有理数
考点1、正数和负数
正数：大于零的数 负数：小于零的数（在正数前面加上负号“—”的数） 注意：①0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点
②对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数是正数，带“—”号的数是负数 例1、 向北走2000米与向南走1000米，若规定向北走为正，则向北走2000米可记
作 ，向南走1000米，原地不动课记作
例2、 七年级一班第一小组五名同学某次数学测验的平均成绩为85分，一名同学以平均
成绩为标准，超过平均分记正，将五名同学的成绩分别记作—15分，—4分，0分，4分，15分。这五名同学的实际成绩分别是多少分？
例3、 观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的数，你能说出第15个、第101个、
第2010个的数是什么？
1）、—1、—2、+3、—4、—5、+6、—7、—8、„„ 2）、—1、
1111
、—3、、—5、、—7、、 、 、 ……
2248
易错点：1、误认为凡带正号的数就是正数，误认为凡带负号的数就是负数
例：a 一定是正数吗？
2、对于“0”的含义理解不准确 例：下列说法错误的是（ ）
A 、0是自然数 B 、0是整数 C 、0是偶数 D 、海拔0米表示没有海拔
练习1、在地图上，珠穆朗玛峰高出海平面8848米记作＋8848米，那么吐鲁番盆地低于海平面155米记作______米。
2、如果水位升高3m 时水位变化记作+3m，那么水位下降3m 时水位变化记作_____m，水位不升不降时水位变化记作_____m 3．下面说法中正确的是（ ）．
A ．一个数前面加上“－”号，这个数就是负数 B．0既不是正数，也不是负数 C ．有理数是由负数和0组成 D．正数和负数统称为有理数 4．下面的说法错误的是（ ）．
A ．0是最小的整数 B．1是最小的正整数 C ．0是最小的自然数 D．自然数就是非负整数 考点2、有理数的分类
⎧⎧⎧正整数⎧正整数
正有理数⎪⎪⎨⎪
整数0⎨⎩正分数⎪⎪
⎪负整数 按性质符号分：有理数⎪按定义分：有理数⎪ ⎨⎨0⎩⎪⎪
⎧负整数正分数⎧⎪分数⎨⎪负有理数⎨
⎪⎪负分数⎩负分数⎩⎩⎩
注意：1、有理数只包括整数和分数，无限不循环小数不是有理数，如圆周率就不是有理数了。
2、0是整数不是分数
例1、把下列各数填在相应的集合内：
π，-
1
错误！未找到引用源。，-3，2，-1，-0.58，0，-3.14，错误！未找到引用源。，0.618，4
10
整数集合：｛ „｝ 分数集合：｛ „｝ 非负数集合：｛ „｝ 例2、下列说法正确的是（ ）
A 有理数分为正数和负数 B 有理数-a 一定表示负数 C 正整数、正分数、负整数、负分数统称为有理数 D 有理数包括整数和分数 练习：1、把-
131
，2，5.5，-0.02，1，2008，-13，0，-2填在相应的括号内。 343
正数集{ }；整数集{ }；非负数集{ }
负分数集{ }；负数集{ } 2、下列判断正确的是（ ）
A. 最小的整数是0 B.有理数都有倒数
C.负数中没有最大的数 D.分数包括正分数、零、负分数 考点3、数轴（重点）
定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线 数轴的含义：
（1）数轴是一条直线，可以向两边无限延伸
（2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、这三者缺一不可
（3）数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。 （4）同一数轴的单位长度必须一致
例1、请画出一条数轴，并在数轴上标出下面的有理数：3，-2，-3.5，
3
，0，+2，，0.5. 2
例2、如图所示，在数轴上，点A,B,C,D 依次表示1.5，-2，2，-2.5。说出这个点与原点的位置关系以及与原点的距离是多少个单位长度？
-3
-2.5
-1
1
A 1.5
3
练习：1、画出数轴表示下列有理数 1.5，-2, 2， -2.5,
92
, -, 0 23
2、下面几种数轴的画法正确的是（ ）
-1 A
B
C D
3、在数轴上表示下列各数，并把各数用“＜”连结起来． 7，－3.5，0，－4.5，5，－2，3.5；
考点4相反数（重点） 定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。（在数轴上分别位于原点的两侧，到原点的距离
相等的两个点所表示的数叫做互为相反数。） 例1、有理数
1
的相反数是（ ） 3
例2、a 的相反数是 ， -a 的相反数是 ， 0的相反数是 例3、、若a 和b 互为相反数，则a+b=
例4、如果a 与1互为相反数，则|a +2|等于（ ）
例5、代数式a +b 的相反数是 ；代数式a -b 的相反数是 ；代数式3x -2y 的相反数是 ；代数式-a -2m +3n 的相反数是 ； 练习：1、-
1
的相反数是（ ），6-2的相反数是（ ），0的相反数是（ ）， 3
a 的相反数是 ，a-2的相反数是 ，a+2的相反数是 2x-y 的相反数是 3a -2b +4c 的相反数是 。 2、相反数等于-5的数是_____,
考点5、绝对值（难点）
绝对值的定义：数轴上表示a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记为 ∣a ∣，读作：a 的绝对值
因为数的绝对值是表示两点之间的距离，所以一个数的绝对值不可能是负数。即：任何数的绝对值都是正数（0的绝对值是0）
绝对值的代数定义：1）一个正数的绝对值是它本身 2）一个负数的绝对值是它的相反数 3）0的绝对值是0 绝对值的计算规律：
（1） 互为相反数的两个数的绝对值相等 （2） 若a =b ，则a=b或a=-b； （3） 若a +b =0, a =0, b =0 例1、如果| -a | = -a，下列成立的是（ ） A .a0 D. a ≧0 例2、 的绝对值是8。
例3、若b -=1，则b= ，若a +6=0, 则a = ，若a =-a ，则a 0 例4、若a =3, b =5，则a +b 等于（ ）
A 、2 B 、8 C 、2或8 D 、-1或-8 例5、已知ab -2+(b +1)=0
2
(1) 求a,b 的值 （2）求b 2008
⎛a ⎫- ⎪⎝2⎭
2008
的值
例6、计算：
1111111-+-+-+⋯⋯+-= 2324310099
例7、a, b在数轴上的位置如图，
b a 0 化简：-a +b +a -b --a . 例8、根据a ≥0，解答下列问题
（1）当x 为何值时, x -2有最小值？最小值是多少？ （2）当x 为何值时, 3-x -4有最大值？最大值是多少？
例9、已知某零件的标准直径是10mm ，超过规定直径长度的数量（单位：mm ）记作正数，不足规定直径长度的数量（单位：mm ）记作负数，检验员某次抽查了5件样品，检查的结果如
（1） 试指出哪件样品的大小最符合要求；
（2） 如果规定偏差的绝对值在0.18mm 之内是正品，偏差的绝对值在0，18mm —0.22mm
之间是次品，偏差绝对值查过0.22mm 是废品，那么上述5件样品中，哪些是正品，哪些是次品，哪些是废品？
易错点：1、画数轴时，缺少要素
2、误认为a =a ，则a>0;若a =-a ，则a
例：已知a =-a ，则a 的值是（ ）
A 、正数 B 、负数 C 、非正数 D 、非负数 3、相反数和倒数的定义相混淆
练习：1．绝对值小于4的整数的个数有
个． 2. 绝对值大于1且不大于5的负整数有 。 3. 若│-a │=5,则a=________ . 4．下列说法不正确的是 ( )
A ．0既不是正数，也不是负数 B．1是绝对值最小的数 C ．一个有理数不是整数就是分数 D．0的绝对值是0 5已知a,b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值为5，试求：
219981999
x －(a＋b ＋cd)x ＋(a＋b) ＋(－cd) 的值
6．已知ab>0,试求
|a ||b ||ab |
++的值。 a b ab
222
7. 若|a＋1|＋|b－3|＋|c|＝0, 求(a－b) －(b－c) －(c－a) 和值.
8. 若|x－2|+|y+3|+|z－5|=0计算:
（1）、x, y, z的值. （2）、求|x|+|y|+|z|的值. 考点6、有理数的大小比较
（1）正数大于0,0大于负数，正数大于负数 （2）两个负数，绝对值大的反而小 例1、比较下列有理数的大小
-（-5）和--5 -（+3）与0 -
43
与-- -π与--3. 54
例2、若m>0，n|n|，用“>”把m 、-m 、n 、-n 连接起来。
1
的大小关系是( ) m
11112222
A.m
m m m m
练习：1. 若0
2
2、比较大小：–π________–3.14（填=，＞，＜号）。
3、若有理数a,b,c 在数轴上的位置如图所示，其中0是原点，
｜b ｜=｜c ｜。
(1)用“
(3)判断a+b与a+c的符号。
考点7、有理数的加减（重难点） 1、有理数加法
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把其绝对值相加；
（2）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）互为相反数的两个数相加得零； （4）一个数与零相加，仍得这个数。
例1、如果两个有理数的和是正数，那么这两个数（ ）。
A 、都是正数 B、一个是正数，一个是零 C 、两个数异号，且正数的绝对值较大 D 、以上三种情况都有可能 例2、简单计算
（1） -3⎪+(-4.5)； （2）(+4.5)+(+6.7)（3）(+25)+17（4） -
； ；
⎛
⎝1⎫2⎭⎛5⎫⎛12⎫
⎪+ -⎪ ⎝13⎭⎝13⎭
（5）（-51）+（+37）； （6）（+15）+（-15）； （7）（+4.25）+ -1⎪； （8） -4⎪+ +2⎪
（9）15+0 ；（10）-4.7+0 ；（11）0+0
例3、复杂有理数计算
（1）（+26）+（-14）+（-16）+（+18） （2）-2+5.5+2
⎛⎝1⎫4⎭⎛⎝1⎫⎛3⎭⎝
1⎫3⎭
13
13
12551⎫⎛1⎫⎛7⎫⎛(3) +(-) +(-) +(+) (4) +3⎪+ -4⎪+ -⎪6767 ⎝2⎭⎝3⎭⎝6⎭
例4、已知x +3
11
与y -2互为相反数，求x +y 的值。 22
例5、小明在一条南北方向的公路上散步，他从A 地出发，每10分钟记录自己的散步情况（向南为正方向，单位：米），1小时后停下来时记录如下： -1008，1100，-976，1010，-827，946
此时他在A 地的什么方向，距离A 地多远？小明散步共走了多少米？
2、有理数减法
①有理数减法法则中，字母a,b 表示任意有理数；0减去任何数得这个数的相反数。 ②有理数的减法可转化为有理数的加法进行计算，不要将减法法则与加法法则中异号两书相加混淆。
③计算有理数的减法时，要把减号变为加好，把减数变为它的相反数，即必须同时改变两个符号：意识运算符号由“-”变为“+”；而是减数的性质符号由正变为负或由负变为正。 例1、下列说法正确的是（ ）
A 、两数相减，被减数一定大于减数 B、0减去一个数仍得这个数
C 、互为相反的两个数差为0 D、减去一个正数，差一定小于被减数 例2、计算：
（1） -2⎪-5
⎛⎝1⎫3⎭121⎛1⎫
0-(-) （2） （3） （4）()()-8--2. 7-28. 5-(-28. 5) ⎪
136⎝2⎭
例3、列出算式并计算下列各题：
（1）-的绝对值的相反数与-3的相反数的差；
（2）潜水员从海平面以下24m 处上升到海平面以下15m 处，此潜水员上升了多少米？ 例4、已知ab , 试判断a-b 的符号。
3、有理数加减的综合运用 例1、计算： （1） -
（3）1-2-3+4+5-6-7+8+9-11+12+...+2005-2006-2007+2008+2009-2010.
例2、以地面为基准，A 处高+2.5米，B 处高为-17.8米，C 处高-32.44m ，问： （1） A 处比B 出高多少？ （2） B 处和C 处哪个高？高多少？ （3） A 处和C 处哪个低？低多少？
例3、小亮做这样一道题：“计算(-3)+∆”，其中∆表示被污染看不清的一个数，他翻开答案知道该题的结果是6，那么∆ 表示的数是多少？
例4、某摩托车厂本周计划每日生产250辆摩托车，由于工人实行轮休，每天上班人数不一定相等，实际每日产量与计划每日产量相比情况如下表：（增加的辆数为正数，减少的辆数为负数）
1
323
247⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛
⎪-(-) -(+0. 48)-(+) （2） -4⎪- -5⎪+ -4⎪- +3⎪
398⎭⎝2⎭⎝4⎭⎝8⎭⎝50⎭⎝
（1）求星期日生产摩托车多少辆？
（2）本周总产量与计划产量相比是增加了，还是减少了？差是多少？ （3）产量最多的一天与产量最少的一天的产量差是多少？
练习：1、31+（－28）+28+69 2、 (－7)+(+11)+(－13)+9 3、23－17 + 7 － 16
4、2+(－1) －1+1 5、（－30）－（－28）+（－70）－88
353
6、(-2.6)+(-3.4)+(+2.3)+1.5+(-2.3)； 7、（+12)+(-14)-（-56）+(-27)
考点7 有理数的乘除、乘方 1、 有理数的乘法
①两数相乘，同号得正，异号得负； ②任何数与零相乘，都得零；
③几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正。 2、有理数除法
①两数相除，同号得正，异号得负
②零除以任何一个不为零的数，都得零；
③除以一个数等于乘以这个数的倒数（零不能作除数） 3、有理数的乘方
负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数 4、有理数运算律
①加法的交换律 a+b=b+a； ②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；
③存在数0，使 0+a=a+0=a； ④对任意有理数a ，存在一个加法逆元，记作-a ，使a+(-a)=(-a)+a=0；
⑤乘法的交换律 ab=ba； ⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；
⑦分配律 a(b+c)=ab+ac； ⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a ，1a=a；
⑨对于不为0的有理数a ，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。 ⑩0a ＝0 文字解释：一个数乘0还于0。
注意：先乘方、开方，后乘除，最后加减；有括号时，先算括号里面的；同级运算按从左至右的顺序进行，同时注意运算律的灵活应用。
加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方、开方是三级运算。 例1、计算 （1）(-1)
232
⎡⎤12111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫32
（3） -⎪÷(-0. 4⨯25)⨯(-0. 1) （4）⎢ 1-⎪- -1⎪÷ -1⎪⎥⨯ -1⎪.
⎝0. 01⎭⎢⎣⎝3⎭⎝3⎭⎝8⎭⎥⎦⎝2⎭
25
232
13⎛1⎫⎡9⎛3⎫3⎤200
÷4-(-2) ⨯() +(-1) （2）- ⎪⨯⎢-- -⎪-⎥
22⎥⎝3⎭⎢⎣4⎝2⎭⎦
2
2⎫2⎫222⎛（5）2⨯(-3)+(-3⨯2)-(-3+2) 2 （6）(-3)3÷21⨯⎛ -⎪+8+(-2)⨯ -⎪
4⎝3⎭⎝3⎭
2
5229⎛2⎫322
(7)-. ÷(-2)--⨯ -⎪÷ （8）36÷-4+-5]÷(-3)+2
514⎝3⎭14-3例2、“！”是一种运算符号，且1! =1; 2! =1⨯2; 3! =1⨯2⨯3; 4! =1⨯2⨯3⨯4⋯⋯则
2
2010！
值为 2009！
例3、若a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，m 的绝对值是2，求(a +b +cd )m -cd 的值。 例4、若ab0,且a b ，则a+b 0（填“>”“
练习：1、如果|a +2|+(b -1) =0，那么代数式（a +b ）
2
2009
的值是 （ ）
A 、-2009
3
B 、2009 C 、-1 D 、1
2、（－5）的底数是 ，指数是 ，结果等于
3、3-2⨯(-5) 4、-22-(-3)⨯(-1)-(-1) 5、(－79) ÷21＋×(－29)
9
2
3
4
5
4
32
⎡⎤34⎛⎫⎛⎫⎛1⎫233241
6、(－1) －(1－) ÷3×[3―(―3) ] 7、⎢ -⎪⨯ -⎪÷ -⎪-3-(-3)⎥⨯-1⎢⎥⎣⎝2⎭⎝3⎭⎝2⎭⎦
()
有理数
考点1、正数和负数
正数：大于零的数 负数：小于零的数（在正数前面加上负号“—”的数） 注意：①0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点
②对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数是正数，带“—”号的数是负数 例1、 向北走2000米与向南走1000米，若规定向北走为正，则向北走2000米可记
作 ，向南走1000米，原地不动课记作
例2、 七年级一班第一小组五名同学某次数学测验的平均成绩为85分，一名同学以平均
成绩为标准，超过平均分记正，将五名同学的成绩分别记作—15分，—4分，0分，4分，15分。这五名同学的实际成绩分别是多少分？
例3、 观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的数，你能说出第15个、第101个、
第2010个的数是什么？
1）、—1、—2、+3、—4、—5、+6、—7、—8、„„ 2）、—1、
1111
、—3、、—5、、—7、、 、 、 ……
2248
易错点：1、误认为凡带正号的数就是正数，误认为凡带负号的数就是负数
例：a 一定是正数吗？
2、对于“0”的含义理解不准确 例：下列说法错误的是（ ）
A 、0是自然数 B 、0是整数 C 、0是偶数 D 、海拔0米表示没有海拔
练习1、在地图上，珠穆朗玛峰高出海平面8848米记作＋8848米，那么吐鲁番盆地低于海平面155米记作______米。
2、如果水位升高3m 时水位变化记作+3m，那么水位下降3m 时水位变化记作_____m，水位不升不降时水位变化记作_____m 3．下面说法中正确的是（ ）．
A ．一个数前面加上“－”号，这个数就是负数 B．0既不是正数，也不是负数 C ．有理数是由负数和0组成 D．正数和负数统称为有理数 4．下面的说法错误的是（ ）．
A ．0是最小的整数 B．1是最小的正整数 C ．0是最小的自然数 D．自然数就是非负整数 考点2、有理数的分类
⎧⎧⎧正整数⎧正整数
正有理数⎪⎪⎨⎪
整数0⎨⎩正分数⎪⎪
⎪负整数 按性质符号分：有理数⎪按定义分：有理数⎪ ⎨⎨0⎩⎪⎪
⎧负整数正分数⎧⎪分数⎨⎪负有理数⎨
⎪⎪负分数⎩负分数⎩⎩⎩
注意：1、有理数只包括整数和分数，无限不循环小数不是有理数，如圆周率就不是有理数了。
2、0是整数不是分数
例1、把下列各数填在相应的集合内：
π，-
1
错误！未找到引用源。，-3，2，-1，-0.58，0，-3.14，错误！未找到引用源。，0.618，4
10
整数集合：｛ „｝ 分数集合：｛ „｝ 非负数集合：｛ „｝ 例2、下列说法正确的是（ ）
A 有理数分为正数和负数 B 有理数-a 一定表示负数 C 正整数、正分数、负整数、负分数统称为有理数 D 有理数包括整数和分数 练习：1、把-
131
，2，5.5，-0.02，1，2008，-13，0，-2填在相应的括号内。 343
正数集{ }；整数集{ }；非负数集{ }
负分数集{ }；负数集{ } 2、下列判断正确的是（ ）
A. 最小的整数是0 B.有理数都有倒数
C.负数中没有最大的数 D.分数包括正分数、零、负分数 考点3、数轴（重点）
定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线 数轴的含义：
（1）数轴是一条直线，可以向两边无限延伸
（2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、这三者缺一不可
（3）数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。 （4）同一数轴的单位长度必须一致
例1、请画出一条数轴，并在数轴上标出下面的有理数：3，-2，-3.5，
3
，0，+2，，0.5. 2
例2、如图所示，在数轴上，点A,B,C,D 依次表示1.5，-2，2，-2.5。说出这个点与原点的位置关系以及与原点的距离是多少个单位长度？
-3
-2.5
-1
1
A 1.5
3
练习：1、画出数轴表示下列有理数 1.5，-2, 2， -2.5,
92
, -, 0 23
2、下面几种数轴的画法正确的是（ ）
-1 A
B
C D
3、在数轴上表示下列各数，并把各数用“＜”连结起来． 7，－3.5，0，－4.5，5，－2，3.5；
考点4相反数（重点） 定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。（在数轴上分别位于原点的两侧，到原点的距离
相等的两个点所表示的数叫做互为相反数。） 例1、有理数
1
的相反数是（ ） 3
例2、a 的相反数是 ， -a 的相反数是 ， 0的相反数是 例3、、若a 和b 互为相反数，则a+b=
例4、如果a 与1互为相反数，则|a +2|等于（ ）
例5、代数式a +b 的相反数是 ；代数式a -b 的相反数是 ；代数式3x -2y 的相反数是 ；代数式-a -2m +3n 的相反数是 ； 练习：1、-
1
的相反数是（ ），6-2的相反数是（ ），0的相反数是（ ）， 3
a 的相反数是 ，a-2的相反数是 ，a+2的相反数是 2x-y 的相反数是 3a -2b +4c 的相反数是 。 2、相反数等于-5的数是_____,
考点5、绝对值（难点）
绝对值的定义：数轴上表示a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记为 ∣a ∣，读作：a 的绝对值
因为数的绝对值是表示两点之间的距离，所以一个数的绝对值不可能是负数。即：任何数的绝对值都是正数（0的绝对值是0）
绝对值的代数定义：1）一个正数的绝对值是它本身 2）一个负数的绝对值是它的相反数 3）0的绝对值是0 绝对值的计算规律：
（1） 互为相反数的两个数的绝对值相等 （2） 若a =b ，则a=b或a=-b； （3） 若a +b =0, a =0, b =0 例1、如果| -a | = -a，下列成立的是（ ） A .a0 D. a ≧0 例2、 的绝对值是8。
例3、若b -=1，则b= ，若a +6=0, 则a = ，若a =-a ，则a 0 例4、若a =3, b =5，则a +b 等于（ ）
A 、2 B 、8 C 、2或8 D 、-1或-8 例5、已知ab -2+(b +1)=0
2
(1) 求a,b 的值 （2）求b 2008
⎛a ⎫- ⎪⎝2⎭
2008
的值
例6、计算：
1111111-+-+-+⋯⋯+-= 2324310099
例7、a, b在数轴上的位置如图，
b a 0 化简：-a +b +a -b --a . 例8、根据a ≥0，解答下列问题
（1）当x 为何值时, x -2有最小值？最小值是多少？ （2）当x 为何值时, 3-x -4有最大值？最大值是多少？
例9、已知某零件的标准直径是10mm ，超过规定直径长度的数量（单位：mm ）记作正数，不足规定直径长度的数量（单位：mm ）记作负数，检验员某次抽查了5件样品，检查的结果如
（1） 试指出哪件样品的大小最符合要求；
（2） 如果规定偏差的绝对值在0.18mm 之内是正品，偏差的绝对值在0，18mm —0.22mm
之间是次品，偏差绝对值查过0.22mm 是废品，那么上述5件样品中，哪些是正品，哪些是次品，哪些是废品？
易错点：1、画数轴时，缺少要素
2、误认为a =a ，则a>0;若a =-a ，则a
例：已知a =-a ，则a 的值是（ ）
A 、正数 B 、负数 C 、非正数 D 、非负数 3、相反数和倒数的定义相混淆
练习：1．绝对值小于4的整数的个数有
个． 2. 绝对值大于1且不大于5的负整数有 。 3. 若│-a │=5,则a=________ . 4．下列说法不正确的是 ( )
A ．0既不是正数，也不是负数 B．1是绝对值最小的数 C ．一个有理数不是整数就是分数 D．0的绝对值是0 5已知a,b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值为5，试求：
219981999
x －(a＋b ＋cd)x ＋(a＋b) ＋(－cd) 的值
6．已知ab>0,试求
|a ||b ||ab |
++的值。 a b ab
222
7. 若|a＋1|＋|b－3|＋|c|＝0, 求(a－b) －(b－c) －(c－a) 和值.
8. 若|x－2|+|y+3|+|z－5|=0计算:
（1）、x, y, z的值. （2）、求|x|+|y|+|z|的值. 考点6、有理数的大小比较
（1）正数大于0,0大于负数，正数大于负数 （2）两个负数，绝对值大的反而小 例1、比较下列有理数的大小
-（-5）和--5 -（+3）与0 -
43
与-- -π与--3. 54
例2、若m>0，n|n|，用“>”把m 、-m 、n 、-n 连接起来。
1
的大小关系是( ) m
11112222
A.m
m m m m
练习：1. 若0
2
2、比较大小：–π________–3.14（填=，＞，＜号）。
3、若有理数a,b,c 在数轴上的位置如图所示，其中0是原点，
｜b ｜=｜c ｜。
(1)用“
(3)判断a+b与a+c的符号。
考点7、有理数的加减（重难点） 1、有理数加法
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把其绝对值相加；
（2）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）互为相反数的两个数相加得零； （4）一个数与零相加，仍得这个数。
例1、如果两个有理数的和是正数，那么这两个数（ ）。
A 、都是正数 B、一个是正数，一个是零 C 、两个数异号，且正数的绝对值较大 D 、以上三种情况都有可能 例2、简单计算
（1） -3⎪+(-4.5)； （2）(+4.5)+(+6.7)（3）(+25)+17（4） -
； ；
⎛
⎝1⎫2⎭⎛5⎫⎛12⎫
⎪+ -⎪ ⎝13⎭⎝13⎭
（5）（-51）+（+37）； （6）（+15）+（-15）； （7）（+4.25）+ -1⎪； （8） -4⎪+ +2⎪
（9）15+0 ；（10）-4.7+0 ；（11）0+0
例3、复杂有理数计算
（1）（+26）+（-14）+（-16）+（+18） （2）-2+5.5+2
⎛⎝1⎫4⎭⎛⎝1⎫⎛3⎭⎝
1⎫3⎭
13
13
12551⎫⎛1⎫⎛7⎫⎛(3) +(-) +(-) +(+) (4) +3⎪+ -4⎪+ -⎪6767 ⎝2⎭⎝3⎭⎝6⎭
例4、已知x +3
11
与y -2互为相反数，求x +y 的值。 22
例5、小明在一条南北方向的公路上散步，他从A 地出发，每10分钟记录自己的散步情况（向南为正方向，单位：米），1小时后停下来时记录如下： -1008，1100，-976，1010，-827，946
此时他在A 地的什么方向，距离A 地多远？小明散步共走了多少米？
2、有理数减法
①有理数减法法则中，字母a,b 表示任意有理数；0减去任何数得这个数的相反数。 ②有理数的减法可转化为有理数的加法进行计算，不要将减法法则与加法法则中异号两书相加混淆。
③计算有理数的减法时，要把减号变为加好，把减数变为它的相反数，即必须同时改变两个符号：意识运算符号由“-”变为“+”；而是减数的性质符号由正变为负或由负变为正。 例1、下列说法正确的是（ ）
A 、两数相减，被减数一定大于减数 B、0减去一个数仍得这个数
C 、互为相反的两个数差为0 D、减去一个正数，差一定小于被减数 例2、计算：
（1） -2⎪-5
⎛⎝1⎫3⎭121⎛1⎫
0-(-) （2） （3） （4）()()-8--2. 7-28. 5-(-28. 5) ⎪
136⎝2⎭
例3、列出算式并计算下列各题：
（1）-的绝对值的相反数与-3的相反数的差；
（2）潜水员从海平面以下24m 处上升到海平面以下15m 处，此潜水员上升了多少米？ 例4、已知ab , 试判断a-b 的符号。
3、有理数加减的综合运用 例1、计算： （1） -
（3）1-2-3+4+5-6-7+8+9-11+12+...+2005-2006-2007+2008+2009-2010.
例2、以地面为基准，A 处高+2.5米，B 处高为-17.8米，C 处高-32.44m ，问： （1） A 处比B 出高多少？ （2） B 处和C 处哪个高？高多少？ （3） A 处和C 处哪个低？低多少？
例3、小亮做这样一道题：“计算(-3)+∆”，其中∆表示被污染看不清的一个数，他翻开答案知道该题的结果是6，那么∆ 表示的数是多少？
例4、某摩托车厂本周计划每日生产250辆摩托车，由于工人实行轮休，每天上班人数不一定相等，实际每日产量与计划每日产量相比情况如下表：（增加的辆数为正数，减少的辆数为负数）
1
323
247⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛
⎪-(-) -(+0. 48)-(+) （2） -4⎪- -5⎪+ -4⎪- +3⎪
398⎭⎝2⎭⎝4⎭⎝8⎭⎝50⎭⎝
（1）求星期日生产摩托车多少辆？
（2）本周总产量与计划产量相比是增加了，还是减少了？差是多少？ （3）产量最多的一天与产量最少的一天的产量差是多少？
练习：1、31+（－28）+28+69 2、 (－7)+(+11)+(－13)+9 3、23－17 + 7 － 16
4、2+(－1) －1+1 5、（－30）－（－28）+（－70）－88
353
6、(-2.6)+(-3.4)+(+2.3)+1.5+(-2.3)； 7、（+12)+(-14)-（-56）+(-27)
考点7 有理数的乘除、乘方 1、 有理数的乘法
①两数相乘，同号得正，异号得负； ②任何数与零相乘，都得零；
③几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正。 2、有理数除法
①两数相除，同号得正，异号得负
②零除以任何一个不为零的数，都得零；
③除以一个数等于乘以这个数的倒数（零不能作除数） 3、有理数的乘方
负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数 4、有理数运算律
①加法的交换律 a+b=b+a； ②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；
③存在数0，使 0+a=a+0=a； ④对任意有理数a ，存在一个加法逆元，记作-a ，使a+(-a)=(-a)+a=0；
⑤乘法的交换律 ab=ba； ⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；
⑦分配律 a(b+c)=ab+ac； ⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a ，1a=a；
⑨对于不为0的有理数a ，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。 ⑩0a ＝0 文字解释：一个数乘0还于0。
注意：先乘方、开方，后乘除，最后加减；有括号时，先算括号里面的；同级运算按从左至右的顺序进行，同时注意运算律的灵活应用。
加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方、开方是三级运算。 例1、计算 （1）(-1)
232
⎡⎤12111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫32
（3） -⎪÷(-0. 4⨯25)⨯(-0. 1) （4）⎢ 1-⎪- -1⎪÷ -1⎪⎥⨯ -1⎪.
⎝0. 01⎭⎢⎣⎝3⎭⎝3⎭⎝8⎭⎥⎦⎝2⎭
25
232
13⎛1⎫⎡9⎛3⎫3⎤200
÷4-(-2) ⨯() +(-1) （2）- ⎪⨯⎢-- -⎪-⎥
22⎥⎝3⎭⎢⎣4⎝2⎭⎦
2
2⎫2⎫222⎛（5）2⨯(-3)+(-3⨯2)-(-3+2) 2 （6）(-3)3÷21⨯⎛ -⎪+8+(-2)⨯ -⎪
4⎝3⎭⎝3⎭
2
5229⎛2⎫322
(7)-. ÷(-2)--⨯ -⎪÷ （8）36÷-4+-5]÷(-3)+2
514⎝3⎭14-3例2、“！”是一种运算符号，且1! =1; 2! =1⨯2; 3! =1⨯2⨯3; 4! =1⨯2⨯3⨯4⋯⋯则
2
2010！
值为 2009！
例3、若a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，m 的绝对值是2，求(a +b +cd )m -cd 的值。 例4、若ab0,且a b ，则a+b 0（填“>”“
练习：1、如果|a +2|+(b -1) =0，那么代数式（a +b ）
2
2009
的值是 （ ）
A 、-2009
3
B 、2009 C 、-1 D 、1
2、（－5）的底数是 ，指数是 ，结果等于
3、3-2⨯(-5) 4、-22-(-3)⨯(-1)-(-1) 5、(－79) ÷21＋×(－29)
9
2
3
4
5
4
32
⎡⎤34⎛⎫⎛⎫⎛1⎫233241
6、(－1) －(1－) ÷3×[3―(―3) ] 7、⎢ -⎪⨯ -⎪÷ -⎪-3-(-3)⎥⨯-1⎢⎥⎣⎝2⎭⎝3⎭⎝2⎭⎦
()