[充要条件证明题]

《充要条件证明题》

1、数列{xn}满足：x10,xn1xnxnc(nN) 证明：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c0

证明：必要条件：当c0时，xn1xnxncxn数列{xn}是单调递减数列 充分条件：数列{xn}是单调递减数列x1x2x1x1ccx10 得：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c0

2、设数列a1,a2,an中的每一项都不为0.证明，an为等差数列的充分必要条件是：对任何nN，都有证明：先证必要性

设数列{an}的公差为d,若d0,则所述等式显然成立， 若d0，则

2

2

2

2

*

111n. a1a2a2a3anan1a1an1

111

a1a2a2a3anan1

aan1a2a1a3a2

(n1)da1a2a2a3anan3

1111111(()()())da1a2a2a3anan1

1111an1a1()da1an1da1an1n

. a1an1

再证充分性.

证法1：（数学归纳法）设所述的等式对一切nN都成立，首先，在等式

112

 ① a1a2a2a3a1a3

两端同乘a1a2a3,即得a1a32a2,所以a1,a2,a3成等差数列， 记公差为d,则a2a1d.

《充要条件证明题》

1、数列{xn}满足：x10,xn1xnxnc(nN) 证明：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c0

证明：必要条件：当c0时，xn1xnxncxn数列{xn}是单调递减数列 充分条件：数列{xn}是单调递减数列x1x2x1x1ccx10 得：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c0

2、设数列a1,a2,an中的每一项都不为0.证明，an为等差数列的充分必要条件是：对任何nN，都有证明：先证必要性

设数列{an}的公差为d,若d0,则所述等式显然成立， 若d0，则

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111n. a1a2a2a3anan1a1an1

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a1a2a2a3anan1

aan1a2a1a3a2

(n1)da1a2a2a3anan3

1111111(()()())da1a2a2a3anan1

1111an1a1()da1an1da1an1n

. a1an1

再证充分性.

证法1：（数学归纳法）设所述的等式对一切nN都成立，首先，在等式

112

 ① a1a2a2a3a1a3

两端同乘a1a2a3,即得a1a32a2,所以a1,a2,a3成等差数列， 记公差为d,则a2a1d.


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