土木工程与力学学院
结构力学课程大作业
结构力学课程大作业
——多层多跨框架结构内力及位移计算
班级：土木工程
姓名： 学号：
华中科技大学土木工程与力学学院
2015年 11月22日
一、任务
1. 求解多层多跨框架结构在竖向荷载作用下的弯矩以及水平荷载作用下的弯矩和各层的侧移。 2. 计算方法：
（1）用近似法计算：水平荷载作用用反弯点法计算，竖向荷载作用采用分层法和
二次力矩分配法计算。
（2）用电算（结构力学求解器）进行复算。
3. 就最大相对误差处，说明近似法产生误差的来源。 4. 将手算结果写成计算书形式。 5. 计算任务分配：每位同学一题。
二、计算简图及基本参数数据
本次任务计算的结构简图如图1，基本数据如下。
杆件弹性模量：Eℎ=3.0×107kN/m2 构件尺寸：
L 1=4.8m, L 2=2.7m, H 1=4.8m, H 2=3.6m 底层柱(b×h)= 500mm×500mm 其他层柱(b×h)= 450mm×450mm 边梁(b×h)=250mm ×450mm 中间梁(b×h)=250mm ×450mm
水平荷载和分层法、二次分配法标号如图2
FP1=30kN FP2=15kN
竖向荷载和反弯点算法的标号：如图3 g1=21kN/m2, g2=17kN/m2
1
2
3
4
1
2 2′
1′
5 6 7 8 4 5 5′ G 4′
9 A B C
H 7 8 J 8′ K 7′
D
E F
M N B ′
A ′ L
O
I
各杆件的线刚度： i=EIL
, I =
bℎ312
边梁有：I 250×4503
1=
=1.90×109mm4, iE1=
ℎ×I112
L=11865.234kN∙m
A B D
D E E ′′ G
H H′G′
中间梁有：I 2=底层柱有：I 4=其他层柱有：
250×4503
12500×5003
12
=1.90×109mm4, i2==5.21×109mm4, i4=
Eℎ×I2L2/2Eℎ×I4H1
=42187.5kN∙m =32552.083kN∙m
I 3=
450×4503
12
=3.42×109mm4
Eℎ×I3H2
分层法中： i3=
×0.9=25628.906kN∙m
Eℎ×I3H2
二次分法和反弯点法中： i3=
=28476.562kN∙m
三、用分层法计算竖向荷载作用下的弯矩
（1） 确定计算简图
本结构可以分顶层，中间层和底层三个部分进行计算，再叠加即可
（2） 顶层弯矩的计算
取出顶层如右图4（1），其半结构如图4（2）。 a) 对于结点1，分配系数如下
1
2
2′
1′
4i34i3+4i14i1
3+4i1
μ14=
=0.684 =0.316
4
5
5′
图4（1）
4′
μ12=4i
μ21=4i μ25=4i
对于结点2，分配系数如下
4i1
3+4i1+i2
=0.247 =0.533
1
4i3
3+4i1+i2
2
μ23=4i
i2
3+4i1+i2
3
=0.220
5
b) 计算固端弯矩
F
M12
=
F−M21
=−
2
g2L2112
=−32.64kN∙m
4
F
M23=−
L
g2
3
=−10.33kN∙m
图4（2）
c) 弯矩分配计算
（3） 弯矩的计算
取出中间层如右图5（1），其半结构如图5（2）。 a) 对于结点4，分配系数如下
2
2′
1′
4i3
3+4i3+4i1
μ41=4iμ47=4i
μ45=4i
μ52=
=0.406 =0.406 =0.188
1
4i3
3+4i3+4i1
4i1
3+4i3+4i1
4
5
5′
4′
对于结点5，分配系数如下
4i3
4i3+4i3+i2+4i1
4i3
3+4i3+i2+4i1
=0.348 =0.348 =0.161
7
7′
8
8′
图5（1）
μ58=4i
μ54=4i
4i1
3+4i3+i2+4i1
1 2
μ56=4i
F
M45F M56
i2
3+4i3+i2+4i1
=0.143
g1L2112
4
5
6
b) 计算固端弯矩
=
F
−M54
=−
2
=−40.32kN∙m
7
8
=−
Lg1 23
=−12.76kN∙m
c) 弯矩分配计算
图5（2）
土木工程与
力
学学院
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业
（4） 弯矩的计算
取出底层如右图6（1），其半结构如图6（2）。
a) 对于结点D ，分配系数如下
A
B
B′
A′
μDA=4iμDG=4i
μDG=4i
μEB=4iμEF=4i
4i3
3+4i4+4i1
=0.366 =0.465 =0.465
D
E
E′
4i4
3+4i4+4i1
4i4
3+4i4+4i1
D′
对于结点E ，分配系数如下
4i3
3+4i4+i2+4i1
=0.318 =0.131 =0.404 =0.147
i2
3+4i4+i2+4i1
G
G′
H H′
图6（1）
μEH=4i
μED=4i
4i4
3+4i4+i2+4i1
4i3
3+4i4+i2+4i1
A
B
b) 计算固端弯矩
F
M45
=
F−M54
=−
2
g1L2112
=−40.32kN∙m
D E F
F
M56=−
L
g1 3
=−12.76kN∙m
c) 弯矩分配计算 G
图6（2）
H
（5） 弯矩叠加
··
（6） 弯矩的分配
19.81 -0.92 0.53 -12.59 0.47 -2.54 -36.32 39.87 1.46 -16.35 17.27 -11.35
（7） 最终的弯矩图
32.32
26.42
26.42
16.63
17.30 11.55
17.30 36.84
36.84
18.42
12.02
18.42
36.79
18.27
11.78
18.27
11.13 17.27
18.69
17.27
9.37
6.26
6.26
9.37
（8） 电算得到的弯矩图
（9） 分析分层法和电算误差原
1. 认为结点的位移主要是转角，忽略了侧移对内力的影响。
2. 计算时认为作用在梁上的荷载只对本层梁和上下层柱子有影响，忽略了对
其他层的影响。
3. 分配力矩达到很小的时候就不再继续传递了，存在一定偶然误差。 4. 上层柱根据经验统一乘以同一个折减系数0.9，并且传递的时候取1/3，都
是不精确的近似算法。
四、用二次分配法计算竖向荷载作用下的弯矩
（2） 计算固端弯矩
顶层有：
边梁 M=
F
F−M21
=−
2g2L2112
=−32.64kN∙m
中间梁 MF=−其他层有： 边梁 M=
F
L
g2
3
=−10.33kN∙m
g1L2112
F
−M54
=−
2=−40.32kN∙m
中间梁 MF=−
Lg1
3
=−12.76kN∙m
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（3）
弯矩分配与传递
27.33
27.33
17.36
38.50 37.96
12.07
38.50 37.96 18.98
18.98
15.53
37.87
18.69
12.37
37.87
18.69
15.17
10.10 18.69
9.01
5.37
5.37
9.01
（5） 电算得到的弯矩图和分层法电算的弯矩图一致 （6） 分析二次分配法和电算误差原因：
1. 不平衡力矩只传递了一次，存在一定的误差。
2. 认为结点的位移主要是转角，忽略了侧移对内力的影响。
3. 计算时认为作用在梁上的荷载只对本层梁和上下层柱子有影响，忽略了对
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其他层的影响。
4. 传递的时候取1/3，是不精确的近似算法。
五、用二次分配法计算竖向荷载作用下的弯矩 （1） 求柱的剪力
第五层柱：FQ15=FQ26=FQ37=FQ48=3.75kN 第四层柱：FQ59=FQ6A=FQ7B=FQ8C=11.25kN 第三层柱：FQ9D=FQAE=FQBF=FQCG=18.75kN 第二层柱：FQDH=FQEI=FQFJ=FQGK=26.25kN 第一层柱：FQHL=FQIM=FQJN=FQKO=33.75kN
（2） 求柱的弯矩
第五层柱：M15=M51=M26=M62=M37=M73=M48=M84=6.75kN∙m 第四层柱：M59=M95=M6A=MA6=M7B=MB7=M8C=MC8=20.25kN 第三层柱：M9D=MD9=MAE=MEA=MBF=MFB=MCG=MGC=33.75kN
第二层柱：MDH=MHD=MEI=MIE=MFJ=MJF=MGK=MKG=47.25kN 第一层柱：MHL=MIM=MJN=MKO=54kN MLH=MMI=MNJ=MOK=108kN （3） 求梁的弯矩
a) 取结点1为隔离体 由∑M1=0得
M15=M12=6.75kN∙m 同理，一节点两根单元的有 M43=M48=6.75kN∙m b) 取结点5为隔离体
由∑M5=0得
M56=M51+M59=27kN∙m 同理，一节点三根单元的有
M9A=M95+M9D=33.75kN∙m MDE=MD9+MDH=81kN∙m MHI=MHD+MHL=128.25kN∙m c) 取结点2为隔离体
由∑M2=0得
M21=M26×4i M23=M26×4i
4i1
1+4i2
1
M15
M15 M51
5 M59
M56
=2.43kN∙m =4.32kN∙m
M21
2
M23
M26
4i2
1+4i2
同理，一节点三根单元的有
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4i2
1+4i2
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M32=M37×4i M34=M37×4i
=4.32kN∙m =2.43kN∙m
2
M62 4i1
+4i12
d) 取结点6为隔离体
M65
由∑M6=0得
6 M6A
M4i65=(M62+M6A) ×1
=9.72kN∙m
4i1+4i2
M4i67=(M62+M6A) ×2
4i1+4i2
=17.28kN∙m
同理，一节点四根单元的有
M4i78=(M73+M7B) ×1
4i1+4i2
=9.72kN∙m M76=(M4i73+M7B) ×2
4i
1+4i2
=17.28kN∙m
M×4iA9=MBC=(MA6+MAE) 1
4i
1+4i2
=19.44kN∙m M4iAB=MBA=(MA6+MAE) ×2
4i1+4i2
=34.56kN∙m M4iED=MFG=(MEA+MEI) ×1
4i1+4i2
=29.16kN∙m M4iEF=MFE=(MEA+MEI) ×2
4i1+4i2
=51.84kN∙m M4iIH=MJK=(MIE+MIM) ×1
4i1+4i2
=36.45kN∙m
M4iIJ=MJI=(MIE+MIM) ×2
4i
1+4i2
=64.80kN∙m
M67
4） 弯矩图如下
6.75
2.43 6.75
6.75 4.32 6.75 4.32
2.43
6.75 6.75
9.72 6.75
20.25
17.28
27
27
6.75 20.25
20.25 17.28 6.75
9.72 6.75
20.25
19.44
20.25
33.75 33.75 34.56 54
20.25 33.75 33.75 54
34.56 19.44
20.25 20.25
29.16
51.84
81
33.75
47.25
47.25 47.25 33.75 33.75
47.25 81
51.84 29.16
33.75 36.45
64.80
101.2
47.25
54
47.25
54
47.25 54 47.25
54
101.2
64.80
36.45
108 108
108
108
（
（5） 电算的到的弯矩图如下
（6） 每一层侧移计算如下
第一层: ∆F1=P2+FP1+FP1+FP1+FP1 4×i4=1.991mm
H 第二层: ∆F+F1
2=P2P1+FP1+FP1 +∆1=2.986mm
H4×i第三层: ∆F2
3 3=
P2+FP1+FP1
+∆2=3.697mm
H 4×i2
3
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第四层: ∆F4=P2+FP1
4×i+∆3=4.124mm H2
3 第五层: ∆F5=
P2+∆4=4.266mm
H(4×i2
3) ） 分析反弯点法和电算误差原因：
1. 忽略了转角位移，认为结点只有侧移
2. 根据经验认为上层柱的反弯点在柱高1/2处，底层柱的反弯点在柱高的2/3处 3. 忽略了受弯杆件的轴向变形
业
土木
（7
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班级：土木工程
姓名： 学号：
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2015年 11月22日
一、任务
1. 求解多层多跨框架结构在竖向荷载作用下的弯矩以及水平荷载作用下的弯矩和各层的侧移。 2. 计算方法：
（1）用近似法计算：水平荷载作用用反弯点法计算，竖向荷载作用采用分层法和
二次力矩分配法计算。
（2）用电算（结构力学求解器）进行复算。
3. 就最大相对误差处，说明近似法产生误差的来源。 4. 将手算结果写成计算书形式。 5. 计算任务分配：每位同学一题。
二、计算简图及基本参数数据
本次任务计算的结构简图如图1，基本数据如下。
杆件弹性模量：Eℎ=3.0×107kN/m2 构件尺寸：
L 1=4.8m, L 2=2.7m, H 1=4.8m, H 2=3.6m 底层柱(b×h)= 500mm×500mm 其他层柱(b×h)= 450mm×450mm 边梁(b×h)=250mm ×450mm 中间梁(b×h)=250mm ×450mm
水平荷载和分层法、二次分配法标号如图2
FP1=30kN FP2=15kN
竖向荷载和反弯点算法的标号：如图3 g1=21kN/m2, g2=17kN/m2
1
2
3
4
1
2 2′
1′
5 6 7 8 4 5 5′ G 4′
9 A B C
H 7 8 J 8′ K 7′
D
E F
M N B ′
A ′ L
O
I
各杆件的线刚度： i=EIL
, I =
bℎ312
边梁有：I 250×4503
1=
=1.90×109mm4, iE1=
ℎ×I112
L=11865.234kN∙m
A B D
D E E ′′ G
H H′G′
中间梁有：I 2=底层柱有：I 4=其他层柱有：
250×4503
12500×5003
12
=1.90×109mm4, i2==5.21×109mm4, i4=
Eℎ×I2L2/2Eℎ×I4H1
=42187.5kN∙m =32552.083kN∙m
I 3=
450×4503
12
=3.42×109mm4
Eℎ×I3H2
分层法中： i3=
×0.9=25628.906kN∙m
Eℎ×I3H2
二次分法和反弯点法中： i3=
=28476.562kN∙m
三、用分层法计算竖向荷载作用下的弯矩
（1） 确定计算简图
本结构可以分顶层，中间层和底层三个部分进行计算，再叠加即可
（2） 顶层弯矩的计算
取出顶层如右图4（1），其半结构如图4（2）。 a) 对于结点1，分配系数如下
1
2
2′
1′
4i34i3+4i14i1
3+4i1
μ14=
=0.684 =0.316
4
5
5′
图4（1）
4′
μ12=4i
μ21=4i μ25=4i
对于结点2，分配系数如下
4i1
3+4i1+i2
=0.247 =0.533
1
4i3
3+4i1+i2
2
μ23=4i
i2
3+4i1+i2
3
=0.220
5
b) 计算固端弯矩
F
M12
=
F−M21
=−
2
g2L2112
=−32.64kN∙m
4
F
M23=−
L
g2
3
=−10.33kN∙m
图4（2）
c) 弯矩分配计算
（3） 弯矩的计算
取出中间层如右图5（1），其半结构如图5（2）。 a) 对于结点4，分配系数如下
2
2′
1′
4i3
3+4i3+4i1
μ41=4iμ47=4i
μ45=4i
μ52=
=0.406 =0.406 =0.188
1
4i3
3+4i3+4i1
4i1
3+4i3+4i1
4
5
5′
4′
对于结点5，分配系数如下
4i3
4i3+4i3+i2+4i1
4i3
3+4i3+i2+4i1
=0.348 =0.348 =0.161
7
7′
8
8′
图5（1）
μ58=4i
μ54=4i
4i1
3+4i3+i2+4i1
1 2
μ56=4i
F
M45F M56
i2
3+4i3+i2+4i1
=0.143
g1L2112
4
5
6
b) 计算固端弯矩
=
F
−M54
=−
2
=−40.32kN∙m
7
8
=−
Lg1 23
=−12.76kN∙m
c) 弯矩分配计算
图5（2）
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（4） 弯矩的计算
取出底层如右图6（1），其半结构如图6（2）。
a) 对于结点D ，分配系数如下
A
B
B′
A′
μDA=4iμDG=4i
μDG=4i
μEB=4iμEF=4i
4i3
3+4i4+4i1
=0.366 =0.465 =0.465
D
E
E′
4i4
3+4i4+4i1
4i4
3+4i4+4i1
D′
对于结点E ，分配系数如下
4i3
3+4i4+i2+4i1
=0.318 =0.131 =0.404 =0.147
i2
3+4i4+i2+4i1
G
G′
H H′
图6（1）
μEH=4i
μED=4i
4i4
3+4i4+i2+4i1
4i3
3+4i4+i2+4i1
A
B
b) 计算固端弯矩
F
M45
=
F−M54
=−
2
g1L2112
=−40.32kN∙m
D E F
F
M56=−
L
g1 3
=−12.76kN∙m
c) 弯矩分配计算 G
图6（2）
H
（5） 弯矩叠加
··
（6） 弯矩的分配
19.81 -0.92 0.53 -12.59 0.47 -2.54 -36.32 39.87 1.46 -16.35 17.27 -11.35
（7） 最终的弯矩图
32.32
26.42
26.42
16.63
17.30 11.55
17.30 36.84
36.84
18.42
12.02
18.42
36.79
18.27
11.78
18.27
11.13 17.27
18.69
17.27
9.37
6.26
6.26
9.37
（8） 电算得到的弯矩图
（9） 分析分层法和电算误差原
1. 认为结点的位移主要是转角，忽略了侧移对内力的影响。
2. 计算时认为作用在梁上的荷载只对本层梁和上下层柱子有影响，忽略了对
其他层的影响。
3. 分配力矩达到很小的时候就不再继续传递了，存在一定偶然误差。 4. 上层柱根据经验统一乘以同一个折减系数0.9，并且传递的时候取1/3，都
是不精确的近似算法。
四、用二次分配法计算竖向荷载作用下的弯矩
（2） 计算固端弯矩
顶层有：
边梁 M=
F
F−M21
=−
2g2L2112
=−32.64kN∙m
中间梁 MF=−其他层有： 边梁 M=
F
L
g2
3
=−10.33kN∙m
g1L2112
F
−M54
=−
2=−40.32kN∙m
中间梁 MF=−
Lg1
3
=−12.76kN∙m
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（3）
弯矩分配与传递
27.33
27.33
17.36
38.50 37.96
12.07
38.50 37.96 18.98
18.98
15.53
37.87
18.69
12.37
37.87
18.69
15.17
10.10 18.69
9.01
5.37
5.37
9.01
（5） 电算得到的弯矩图和分层法电算的弯矩图一致 （6） 分析二次分配法和电算误差原因：
1. 不平衡力矩只传递了一次，存在一定的误差。
2. 认为结点的位移主要是转角，忽略了侧移对内力的影响。
3. 计算时认为作用在梁上的荷载只对本层梁和上下层柱子有影响，忽略了对
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结构力学课程大作业
其他层的影响。
4. 传递的时候取1/3，是不精确的近似算法。
五、用二次分配法计算竖向荷载作用下的弯矩 （1） 求柱的剪力
第五层柱：FQ15=FQ26=FQ37=FQ48=3.75kN 第四层柱：FQ59=FQ6A=FQ7B=FQ8C=11.25kN 第三层柱：FQ9D=FQAE=FQBF=FQCG=18.75kN 第二层柱：FQDH=FQEI=FQFJ=FQGK=26.25kN 第一层柱：FQHL=FQIM=FQJN=FQKO=33.75kN
（2） 求柱的弯矩
第五层柱：M15=M51=M26=M62=M37=M73=M48=M84=6.75kN∙m 第四层柱：M59=M95=M6A=MA6=M7B=MB7=M8C=MC8=20.25kN 第三层柱：M9D=MD9=MAE=MEA=MBF=MFB=MCG=MGC=33.75kN
第二层柱：MDH=MHD=MEI=MIE=MFJ=MJF=MGK=MKG=47.25kN 第一层柱：MHL=MIM=MJN=MKO=54kN MLH=MMI=MNJ=MOK=108kN （3） 求梁的弯矩
a) 取结点1为隔离体 由∑M1=0得
M15=M12=6.75kN∙m 同理，一节点两根单元的有 M43=M48=6.75kN∙m b) 取结点5为隔离体
由∑M5=0得
M56=M51+M59=27kN∙m 同理，一节点三根单元的有
M9A=M95+M9D=33.75kN∙m MDE=MD9+MDH=81kN∙m MHI=MHD+MHL=128.25kN∙m c) 取结点2为隔离体
由∑M2=0得
M21=M26×4i M23=M26×4i
4i1
1+4i2
1
M15
M15 M51
5 M59
M56
=2.43kN∙m =4.32kN∙m
M21
2
M23
M26
4i2
1+4i2
同理，一节点三根单元的有
土木工程与力学
4i2
1+4i2
学院
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M32=M37×4i M34=M37×4i
=4.32kN∙m =2.43kN∙m
2
M62 4i1
+4i12
d) 取结点6为隔离体
M65
由∑M6=0得
6 M6A
M4i65=(M62+M6A) ×1
=9.72kN∙m
4i1+4i2
M4i67=(M62+M6A) ×2
4i1+4i2
=17.28kN∙m
同理，一节点四根单元的有
M4i78=(M73+M7B) ×1
4i1+4i2
=9.72kN∙m M76=(M4i73+M7B) ×2
4i
1+4i2
=17.28kN∙m
M×4iA9=MBC=(MA6+MAE) 1
4i
1+4i2
=19.44kN∙m M4iAB=MBA=(MA6+MAE) ×2
4i1+4i2
=34.56kN∙m M4iED=MFG=(MEA+MEI) ×1
4i1+4i2
=29.16kN∙m M4iEF=MFE=(MEA+MEI) ×2
4i1+4i2
=51.84kN∙m M4iIH=MJK=(MIE+MIM) ×1
4i1+4i2
=36.45kN∙m
M4iIJ=MJI=(MIE+MIM) ×2
4i
1+4i2
=64.80kN∙m
M67
4） 弯矩图如下
6.75
2.43 6.75
6.75 4.32 6.75 4.32
2.43
6.75 6.75
9.72 6.75
20.25
17.28
27
27
6.75 20.25
20.25 17.28 6.75
9.72 6.75
20.25
19.44
20.25
33.75 33.75 34.56 54
20.25 33.75 33.75 54
34.56 19.44
20.25 20.25
29.16
51.84
81
33.75
47.25
47.25 47.25 33.75 33.75
47.25 81
51.84 29.16
33.75 36.45
64.80
101.2
47.25
54
47.25
54
47.25 54 47.25
54
101.2
64.80
36.45
108 108
108
108
（
（5） 电算的到的弯矩图如下
（6） 每一层侧移计算如下
第一层: ∆F1=P2+FP1+FP1+FP1+FP1 4×i4=1.991mm
H 第二层: ∆F+F1
2=P2P1+FP1+FP1 +∆1=2.986mm
H4×i第三层: ∆F2
3 3=
P2+FP1+FP1
+∆2=3.697mm
H 4×i2
3
工程与力学学院
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第四层: ∆F4=P2+FP1
4×i+∆3=4.124mm H2
3 第五层: ∆F5=
P2+∆4=4.266mm
H(4×i2
3) ） 分析反弯点法和电算误差原因：
1. 忽略了转角位移，认为结点只有侧移
2. 根据经验认为上层柱的反弯点在柱高1/2处，底层柱的反弯点在柱高的2/3处 3. 忽略了受弯杆件的轴向变形
业
土木
（7