三角形与动点问题 1、如图，在等腰△ACB 中，AC＝BC＝5，AB＝8，D 为底边 AB 上一动点（不与点 A，B 重合） ， DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为 E，F，则 DE＋DF＝
C
．
E A D
F B
2、如图，在等边 ABC 的顶点 A、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟 1 个单位的速 度由 A 向 B 和由 C 向 A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过 t 分钟后，它 们分别爬行到 D,E 处，请问（1）在爬行过程中，CD 和 BE 始终相等吗？
（2） 若蜗牛沿着 AB 和 CA 的延长线爬行， EB 与 CD 交于点 Q， 其他条件不变， 蜗牛爬行过程中 CQE 的大小不变，求证： CQE 60
（3）如果将原题中“由 C 向 A 爬行”改为“沿着 BC 的延长线爬行，连接 DE 交 AC 于 F” ，其他条 件不变，则爬行过程中，DF 始终等于 EF 是否正确
3、如图 1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M，N 分别 EB，CD 的中点，易证：CD=BE，△AMN 是等边三角形． （1）当把△ADE 绕 A 点旋转到图 2 的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立 请说明理由； （2）当△ADE 绕 A 点旋转到图 3 的位置时，△AMN 是否还是等边三角形，为什么？
图1 图8
图2
图3
4、如图，在平面直角坐标系中，矩形 AOBC 在第一象限内，E 是边 OB 上的动点（不包括端点） ，作 ∠AEF = 90，使 EF 交矩形的外角平分线 BF 于点 F，设 C（m，n） ． （1）若 m = n 时，如图，求证：EF = AE； （2）若 m≠n 时，如图，试问边 OB 上是否还存在点 E，使得 EF = AE？若存在，请求出点 E 的坐标； 若不存在，请说明理由．
y F A C A C F O E B x O E B x O E B x A C y y F
5.（2009 年本溪）在 △ ABC 中， AB AC ，点 D 是直线 BC 上一点（不与 B、C 重合） ，以 AD 为一 边在 AD 的右侧 作 △ ADE ，使 AD AE，DAE BAC ，连接 CE ． ．． （1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上，如果 BAC 90° ，则 BCE （2）设 BAC ， BCE ． ①如图 2，当点 D 在线段 BC 上移动，则 ， 之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点 D 在直线 BC 上移动，则 ， 之间有怎样的数量关系？请说明理由。
A A E B D C 图1 A B D 图2 A C E
度；
B 备用图
C
B 备用图
C
6、如图， AC 为正方形 ABCD 的一条对角线，点 E 为 DA 边延长线上的一点，连接 BE ，在 BE 上取 一点 F ，使 BF BC ，过点 B 作 BK BE 于 B ，交 AC 于点 K ，连接 CF ，交 AB 于点 H ，交 BK 于 点G ． （1）求证：当 t 为何值时，BH=BG； （2）求证：BE=BG+AE。
E F
A
D
H G B
K
C
7、已知：如图，△ABC 是边长 3cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时 从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 方向匀速移动，它们的速度都 是 1
cm/s，当点 P 到达点 B 时，P、Q 两点停止运动．设点 P 的运 动时间为 t（s） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，△PBQ 是直角三角形? （2）设四边形 APQC 的面积为 y（cm2） ，①求 y 与 t 的关系式及自变 量 t 的取值范围； ②是否存在某一时刻 t，使四边形 APQC 的面积是△ABC 面积的三分 之二？如果存在，求出相应的 t 值；不存在，说明理由； （②问给学 过一元二次方程基本知识的同学做）
A P
B
Q
C
8、 （2009 宁夏）已知：等边三角形 ABC 的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段 MN 在 △ ABC 的边 AB 上沿 AB 方向以 1 厘米/秒的速度向 B 点运动（运动开始时，点 M 与点 A 重合，点 N 到达点 B 时运 动终止） ，过点 M 、N 分别作 AB 边的垂线，与 △ ABC 的其它边交于 P、Q 两点，线段 MN 运动的 时间为 t 秒． （1）线段 MN 在运动的过程中， t 为何值时，四边形 MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；
C Q P
A
M
N
B
9. 如图， 在等腰梯形 ABCD 中，AB ∥ DC ，AD BC 5cm ,AB=12 cm,CD=6cm , 点 P 从 A 开始沿 AB 边向 B 以每秒 3cm 的速度移动，点 Q 从 C 开始沿 CD 边向 D 以每秒 1cm 的速度移动，如果点 P、 Q 分别从 A、C 同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。设运动时间为 t 秒。 3 （1）求证：当 t= 时，四边形 APQD 是平行四边形； 2 （2）PQ 是否可能平分对角线 BD？若能，求出当 t 为何值时 PQ 平分 BD；若不能，请说明理由； （3）若△DPQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形，求 t 的值。
D Q C
A
B P
三角形与动点问题 1、如图，在等腰△ACB 中，AC＝BC＝5，AB＝8，D 为底边 AB 上一动点（不与点 A，B 重合） ， DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为 E，F，则 DE＋DF＝
C
．
E A D
F B
2、如图，在等边 ABC 的顶点 A、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟 1 个单位的速 度由 A 向 B 和由 C 向 A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过 t 分钟后，它 们分别爬行到 D,E 处，请问（1）在爬行过程中，CD 和 BE 始终相等吗？
（2） 若蜗牛沿着 AB 和 CA 的延长线爬行， EB 与 CD 交于点 Q， 其他条件不变， 蜗牛爬行过程中 CQE 的大小不变，求证： CQE 60
（3）如果将原题中“由 C 向 A 爬行”改为“沿着 BC 的延长线爬行，连接 DE 交 AC 于 F” ，其他条 件不变，则爬行过程中，DF 始终等于 EF 是否正确
3、如图 1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M，N 分别 EB，CD 的中点，易证：CD=BE，△AMN 是等边三角形． （1）当把△ADE 绕 A 点旋转到图 2 的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立 请说明理由； （2）当△ADE 绕 A 点旋转到图 3 的位置时，△AMN 是否还是等边三角形，为什么？
图1 图8
图2
图3
4、如图，在平面直角坐标系中，矩形 AOBC 在第一象限内，E 是边 OB 上的动点（不包括端点） ，作 ∠AEF = 90，使 EF 交矩形的外角平分线 BF 于点 F，设 C（m，n） ． （1）若 m = n 时，如图，求证：EF = AE； （2）若 m≠n 时，如图，试问边 OB 上是否还存在点 E，使得 EF = AE？若存在，请求出点 E 的坐标； 若不存在，请说明理由．
y F A C A C F O E B x O E B x O E B x A C y y F
5.（2009 年本溪）在 △ ABC 中， AB AC ，点 D 是直线 BC 上一点（不与 B、C 重合） ，以 AD 为一 边在 AD 的右侧 作 △ ADE ，使 AD AE，DAE BAC ，连接 CE ． ．． （1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上，如果 BAC 90° ，则 BCE （2）设 BAC ， BCE ． ①如图 2，当点 D 在线段 BC 上移动，则 ， 之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点 D 在直线 BC 上移动，则 ， 之间有怎样的数量关系？请说明理由。
A A E B D C 图1 A B D 图2 A C E
度；
B 备用图
C
B 备用图
C
6、如图， AC 为正方形 ABCD 的一条对角线，点 E 为 DA 边延长线上的一点，连接 BE ，在 BE 上取 一点 F ，使 BF BC ，过点 B 作 BK BE 于 B ，交 AC 于点 K ，连接 CF ，交 AB 于点 H ，交 BK 于 点G ． （1）求证：当 t 为何值时，BH=BG； （2）求证：BE=BG+AE。
E F
A
D
H G B
K
C
7、已知：如图，△ABC 是边长 3cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时 从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 方向匀速移动，它们的速度都 是 1
cm/s，当点 P 到达点 B 时，P、Q 两点停止运动．设点 P 的运 动时间为 t（s） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，△PBQ 是直角三角形? （2）设四边形 APQC 的面积为 y（cm2） ，①求 y 与 t 的关系式及自变 量 t 的取值范围； ②是否存在某一时刻 t，使四边形 APQC 的面积是△ABC 面积的三分 之二？如果存在，求出相应的 t 值；不存在，说明理由； （②问给学 过一元二次方程基本知识的同学做）
A P
B
Q
C
8、 （2009 宁夏）已知：等边三角形 ABC 的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段 MN 在 △ ABC 的边 AB 上沿 AB 方向以 1 厘米/秒的速度向 B 点运动（运动开始时，点 M 与点 A 重合，点 N 到达点 B 时运 动终止） ，过点 M 、N 分别作 AB 边的垂线，与 △ ABC 的其它边交于 P、Q 两点，线段 MN 运动的 时间为 t 秒． （1）线段 MN 在运动的过程中， t 为何值时，四边形 MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；
C Q P
A
M
N
B
9. 如图， 在等腰梯形 ABCD 中，AB ∥ DC ，AD BC 5cm ,AB=12 cm,CD=6cm , 点 P 从 A 开始沿 AB 边向 B 以每秒 3cm 的速度移动，点 Q 从 C 开始沿 CD 边向 D 以每秒 1cm 的速度移动，如果点 P、 Q 分别从 A、C 同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。设运动时间为 t 秒。 3 （1）求证：当 t= 时，四边形 APQD 是平行四边形； 2 （2）PQ 是否可能平分对角线 BD？若能，求出当 t 为何值时 PQ 平分 BD；若不能，请说明理由； （3）若△DPQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形，求 t 的值。
D Q C
A
B P