高斯对数学的贡献
摘要：正如莱布尼茨所说的：“不学习数学史就不能正确的了解数学这门学科的发展。”通过学习数学史使我能够正确的认识到数学是什么、数学的发展过程、数学的研究领域以及数学与其他学科的交叉,数学在人类文明过程中的作用。数学是一门基础学科，但它研究的范畴横跨了整个自然学，如果没有数学就没有今天的文明。
关键词：高斯 数学 发展 贡献
高斯（C.F.Gauss, 1777—1855年）德国数学家、物理学家和天文学家。出生于德国布伦兹维克的一个贫苦家庭，幼时家境贫苦，聪敏异常。他很幸运，有一位鼎力支持他成才的母亲，高斯的母亲对他的才华极为珍视;由于小时候父亲对高斯要求极为严厉，甚至有些过分，常常喜欢凭自己的经验为年幼的高斯规划人生;高斯非常的尊重他的父亲，并且乗承了其父诚实、谨慎的性格。
高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于哥廷根。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795～1798年在哥廷根大学学习，1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。
在他的成长过程中，在高斯小时候主要是得到了母亲的培养，在数学的研究方面他有一位鼎力支持助他成长的母亲。小时候高斯无论对一切的现象和事物都十分的好奇，并且无论什么都要弄个水落石出，这些的所作所为都超乎了其他孩子的能力范围，在高斯19岁的时候，尽管他已经做出了许多伟大的数学成就，但他的妈妈向波尔约问道：高斯将来有出息吗？波尔约说他将是“欧洲最伟大的数学家”，为此他的母亲热泪盈眶。
我相信大家小时候都听过这样的一个故事吧，在小学的课堂上，老师出了一道数学题，对自然数1到100求和，有一个小朋友听到题目后，随机在纸上划了划，便得出了最后的答案，对，没错，他就是少年时期的高斯，他利用对50对构造成和101的数列求和为（1＋100，2＋99，3＋98„„），同时得到结果：5050。这一年，高斯9岁。但是据更为精细的数学史书记载，高斯所解的并不止1加到100那么简单，而是81297+81495+......+100899（公差198，项数100）的一个等差数列。由于高斯有一种和非同一般的创造能力，使得布特纳对
他刮目相看，而且对他说：“你已经超过我了，我没有什么东西可以教你了，”得到了布特纳对他的高度评价。
1788年，11岁的高斯进入了文科学校，他在新的学校里，所有的功课都极好，特别是古典文学、数学尤为突出。经过引见，布伦兹维克公爵召见了14岁时的高斯。这位朴实、聪明但家境贫寒的孩子赢得了公爵的同情，从此，公爵成为了高斯继续学习的资助人。1792年，高斯进入布伦兹维克的卡罗琳学院继续学习。此时，15岁的高斯就思考过第五公设问题。
1795—1798年，在公爵的资助下，已打下良好基础的高斯在格丁根大学学习。高斯在那里受到系统而严格的科学教育，很快就脱颖而出，作出了名扬世界的一系列重大贡献。1795年，18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。最小二乘法指在残差满足VPV为最小的条件下解算测量估值或参数估值并进行精度估算的方法。其中V为残差向量，P为其权矩阵。最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
1796年3月，19岁的高斯就发现正十七边形的尺规作图法并给出可用尺规作出的正多边形的条件，用直尺圆规作正多边形是历史遗留下来的一个“老大难”，欧几里得几何的公设里承认直线和圆存在使用尺规可以作正三角形，可以作正四边形、正五边形、正十五边形，以及通过反复二等分这些正多边形的边所得的一系列正多边形。例如由正三角形通过二等分边可以得到正六边形，再得到正十二边形，等等。自然就会提出这样的问题：能不能用尺规作正七边形、正九边形、正十一边形、正十三边形、正十七边形或正十九边形呢?历史上多少著名的学者，为了回答这个问题，作过种种尝试，倾注了无数的心血。结果都无一例外地失败了。
前人的失败激起他不可遏止的热情，高斯意识到，要摸鱼，首先要弄清哪些地方有鱼通过反复尝试，他巧妙地将尺规作图的几何问题化为一个代数方程，这就解决了“哪里有鱼”的问题。在这里高斯创造了把问题由一个领域(几何学)转移到另一个领域(代数学)来解决的第一个例子。高斯在后来的研究中多次采用这类方法。他证明了：使用尺规所能作出的边数为奇数的正多边形，它的边数必定是费马素数或不同费马素数的乘积。这就是说，可以用尺规作出边数是3，5，
17，257，65537，等边数是它们的乘积的正多边形，但是不能作正七、
九、十一、十三或十九边形。解决了欧几里得以来悬而未决的问题，为流传了2000年的欧氏几何提供了自古希腊时以来的第一次重要补充。
高斯的正态分布，一般地，通过对足够多的测量数据的处理，可以得到一个新的、概率性质的测量结果。在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线(正态分布曲线)，其函数被命名为标准正态分布。正态分布的定义：定义1：概率论中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布。该分布由两个参数——平均值和方差决定。概率密度函数曲线以均值为对称中线,方差越小，分布越集中在均值附近。定义2：一种最常见的连续性随机变量的概率分布。正态分布又名高斯分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
高斯在计算的谷神星轨迹时总结了复数的应用，并且严格证明了每一个n阶的代数方程必有n个复数解。在他的第一本著名的著作《数论》中，作出了二次互反律的证明，成为数论继续发展的重要基础。在这部著作的第一章，导出了三角形全等定理的概念。
1801年高斯的著作《算术研究》问世。这部书是高斯大学毕业前夕开始撰写的，前后花了三年时间。在这本书的序言一开头，高斯明确地说明了本书的范围：“本书所研究的是数学中的整数部分，分数和无理数不包括在内。”
《算术研究》是一部划时代的作品，它结束了19世纪以前数论的无系统状态。全书共有三个核心课题：同余理论、齐式论及剩余论和二次互反律。这些都是高斯贡献给数论的卓越成就。在《算术研究》中，高斯出乎寻常的以最大的篇幅讨论了型的理论。他从拉格朗日的著作中抽象出了型的等价概念后，便一鼓作气地提出了一系列关于型的等价定理和型的复合理论，他的工作有效地向人们展现了型的重要性——用于证明任何多个关于整数的定理。
高斯对数论问题的处理，有许多涉及到复数。首先是对复数的承认，是个老问题。18、19世纪不少杰出的数学家都曾被“复数究竟是什么？”搞不清楚。莱布尼兹、欧拉等数学大师对此一筹莫展。高斯在代数基本定理的证明中无条件地使用了复数。这使得原先仅从运算通行性这点考虑对复数的承认，扩大到在重大的代数问题的证明中
来确认复数的地位。他又把复数带进了数论，并且创立了复整数理论。在这一理论中，高斯证明了复整数在本质上具有和普通整数相同的性质。欧几里得在普通整数中证明了算术基本定理——每个整数可唯一地分解为素数的乘积，高斯则在复整数中得出并证明，只要不把四个可逆元素（±1，±i）作为不同的因数，那么这个唯一分解定理对复数也成立。
高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了“最小二乘法原理”。高理的数论研究总结在《算术研究》中，这本书奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典著作之一。高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明开创了数学研究的新途径。高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理。他还深入研究复变函数，建立了一些基本概念发现了著名的柯西积分定理。他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。1828年高斯出版了《关于曲面的一般研究》，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学，并提出内蕴曲面理论。
高斯的研究领域，遍及纯粹的数学和应用数学的各个领域，并且开辟了许多新的数学领域，从最抽象的代数数论到内蕴几何学，都留下了他的足迹。从研究风格、方法乃至所取得的具体成就方面，他都是18、19世纪之交的中坚人物。德国数学家克莱因曾经这样说过：“如果我们把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯；如果把19世纪的数学家想象为一条条江河，那么其源头就是高斯。”高斯和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。
高斯对于我们的影响： 将来作为数学教师的我们，对于数学的教学应该有怎样的体会呢？我觉得我们要教的是方法，善于对孩子们的引导，善于让孩子们自己思考，善于观察孩子们的特点，遵循其发展的特点，让他们各尽其才。高斯的经历对于我们来说，成功的道路就是持之以恒，对于数学的兴趣要浓厚，对于真知，我们要经过反复的实践，数学就犹如漫天的星辰，浩瀚无垠，对于问题的探索性就看我们自己，一定要保持一个好奇心，才能作出大的学问。
参考文献：
[1]朱家生.数学史[M].北京：高等教育出版社，2004.
[2]《古今数学思想》，克莱因，上海科学技术出版社(1979).
[3]《数学史概论》，李文林，高等教育出版社(第三版).
[4]《一个数学家的经历》，乌拉姆，上海科学技术出版社.
高斯对数学的贡献
摘要：正如莱布尼茨所说的：“不学习数学史就不能正确的了解数学这门学科的发展。”通过学习数学史使我能够正确的认识到数学是什么、数学的发展过程、数学的研究领域以及数学与其他学科的交叉,数学在人类文明过程中的作用。数学是一门基础学科，但它研究的范畴横跨了整个自然学，如果没有数学就没有今天的文明。
关键词：高斯 数学 发展 贡献
高斯（C.F.Gauss, 1777—1855年）德国数学家、物理学家和天文学家。出生于德国布伦兹维克的一个贫苦家庭，幼时家境贫苦，聪敏异常。他很幸运，有一位鼎力支持他成才的母亲，高斯的母亲对他的才华极为珍视;由于小时候父亲对高斯要求极为严厉，甚至有些过分，常常喜欢凭自己的经验为年幼的高斯规划人生;高斯非常的尊重他的父亲，并且乗承了其父诚实、谨慎的性格。
高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于哥廷根。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795～1798年在哥廷根大学学习，1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。
在他的成长过程中，在高斯小时候主要是得到了母亲的培养，在数学的研究方面他有一位鼎力支持助他成长的母亲。小时候高斯无论对一切的现象和事物都十分的好奇，并且无论什么都要弄个水落石出，这些的所作所为都超乎了其他孩子的能力范围，在高斯19岁的时候，尽管他已经做出了许多伟大的数学成就，但他的妈妈向波尔约问道：高斯将来有出息吗？波尔约说他将是“欧洲最伟大的数学家”，为此他的母亲热泪盈眶。
我相信大家小时候都听过这样的一个故事吧，在小学的课堂上，老师出了一道数学题，对自然数1到100求和，有一个小朋友听到题目后，随机在纸上划了划，便得出了最后的答案，对，没错，他就是少年时期的高斯，他利用对50对构造成和101的数列求和为（1＋100，2＋99，3＋98„„），同时得到结果：5050。这一年，高斯9岁。但是据更为精细的数学史书记载，高斯所解的并不止1加到100那么简单，而是81297+81495+......+100899（公差198，项数100）的一个等差数列。由于高斯有一种和非同一般的创造能力，使得布特纳对
他刮目相看，而且对他说：“你已经超过我了，我没有什么东西可以教你了，”得到了布特纳对他的高度评价。
1788年，11岁的高斯进入了文科学校，他在新的学校里，所有的功课都极好，特别是古典文学、数学尤为突出。经过引见，布伦兹维克公爵召见了14岁时的高斯。这位朴实、聪明但家境贫寒的孩子赢得了公爵的同情，从此，公爵成为了高斯继续学习的资助人。1792年，高斯进入布伦兹维克的卡罗琳学院继续学习。此时，15岁的高斯就思考过第五公设问题。
1795—1798年，在公爵的资助下，已打下良好基础的高斯在格丁根大学学习。高斯在那里受到系统而严格的科学教育，很快就脱颖而出，作出了名扬世界的一系列重大贡献。1795年，18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。最小二乘法指在残差满足VPV为最小的条件下解算测量估值或参数估值并进行精度估算的方法。其中V为残差向量，P为其权矩阵。最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
1796年3月，19岁的高斯就发现正十七边形的尺规作图法并给出可用尺规作出的正多边形的条件，用直尺圆规作正多边形是历史遗留下来的一个“老大难”，欧几里得几何的公设里承认直线和圆存在使用尺规可以作正三角形，可以作正四边形、正五边形、正十五边形，以及通过反复二等分这些正多边形的边所得的一系列正多边形。例如由正三角形通过二等分边可以得到正六边形，再得到正十二边形，等等。自然就会提出这样的问题：能不能用尺规作正七边形、正九边形、正十一边形、正十三边形、正十七边形或正十九边形呢?历史上多少著名的学者，为了回答这个问题，作过种种尝试，倾注了无数的心血。结果都无一例外地失败了。
前人的失败激起他不可遏止的热情，高斯意识到，要摸鱼，首先要弄清哪些地方有鱼通过反复尝试，他巧妙地将尺规作图的几何问题化为一个代数方程，这就解决了“哪里有鱼”的问题。在这里高斯创造了把问题由一个领域(几何学)转移到另一个领域(代数学)来解决的第一个例子。高斯在后来的研究中多次采用这类方法。他证明了：使用尺规所能作出的边数为奇数的正多边形，它的边数必定是费马素数或不同费马素数的乘积。这就是说，可以用尺规作出边数是3，5，
17，257，65537，等边数是它们的乘积的正多边形，但是不能作正七、
九、十一、十三或十九边形。解决了欧几里得以来悬而未决的问题，为流传了2000年的欧氏几何提供了自古希腊时以来的第一次重要补充。
高斯的正态分布，一般地，通过对足够多的测量数据的处理，可以得到一个新的、概率性质的测量结果。在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线(正态分布曲线)，其函数被命名为标准正态分布。正态分布的定义：定义1：概率论中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布。该分布由两个参数——平均值和方差决定。概率密度函数曲线以均值为对称中线,方差越小，分布越集中在均值附近。定义2：一种最常见的连续性随机变量的概率分布。正态分布又名高斯分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
高斯在计算的谷神星轨迹时总结了复数的应用，并且严格证明了每一个n阶的代数方程必有n个复数解。在他的第一本著名的著作《数论》中，作出了二次互反律的证明，成为数论继续发展的重要基础。在这部著作的第一章，导出了三角形全等定理的概念。
1801年高斯的著作《算术研究》问世。这部书是高斯大学毕业前夕开始撰写的，前后花了三年时间。在这本书的序言一开头，高斯明确地说明了本书的范围：“本书所研究的是数学中的整数部分，分数和无理数不包括在内。”
《算术研究》是一部划时代的作品，它结束了19世纪以前数论的无系统状态。全书共有三个核心课题：同余理论、齐式论及剩余论和二次互反律。这些都是高斯贡献给数论的卓越成就。在《算术研究》中，高斯出乎寻常的以最大的篇幅讨论了型的理论。他从拉格朗日的著作中抽象出了型的等价概念后，便一鼓作气地提出了一系列关于型的等价定理和型的复合理论，他的工作有效地向人们展现了型的重要性——用于证明任何多个关于整数的定理。
高斯对数论问题的处理，有许多涉及到复数。首先是对复数的承认，是个老问题。18、19世纪不少杰出的数学家都曾被“复数究竟是什么？”搞不清楚。莱布尼兹、欧拉等数学大师对此一筹莫展。高斯在代数基本定理的证明中无条件地使用了复数。这使得原先仅从运算通行性这点考虑对复数的承认，扩大到在重大的代数问题的证明中
来确认复数的地位。他又把复数带进了数论，并且创立了复整数理论。在这一理论中，高斯证明了复整数在本质上具有和普通整数相同的性质。欧几里得在普通整数中证明了算术基本定理——每个整数可唯一地分解为素数的乘积，高斯则在复整数中得出并证明，只要不把四个可逆元素（±1，±i）作为不同的因数，那么这个唯一分解定理对复数也成立。
高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了“最小二乘法原理”。高理的数论研究总结在《算术研究》中，这本书奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典著作之一。高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明开创了数学研究的新途径。高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理。他还深入研究复变函数，建立了一些基本概念发现了著名的柯西积分定理。他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。1828年高斯出版了《关于曲面的一般研究》，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学，并提出内蕴曲面理论。
高斯的研究领域，遍及纯粹的数学和应用数学的各个领域，并且开辟了许多新的数学领域，从最抽象的代数数论到内蕴几何学，都留下了他的足迹。从研究风格、方法乃至所取得的具体成就方面，他都是18、19世纪之交的中坚人物。德国数学家克莱因曾经这样说过：“如果我们把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯；如果把19世纪的数学家想象为一条条江河，那么其源头就是高斯。”高斯和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。
高斯对于我们的影响： 将来作为数学教师的我们，对于数学的教学应该有怎样的体会呢？我觉得我们要教的是方法，善于对孩子们的引导，善于让孩子们自己思考，善于观察孩子们的特点，遵循其发展的特点，让他们各尽其才。高斯的经历对于我们来说，成功的道路就是持之以恒，对于数学的兴趣要浓厚，对于真知，我们要经过反复的实践，数学就犹如漫天的星辰，浩瀚无垠，对于问题的探索性就看我们自己，一定要保持一个好奇心，才能作出大的学问。
参考文献：
[1]朱家生.数学史[M].北京：高等教育出版社，2004.
[2]《古今数学思想》，克莱因，上海科学技术出版社(1979).
[3]《数学史概论》，李文林，高等教育出版社(第三版).
[4]《一个数学家的经历》，乌拉姆，上海科学技术出版社.