2014-2015学年度五汛中学初一数学导学案
2.2有理数与无理数教学设计
学习目标：1、理解有理数的意义；知道无理数是客观存在的，了解无理数的概念。
2、会判断一个数是有理数还是无理数。
3、经历数的扩充，在探索活动中感受数学的逼近思想，体会“无限”的过程，发展数感。
学习重点：1、熟练对有理数、无理数进行分类；
2、知道无理数是客观存在的。感受夹逼法，估算无理数的大小。.
学习难点：会判断一个数是有理数还是无理数，体会“无限”的过程。 教学过程： 一、 自主学习
师：我们上了六年多的数学课, 学过不计其数的数, 概括起来我们都学过哪些数呢?
生：在小学我们学过自然数、小数、分数. 在前面几节课我们还学习了负数。 师：我们在小学学的是非负数，在初一发现数不够用了，于是便引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充了范围。你们能够用所学的知识完成下面的表格吗？请各位动手试一试。（1分钟）
生： 师：你为什么认为0.25 是分数呢？ 生：因为它就是1/4，当然是分数啦。
师：这个题目告诉我们，分数与小数可以互相转化。 二、 新知探究：
思考：整数、小数、分数之间有有着怎样的联系呢？我们来做一个游戏： 有一篮子装有8个苹果，现在给两个小朋友分，每人几个？如果给3个小朋友分，每人几个？如果给4个小朋友分，每人几个？5个？6个？7个？8个？同学们动
手算一算？
（师生一起进行运算，并将运算结果写在黑板上） 师：通过计算，我们有什么发现？
生：分数可以表示整数，有限小数和循环小数。
师：反过来，这些有限小数和循环小数及整数都可以化为分数的形式，例如：5=5/1、-4=-4/1 、 0.2=1/5 、0.618=618/100、0.3333„„=1/3、0.2666„„=4/15我们把能够写成分数（m 、n 是整数，n ≠0）”形式的数称为有理数。 师：整数和分数统称为有理数。现在我们认识了有理数，按照有理数的定义，我们可以将有理数进行分类, 如： 正整数
整数 0
负整数 有理数
正分数
分数
师：我们认识了有理数，并且会将有理数进行分类，你们会把小数进行分类吗？试一试？
有限小数 —— 有理数
小数
无限循环小数 —— 有理数 无限小数
无限不循环小数 —— 有理数 ？ 三．合作、探究、展示
师：整数和分数统称为有理数，那么是不是所有的数都是有理数呢？这个问题古人也进行了研究，伟大的古希腊数学家毕达哥拉斯认为所有的数都是有理数，因为它们都可以写成分数m 、n 是整数，n ≠0）的形式。但是他的一个学生希帕索斯在研究中发现有些数不能写成分数的形式。它们是一些什么样的数呢？我们一起来研究研究。
m n
m n
1. 做一做：
有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形。
1
11
1
11 1
（让学生动手做一做，并请一位同学讲拼好的图形张贴在黑板上） 师：你知道这个大正方形的面积是多少吗？ 生：2
2、想一想：
师：你知道这个正方形的边长是多少吗？ 生：不知道。
师：你能求出它的边长吗？
设大正方形的边长为a ，a 满足什么条件？ 生： a 2=2
师：a 可能是整数吗？说说你的理由
生：不可能，因为12=1，22=4，32=9，... 越来越大。而a 2=2，所以a 不可能是整数。
师：a 可能是分数吗？说说你的理由 生：不可能。（学生可能不会说理由，此时可师生共同探索）
111224111
⨯=, ⨯=, ⨯=224339339„ 两个相同分数因数的乘积都为分数。又师：因为
因为a 2大于1且a 2小于4，所以a 大致为1点几，即可判断出a 是大于1且小
于2的数。（选取无限多大于1且小于2的两个相同分数的乘积来考查。体会“无限”的过程，认可找不到一个数的平方等于2，即a 也不可能是分数）在等式a 2=2中，a 既不是整数，也不是分数，也就是不能写成 的形式，所以a 不是有理数。
3、算一算：
师：我们知道a 肯定比1大而比2小，可以表示为1＜a ＜2. 那么a 究竟是1点几呢？请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如1.12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69，1.42=1.96，1.52=2.25，而a 2=2，故a 应比1.4大且比1.5小，可以写成1.4＜a ＜1.5，所以a 是1点4几，即十分位上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字.
（师生共同用计算机进行计算, 让学生体会无限逼近的数学思想）
m n
a =1.41421356„，还可以再继续进行，且a 是一个无限不循环小数. （2）请大家用上面的方法估计面积为3的正方形的边长b 的值. 边长b 会不会算
到某一位时，它的平方恰好等于3？请大家分组合作后回答.
b =1.732051„，还可以再继续进行，b 也是一个无限不循环小数.
师：其实，在很久以前，我们已经接触过限不循环小数，你们知道是什么吗？ 生：圆周率π=3.14159265„也是一个无限不循环小数 4、无理数的定义：
我们把这一类的新数，即 的小数叫做无理数。
5、有理数与无理数的主要区别:
(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数. (2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能. 6、数的分类:(学生独立完成)
①按定义分：
数
四、例题讲解：
例1、 学习了有理数和无理数两个概念后，下面几个数，它是有理数，还是无理数？
13
－3、1. 1414、2π、0. 1010010001„、－0. [1**********] 、3.1415926．
65
例2、把下列各数填在相应集合内：32, -3, 7. 7, -24, +0. 08, -3. 1415, 0, ，-π
78
正有理数集合：｛ ，„｝ 负无理数集合：｛ ，„｝ 非正整数集合：｛ ，„｝
非负分数集合：｛ ，„｝ 例3. 、你还能写出一个无理数吗？
五、巩固练习：
1. 判断题. (1)无理数都是无限小数. （ ）
(2)无限小数都是无理数. （ ）
(3)有理数与无理数的差都是有理数. （ ） (4)两个无理数的和是无理数. （ ）
3π2224
2. ，03.14，－0.55，8，
533791.121 221 222 1„(相邻两个１之间依次多一个２) ，0.211 1，999
正数集合：｛ „｝； 负数集合：｛ „｝； 有理数集合：｛ „｝； 无理数集合：｛ „}. 3. 以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
（A ）面积为25的正方形；(B)面积为16的正方形；(C)面积为3的正方形；(D)面积为1.44的正方形.
六、课堂小结
1．什么叫无理数？ 2．数的分类？
3．如何判定一个数是无理数还是有理数. 七、布置作业
书P17 练一练 ，习题2.2 教学反思：
板书设计
课题
1、有理数的定义 8/1= 8/5= 例1 2、有理数的分类 8/2= 8/6= 例2 3、无理数的定义 8/3= 8/7= 例3
4、数的分类 8/4= 8/8=
2014-2015学年度五汛中学初一数学导学案
2.2有理数与无理数教学设计
学习目标：1、理解有理数的意义；知道无理数是客观存在的，了解无理数的概念。
2、会判断一个数是有理数还是无理数。
3、经历数的扩充，在探索活动中感受数学的逼近思想，体会“无限”的过程，发展数感。
学习重点：1、熟练对有理数、无理数进行分类；
2、知道无理数是客观存在的。感受夹逼法，估算无理数的大小。.
学习难点：会判断一个数是有理数还是无理数，体会“无限”的过程。 教学过程： 一、 自主学习
师：我们上了六年多的数学课, 学过不计其数的数, 概括起来我们都学过哪些数呢?
生：在小学我们学过自然数、小数、分数. 在前面几节课我们还学习了负数。 师：我们在小学学的是非负数，在初一发现数不够用了，于是便引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充了范围。你们能够用所学的知识完成下面的表格吗？请各位动手试一试。（1分钟）
生： 师：你为什么认为0.25 是分数呢？ 生：因为它就是1/4，当然是分数啦。
师：这个题目告诉我们，分数与小数可以互相转化。 二、 新知探究：
思考：整数、小数、分数之间有有着怎样的联系呢？我们来做一个游戏： 有一篮子装有8个苹果，现在给两个小朋友分，每人几个？如果给3个小朋友分，每人几个？如果给4个小朋友分，每人几个？5个？6个？7个？8个？同学们动
手算一算？
（师生一起进行运算，并将运算结果写在黑板上） 师：通过计算，我们有什么发现？
生：分数可以表示整数，有限小数和循环小数。
师：反过来，这些有限小数和循环小数及整数都可以化为分数的形式，例如：5=5/1、-4=-4/1 、 0.2=1/5 、0.618=618/100、0.3333„„=1/3、0.2666„„=4/15我们把能够写成分数（m 、n 是整数，n ≠0）”形式的数称为有理数。 师：整数和分数统称为有理数。现在我们认识了有理数，按照有理数的定义，我们可以将有理数进行分类, 如： 正整数
整数 0
负整数 有理数
正分数
分数
师：我们认识了有理数，并且会将有理数进行分类，你们会把小数进行分类吗？试一试？
有限小数 —— 有理数
小数
无限循环小数 —— 有理数 无限小数
无限不循环小数 —— 有理数 ？ 三．合作、探究、展示
师：整数和分数统称为有理数，那么是不是所有的数都是有理数呢？这个问题古人也进行了研究，伟大的古希腊数学家毕达哥拉斯认为所有的数都是有理数，因为它们都可以写成分数m 、n 是整数，n ≠0）的形式。但是他的一个学生希帕索斯在研究中发现有些数不能写成分数的形式。它们是一些什么样的数呢？我们一起来研究研究。
m n
m n
1. 做一做：
有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形。
1
11
1
11 1
（让学生动手做一做，并请一位同学讲拼好的图形张贴在黑板上） 师：你知道这个大正方形的面积是多少吗？ 生：2
2、想一想：
师：你知道这个正方形的边长是多少吗？ 生：不知道。
师：你能求出它的边长吗？
设大正方形的边长为a ，a 满足什么条件？ 生： a 2=2
师：a 可能是整数吗？说说你的理由
生：不可能，因为12=1，22=4，32=9，... 越来越大。而a 2=2，所以a 不可能是整数。
师：a 可能是分数吗？说说你的理由 生：不可能。（学生可能不会说理由，此时可师生共同探索）
111224111
⨯=, ⨯=, ⨯=224339339„ 两个相同分数因数的乘积都为分数。又师：因为
因为a 2大于1且a 2小于4，所以a 大致为1点几，即可判断出a 是大于1且小
于2的数。（选取无限多大于1且小于2的两个相同分数的乘积来考查。体会“无限”的过程，认可找不到一个数的平方等于2，即a 也不可能是分数）在等式a 2=2中，a 既不是整数，也不是分数，也就是不能写成 的形式，所以a 不是有理数。
3、算一算：
师：我们知道a 肯定比1大而比2小，可以表示为1＜a ＜2. 那么a 究竟是1点几呢？请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如1.12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69，1.42=1.96，1.52=2.25，而a 2=2，故a 应比1.4大且比1.5小，可以写成1.4＜a ＜1.5，所以a 是1点4几，即十分位上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字.
（师生共同用计算机进行计算, 让学生体会无限逼近的数学思想）
m n
a =1.41421356„，还可以再继续进行，且a 是一个无限不循环小数. （2）请大家用上面的方法估计面积为3的正方形的边长b 的值. 边长b 会不会算
到某一位时，它的平方恰好等于3？请大家分组合作后回答.
b =1.732051„，还可以再继续进行，b 也是一个无限不循环小数.
师：其实，在很久以前，我们已经接触过限不循环小数，你们知道是什么吗？ 生：圆周率π=3.14159265„也是一个无限不循环小数 4、无理数的定义：
我们把这一类的新数，即 的小数叫做无理数。
5、有理数与无理数的主要区别:
(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数. (2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能. 6、数的分类:(学生独立完成)
①按定义分：
数
四、例题讲解：
例1、 学习了有理数和无理数两个概念后，下面几个数，它是有理数，还是无理数？
13
－3、1. 1414、2π、0. 1010010001„、－0. [1**********] 、3.1415926．
65
例2、把下列各数填在相应集合内：32, -3, 7. 7, -24, +0. 08, -3. 1415, 0, ，-π
78
正有理数集合：｛ ，„｝ 负无理数集合：｛ ，„｝ 非正整数集合：｛ ，„｝
非负分数集合：｛ ，„｝ 例3. 、你还能写出一个无理数吗？
五、巩固练习：
1. 判断题. (1)无理数都是无限小数. （ ）
(2)无限小数都是无理数. （ ）
(3)有理数与无理数的差都是有理数. （ ） (4)两个无理数的和是无理数. （ ）
3π2224
2. ，03.14，－0.55，8，
533791.121 221 222 1„(相邻两个１之间依次多一个２) ，0.211 1，999
正数集合：｛ „｝； 负数集合：｛ „｝； 有理数集合：｛ „｝； 无理数集合：｛ „}. 3. 以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
（A ）面积为25的正方形；(B)面积为16的正方形；(C)面积为3的正方形；(D)面积为1.44的正方形.
六、课堂小结
1．什么叫无理数？ 2．数的分类？
3．如何判定一个数是无理数还是有理数. 七、布置作业
书P17 练一练 ，习题2.2 教学反思：
板书设计
课题
1、有理数的定义 8/1= 8/5= 例1 2、有理数的分类 8/2= 8/6= 例2 3、无理数的定义 8/3= 8/7= 例3
4、数的分类 8/4= 8/8=