摘要 本文从传统的圆锥曲线教学方法出发，利用数形结合，采用几何画板（GSP）这一工具，对圆锥曲线的教学进行了新的设计，提出了以离心率为核心的圆锥曲线的教学设计。既解决了三种圆锥曲线相互关系的问题，又充分发挥了计算机的优势，使教学更科学、形象、生动。提高了学生的发现式学习能力；同时还对圆锥曲线的进一步学习给出了一些建议。
关键词 圆锥曲线 几何画板 数形结合
圆锥曲线是中学数学中比较重要内容，在生产实践中也有广泛的应用，学好圆锥曲线是十分必要的。传统教学研究椭圆、双曲线、抛物线，对每种曲线都分别按定义、方程、几何性质等方面来讨论；另外，传统教学中教师的教学手段单一，虽能使学生容易接受，但知识繁杂，重复过多，更重要的是它不利于学生知识的建构；同时削弱了几种圆锥曲线之间的联系。采用计算机辅助教学，以建构主义理论为指导，用GSP教件平台可使这一现象得以解决。
1 理论基础
建构主义理论指出学生学习知识不是被动的接受过程，而是学生根据已有知识在一定的情境中主动建构的过程。依据建构主义理论，学生获得知识的方法不是教师灌输的，而是通过自身发现的。教师在教学中创设情境，对学生的知识建构起帮助、促进和指导的作用。当然这当中情境是必不可少的外部条件，没有教学情境，学生的意义建构就无从谈起，这就使我们想到在圆锥曲线的教学中应创设一种教学情境，使学生在这一情况中能顺利地、自觉地对知识进行有意义的建构，进行发现式学习，发展能力。
2 教学方案
圆锥曲线所涉及的内容庞杂，新定义比较多，且对于初学者难于理解。在这里我提出一种关于圆锥曲线教学的方案，采用GSP为辅助工具，利用数形结合思想，有利于学生对知识的建构。具体方案如下：
2.1 椭圆的构建
由于圆是椭圆的一种特例，由课程的衔接上考虑，先讲椭圆。按照新教材的顺序，先讲椭圆的定义，在给出定义的同时，给出椭圆的焦点、焦距的定义。由椭圆的定义导出椭圆的方程（其过程中要建立平面直角坐标系，取两焦点的中点为坐标原点，焦点所在的直线为轴）。关于椭圆的定义，我们可以用几何画板根据定义作图（如图1，其中F、G分别是焦点）：
这种做椭圆的方法可由教师演示，也可让学生进行探究学习（教师指导）。
2.2 双曲线的构建
在演示这种做法后，在图1中，将点F远离点G使两圆相离，我们会看到图2：
通过观察，学生们会惊讶的发现|LF-LG|的值始终为定值，这种图形是到两个定点的距离的差的绝对值等于定值的点的轨迹，这两个定点就是双曲线的焦点。由椭圆求标准方程的方法，来求双曲线的标准方程（同样建立平面直角坐标系）。
2.3 离心率第二定义的引出
了解了椭圆与双曲线的方程与图像之后，再来了解他们的一些几何性质（其中包括的取值范围，对称性，顶点，离心率，准线方程，还有双曲线特有的渐近线），对于取值范围、对称性、顶点都可以由图像直接观察到，也可以用代数的方法，根据标准方程得到以上的结论。离心率是焦距与长轴长（实轴长）的比 = 。这时演示图3：
用计算器计算图中两个比值，在几何画板中拖动A，观察两个比值，学生会发现两个比值始终相等，并且H点所在的位置不变。以MC中点为原点，MC所在直线为轴建立平面直角坐标系（可以求出OH所在的直线方程为 = ），离心率又可定义为到焦点的距离与到定直线的距离的比（第二定义）。
2.4 离心率与圆锥曲线
根据离心率的第二定义，我们做出一个图形（图4所示），拖动E在射线CD上移动，改变e的大小，指导学生发现图像变化与数量间的关系，学生通过观察图形发现：
当0＜e＜1时，图形是椭圆（如图4）：
当e＞1时，图形是双曲线，图略。
当e=1时，图形是为异于椭圆与双曲线的另一种曲线，这种曲线就是抛物线，图略。
有了前面椭圆、双曲线的学习，很容易总结出抛物线的定义、标准方程及它的一些简单的几何性质。到此三种基本的圆锥曲线都由离心率统一到一个图像上了。在教学过程中，一般学生对离心率的理解仅限于定义，并没有真正理解离心率在圆锥曲线中的作用；由于图四的离心率可以随意改动，可以进行动态的演示，观察e的连续变化图像的变化，进行数据的比较，使原本难以理解的概念，变得容易理解。
3 总结
在传统教学中，做若干个图像，进行比较，费时且不容易实现。由于几何画板的易操作性，此种教学方案学生可以在教师的指导下自己操作几何画板，在“做中学”，学生很容易对这三种曲线有一个统一的认识，既锻炼了学生的动手能力也符合认知的发展规律。
圆锥曲线的离心率这条主线贯穿始终避免了这部分知识凌乱、重复过多的弊端。这种设计方案可以在学生学完圆锥曲线之后，给予总体的概括。也可以在学有余力的学生中尝试这种探究式的教学方案，利用GSP作图探究是很容易发现问题，促进学生建构新的知识体系的。
此种教学过程既保留了传统教学的一些过程，还兼顾了教师的主导地位、学生的学习主体地位，使学生不只是知识的被动接受者，还是知识的主动参与建构者。
摘要 本文从传统的圆锥曲线教学方法出发，利用数形结合，采用几何画板（GSP）这一工具，对圆锥曲线的教学进行了新的设计，提出了以离心率为核心的圆锥曲线的教学设计。既解决了三种圆锥曲线相互关系的问题，又充分发挥了计算机的优势，使教学更科学、形象、生动。提高了学生的发现式学习能力；同时还对圆锥曲线的进一步学习给出了一些建议。
关键词 圆锥曲线 几何画板 数形结合
圆锥曲线是中学数学中比较重要内容，在生产实践中也有广泛的应用，学好圆锥曲线是十分必要的。传统教学研究椭圆、双曲线、抛物线，对每种曲线都分别按定义、方程、几何性质等方面来讨论；另外，传统教学中教师的教学手段单一，虽能使学生容易接受，但知识繁杂，重复过多，更重要的是它不利于学生知识的建构；同时削弱了几种圆锥曲线之间的联系。采用计算机辅助教学，以建构主义理论为指导，用GSP教件平台可使这一现象得以解决。
1 理论基础
建构主义理论指出学生学习知识不是被动的接受过程，而是学生根据已有知识在一定的情境中主动建构的过程。依据建构主义理论，学生获得知识的方法不是教师灌输的，而是通过自身发现的。教师在教学中创设情境，对学生的知识建构起帮助、促进和指导的作用。当然这当中情境是必不可少的外部条件，没有教学情境，学生的意义建构就无从谈起，这就使我们想到在圆锥曲线的教学中应创设一种教学情境，使学生在这一情况中能顺利地、自觉地对知识进行有意义的建构，进行发现式学习，发展能力。
2 教学方案
圆锥曲线所涉及的内容庞杂，新定义比较多，且对于初学者难于理解。在这里我提出一种关于圆锥曲线教学的方案，采用GSP为辅助工具，利用数形结合思想，有利于学生对知识的建构。具体方案如下：
2.1 椭圆的构建
由于圆是椭圆的一种特例，由课程的衔接上考虑，先讲椭圆。按照新教材的顺序，先讲椭圆的定义，在给出定义的同时，给出椭圆的焦点、焦距的定义。由椭圆的定义导出椭圆的方程（其过程中要建立平面直角坐标系，取两焦点的中点为坐标原点，焦点所在的直线为轴）。关于椭圆的定义，我们可以用几何画板根据定义作图（如图1，其中F、G分别是焦点）：
这种做椭圆的方法可由教师演示，也可让学生进行探究学习（教师指导）。
2.2 双曲线的构建
在演示这种做法后，在图1中，将点F远离点G使两圆相离，我们会看到图2：
通过观察，学生们会惊讶的发现|LF-LG|的值始终为定值，这种图形是到两个定点的距离的差的绝对值等于定值的点的轨迹，这两个定点就是双曲线的焦点。由椭圆求标准方程的方法，来求双曲线的标准方程（同样建立平面直角坐标系）。
2.3 离心率第二定义的引出
了解了椭圆与双曲线的方程与图像之后，再来了解他们的一些几何性质（其中包括的取值范围，对称性，顶点，离心率，准线方程，还有双曲线特有的渐近线），对于取值范围、对称性、顶点都可以由图像直接观察到，也可以用代数的方法，根据标准方程得到以上的结论。离心率是焦距与长轴长（实轴长）的比 = 。这时演示图3：
用计算器计算图中两个比值，在几何画板中拖动A，观察两个比值，学生会发现两个比值始终相等，并且H点所在的位置不变。以MC中点为原点，MC所在直线为轴建立平面直角坐标系（可以求出OH所在的直线方程为 = ），离心率又可定义为到焦点的距离与到定直线的距离的比（第二定义）。
2.4 离心率与圆锥曲线
根据离心率的第二定义，我们做出一个图形（图4所示），拖动E在射线CD上移动，改变e的大小，指导学生发现图像变化与数量间的关系，学生通过观察图形发现：
当0＜e＜1时，图形是椭圆（如图4）：
当e＞1时，图形是双曲线，图略。
当e=1时，图形是为异于椭圆与双曲线的另一种曲线，这种曲线就是抛物线，图略。
有了前面椭圆、双曲线的学习，很容易总结出抛物线的定义、标准方程及它的一些简单的几何性质。到此三种基本的圆锥曲线都由离心率统一到一个图像上了。在教学过程中，一般学生对离心率的理解仅限于定义，并没有真正理解离心率在圆锥曲线中的作用；由于图四的离心率可以随意改动，可以进行动态的演示，观察e的连续变化图像的变化，进行数据的比较，使原本难以理解的概念，变得容易理解。
3 总结
在传统教学中，做若干个图像，进行比较，费时且不容易实现。由于几何画板的易操作性，此种教学方案学生可以在教师的指导下自己操作几何画板，在“做中学”，学生很容易对这三种曲线有一个统一的认识，既锻炼了学生的动手能力也符合认知的发展规律。
圆锥曲线的离心率这条主线贯穿始终避免了这部分知识凌乱、重复过多的弊端。这种设计方案可以在学生学完圆锥曲线之后，给予总体的概括。也可以在学有余力的学生中尝试这种探究式的教学方案，利用GSP作图探究是很容易发现问题，促进学生建构新的知识体系的。
此种教学过程既保留了传统教学的一些过程，还兼顾了教师的主导地位、学生的学习主体地位，使学生不只是知识的被动接受者，还是知识的主动参与建构者。