12. 一元多项式的根与韦达定理
万芸芸 [1**********]
【知识总结】
一．一元多项式的根
定义：令 f(x)是 R[x]的一个一元多项式而 c 是 R 的一个数，若是当 x=c 是 f(x)
的值 f(c)=0，那么 c叫作 f(x)在数环 R 中的一个根.
定理1： 数 c 是多项式 f(x)的根的充分且必要条件是 f(x)能被 x-c 整除.
定理2：设 f(x)是 R[x]中的一个 n ≥ 0 次多项式. 那么 f(x)在 R 中最多有 n 个不同
的根.
证明 如果 f(x)是零次多项式，那么 f(x)是 R 中一个不等于零的数，所以没有根. 因此
定理对于 n=0 成立，于是我们可以对 n 作数学归纳法来证明这一定
理，设 c∈R 是 f(x)另一个根，d ≠ c,那么 0=f(c)=(d-c)g(d). 因为 d-c ≠ 0,所以 g(d)=0。因
为 g(x)的次数是 n-1，由归纳法假说，g(x)在 R 内至多有 n-1 个不同的根。因此 f(x)在 R
中至多有 n 个不同的根.
定理3：设 f(x)与 g(x)是 R[x]的两个多项式，它们的次数都不大于 n,
若是以 R 中 n-1 个或更多的不同的数来代替 x 时，每次所得 f(x)与 g(x)的值都
相等，那么 f(x)=g(x).
证明：令 u(x)=f(x)-g(x).
若 f(x)≠ g(x),换一名话说 u(x)≠ 0,那么 u(x)是一个次数不超过 n 的多项
式，并且在 R 中有 n+1 个或更多的根。这与定理3矛盾.
二．韦达定理：
设f(x)=a0x n +a1x n-1+…a n, 其中a i ∈,a 0 ≠K,a 0 ≠0, 设fx =的复根为a 1,a 2,a 3, ……a n, 则
a 1=(-1) σ1(∂1, ∂2,...., ∂n ); a 0
a 2
a 0
....
a n
a 0=(-1) n σn (∂1, ∂2,...., ∂n ) =(-1) 2σ2(∂1, ∂2,...., ∂n );
命题：
给定R 上n 次方程，a0xn+a1xn-1+…an =0 且a 0≠0,
若∂=a+bi是方程的一个根，则共轭复数σ=a-bi也是方程的根
【例题解析】
例 1 设 f（ x） 是一元多项式，a, b , 是任意数，c 是非零数，试证：
1） f(x-c) =f(x) ⇔ 是常数；
2） f (a+b)=f(a)+f(b)⇔f(x)=kx(k 为常数）；
3） f(a+b)=f(a)f(b)⇔f(x)=1或1 。
证 上述命题的充分性显然，下证必要性。
1） 若 f （x ）不是常数，因 f （x ） 是一元多项式，可设 ∂(f (x))= n>0 ，并设 x1 ,x2….xn 是f(x)的n 个根，则
f(xi-c)=f(xi)=0(i=1,2,….n)
于是x1-c,x2-c, ….,xn-c 也是 f (x )的 n 个根，再由韦达定律，有
(x1-c)+(x2-c)+….+(xn-c)=x1+x2+….+xn
从而c=0，与假设矛盾，即证f( x) 是常数。
2） 在f(a+b)=f(a)+f(b)中，令 b =0 ，可得f(0)=0，于是 x0=0 是f (x) 的一个 根，从而有f(x)=xg(x),再令 x=2t，得
2tg(2t)=f(2t)=f(x+t)=f(x)+f(t)=2f(t)=2tg(t)⇔ g(2t)=g(t)
即证 g( x )为一个常数，设其为k ，代入f(x)=xg(x)可得 f( x )=kx。
3） 若 f(x)=0，则结论成立。否则由
f(2x)=f(x+x)=f(x)f(x)
知f (x )只能是常数，设其为k ，则
K=f(0)=f(0)+f(0)=f(0)f(0)=k^2
又因假设， k ≠0 ，所以 k=1 ，即证f (x)=1 。
例2 求一个三元一次方程，使其三个根分别为另一个三元一次方程的三个根的立方。
解：设∂，β，γ分别为x 3+ax 2+b x +c =0的三个根
3则∂3+β3+γ3=（∂+β+γ）-（3∂+β+γ）⨯（∂β+βγ+∂γ）+3∂βγ
=-a 3-3ab +3c
3∂3β3+β3γ3+∂3γ3=（∂β+βγ+∂γ）-3∂βγ（∂+β+γ）⨯（∂β+βγ+∂γ）+3∂3β3γ3
=-b-3abc+3c
∂3β3γ3=-c 232
于是由韦达定理，所求三元一次方程为
y 3+(a 3+3a b -3c ) y 2+(b 3-3abc +3c 2) y +c 3=0
例3 设a 1,a 2,a 3是方程5x -6x +7x-3=0的三个根，计算 32
(a1+a1a 2+a2)(a2+a2a 3+a3)(a1+a1a 3+a3)
解 因为 222222
σ1=a1+a2+a3
σ2=a1a 2+a2a 3+a1a 3
σ3=a1a 2a 3
由根和系数的关系，可得
σ1=6/5, σ2=7/5, σ3=3/5
再将对称多项式化为初等多项式并计算，可得
(a12+a1a 2+a22)(a22+a2a 3+a32)(a12+a1a 3+a32)
=σ12σ12-σ13σ3-σ23=-1679/625
12. 一元多项式的根与韦达定理
万芸芸 [1**********]
【知识总结】
一．一元多项式的根
定义：令 f(x)是 R[x]的一个一元多项式而 c 是 R 的一个数，若是当 x=c 是 f(x)
的值 f(c)=0，那么 c叫作 f(x)在数环 R 中的一个根.
定理1： 数 c 是多项式 f(x)的根的充分且必要条件是 f(x)能被 x-c 整除.
定理2：设 f(x)是 R[x]中的一个 n ≥ 0 次多项式. 那么 f(x)在 R 中最多有 n 个不同
的根.
证明 如果 f(x)是零次多项式，那么 f(x)是 R 中一个不等于零的数，所以没有根. 因此
定理对于 n=0 成立，于是我们可以对 n 作数学归纳法来证明这一定
理，设 c∈R 是 f(x)另一个根，d ≠ c,那么 0=f(c)=(d-c)g(d). 因为 d-c ≠ 0,所以 g(d)=0。因
为 g(x)的次数是 n-1，由归纳法假说，g(x)在 R 内至多有 n-1 个不同的根。因此 f(x)在 R
中至多有 n 个不同的根.
定理3：设 f(x)与 g(x)是 R[x]的两个多项式，它们的次数都不大于 n,
若是以 R 中 n-1 个或更多的不同的数来代替 x 时，每次所得 f(x)与 g(x)的值都
相等，那么 f(x)=g(x).
证明：令 u(x)=f(x)-g(x).
若 f(x)≠ g(x),换一名话说 u(x)≠ 0,那么 u(x)是一个次数不超过 n 的多项
式，并且在 R 中有 n+1 个或更多的根。这与定理3矛盾.
二．韦达定理：
设f(x)=a0x n +a1x n-1+…a n, 其中a i ∈,a 0 ≠K,a 0 ≠0, 设fx =的复根为a 1,a 2,a 3, ……a n, 则
a 1=(-1) σ1(∂1, ∂2,...., ∂n ); a 0
a 2
a 0
....
a n
a 0=(-1) n σn (∂1, ∂2,...., ∂n ) =(-1) 2σ2(∂1, ∂2,...., ∂n );
命题：
给定R 上n 次方程，a0xn+a1xn-1+…an =0 且a 0≠0,
若∂=a+bi是方程的一个根，则共轭复数σ=a-bi也是方程的根
【例题解析】
例 1 设 f（ x） 是一元多项式，a, b , 是任意数，c 是非零数，试证：
1） f(x-c) =f(x) ⇔ 是常数；
2） f (a+b)=f(a)+f(b)⇔f(x)=kx(k 为常数）；
3） f(a+b)=f(a)f(b)⇔f(x)=1或1 。
证 上述命题的充分性显然，下证必要性。
1） 若 f （x ）不是常数，因 f （x ） 是一元多项式，可设 ∂(f (x))= n>0 ，并设 x1 ,x2….xn 是f(x)的n 个根，则
f(xi-c)=f(xi)=0(i=1,2,….n)
于是x1-c,x2-c, ….,xn-c 也是 f (x )的 n 个根，再由韦达定律，有
(x1-c)+(x2-c)+….+(xn-c)=x1+x2+….+xn
从而c=0，与假设矛盾，即证f( x) 是常数。
2） 在f(a+b)=f(a)+f(b)中，令 b =0 ，可得f(0)=0，于是 x0=0 是f (x) 的一个 根，从而有f(x)=xg(x),再令 x=2t，得
2tg(2t)=f(2t)=f(x+t)=f(x)+f(t)=2f(t)=2tg(t)⇔ g(2t)=g(t)
即证 g( x )为一个常数，设其为k ，代入f(x)=xg(x)可得 f( x )=kx。
3） 若 f(x)=0，则结论成立。否则由
f(2x)=f(x+x)=f(x)f(x)
知f (x )只能是常数，设其为k ，则
K=f(0)=f(0)+f(0)=f(0)f(0)=k^2
又因假设， k ≠0 ，所以 k=1 ，即证f (x)=1 。
例2 求一个三元一次方程，使其三个根分别为另一个三元一次方程的三个根的立方。
解：设∂，β，γ分别为x 3+ax 2+b x +c =0的三个根
3则∂3+β3+γ3=（∂+β+γ）-（3∂+β+γ）⨯（∂β+βγ+∂γ）+3∂βγ
=-a 3-3ab +3c
3∂3β3+β3γ3+∂3γ3=（∂β+βγ+∂γ）-3∂βγ（∂+β+γ）⨯（∂β+βγ+∂γ）+3∂3β3γ3
=-b-3abc+3c
∂3β3γ3=-c 232
于是由韦达定理，所求三元一次方程为
y 3+(a 3+3a b -3c ) y 2+(b 3-3abc +3c 2) y +c 3=0
例3 设a 1,a 2,a 3是方程5x -6x +7x-3=0的三个根，计算 32
(a1+a1a 2+a2)(a2+a2a 3+a3)(a1+a1a 3+a3)
解 因为 222222
σ1=a1+a2+a3
σ2=a1a 2+a2a 3+a1a 3
σ3=a1a 2a 3
由根和系数的关系，可得
σ1=6/5, σ2=7/5, σ3=3/5
再将对称多项式化为初等多项式并计算，可得
(a12+a1a 2+a22)(a22+a2a 3+a32)(a12+a1a 3+a32)
=σ12σ12-σ13σ3-σ23=-1679/625