)和X(x)的微分方程
T " (t ) +λa 2T (t ) =0 （1.6）
X " (x ) +λX (x ) =0 （1.7）
由式（1.1）中的边界条件，得
X (0)T (t ) =X (L ) T (t ) =0，
因为T (t ) ≠0，所以
X (0)=0, X (L ) =0. （1.8） 2.2解特征值问题
这里求解由（7）式和（8）式组成的常微分方程的边值问题，即求解
⎧X '' (x ) +λX (x ) =0,0
⎨ （1.9）
⎩X (x ) =X (L ) =0.
其中λ是待定常数. 该问题被称为特征值（或固有值或本征值）问题. 使该问题有非零解的λ值，称作特征值（或固有值或本征值），而和λ值相应非零的解称作特征函数（或固有函数或本征函数）.
下面求解问题(1.9)的非零解. 分三种情况加以讨论. （1） 当λ=-β20. 这时方程（1.9）的通解是
X （x ）=C1e βx +C 2e -βx ,
其中C 1, C 2是任意常数. 由（1.9）中边界条件，得
X(0)=C1+C2=0,
X (L ) =C 1e βL +C 2e -βL =0.
由此解得C 1=C 2=0. 所以在λ
（2） 当λ=0时，方程（1.9）的通解是
X (x ) =C 1x +C 2.
由于边界条件（1.8）得C 1=C 2=0，所以X (x ) ≡0. 同样这不是所要求的解.
（3）λ=β2>0, β>0时，方程（1.9）的通解为
X(x)=C1cos βx +C2sin βx .
由于边界条件X (0)=0，得C 1=0. 又有X(L)=0，得C 2sin βx =0.
为求得非零解，故设C 2≠0所以sin βL =0和β=βn =求特征值为
λ=λn =βn 2=(
n π2
) , n =1,2,... , （1.10） L
n π
，n =1,2,... . . 因此所L
λn 对应的特征函数是
X n (x ) =C n sin 将特征值λn 代入式（1.6），得
" T n (t ) +λn a 2T (t ) =0, （1.12）
n πx
，n =1,2,... . （1.11） L
其通解为
n πat n πat
+B n sin . （1.13） L L
于是就求得原定解问题（1.1）中方程及齐次边界条件的变量分离形式的特解为
n πat n πat n πx
+b n sin )sin u n (x , t ) =(a n cos （1.14） L L L
其中
T n (t ) =A n cos
a n =A n C n , b n =B n ，
C n 为任意常数，n =1,2,... .
2.3特解u n (x , t ) 的叠加
为求出定解问题（1.1）的解，需要把所有形如（1.14）的函数u n (x , t ) 叠加起来，可得到
u (x , t ) =∑u n (x , t ) =∑(a n cos
n =1
n =1
∞
∞
n πat n πat n πx
（1.15） +b n sin )sin
L L L
如果式（1.15）的右端收敛，且关于x 和t 均能逐项的微分两次，则u (x , t ) 也满足式（1.1）中的方程和边界条件.
2.4系数a n , b n 的确定
现在来选取适当的系数a n , b n ，使u (x , t ) 也满足于定解问题（1.1）中的条件. 由于
⎰
L
sin 2
n πx
dx =⎰0L
1-cos L
2n πx
dx =L 22
2L n πx
∴a n =⎰φ(x )sin dx .
L 0L
同理
n πx
dx , ⎰0
， ∴b n =L n x 2
sin dx ⎰0
L
L
ψ(x )sin
∴b n =
n πa ⎰0
2
L
ψ(x )sin
n πx
dx , . n =1,2,... . L
最终得到级数形式表达的微分方程的解为
u (x , t ) =∑(a n cos
n =1∞
n πat n πat n πx
. +b n sin )sin
L L L
其中
2L n πx
a n =⎰φ(x )sin dx ,
L 0L
2L n πx b n =ψ(x )sin dx , n =1,2,... . ⎰0n πa L
3 不同边界条件下X"(x)+λX(x)=0的特征值和特征函数
随着X=0和X=L在不同的边界条件下的方程X " (x ) +λX (x ) =0的特征值和特征函数如下
边界条件 特征值 ⎡(2n -1) π⎤λn =⎢⎥
⎣2L ⎦⎡(2n -1) π⎤λn =⎢⎥
⎣2L ⎦
22
特征函数
(2n -1) πx
(n =1,2,......) 2L
X (0)=0, X (L ) =0X (0)=0, X (L ) =0X ' (0)=0, X ' (L ) =0X (0)=0, X ' (L ) +hX (L ) =0
'
'
X n (x ) =sin X n (x ) =cos X n =cos
(2n -1) πx
(n =1,2,......) 2L
λn =(
n π2
) L v λn =(n ) 2
L
n πx
(n =1,2......) L v x
X n (x ) =sin n (n =1,2......)
L
v
其中v n 是方程tan v =-第n 个根
Lh
4 变量分离法在微分方程中的运用
例 1求解下面齐次初边值问题：
2
⎧∂2u 2∂u ⎪∂t 2=a ∂x 2⎪
3πx ⎪
u (x ,0) =sin , u t (x ,0) =x (l -x )(0
l ⎪
⎪u (0,t ) =u (l , t ) =0⎪⎩
解 所给的边界条件齐次且是第一类的的，令u (x , t ) =X (x ) T (t ) 可得特征函数为X n (x ) =sin
且
T n (t ) =a n cos
于是
u (x , t ) =∑(a n cos
n =1∞
n πx
， l
n πat n πat
+b n sin ， n =1,2,... l l
n πat n πat n πx
， +b n sin )sin
L L L
由初始条件可以确定常数a n 及b n ，由初始值可得
3πx ∞n πx
， sin =∑a n sin
l l n =1x (l -x ) =∑
n πa n πx
. n sin
l l n =1
∞
所以
a 3=1, a n =0 （当n ≠3时）
b n =
n πa ⎰02
l
x (l -x )sin
n πx
l
2⎡x n πx l 2n πx x 2n πx 2l 2x n πx 2l 3n πx ⎤l =(l (-cos +n sin ) +cos -sin -cos ⎥) 0222233
n πa ⎢n πl n πl n πl n πl n πl ⎣⎦
=
n
⎡⎤1-(-1) ⎦ n πa ⎣4
4
4l 3
所以所求的解为
3πat 3πx 4l 3∞1-(-1) n n πat n πx
. u (x , t ) =cos sin +4∑sin sin
l l πa n =1n 4l l
例 2 求解下列非齐次初边值问题：
⎧u tt =a 2u xx +f (x , t ),00,
⎪
⎨u (x ,0) =φ(x ), u t (x ,0) =ψ(x ),0≤x ≤l , （2.1）
⎪u (0,t ) =u (l , t ) =0, t ≥0, ⎩
解 我们可以运用所谓的特征函数法求解这个问题. 因为当f =0时，定解就变成
⎧m πx ⎫（1.1），对应特征函数系是⎨sin ⎬. 所以设定解问题（2.1）的形式解是
l ⎭⎩
u (x , t ) =∑T m (t )sin
m =1
∞
m πx
, （2.2） l
其中T m (t )(m =1,2,...) 是待定函数. 表达式（2.2）满足于边界条件u (0,t ) =u (l , t ) =0. 将式子（2.2）代入到（2.1）中的方程，得
" 22
∑⎡T (t ) +a βm T m (t ) ⎤m ⎣⎦sin
m =1∞
m πx
=f (x , t ) ， (2.3) l
其中βm =分 ，得
m πn πx
(n =1,2,...) ，然后在[0, l ]上关于x 积，等式(2.3)两边同时乘以sin
l l
l l m πx n πx n πx " 22
⎡⎤T (t ) +a βT (t ) sin sin dx =f (x , t )sin dx . ∑m m ⎰⎣m ⎦⎰00l l l m =1 ∞
⎧m πx ⎫
运用三角函数系⎨sin ⎬的正交性，我们可以得到
l ⎭⎩
l l n πx " 222n πx ⎡⎤T (t ) +a βT (t ) sin dx =f (x , t )sin dx , n n ⎰⎣n ⎦⎰00l l
因此得
" 22
T (t ) +a βn T n (t ) =f n (t ), （2.4） n
其中
2l n πx f n (t ) =⎰f (x , t )sin ,
0l l n =1,2,... . （2.5）
接下来确定T n (t )(n =1,2,...) . 有初始条件可以得
φ(x ) =u (x ,0) =∑T n (0)sin
n =1
∞
n πx
, l
ψ(x ) =u t (x ,0) =∑T n ' (0)sin
n =1
∞
n πx
. l
由此可得
2l n πx ⎧
T (0)=φ(x )sin dxdef , （2.6） n ⎰⎪0a n ⎪l l ⎨l
⎪T ' (0)=2ψ(x )sin n πx dxdef , n
b n ⎪l ⎰0l ⎩
其中n =1,2,...
下面我们利用拉普拉斯变换的方法来求解T n (t ) . 记T n (t ) 的拉普拉斯变换为
L [T n (t ) ]=T n (s ) 和f n (t ) 的拉普拉斯变换为L [f n (t ) ]=f n (s ). 对于方程（2.4）两边同时取拉普拉斯变换，并利用（2.6），得
s 2T n (s ) -sa n -b n +a 2βn 2T n (s ) =f n (s ) ，
所以
T n (s ) =
两边取拉普拉斯的逆变换，则有
f n (s ) +sa n +b n
s 2+a 2βn 2.
⎡f n (s ) ⎤-1⎡sa n +b n ⎤-1
⎤T n (t ) =L -1⎡T (s ) =L +L ⎢2⎢222⎥22⎥⎣n ⎦
⎣s +a βn ⎦ ⎣s +a βn ⎦
=f n (t )*
1
αβn
l
sin
t
n πat n πat b n n πat
+a n cos +sin l l αβn l f n (τ)sin
n πa (t -τ)
d τl
=
n πa ⎰0
+a n cos
n πat b n l n πat
+sin l n πa l . (2.7)
则定解问题（2.1）的形式解是
u (x , t ) =∑(a n cos
n =1∞
b n πat n πat n πx
+n sin )sin l n πa l l
+∑
n =1
∞
n πa ⎰0
l
t
f n (τ)sin
n πa (t -τ) n πx
τ.sin l l ， (2.8)
其中a n ，b n 由（2.6）式确定. 若记
u 1(x , t ) =∑(a n cos
n =1∞
b n πat n πat n πx +n sin )sin l n πa l l ，
u 2(x , t ) =∑
n =1
∞
n πa ⎰0
l
t
f n (τ)sin
n πa (t -τ) n πx
τ.sin l l ，
则u (x , t ) =u 1(x , t ) +u 2(x , t ) ，容易知道，u 1(x , t ) 是定解问题（2.6）的形式解，而
u 2(x , t ) 是
⎧u tt =a 2u xx , +f (x , t ),00,
⎪
⎨u (x ,0) =u t (x ,0) =0,0≤x ≤l , （2.9）
⎪u (0,t ) =u (l , t ) =0, t ≥0. ⎩的形式解.
因为定解问题（1.1）的解已由式（1.10）给出，所以求解式（2.1），只需要求解定解问题（2.9）的解，然后与（1.1）的解相加即可.
注：这里求非齐次方程解的方法，其本质是把未知函数u (x , t ) 按齐次边界的条件所对应正交函数系展开的. 因此该方法称作特征函数法（或固有函数法）. 运用该法需提前知相应的特征函数系.
例3 在上例中，取f (x , t ) =sin 解 我们由（2.5）得
2πx 2πat
sin ，φ(x ) =ψ(x ) =0. 求出u (x , t ) . l l
f n (t ) =
2l n πx 2l 2πx 2πat n πx
f (x , t )sin =sin sin sin ⎰⎰， 00l l l l l l
由正交性，得f n (t ) =0，n =1,3,4,... . 由于
2l 2πat 22πx 2πat f 2(t ) =⎰sin sin =sin
l 0l l l .
由（2.7）式得
T 2(t ) =
=
2πa ⎰0l (
l
t
sin l
2πa τ2πa (t -τ)
sin τ l l sin
2πat 2πat
-t cos ) l l
4πa 2πa
及
T n (t ) =0, n =1,3,4... .
又因为φ(x ) =ψ(x ) =0，所以由式（2.6）可得a n =b n =0. 因此由式（2.8），则所求的解是
u (x , t ) =
l 4πa 2πa
(l sin
2πat 2πat 2πx -t cos ).sin . l l l
显然，当t →+∞时，u (x , t ) 无界.
结束语
本文借助于Sturm -Liouville 的问题结论以波动方程的初边值的问题作为例子介绍分离变量法，分离变量法还可以用于解决热传导方程的初边值问题，在数学物理方程中的应用非常广泛，又对不同的边值条件下常求的方程X " (x ) +λX (x ) =0的特征值及特征函数进行归纳，直接运用此结论即可使得计算简化，最后用实例具体展现出变量分离法的运用过程.
参考文献
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[15]刘礼书，边界条件的齐次化方法. 江西教育学院学报，2001，22（3）:25-27.
致谢
转眼间即将毕业了，快乐时光总会是太短暂．学校的每一方面都使我记忆深刻．无论学校的学习环境，还是生活环境，都让我感到在这里进行学习是多么快乐的事情，在这里她不仅让我学会了很多专业知识，也让我学到许多的社会经验，磨练了我，锻炼了我，让我真正成熟起来，具备了某些专业知识和一些独立处理问题的能力．这段时间以来的求学生涯，将会是我人生的道路上一大笔财富．感谢母校！
首先我要感谢阮传同老师给予我的悉心指导和辛勤培育，使我进入到了研究变量分离法的殿堂，阮老师他在学术上悉心地指导我、启迪我，使我顺利地完成了变量分离法的研究和学习．可以说本文自选题、开展研究直至关键问题的顺利解决无不凝聚着阮老师的大量心血．同时阮老师渊博的知识、思考问题的独特方式、严谨治学的作风、正直无私的品格、豁达宽广的胸襟也深深地影响了我，这都将使我终身受益．在此我向阮老师致以崇高的敬意和感谢！
同时还要感谢在学习期间曾帮助过我、指导过我的每一位老师！正是他们的无私帮助和默默奉献给我提供了良好的学习环境．
衷心的感谢我的室友们让我拥有一个和谐互助的学习和生活条件！感谢我的父母在我成长的道路上付出最博大且无私的爱！没有他们就没有今天的我．
最后，向各位评审组的各位教师致以诚挚的谢意，并献上我永远的祝福：祝你们身体健康！工作顺利！合家欢乐！
题 目： 分离变量法在微分方程中的应用 姓 名： 张闪闪
学 号： [1**********]9
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年级班级： 2010级数应1班 指导教师： 阮传同
2014年 5月 23日
毕业论文（设计）作者声明
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论文题目：分离变量法在微分方程中的应用 作者单位： 周口师范学院数学与统计学院 作者签名：
2014年 5 月23 日
目 录
摘要 . ............................................................................... 错误！未定义书签。 引言 . .................................................................................................................. 1 1 预备知识 . ............................................................... ....错误！未定义书签。
1．1Sturm -Liouville 问题 .................................................. .错误！未定义书签。 1．2分离变量法的定义 ....................................................... 错误！未定义书签。 1. 3分离变量法的一般理论. . ...................................... 错误！未定义书签。
2 分离变量法的具体步骤. . ............................................................................ 4
2. 1分离变量 .............................................................................................................. 4 2. 2解特征值问题. .................................................................................................... 5 2. 3特解的u n (x , t ) 的叠加 ......................................................................................... 6 2. 4系数a n , b n 的确定................................................................................................ .6
3 不同边界条件下X"(x)+λX(x)=0的特征值和特征函数.................................... 7 4 分离变量法在微分方程中的应用........................................................................ .7 5结束语 . .................................................................... ....错误！未定义书签。 参考文献 . ....................................................................... 错误！未定义书签。 致谢 . ............................................................................... 错误！未定义书签。
分离变量法在微分方程中的应用
摘 要：本文运用分离变量法来求解微分方程中的问题时，要求边界条件是齐次的，如果边界条件是非齐次的，则需要寻找合适的辅助函数u (x , t ) , 进行一系列的变换使得边界条件齐次化，本文讨论的是一个一般微分方程的定解问题的求解，给出辅助函数u (x , t ) 的形式，从而达到解决边界条件的齐次化问题，在这个基础上，经过变量分离法求得齐次微分方程在齐次边界条件之下的解.
关键词：分离变量法；Sturm -Liouville 问题；特征函数；特征值
Application of separation of variables in the equations
Abstract ：When we use the method of separation of variables in the equations to solve the problem, requiring the boundary conditions are homogeneous, if a non-homogeneous boundary conditions, you need to find a suitable helper u (x , t ) , making a series of transformation of the boundary conditions homogeneous, this article discusses a definite solution to solve the problem of a general differential equation is given in the form of an auxiliary function, so as to achieve homogeneous boundary conditions to solve the problem, on this basis, through the variable separation method to obtain homogeneous differential equation in homogeneous solution under the boundary conditions.
Keywords: separation of variables; Sturm -Liouville problems; characteristic function; Eigenvalues
引言
在偏微分方程中，求解混合问题的一个最普遍的基本方法之一就是变量分离法，即Fourier 法。分离变量法不仅仅可用在波动方程中，也可以用在热传导方程、调和方程，和一些形式更加复杂的方程和方程组。分离变量法其实质即使
将所给问题化成由常微分方程和边界条件组成的特征值问题。若定解问题中是非齐次边界条件，一般情况下构不成特征值问题。所以，求解非齐次混合问题时需要先使非齐次项齐次化，然后再运用分离变量法进行混合问题的求解.
很多文献都对变量分离法在微分方程中的应用这个部分做了概述，文献[2]主要介绍了施图姆-刘维尔（Sturm -Liouville ）问题，文献[4][5]分别介绍了变量分离法的定义和一般理论，文献[8][9]介绍了分离变量法的具体步骤，文献[10]-[13]给出了分离变量法在微分方程中的应用，还有其他的一些结论. 从本文可以总结出，分离变量法的特点是经过变量的分离，把微分方程的解分成几个分别只含一个变量的函数的乘积的形式，然后将所得的特解做适当线性组合，就可以得到微分方程的解.
本文先通过介绍Sturm-liouville 问题，自然地引出分离变量法，介绍了分离变量法的定义、一般理论和具体实施步骤，有队不同边界下经常求的方程
X"(x)+λX(x)=0的特征值和特征呢过函数进行归纳，直接利用结论可使计算简化，
最后用不同的实例展示出分离变量法的具体运用.
1 预备知识
1.1Sturm -Liouville 问题
对于问题
d dy
(p (x ) ) -q (x ) y +λρ(x ) y =0 dx dx
假设：
(1) p (x ) 和p ' (x ) 在[a , b ]上连续，p (x ) >0；
(2) q (x ) >0在[a , b ]上连续并且q (x ) ≥ 0或q (x ) 在(a , b )内连续，在区间的 端点有一阶奇性；
(3) 则p (x ) 在[a , b ]上连续且p (x ) >0 ①存在无穷多特征值λ1≤λ2≤λ3≤...... 当q (x ) ≥ 0时，X k ≥0(k =1,2......)
对应的这些特征值有无穷多个特征函数y 1(x ), y 2(x ), y 3(x )......
②设y k (x ) 是特征值λk 对应的特征函数，那么所有的y k 构成一个正交函数系
⎰
b
a
y k (x ) y m (x ) ρ(x ) dx =0(m ≠k )
(4)若函数f (x ) 在(a , b )上有一阶连续的导函数及分段连续的二阶导数且满足所给的边界条件，则f (x ) 在(a , b )内按特征函数展开为绝对且一致收敛的级数
f (x ) =∑C k y k (x )
k =1∞
其中
C k
=
b
a
f (x ) y k (x ) ρ(x ) dx
⎰
b
a
y (x ) ρ(x ) dx
2k
(k =1,2,3......)
1.2变量分离法的定义
使用具有变量分离的形式的特解进行构造初边值的问题解的方法被称作分离变量法。
1.3分离变量法的一般理论
在这里讨论波动方程的问题
⎧u tt -a 2u xx =f (x , t ),00, ⎪
⎨u (x ,0) =φ(x ), u t (x ,0) =ψ(x ),0≤x ≤L , ⎪u (0,t ) =u (L , t ) =0, t ≥0. ⎩
首先使用边界条件齐次化方法化，将非齐次条件齐次化：然后，因为方程及条件均是线性的，所以由解的叠加性原和方程齐次化原理，可将上述的波动方程问题转化成下面的混合问题（1.1）
⎧u tt =a 2u xx , 00,(1)⎪
⎨u (x ,0) =φ(x ), u t (x ,0) =ψ(x ),0≤x ≤L ,(2) （1.1） ⎪u (0,t ) =u (L , t ) =0, t ≥0.(3)⎩
因此只需要讨论的是问题（1.1）的求解。下面运用分离变量法求解问题（1.1）
2 分离变量法的具体步骤
下面来详细的介绍一下用变量分离法求解定解问题的主要步骤： 2.1变量分离
设问题（1.1）存在非零变量分离解u (x , t ) =X (x ) T (t ) . （4） 将（4）式代入到方程（1）可得到
X (x ) T '' (t ) =a X '' (x ) T (t ),
2
即
''
T （t ）X '' (x )
= 2 （1.5）
a T (t ) X (x )
由于在（5）式中，左边仅是关于t 的函数，右边仅是关于x 的函数，左右两边要相等，只有同为一个函数的情况下才可能，记作-λ，于是可得到关于T(t)和X(x)的微分方程
T " (t ) +λa 2T (t ) =0 （1.6）
X " (x ) +λX (x ) =0 （1.7）
由式（1.1）中的边界条件，得
X (0)T (t ) =X (L ) T (t ) =0，
因为T (t ) ≠0，所以
X (0)=0, X (L ) =0. （1.8） 2.2解特征值问题
这里求解由（7）式和（8）式组成的常微分方程的边值问题，即求解
⎧X '' (x ) +λX (x ) =0,0
⎨ （1.9）
⎩X (x ) =X (L ) =0.
其中λ是待定常数. 该问题被称为特征值（或固有值或本征值）问题. 使该问题有非零解的λ值，称作特征值（或固有值或本征值），而和λ值相应非零的解称作特征函数（或固有函数或本征函数）.
下面求解问题(1.9)的非零解. 分三种情况加以讨论. （1） 当λ=-β20. 这时方程（1.9）的通解是
X （x ）=C1e βx +C 2e -βx ,
其中C 1, C 2是任意常数. 由（1.9）中边界条件，得
X(0)=C1+C2=0,
X (L ) =C 1e βL +C 2e -βL =0.
由此解得C 1=C 2=0. 所以在λ
（2） 当λ=0时，方程（1.9）的通解是
X (x ) =C 1x +C 2.
由于边界条件（1.8）得C 1=C 2=0，所以X (x ) ≡0. 同样这不是所要求的解.
（3）λ=β2>0, β>0时，方程（1.9）的通解为
X(x)=C1cos βx +C2sin βx .
由于边界条件X (0)=0，得C 1=0. 又有X(L)=0，得C 2sin βx =0.
为求得非零解，故设C 2≠0所以sin βL =0和β=βn =求特征值为
λ=λn =βn 2=(
n π2
) , n =1,2,... , （1.10） L
n π
，n =1,2,... . . 因此所L
λn 对应的特征函数是
X n (x ) =C n sin 将特征值λn 代入式（1.6），得
" T n (t ) +λn a 2T (t ) =0, （1.12）
n πx
，n =1,2,... . （1.11） L
其通解为
n πat n πat
+B n sin . （1.13） L L
于是就求得原定解问题（1.1）中方程及齐次边界条件的变量分离形式的特解为
n πat n πat n πx
+b n sin )sin u n (x , t ) =(a n cos （1.14） L L L
其中
T n (t ) =A n cos
a n =A n C n , b n =B n ，
C n 为任意常数，n =1,2,... .
2.3特解u n (x , t ) 的叠加
为求出定解问题（1.1）的解，需要把所有形如（1.14）的函数u n (x , t ) 叠加起来，可得到
u (x , t ) =∑u n (x , t ) =∑(a n cos
n =1
n =1
∞
∞
n πat n πat n πx
（1.15） +b n sin )sin
L L L
如果式（1.15）的右端收敛，且关于x 和t 均能逐项的微分两次，则u (x , t ) 也满足式（1.1）中的方程和边界条件.
2.4系数a n , b n 的确定
现在来选取适当的系数a n , b n ，使u (x , t ) 也满足于定解问题（1.1）中的条件. 由于
⎰
L
sin 2
n πx
dx =⎰0L
1-cos L
2n πx
dx =L 22
2L n πx
∴a n =⎰φ(x )sin dx .
L 0L
同理
n πx
dx , ⎰0
， ∴b n =L n x 2
sin dx ⎰0
L
L
ψ(x )sin
∴b n =
n πa ⎰0
2
L
ψ(x )sin
n πx
dx , . n =1,2,... . L
最终得到级数形式表达的微分方程的解为
u (x , t ) =∑(a n cos
n =1∞
n πat n πat n πx
. +b n sin )sin
L L L
其中
2L n πx
a n =⎰φ(x )sin dx ,
L 0L
2L n πx b n =ψ(x )sin dx , n =1,2,... . ⎰0n πa L
3 不同边界条件下X"(x)+λX(x)=0的特征值和特征函数
随着X=0和X=L在不同的边界条件下的方程X " (x ) +λX (x ) =0的特征值和特征函数如下
边界条件 特征值 ⎡(2n -1) π⎤λn =⎢⎥
⎣2L ⎦⎡(2n -1) π⎤λn =⎢⎥
⎣2L ⎦
22
特征函数
(2n -1) πx
(n =1,2,......) 2L
X (0)=0, X (L ) =0X (0)=0, X (L ) =0X ' (0)=0, X ' (L ) =0X (0)=0, X ' (L ) +hX (L ) =0
'
'
X n (x ) =sin X n (x ) =cos X n =cos
(2n -1) πx
(n =1,2,......) 2L
λn =(
n π2
) L v λn =(n ) 2
L
n πx
(n =1,2......) L v x
X n (x ) =sin n (n =1,2......)
L
v
其中v n 是方程tan v =-第n 个根
Lh
4 变量分离法在微分方程中的运用
例 1求解下面齐次初边值问题：
2
⎧∂2u 2∂u ⎪∂t 2=a ∂x 2⎪
3πx ⎪
u (x ,0) =sin , u t (x ,0) =x (l -x )(0
l ⎪
⎪u (0,t ) =u (l , t ) =0⎪⎩
解 所给的边界条件齐次且是第一类的的，令u (x , t ) =X (x ) T (t ) 可得特征函数为X n (x ) =sin
且
T n (t ) =a n cos
于是
u (x , t ) =∑(a n cos
n =1∞
n πx
， l
n πat n πat
+b n sin ， n =1,2,... l l
n πat n πat n πx
， +b n sin )sin
L L L
由初始条件可以确定常数a n 及b n ，由初始值可得
3πx ∞n πx
， sin =∑a n sin
l l n =1x (l -x ) =∑
n πa n πx
. n sin
l l n =1
∞
所以
a 3=1, a n =0 （当n ≠3时）
b n =
n πa ⎰02
l
x (l -x )sin
n πx
l
2⎡x n πx l 2n πx x 2n πx 2l 2x n πx 2l 3n πx ⎤l =(l (-cos +n sin ) +cos -sin -cos ⎥) 0222233
n πa ⎢n πl n πl n πl n πl n πl ⎣⎦
=
n
⎡⎤1-(-1) ⎦ n πa ⎣4
4
4l 3
所以所求的解为
3πat 3πx 4l 3∞1-(-1) n n πat n πx
. u (x , t ) =cos sin +4∑sin sin
l l πa n =1n 4l l
例 2 求解下列非齐次初边值问题：
⎧u tt =a 2u xx +f (x , t ),00,
⎪
⎨u (x ,0) =φ(x ), u t (x ,0) =ψ(x ),0≤x ≤l , （2.1）
⎪u (0,t ) =u (l , t ) =0, t ≥0, ⎩
解 我们可以运用所谓的特征函数法求解这个问题. 因为当f =0时，定解就变成
⎧m πx ⎫（1.1），对应特征函数系是⎨sin ⎬. 所以设定解问题（2.1）的形式解是
l ⎭⎩
u (x , t ) =∑T m (t )sin
m =1
∞
m πx
, （2.2） l
其中T m (t )(m =1,2,...) 是待定函数. 表达式（2.2）满足于边界条件u (0,t ) =u (l , t ) =0. 将式子（2.2）代入到（2.1）中的方程，得
" 22
∑⎡T (t ) +a βm T m (t ) ⎤m ⎣⎦sin
m =1∞
m πx
=f (x , t ) ， (2.3) l
其中βm =分 ，得
m πn πx
(n =1,2,...) ，然后在[0, l ]上关于x 积，等式(2.3)两边同时乘以sin
l l
l l m πx n πx n πx " 22
⎡⎤T (t ) +a βT (t ) sin sin dx =f (x , t )sin dx . ∑m m ⎰⎣m ⎦⎰00l l l m =1 ∞
⎧m πx ⎫
运用三角函数系⎨sin ⎬的正交性，我们可以得到
l ⎭⎩
l l n πx " 222n πx ⎡⎤T (t ) +a βT (t ) sin dx =f (x , t )sin dx , n n ⎰⎣n ⎦⎰00l l
因此得
" 22
T (t ) +a βn T n (t ) =f n (t ), （2.4） n
其中
2l n πx f n (t ) =⎰f (x , t )sin ,
0l l n =1,2,... . （2.5）
接下来确定T n (t )(n =1,2,...) . 有初始条件可以得
φ(x ) =u (x ,0) =∑T n (0)sin
n =1
∞
n πx
, l
ψ(x ) =u t (x ,0) =∑T n ' (0)sin
n =1
∞
n πx
. l
由此可得
2l n πx ⎧
T (0)=φ(x )sin dxdef , （2.6） n ⎰⎪0a n ⎪l l ⎨l
⎪T ' (0)=2ψ(x )sin n πx dxdef , n
b n ⎪l ⎰0l ⎩
其中n =1,2,...
下面我们利用拉普拉斯变换的方法来求解T n (t ) . 记T n (t ) 的拉普拉斯变换为
L [T n (t ) ]=T n (s ) 和f n (t ) 的拉普拉斯变换为L [f n (t ) ]=f n (s ). 对于方程（2.4）两边同时取拉普拉斯变换，并利用（2.6），得
s 2T n (s ) -sa n -b n +a 2βn 2T n (s ) =f n (s ) ，
所以
T n (s ) =
两边取拉普拉斯的逆变换，则有
f n (s ) +sa n +b n
s 2+a 2βn 2.
⎡f n (s ) ⎤-1⎡sa n +b n ⎤-1
⎤T n (t ) =L -1⎡T (s ) =L +L ⎢2⎢222⎥22⎥⎣n ⎦
⎣s +a βn ⎦ ⎣s +a βn ⎦
=f n (t )*
1
αβn
l
sin
t
n πat n πat b n n πat
+a n cos +sin l l αβn l f n (τ)sin
n πa (t -τ)
d τl
=
n πa ⎰0
+a n cos
n πat b n l n πat
+sin l n πa l . (2.7)
则定解问题（2.1）的形式解是
u (x , t ) =∑(a n cos
n =1∞
b n πat n πat n πx
+n sin )sin l n πa l l
+∑
n =1
∞
n πa ⎰0
l
t
f n (τ)sin
n πa (t -τ) n πx
τ.sin l l ， (2.8)
其中a n ，b n 由（2.6）式确定. 若记
u 1(x , t ) =∑(a n cos
n =1∞
b n πat n πat n πx +n sin )sin l n πa l l ，
u 2(x , t ) =∑
n =1
∞
n πa ⎰0
l
t
f n (τ)sin
n πa (t -τ) n πx
τ.sin l l ，
则u (x , t ) =u 1(x , t ) +u 2(x , t ) ，容易知道，u 1(x , t ) 是定解问题（2.6）的形式解，而
u 2(x , t ) 是
⎧u tt =a 2u xx , +f (x , t ),00,
⎪
⎨u (x ,0) =u t (x ,0) =0,0≤x ≤l , （2.9）
⎪u (0,t ) =u (l , t ) =0, t ≥0. ⎩的形式解.
因为定解问题（1.1）的解已由式（1.10）给出，所以求解式（2.1），只需要求解定解问题（2.9）的解，然后与（1.1）的解相加即可.
注：这里求非齐次方程解的方法，其本质是把未知函数u (x , t ) 按齐次边界的条件所对应正交函数系展开的. 因此该方法称作特征函数法（或固有函数法）. 运用该法需提前知相应的特征函数系.
例3 在上例中，取f (x , t ) =sin 解 我们由（2.5）得
2πx 2πat
sin ，φ(x ) =ψ(x ) =0. 求出u (x , t ) . l l
f n (t ) =
2l n πx 2l 2πx 2πat n πx
f (x , t )sin =sin sin sin ⎰⎰， 00l l l l l l
由正交性，得f n (t ) =0，n =1,3,4,... . 由于
2l 2πat 22πx 2πat f 2(t ) =⎰sin sin =sin
l 0l l l .
由（2.7）式得
T 2(t ) =
=
2πa ⎰0l (
l
t
sin l
2πa τ2πa (t -τ)
sin τ l l sin
2πat 2πat
-t cos ) l l
4πa 2πa
及
T n (t ) =0, n =1,3,4... .
又因为φ(x ) =ψ(x ) =0，所以由式（2.6）可得a n =b n =0. 因此由式（2.8），则所求的解是
u (x , t ) =
l 4πa 2πa
(l sin
2πat 2πat 2πx -t cos ).sin . l l l
显然，当t →+∞时，u (x , t ) 无界.
结束语
本文借助于Sturm -Liouville 的问题结论以波动方程的初边值的问题作为例子介绍分离变量法，分离变量法还可以用于解决热传导方程的初边值问题，在数学物理方程中的应用非常广泛，又对不同的边值条件下常求的方程X " (x ) +λX (x ) =0的特征值及特征函数进行归纳，直接运用此结论即可使得计算简化，最后用实例具体展现出变量分离法的运用过程.
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[15]刘礼书，边界条件的齐次化方法. 江西教育学院学报，2001，22（3）:25-27.
致谢
转眼间即将毕业了，快乐时光总会是太短暂．学校的每一方面都使我记忆深刻．无论学校的学习环境，还是生活环境，都让我感到在这里进行学习是多么快乐的事情，在这里她不仅让我学会了很多专业知识，也让我学到许多的社会经验，磨练了我，锻炼了我，让我真正成熟起来，具备了某些专业知识和一些独立处理问题的能力．这段时间以来的求学生涯，将会是我人生的道路上一大笔财富．感谢母校！
首先我要感谢阮传同老师给予我的悉心指导和辛勤培育，使我进入到了研究变量分离法的殿堂，阮老师他在学术上悉心地指导我、启迪我，使我顺利地完成了变量分离法的研究和学习．可以说本文自选题、开展研究直至关键问题的顺利解决无不凝聚着阮老师的大量心血．同时阮老师渊博的知识、思考问题的独特方式、严谨治学的作风、正直无私的品格、豁达宽广的胸襟也深深地影响了我，这都将使我终身受益．在此我向阮老师致以崇高的敬意和感谢！
同时还要感谢在学习期间曾帮助过我、指导过我的每一位老师！正是他们的无私帮助和默默奉献给我提供了良好的学习环境．
衷心的感谢我的室友们让我拥有一个和谐互助的学习和生活条件！感谢我的父母在我成长的道路上付出最博大且无私的爱！没有他们就没有今天的我．
最后，向各位评审组的各位教师致以诚挚的谢意，并献上我永远的祝福：祝你们身体健康！工作顺利！合家欢乐！