一个世纪过去了，如果不依赖于数值模拟，人们对湍流的认识恐怕还仅限于粗略的唯象理论。
至今，湍流的图像依然是Richardson和Kolmogorov的cascade模型：大涡旋-->小涡旋-->小小涡旋-->小小小涡旋。。。一直到Kolmogorov尺度就不再劈裂下去，而damp掉自己的能量(见下图左)。Kolmogorov假设，系统在各尺度间的能量传递是普适的，且这个普适能量传递率和流体的粘滞系数，成为决定系统性质的仅有的两个因素。基于此，简单的量纲分析可以得出著名的Kolmogorov-5/3定律(还见下图右)。如果涡旋在cascade过程中，小涡旋不能完全take over上一层大涡旋所占空间，那么系统将出现分形特征（类比cantor set，下一层只占上一层长度的2/3）。根据\beta-model of intermittency（实在不知怎么翻译），重复Kolmogorov的分析人们得到了对5/3定律的修正。
在湍流中，系统的扩散通常比普通流体快一些。做湍流的人应当都知道Shlesinger, West, Klafter的那篇用Levy Walk模型解释湍流系统反常扩散的文章（PRL 58, 1100）。这篇文章的idea很有趣，它抓住了Kolmogorov湍流模型的本质，即系统是由无穷多尺度上的行为共同组成的，并且成功地把本身就存在无穷多尺度的Levy Distribution有效地应用到湍流上。当然，它对Levy Distribution的应用有所推广，不是我们常说的Levy Flight而是更为接近实际物理的Levy Walk，这是一种对传统Random Walk的推广。
让我们简单回忆一下随机行走，这是一个联合概率问题，即N步随机行走的概率分布是N次单步行走概率的卷积。现在的问题是，是否存在一种概率分布，使N步联合概率与单步概率分布一致？这也就是说，我们要寻找一个解，可以使随机行走的图样出现分形特征——整体与局部相似。Gauss分布显然是一个最简单的解，因为N个Gauss分布的随机变量的联合概率依然是Gauss型的。但是问题在于，N步联合Gauss分布的方差（即second moment）与N成正比，即系统存在一个特征尺度，它的平方随时间线性增加。这也正是Einstein对布朗运动现象本质的解释——扩散（我们称之为普通扩散）。如果能找到一个不存在特征尺度的解（second moment发散），那么它将给出一个标准的分形图样，在物理上它对应于比布朗运动更快的扩散——反常扩散（一说“增强扩散”）。这个解是存在的，它就是Levy分布，一种Power Law衰减的heavy-tail分布，它对应的随即行走称为Levy Flight（让Levy飞一会~~）。
那么这和湍流有何关系？在湍流里边，存在各种尺度的涡旋运动，particle在每一个瞬时有可能被任意尺度上的涡旋带动而产生随机飞行。而根据Kolmogorov scaling，我们很容易得到一种关于飞行步长的Levy分布。其核心在于，湍流模型是一种scaling theory，而Levy分布也恰好是关于步长的scaling theory。可这并不是全部的story，对特定尺度上的涡旋，它的运动速度是确定的，即速度与尺度也有一个scaling relation。这与Levy Flight还很不一样，后者对每一步飞行，一旦发生就是瞬时的，并没有考虑到完成一次随机飞行需要有限的时间。Shlesinger, West, Klafter于是把问题推广了一下，他们把完成一次flight看成两个选择的叠加：1、根据Levy分布选步长；2、根据该步长对应的速度选择飞行时间。后者用一个条件概率表示，即“一旦发生某步长的flight，花 t 时间去完成它”的概率（想起来政治课上的一句话：要不失时机地促成飞跃~~）。幸运的是，Kolmogorov理论和\beta-model of intermittency恰好能够告诉我们这个条件概率。SKW三人还给这样的过程起了一个名字叫Levy Walk（不再每一步都瞬时地飞行了，walk总比飞的慢）。
于是乎，问题解决了，根据Kolmogorov理论就可以直接算出湍流系统里的扩散定律。注意，如果不用Levy Walk而运用以前的Levy Flight模型是不可能真正解决扩散问题的，因为后者没有特征长度，无法进行观测。而前者恰好是在一个没有特征长度的概率问题基础上加上一个条件概率，这个条件概率考虑了物理上步长有限这一性质，使得扩散现象的整体上依然存在一个可观测的特征长度，并且它随时间的变化是可以计算的。
该模型的缺点是，没有考虑到每一次飞行可以被“半路打劫”，尤其是较大尺度上的飞行（Particle被涡旋带着飞，吃着火锅唱着歌，pia就被劫匪劫了~~），因为涡旋不一定要完成一次周期运动就可以劈裂成小涡旋，所以我们没有先验的理由保证每一次随机飞行都会顺利地完成。当然，我们可以这样认为，Komogorov定律至少在其适用的尺度上是不必要考虑“打劫”效果的，否则湍流的cascade模型就是无稽之谈了。
一个世纪过去了，如果不依赖于数值模拟，人们对湍流的认识恐怕还仅限于粗略的唯象理论。
至今，湍流的图像依然是Richardson和Kolmogorov的cascade模型：大涡旋-->小涡旋-->小小涡旋-->小小小涡旋。。。一直到Kolmogorov尺度就不再劈裂下去，而damp掉自己的能量(见下图左)。Kolmogorov假设，系统在各尺度间的能量传递是普适的，且这个普适能量传递率和流体的粘滞系数，成为决定系统性质的仅有的两个因素。基于此，简单的量纲分析可以得出著名的Kolmogorov-5/3定律(还见下图右)。如果涡旋在cascade过程中，小涡旋不能完全take over上一层大涡旋所占空间，那么系统将出现分形特征（类比cantor set，下一层只占上一层长度的2/3）。根据\beta-model of intermittency（实在不知怎么翻译），重复Kolmogorov的分析人们得到了对5/3定律的修正。
在湍流中，系统的扩散通常比普通流体快一些。做湍流的人应当都知道Shlesinger, West, Klafter的那篇用Levy Walk模型解释湍流系统反常扩散的文章（PRL 58, 1100）。这篇文章的idea很有趣，它抓住了Kolmogorov湍流模型的本质，即系统是由无穷多尺度上的行为共同组成的，并且成功地把本身就存在无穷多尺度的Levy Distribution有效地应用到湍流上。当然，它对Levy Distribution的应用有所推广，不是我们常说的Levy Flight而是更为接近实际物理的Levy Walk，这是一种对传统Random Walk的推广。
让我们简单回忆一下随机行走，这是一个联合概率问题，即N步随机行走的概率分布是N次单步行走概率的卷积。现在的问题是，是否存在一种概率分布，使N步联合概率与单步概率分布一致？这也就是说，我们要寻找一个解，可以使随机行走的图样出现分形特征——整体与局部相似。Gauss分布显然是一个最简单的解，因为N个Gauss分布的随机变量的联合概率依然是Gauss型的。但是问题在于，N步联合Gauss分布的方差（即second moment）与N成正比，即系统存在一个特征尺度，它的平方随时间线性增加。这也正是Einstein对布朗运动现象本质的解释——扩散（我们称之为普通扩散）。如果能找到一个不存在特征尺度的解（second moment发散），那么它将给出一个标准的分形图样，在物理上它对应于比布朗运动更快的扩散——反常扩散（一说“增强扩散”）。这个解是存在的，它就是Levy分布，一种Power Law衰减的heavy-tail分布，它对应的随即行走称为Levy Flight（让Levy飞一会~~）。
那么这和湍流有何关系？在湍流里边，存在各种尺度的涡旋运动，particle在每一个瞬时有可能被任意尺度上的涡旋带动而产生随机飞行。而根据Kolmogorov scaling，我们很容易得到一种关于飞行步长的Levy分布。其核心在于，湍流模型是一种scaling theory，而Levy分布也恰好是关于步长的scaling theory。可这并不是全部的story，对特定尺度上的涡旋，它的运动速度是确定的，即速度与尺度也有一个scaling relation。这与Levy Flight还很不一样，后者对每一步飞行，一旦发生就是瞬时的，并没有考虑到完成一次随机飞行需要有限的时间。Shlesinger, West, Klafter于是把问题推广了一下，他们把完成一次flight看成两个选择的叠加：1、根据Levy分布选步长；2、根据该步长对应的速度选择飞行时间。后者用一个条件概率表示，即“一旦发生某步长的flight，花 t 时间去完成它”的概率（想起来政治课上的一句话：要不失时机地促成飞跃~~）。幸运的是，Kolmogorov理论和\beta-model of intermittency恰好能够告诉我们这个条件概率。SKW三人还给这样的过程起了一个名字叫Levy Walk（不再每一步都瞬时地飞行了，walk总比飞的慢）。
于是乎，问题解决了，根据Kolmogorov理论就可以直接算出湍流系统里的扩散定律。注意，如果不用Levy Walk而运用以前的Levy Flight模型是不可能真正解决扩散问题的，因为后者没有特征长度，无法进行观测。而前者恰好是在一个没有特征长度的概率问题基础上加上一个条件概率，这个条件概率考虑了物理上步长有限这一性质，使得扩散现象的整体上依然存在一个可观测的特征长度，并且它随时间的变化是可以计算的。
该模型的缺点是，没有考虑到每一次飞行可以被“半路打劫”，尤其是较大尺度上的飞行（Particle被涡旋带着飞，吃着火锅唱着歌，pia就被劫匪劫了~~），因为涡旋不一定要完成一次周期运动就可以劈裂成小涡旋，所以我们没有先验的理由保证每一次随机飞行都会顺利地完成。当然，我们可以这样认为，Komogorov定律至少在其适用的尺度上是不必要考虑“打劫”效果的，否则湍流的cascade模型就是无稽之谈了。