２００３年０９月第１７卷第３期
Ｊ０ｕｍａｌ０ｆ
Ｎ嘶ｃｈ８Ｉ培ｈｌｓ妇０ｆ
南昌航空工业学院学报（自然科学版）
Ａ凹∞跏ｄｃａｌ
Ｒｄｍｏｌ０野（Ｎ删Ｓｃ触）
Ｓｅｐ．２００３
ｖ０１．１７
Ｎｏ．３
高线三角形有向面积的定值定理及其应用
喻德生
（南昌航空工业学院信息与计算科学系，３３００３４）
［关键词】圆内接２ｎ＋ｌ边形；高线三角形；有向面积；定值；共点
［摘要】给出圆内接２ｎ＋１边形中高线三角形有向面积的定值定理及其推论，其中包括著名的三角形的高线定理。
Ｏｎ
ａ劂№ｎ舢ｆｏｒＤｉ删栅０ｆ琢萄出吐ｉａＩ蹲鹤ａｎｄ
【中圈分类号】０１８２
［文献标识码】Ａ
［文章编号】１００ｌ一４９２６（２００３）０３—００４３—０３ＹＵＤｅ．ｓｈｅｎｇ
ｉＩｌｓｃｒｉｂｅｄ
ｉｔｓ铷）ｐ】慨ｌｔｉ佃ｓ
（ＤＥ即砌跏ｔ矿如细ｍａ如ｎ锄ｄ娜啦口砌ｎ＆诂嬲，砒眦地增觑舭矿Ａ肿船“ｔ划死ｃ＾，蝴，Ｐ．Ｒ．Ｃ航船，３３００３４）
Ｋｅｙ
ｗｏｒｄｓ：ｃｉＩｃ山ｒ
Ａｋ灯ａｃｔ：Ｉｎｔｌｌｉｓ幻ｄｕｄｉｎｇｔｌｌｅ
ｆ妇ｕｓ
ｐａｐｅｒ，８酬ｖａｌｕｅｄｌｅ０觏ｎ
ｈｅｉ出ｔＩｌｅ０搬ｎ
ｉｎ
ａ
ｐ（｝ｌｙｇｏｎ；Ｉｌｅｉｇｈｔｔｒｉａｎｇｋ；（ｄｉｒｊｅｃｔｅｄ）ａｒｅａ；６）。ｅｄ
ｆｏｒｄｉｒ∞ｔ
ｖａｌｕｅ；ｏｏｒ屺ｕＩＴｅｍｉｎ
ａｒｅ船ｏｆ脑曲ｔ缸ｉａｎｇｋｓｃｉＩ℃ｕｌａｒｊ砸ｃｒｉｈ村ｐ０峥９０惜ｉｓ
ｏｂ￡ａｉｎｅｄ，蒯ｓ锄ｅ
ｌ氆ｔｌｌ臼，
ｔｒｉａｒＩｇＩｅ，ａ陀ｄｅｄｕｏｅｄ．
设Ｐ１尸２…ｐ２。＋ｌ为圆内接２ｎ＋ｌ边形，Ｐｌ＋。＋ＩＱｆ上Ｐ只＋ｌ于Ｑ（ｉ＝１，２，…，２，ｌ＋ｌ；Ｐ２。＋ｌ＋ｆ＿只；以下类同），则称只＋。＋ｌ仇为圆内接２ｎ＋ｌ边形Ｐ１Ｐ２…Ｐ２。＋ｌ的边Ｐ以＋ｌ上的高，称以只＋。＋ｌ仇为一边的三角形为Ｐ１Ｐ２…Ｐ２。＋ｌ的高线三角形。为方便起见，我们把包含圆内接２儿＋１边形的任意一条高的线段看成是高线三角形的特殊情形。我们知道，三角形的三条高所在直线相交于一点。那么，圆内接多边形ＰｌＰ２…Ｐ２。＋ｌ的２ｎ＋ｌ条高所在直线以及具有一个公共顶点的圆内接多边形ＰｌＰ２…Ｐ２。＋ｌ的２ｎ＋１个高线三角形具有什么性质呢？本文用有向面积方法研究这个问题，得到圆内接２ｎ＋ｌ边形中高线三角形有向面积的定值定理及其若干推论，其中包括著名的三角形的高线定理。
ｌ定理及推论
定理设圆内接２ｎ＋ｌ边形ＰｌＰ２…尸２。＋ｌ的顶点的坐标为Ｐｆ（ｃｌ＋Ｒｃｏｓ坟ｉ，ｃ２＋尺ｓｉｎａｉ），只＋。＋ｌ仇＿Ｌ
Ｐ，ｉ＋ｌ于仇（江ｌ，２，…，２乃＋１），Ｐ是ＰｌＰ２…Ｐ２。＋ｌ所在平面上任意一点，则
２登１（ｃｏｔ坠叫≯蛆一ｃｏｔ盟号垡）ＤＰＰ
其中ＤＰＰ
推论ｌ
ｌＱ＝ｏ
（１）
。Ｑ表示三角形即ｉ＋。＋ｌＱ的有向面积…；口ｉ＋２。＋ｌ＝口ｉ，其余类同。
设三角形ＰｌＲＰ３的顶点的坐标为只（ｃｌ＋尺ｃｏｓ口ｉ，ｃ２＋足ｓｉｎ口ｉ），只＋２ａ上只Ｐ。ｌ于Ｑ（ｉ＝ｌ，２，
３），Ｐ为三角形所在平面上任意一点，则
∑ｓｉｎ２旦；型跏，Ｑ＝ｏ
证
（２）
由于三角形ＰｌＰ２Ｐ３内接于圆，将ｎ＝ｌ代入（１）式并化简，可得（２）式。
推论２设三角形ＰｌＰ２Ｐ３的三条高为只＋２仇（ｉ＝ｌ，２，３），则
［收稿日期］２００８—０５—２８
［作者简介】喻德生（１９５９一），男，副教授，硕士。
南昌航空工业学院学报（自然科学版）２００３年
Ｓ％＋。尸ｆ＋：‘ｓ必＋，ｑ＋：２墨＋，ｑ＋：＿＋：’ｓｑ％＋。（ｉ＝１，２，３）
（３）
其中晚＋。ｏ＋：表示三角形跑＋１只＋２的面积，其余类同。
证
是沌＋。ｑ＋：≠ｏ。在（２）式中分别取Ｐ为Ｐｆ＋２、口ｆ得
及
ｓｉｎ２半％＋：％＋。＝“儿２蜓尹啦以以＋：Ｓｉｎ２半Ｄ啪＋。＝一ｓ讥２盟尹ＤＱｌＰｌＱ…（４）÷（５）后等式两边取绝对值得脚…ｔ＋：／嘶；＋。＝啦＋。Ｑｆ＋：ｌ＋：／沌＋。ＱⅢ，化简即得（３）式。
推论３设ＰｌＰ２…Ｐ２。＋１是圆内接２凡＋１边形，只＋。＋１
由题设易知（３）式中至少有一个三角形的面积不为０，不妨设Ｓ叩见＋。≠Ｏ，则么尸只＋ｌＰｆ＋２≠９泸。于
（４）（５）
Ｑ上髓＋１于仇。若Ｐ１Ｐ２…Ｐ２。＋ｌ的２疗＋１条
高Ｐｆ＋。＋１Ｑｆ（ｂｌ，２，…，２ｎ＋１）所在直线中有２ｎ条直线相交于一点，则这２凡＋１条高所在直线相交于一
点。
证不妨设Ｐｎ＋２Ｑｌ、Ｒ＋３Ｑ２、…、ＲＱ２ｎ所在直线相交于Ｄ点，将Ｄ及Ｄ昵＋：Ｑ。＝ＤＤＰｎ＋，Ｑ：＝…＝耽Ｑ２。
（ｃｏｔ半一ｃｏｔ盟｛幽）Ｄ％‰＝ｏ。
注意到ｃｏｔ半一ｃ。ｔ鱼盟产≠ｏ得Ｄ。。＋。Ｑ：川＝ｏ，即Ｄ在直线Ｐ。＋１Ｑ２。＋ｌ上。所以Ｒ＋２Ｑｌ、Ｒ＋３
Ｑ２、…、Ｐ。Ｑ２”Ｒ＋ｌＱ２。＋ｌ所在直线相交于一点。
推论４三角形ＰｌＰ２Ｐ３的三条高Ｐ１Ｑ２、Ｐ２Ｑ３、Ｐ３Ｑ１所在直线相交于一点。证注意到三角形的任意两条高所在直线相交于一点，由推论３即得。
推论５设ＰｌＰ２…Ｐ２。＋ｌ是圆内接正２ｎ＋１边形，Ｐｆ＋。＋ｌＱｆｊ＿Ｐ，ｉ＋ｌ于Ｑｆ（江ｌ，２，…，２ｎ＋１），Ｐ是
ＰｌＰ２…Ｐ２。＋ｌ所在平面上任意一点，则
２ｎ＋ｌ
＝ｏ彳弋入（１）式得
证
化简即得（６）式。
不妨设ｏ＝口－＜ａ：＜…＜ａｚ。＋－＜２丌，将口ｉ＋。＋・一口产锴及口ｉ＋。一口。＝云备代人（１）式并
兰ＤＰＰｌ…。口ｆ＝ｏ
（６）
推论６设Ｐ是正三角形ＰｌＰ２尸３所在平面上任意一点，则在ＰｌＰ２ＪＰ３的三个高线三角形ＰＰｆ＋２Ｑｆ（ｉ＝ｌ，２，３）中，其中一个高线三角形的面积等于其余两个高线三角形的面积的和。
证在推论５中令ｎ＝１得Ｄ尸尸，Ｑ，＋跏。Ｂ＋％钨＝ｏ，从而推论６结论成立。
２定理的证明
证不妨设ｃｌ＝ｃ２＝０，于是尸ｌＰ２…Ｐ２。＋ｌ所在乎面上任葸点的坐标司设为Ｐ（ｒｃｏｓ口，ｒｓｉ肋）。先求垂足
的坐标。Ｐｆ只＋ｌ的直线方程为
（ｓｉｎａｆ—ｓｉｎａｉ＋１）戈＋（ｃｏｓ口ｉ＋ｌ—ｃｏｓ口￡）），＝ＲｓｉＩｌ（ａｉ—ａｌ＋１），
即
Ｐ。。＋１
ｃ。ｓ半戈＋。ｍ华，，：Ｒｃｏ。竿
（７）
Ｑ的直线方程设为ｓｉｎ堕％垫戈’一ｃｏｓ墅±学ｙ：ｃ，将点只＋。＋ｌ（尺ｃｏｓ口。＋。＋ｌ，月ｓｉｎ口ｉ＋。＋￡）代
入上式得ｃ：Ｒｓｉｎ旦丛±堕÷丝堕叫。
所以
。ｉｎ盟警戈一ｃｏｓ竺Ｌ譬旦ｙ：蹦ｎ塾止与掣
（８）
（７）、（８）联立求得ｐｉ的坐标
第３期喻德生：高线三角形有向面积的定值定理及其应用
４５
ｆ戈＝罢［ｃｏｓ口；＋ｃｏｓａ；＋－＋ｃｏｓａｔ＋。＋－一ｃｏｓ（ａ
由三角形有向面积公式得
ｚ＋口ｉ＋・一ａ
ｚ＋。＋・）］
【），：鲁［ｓ洫口ｆ＋ｓｉｎａｆ＋１＋ｓｉｎ口ｆ＋。＋ｌ—ｓｉｎ（ａｆ＋口ｆ＋ｌ一口ｉ＋。＋１）］
ＤＰＰｉ＋川ｑ＝吉母（ｃｏｓ口ｓｉｎ口ｉ＋。＋ｌ—ｓｉｎ口ｃｏｓａｆ＋。＋１）＋｛Ｒ２｛ｃｏｓ口ｚ＋。＋ｌ［ｓｉｎ口ｆ＋ｓｉｎ口ｆ＋－＋ｓｉｎ口ｆ＋。＋ｌ—ｓｉｎ（ａｆ
＋ａ；＋ｌ一口ｉ＋。＋。）］一ｓｉｎ口；＋。＋。［ｃ。ｓ口：＋ｃ。ｓ口ｉ＋。＋ｃｏｓ口ｉ＋。＋。一ｃ。８（口；＋口；＋。一口：＋。＋。）］｝＋丢母｛［ｃ。ｓ口；
＋ｃｏｓ口ｆ＋ｌ＋ｃ０８口ｆ＋ｎ＋ｌ—ｃｏｓ（口ｆ＋口ｉ＋ｌ一口ｆ＋ｎ＋１）］ｓｉｎ口一［ｓｉｎ口ｉ＋ｓｉｎａｉ＋１＋ｓｉｎａｉ＋Ｈ＋１一ｓｉｎ（口ｉ＋口ｆ＋ｌ一口ｉ＋ｎ＋１）］００８口｝
＝一丢西ｓｉｎ（口ｆ＋。＋ｌ一口）＋｛Ｒ２［ｓｉｎ（ａ；一ａｉ＋。＋１）＋ｓｉＩｌ（口ｔ＋ｌ一口ｚ＋。＋－）一ｓｉｎ（ａｆ＋口ｔ＋・一２ａｆ＋。＋１）］一
丢趴ｓｉｎ（口ｆ一口）＋ｓｉｌｌ（叭ｔ一口）＋ｓｉｎ（吼川一口）一ｓｉｎ（口ｆ＋吣ｌ一叭川一口）］
＝丢庙｛［ｓｉＩｌ（口；＋。＋。一口）＋ｓｉｎ（ａｆ＋ａ￡＋ｌ一口ｆ＋。＋ｌ一口）一［ｓｉｎ（口。一口）ｓｉｎ（口ｆ＋。一口）］｝＋｛Ｒ２｛［ｓｉｎ（口ｆ一
所以
２
从而孙昌
＝吉府｛ｓｉｎ垡学ｃｏｓ业吉酬ｓｉｎ业盟芦ｃｏｓ！
＝吉（删ｎ业学一热ｉｎ竺垫专堡型）（ｏｏｓ型业芦一ｃｏｓ等尹）
一觚ｎ型学）ｓｉｎ盟学ｓｉｎ
删ｎ业垆———ｊ堡—盟—一：Ｒｚ。ｉｎ８ｍ——１一锄——广
学（ｃｏｔ盟学…ｔ呲——１一半
＋１—２ａｉ＋ｎ—ｌ２
口；…１）＋ｓｉｎ（口ｉ．１一ａ；…１）］一ｓｉｎ（口ｉ一口ｉ‘１—２口ｉ‘。＾１）｝
．
一８１ｎ——１＿ｃ０８坠荨旦｝＋
ａｆ＋口ｆ＋ｌ一２ａ
２
。。
ｉ＋ｌ—ａ￡
．
口ｆ＋ａｆ＋ｌ一２口￡＋ｎ＋ｌ
２
口ｆ＋口ｆ＋ｌ一２口ｔ
２
＋ｎ＋ｌ
—ｒ一一８１ｎ
＝（尺２ｓｉｎ
口ｉ＋口ｆ＋ｌ一２口ｉ＋ｎ＋１
２
口ｔ＋ｎ＋ｌ一口ｉ
．
口￡＋ｎ＋ｌ—ａｉ＋１．口ｉ＋ｎ＋ｌ一口ｆ
口ｌ＋ｎ＋ｌ
：尺２２塾ｎ业盟芦ｓｉｎ掣尹一曲翟１ｓｉｎ坐学ｓｉｎ盟尹
．
２
垫）岫…。Ｑｌ＝∑
一
２ｎ十１
．吼ｎ
吼一
Ｄ
ｉ＝１
ａｆ＋ｎ＋ｌ一口ｉ＋ｌ
ＰＰＩ…ｌＱ，
＝吉尺２翟１［ｃｏｓ（口ｉ一吣州）一ｃｏｓ（叭。一吣川）］一丢磺１［ｃｏｓ（口。
厶
Ｉ２ｌ
ｌ
２
Ｊ
ｌ２
ｎ＋ｌ
ａ）一ｃ０８（口ｆ＋ｌ口）］
ｃ。。（口；一ａ。＋。＋，）一２莹１ｃｏｓ（ａｉ＋。一口；＋。＋。）］：去尺ｚ［奎ｃｏｓ（口；一口。＋。＋。）一奎ｃｏｓ（口ｉ＋。一口ｉ＋。＋，）＋２鳘１＝专尺２［善ｃｏｓ（口ｚ一口ｔ＋。＋ｔ）一。警ｃｏｓ（口ｉ＋・一口ｉ＋ｎ＋，）＋。誊，ｃ。ｓ（口ｚ—ａｔ＋ｎ＋ｔ）一ｉ量。ｃｏｓ（ａｉ＋－一口ｔ＋ｎ＋・）］
Ｉ＝ｎ十ｌ
：丢尺ｚ［奎咖（ｄ：一口“。＋。）一
‘
ｌ＝ｌ
§气
｛宝，Ｌ
口
＋
一吣川）＋未ｃｏｓ（口ｆ＋川一吣，）＋ｃｏｓ（‰－一口・）
一
。∑“
∞“ａ
＋，
ｎ＋
一口ｉ）一ｃｏｓ（口ｌ—ａｎ＋１）］
＝
仉
［参考文献】
［１］ｕ．Ｍ．亚格龙著，章学诚译，几何变换（３）［Ｍ］．北京：北京大学出版社，１９８７．
［２］喻德生，关于平面多边形有向面积的一些定理［Ｊ］．赣南师范学院学报，１９９９，３，Ｐ１１—１４．［３］喻德生，关于垂足三角形有向面积的一些定理［Ｊ］．江西师范大学学报，２００１．３，Ｐ２１４—２１８．
［４］喻德生，一类垂足多边形的有向面积公式及其应用［Ｊ］．南昌航空工业学院学报，２００１．４，Ｐ７２—７６
高线三角形有向面积的定值定理及其应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
喻德生
南昌航空工业学院信息与计算科学系,330034
南昌航空工业学院学报(自然科学版)
JOURNAL OF NANCHANG INSTITUTE OF AERONAUTICAL TECHNOLOGY（NATURAL SCIENCES）2003,17(3)3次
参考文献(4条)
1. U·M·亚格龙;章学诚 几何变换 1987
2. 喻德生 关于平面多边形有向面积的一些定理 1999(03)
3. 喻德生 关于垂足三角形有向面积的一些定理[期刊论文]-江西师范大学学报(自然科学版) 2001(03)4. 喻德生 一类垂足多边形的有向面积公式及其应用[期刊论文]-南昌航空工业学院学报(自然科学版) 2000(04)
引证文献(3条)
1. 喻德生. 师晶 线型三角形有向面积公式及其应用[期刊论文]-南昌航空大学学报（自然科学版） 2010(3)2. 喻德生. 师晶 线型三角形有向面积公式及其应用[期刊论文]-南昌航空大学学报（自然科学版） 2010(3)3. 喻德生. 师晶 二次曲线外切多角形中有向距离的定值定理[期刊论文]-南昌航空大学学报（自然科学版）2009(3)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_nchkgyxyxb200303011.aspx
２００３年０９月第１７卷第３期
Ｊ０ｕｍａｌ０ｆ
Ｎ嘶ｃｈ８Ｉ培ｈｌｓ妇０ｆ
南昌航空工业学院学报（自然科学版）
Ａ凹∞跏ｄｃａｌ
Ｒｄｍｏｌ０野（Ｎ删Ｓｃ触）
Ｓｅｐ．２００３
ｖ０１．１７
Ｎｏ．３
高线三角形有向面积的定值定理及其应用
喻德生
（南昌航空工业学院信息与计算科学系，３３００３４）
［关键词】圆内接２ｎ＋ｌ边形；高线三角形；有向面积；定值；共点
［摘要】给出圆内接２ｎ＋１边形中高线三角形有向面积的定值定理及其推论，其中包括著名的三角形的高线定理。
Ｏｎ
ａ劂№ｎ舢ｆｏｒＤｉ删栅０ｆ琢萄出吐ｉａＩ蹲鹤ａｎｄ
【中圈分类号】０１８２
［文献标识码】Ａ
［文章编号】１００ｌ一４９２６（２００３）０３—００４３—０３ＹＵＤｅ．ｓｈｅｎｇ
ｉＩｌｓｃｒｉｂｅｄ
ｉｔｓ铷）ｐ】慨ｌｔｉ佃ｓ
（ＤＥ即砌跏ｔ矿如细ｍａ如ｎ锄ｄ娜啦口砌ｎ＆诂嬲，砒眦地增觑舭矿Ａ肿船“ｔ划死ｃ＾，蝴，Ｐ．Ｒ．Ｃ航船，３３００３４）
Ｋｅｙ
ｗｏｒｄｓ：ｃｉＩｃ山ｒ
Ａｋ灯ａｃｔ：Ｉｎｔｌｌｉｓ幻ｄｕｄｉｎｇｔｌｌｅ
ｆ妇ｕｓ
ｐａｐｅｒ，８酬ｖａｌｕｅｄｌｅ０觏ｎ
ｈｅｉ出ｔＩｌｅ０搬ｎ
ｉｎ
ａ
ｐ（｝ｌｙｇｏｎ；Ｉｌｅｉｇｈｔｔｒｉａｎｇｋ；（ｄｉｒｊｅｃｔｅｄ）ａｒｅａ；６）。ｅｄ
ｆｏｒｄｉｒ∞ｔ
ｖａｌｕｅ；ｏｏｒ屺ｕＩＴｅｍｉｎ
ａｒｅ船ｏｆ脑曲ｔ缸ｉａｎｇｋｓｃｉＩ℃ｕｌａｒｊ砸ｃｒｉｈ村ｐ０峥９０惜ｉｓ
ｏｂ￡ａｉｎｅｄ，蒯ｓ锄ｅ
ｌ氆ｔｌｌ臼，
ｔｒｉａｒＩｇＩｅ，ａ陀ｄｅｄｕｏｅｄ．
设Ｐ１尸２…ｐ２。＋ｌ为圆内接２ｎ＋ｌ边形，Ｐｌ＋。＋ＩＱｆ上Ｐ只＋ｌ于Ｑ（ｉ＝１，２，…，２，ｌ＋ｌ；Ｐ２。＋ｌ＋ｆ＿只；以下类同），则称只＋。＋ｌ仇为圆内接２ｎ＋ｌ边形Ｐ１Ｐ２…Ｐ２。＋ｌ的边Ｐ以＋ｌ上的高，称以只＋。＋ｌ仇为一边的三角形为Ｐ１Ｐ２…Ｐ２。＋ｌ的高线三角形。为方便起见，我们把包含圆内接２儿＋１边形的任意一条高的线段看成是高线三角形的特殊情形。我们知道，三角形的三条高所在直线相交于一点。那么，圆内接多边形ＰｌＰ２…Ｐ２。＋ｌ的２ｎ＋ｌ条高所在直线以及具有一个公共顶点的圆内接多边形ＰｌＰ２…Ｐ２。＋ｌ的２ｎ＋１个高线三角形具有什么性质呢？本文用有向面积方法研究这个问题，得到圆内接２ｎ＋ｌ边形中高线三角形有向面积的定值定理及其若干推论，其中包括著名的三角形的高线定理。
ｌ定理及推论
定理设圆内接２ｎ＋ｌ边形ＰｌＰ２…尸２。＋ｌ的顶点的坐标为Ｐｆ（ｃｌ＋Ｒｃｏｓ坟ｉ，ｃ２＋尺ｓｉｎａｉ），只＋。＋ｌ仇＿Ｌ
Ｐ，ｉ＋ｌ于仇（江ｌ，２，…，２乃＋１），Ｐ是ＰｌＰ２…Ｐ２。＋ｌ所在平面上任意一点，则
２登１（ｃｏｔ坠叫≯蛆一ｃｏｔ盟号垡）ＤＰＰ
其中ＤＰＰ
推论ｌ
ｌＱ＝ｏ
（１）
。Ｑ表示三角形即ｉ＋。＋ｌＱ的有向面积…；口ｉ＋２。＋ｌ＝口ｉ，其余类同。
设三角形ＰｌＲＰ３的顶点的坐标为只（ｃｌ＋尺ｃｏｓ口ｉ，ｃ２＋足ｓｉｎ口ｉ），只＋２ａ上只Ｐ。ｌ于Ｑ（ｉ＝ｌ，２，
３），Ｐ为三角形所在平面上任意一点，则
∑ｓｉｎ２旦；型跏，Ｑ＝ｏ
证
（２）
由于三角形ＰｌＰ２Ｐ３内接于圆，将ｎ＝ｌ代入（１）式并化简，可得（２）式。
推论２设三角形ＰｌＰ２Ｐ３的三条高为只＋２仇（ｉ＝ｌ，２，３），则
［收稿日期］２００８—０５—２８
［作者简介】喻德生（１９５９一），男，副教授，硕士。
南昌航空工业学院学报（自然科学版）２００３年
Ｓ％＋。尸ｆ＋：‘ｓ必＋，ｑ＋：２墨＋，ｑ＋：＿＋：’ｓｑ％＋。（ｉ＝１，２，３）
（３）
其中晚＋。ｏ＋：表示三角形跑＋１只＋２的面积，其余类同。
证
是沌＋。ｑ＋：≠ｏ。在（２）式中分别取Ｐ为Ｐｆ＋２、口ｆ得
及
ｓｉｎ２半％＋：％＋。＝“儿２蜓尹啦以以＋：Ｓｉｎ２半Ｄ啪＋。＝一ｓ讥２盟尹ＤＱｌＰｌＱ…（４）÷（５）后等式两边取绝对值得脚…ｔ＋：／嘶；＋。＝啦＋。Ｑｆ＋：ｌ＋：／沌＋。ＱⅢ，化简即得（３）式。
推论３设ＰｌＰ２…Ｐ２。＋１是圆内接２凡＋１边形，只＋。＋１
由题设易知（３）式中至少有一个三角形的面积不为０，不妨设Ｓ叩见＋。≠Ｏ，则么尸只＋ｌＰｆ＋２≠９泸。于
（４）（５）
Ｑ上髓＋１于仇。若Ｐ１Ｐ２…Ｐ２。＋ｌ的２疗＋１条
高Ｐｆ＋。＋１Ｑｆ（ｂｌ，２，…，２ｎ＋１）所在直线中有２ｎ条直线相交于一点，则这２凡＋１条高所在直线相交于一
点。
证不妨设Ｐｎ＋２Ｑｌ、Ｒ＋３Ｑ２、…、ＲＱ２ｎ所在直线相交于Ｄ点，将Ｄ及Ｄ昵＋：Ｑ。＝ＤＤＰｎ＋，Ｑ：＝…＝耽Ｑ２。
（ｃｏｔ半一ｃｏｔ盟｛幽）Ｄ％‰＝ｏ。
注意到ｃｏｔ半一ｃ。ｔ鱼盟产≠ｏ得Ｄ。。＋。Ｑ：川＝ｏ，即Ｄ在直线Ｐ。＋１Ｑ２。＋ｌ上。所以Ｒ＋２Ｑｌ、Ｒ＋３
Ｑ２、…、Ｐ。Ｑ２”Ｒ＋ｌＱ２。＋ｌ所在直线相交于一点。
推论４三角形ＰｌＰ２Ｐ３的三条高Ｐ１Ｑ２、Ｐ２Ｑ３、Ｐ３Ｑ１所在直线相交于一点。证注意到三角形的任意两条高所在直线相交于一点，由推论３即得。
推论５设ＰｌＰ２…Ｐ２。＋ｌ是圆内接正２ｎ＋１边形，Ｐｆ＋。＋ｌＱｆｊ＿Ｐ，ｉ＋ｌ于Ｑｆ（江ｌ，２，…，２ｎ＋１），Ｐ是
ＰｌＰ２…Ｐ２。＋ｌ所在平面上任意一点，则
２ｎ＋ｌ
＝ｏ彳弋入（１）式得
证
化简即得（６）式。
不妨设ｏ＝口－＜ａ：＜…＜ａｚ。＋－＜２丌，将口ｉ＋。＋・一口产锴及口ｉ＋。一口。＝云备代人（１）式并
兰ＤＰＰｌ…。口ｆ＝ｏ
（６）
推论６设Ｐ是正三角形ＰｌＰ２尸３所在平面上任意一点，则在ＰｌＰ２ＪＰ３的三个高线三角形ＰＰｆ＋２Ｑｆ（ｉ＝ｌ，２，３）中，其中一个高线三角形的面积等于其余两个高线三角形的面积的和。
证在推论５中令ｎ＝１得Ｄ尸尸，Ｑ，＋跏。Ｂ＋％钨＝ｏ，从而推论６结论成立。
２定理的证明
证不妨设ｃｌ＝ｃ２＝０，于是尸ｌＰ２…Ｐ２。＋ｌ所在乎面上任葸点的坐标司设为Ｐ（ｒｃｏｓ口，ｒｓｉ肋）。先求垂足
的坐标。Ｐｆ只＋ｌ的直线方程为
（ｓｉｎａｆ—ｓｉｎａｉ＋１）戈＋（ｃｏｓ口ｉ＋ｌ—ｃｏｓ口￡）），＝ＲｓｉＩｌ（ａｉ—ａｌ＋１），
即
Ｐ。。＋１
ｃ。ｓ半戈＋。ｍ华，，：Ｒｃｏ。竿
（７）
Ｑ的直线方程设为ｓｉｎ堕％垫戈’一ｃｏｓ墅±学ｙ：ｃ，将点只＋。＋ｌ（尺ｃｏｓ口。＋。＋ｌ，月ｓｉｎ口ｉ＋。＋￡）代
入上式得ｃ：Ｒｓｉｎ旦丛±堕÷丝堕叫。
所以
。ｉｎ盟警戈一ｃｏｓ竺Ｌ譬旦ｙ：蹦ｎ塾止与掣
（８）
（７）、（８）联立求得ｐｉ的坐标
第３期喻德生：高线三角形有向面积的定值定理及其应用
４５
ｆ戈＝罢［ｃｏｓ口；＋ｃｏｓａ；＋－＋ｃｏｓａｔ＋。＋－一ｃｏｓ（ａ
由三角形有向面积公式得
ｚ＋口ｉ＋・一ａ
ｚ＋。＋・）］
【），：鲁［ｓ洫口ｆ＋ｓｉｎａｆ＋１＋ｓｉｎ口ｆ＋。＋ｌ—ｓｉｎ（ａｆ＋口ｆ＋ｌ一口ｉ＋。＋１）］
ＤＰＰｉ＋川ｑ＝吉母（ｃｏｓ口ｓｉｎ口ｉ＋。＋ｌ—ｓｉｎ口ｃｏｓａｆ＋。＋１）＋｛Ｒ２｛ｃｏｓ口ｚ＋。＋ｌ［ｓｉｎ口ｆ＋ｓｉｎ口ｆ＋－＋ｓｉｎ口ｆ＋。＋ｌ—ｓｉｎ（ａｆ
＋ａ；＋ｌ一口ｉ＋。＋。）］一ｓｉｎ口；＋。＋。［ｃ。ｓ口：＋ｃ。ｓ口ｉ＋。＋ｃｏｓ口ｉ＋。＋。一ｃ。８（口；＋口；＋。一口：＋。＋。）］｝＋丢母｛［ｃ。ｓ口；
＋ｃｏｓ口ｆ＋ｌ＋ｃ０８口ｆ＋ｎ＋ｌ—ｃｏｓ（口ｆ＋口ｉ＋ｌ一口ｆ＋ｎ＋１）］ｓｉｎ口一［ｓｉｎ口ｉ＋ｓｉｎａｉ＋１＋ｓｉｎａｉ＋Ｈ＋１一ｓｉｎ（口ｉ＋口ｆ＋ｌ一口ｉ＋ｎ＋１）］００８口｝
＝一丢西ｓｉｎ（口ｆ＋。＋ｌ一口）＋｛Ｒ２［ｓｉｎ（ａ；一ａｉ＋。＋１）＋ｓｉＩｌ（口ｔ＋ｌ一口ｚ＋。＋－）一ｓｉｎ（ａｆ＋口ｔ＋・一２ａｆ＋。＋１）］一
丢趴ｓｉｎ（口ｆ一口）＋ｓｉｌｌ（叭ｔ一口）＋ｓｉｎ（吼川一口）一ｓｉｎ（口ｆ＋吣ｌ一叭川一口）］
＝丢庙｛［ｓｉＩｌ（口；＋。＋。一口）＋ｓｉｎ（ａｆ＋ａ￡＋ｌ一口ｆ＋。＋ｌ一口）一［ｓｉｎ（口。一口）ｓｉｎ（口ｆ＋。一口）］｝＋｛Ｒ２｛［ｓｉｎ（口ｆ一
所以
２
从而孙昌
＝吉府｛ｓｉｎ垡学ｃｏｓ业吉酬ｓｉｎ业盟芦ｃｏｓ！
＝吉（删ｎ业学一热ｉｎ竺垫专堡型）（ｏｏｓ型业芦一ｃｏｓ等尹）
一觚ｎ型学）ｓｉｎ盟学ｓｉｎ
删ｎ业垆———ｊ堡—盟—一：Ｒｚ。ｉｎ８ｍ——１一锄——广
学（ｃｏｔ盟学…ｔ呲——１一半
＋１—２ａｉ＋ｎ—ｌ２
口；…１）＋ｓｉｎ（口ｉ．１一ａ；…１）］一ｓｉｎ（口ｉ一口ｉ‘１—２口ｉ‘。＾１）｝
．
一８１ｎ——１＿ｃ０８坠荨旦｝＋
ａｆ＋口ｆ＋ｌ一２ａ
２
。。
ｉ＋ｌ—ａ￡
．
口ｆ＋ａｆ＋ｌ一２口￡＋ｎ＋ｌ
２
口ｆ＋口ｆ＋ｌ一２口ｔ
２
＋ｎ＋ｌ
—ｒ一一８１ｎ
＝（尺２ｓｉｎ
口ｉ＋口ｆ＋ｌ一２口ｉ＋ｎ＋１
２
口ｔ＋ｎ＋ｌ一口ｉ
．
口￡＋ｎ＋ｌ—ａｉ＋１．口ｉ＋ｎ＋ｌ一口ｆ
口ｌ＋ｎ＋ｌ
：尺２２塾ｎ业盟芦ｓｉｎ掣尹一曲翟１ｓｉｎ坐学ｓｉｎ盟尹
．
２
垫）岫…。Ｑｌ＝∑
一
２ｎ十１
．吼ｎ
吼一
Ｄ
ｉ＝１
ａｆ＋ｎ＋ｌ一口ｉ＋ｌ
ＰＰＩ…ｌＱ，
＝吉尺２翟１［ｃｏｓ（口ｉ一吣州）一ｃｏｓ（叭。一吣川）］一丢磺１［ｃｏｓ（口。
厶
Ｉ２ｌ
ｌ
２
Ｊ
ｌ２
ｎ＋ｌ
ａ）一ｃ０８（口ｆ＋ｌ口）］
ｃ。。（口；一ａ。＋。＋，）一２莹１ｃｏｓ（ａｉ＋。一口；＋。＋。）］：去尺ｚ［奎ｃｏｓ（口；一口。＋。＋。）一奎ｃｏｓ（口ｉ＋。一口ｉ＋。＋，）＋２鳘１＝专尺２［善ｃｏｓ（口ｚ一口ｔ＋。＋ｔ）一。警ｃｏｓ（口ｉ＋・一口ｉ＋ｎ＋，）＋。誊，ｃ。ｓ（口ｚ—ａｔ＋ｎ＋ｔ）一ｉ量。ｃｏｓ（ａｉ＋－一口ｔ＋ｎ＋・）］
Ｉ＝ｎ十ｌ
：丢尺ｚ［奎咖（ｄ：一口“。＋。）一
‘
ｌ＝ｌ
§气
｛宝，Ｌ
口
＋
一吣川）＋未ｃｏｓ（口ｆ＋川一吣，）＋ｃｏｓ（‰－一口・）
一
。∑“
∞“ａ
＋，
ｎ＋
一口ｉ）一ｃｏｓ（口ｌ—ａｎ＋１）］
＝
仉
［参考文献】
［１］ｕ．Ｍ．亚格龙著，章学诚译，几何变换（３）［Ｍ］．北京：北京大学出版社，１９８７．
［２］喻德生，关于平面多边形有向面积的一些定理［Ｊ］．赣南师范学院学报，１９９９，３，Ｐ１１—１４．［３］喻德生，关于垂足三角形有向面积的一些定理［Ｊ］．江西师范大学学报，２００１．３，Ｐ２１４—２１８．
［４］喻德生，一类垂足多边形的有向面积公式及其应用［Ｊ］．南昌航空工业学院学报，２００１．４，Ｐ７２—７６
高线三角形有向面积的定值定理及其应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
喻德生
南昌航空工业学院信息与计算科学系,330034
南昌航空工业学院学报(自然科学版)
JOURNAL OF NANCHANG INSTITUTE OF AERONAUTICAL TECHNOLOGY（NATURAL SCIENCES）2003,17(3)3次
参考文献(4条)
1. U·M·亚格龙;章学诚 几何变换 1987
2. 喻德生 关于平面多边形有向面积的一些定理 1999(03)
3. 喻德生 关于垂足三角形有向面积的一些定理[期刊论文]-江西师范大学学报(自然科学版) 2001(03)4. 喻德生 一类垂足多边形的有向面积公式及其应用[期刊论文]-南昌航空工业学院学报(自然科学版) 2000(04)
引证文献(3条)
1. 喻德生. 师晶 线型三角形有向面积公式及其应用[期刊论文]-南昌航空大学学报（自然科学版） 2010(3)2. 喻德生. 师晶 线型三角形有向面积公式及其应用[期刊论文]-南昌航空大学学报（自然科学版） 2010(3)3. 喻德生. 师晶 二次曲线外切多角形中有向距离的定值定理[期刊论文]-南昌航空大学学报（自然科学版）2009(3)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_nchkgyxyxb200303011.aspx