点与圆的位置关系

《点与圆的位置关系》教学设计

学习目标

1．理解并掌握圆点与圆的三种位置关系及其运用．

2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．

3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念；了解反证法的证明思想．一、导学探究 1．（1）在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，•则另一个端点A所形成的封闭曲线叫做__________；

（2）圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于_______的所有点的组成的图形．

（3）圆上所有的点到圆心的距离都等于____________

2．请你画图并想一想：当点分别在圆外和圆内时，点到圆心的距离与半径分别怎样呢？

答：经过画图可知，圆外的点到圆心的距离______半径；•圆内的点到圆心的距离_______半径．

结论归纳下：如设⊙O的半径为r，点P到圆的距离为d，则有：点P在圆外  d ___ r 点P在圆上  d ___ r 点P在圆内  d ___ r 3．按要求作图并归纳你的发现：

（1）过一个点（点A）作圆（你能作多少个）；（2）过两个点A、B作圆（你能作多少个）；

AA B B

（3）请回忆八年级上册的一个问题：如图，△ABC中，你能否找到一点P，使点P到点A、B、C三个顶点的距离相等？请画出来．

由作图⑴⑵⑶可归纳得出的结论是：

①经过一点P可以作_______个圆；经过两点P、Q可以作________•个圆，•圆心在_________上；经过不在同一直线上的三个点可以作________个圆，•圆心是________的交点．

②直角三角形的外心是________的中点，锐角三角形外心在三角形的 ____________，钝角三角形外心在三角的___________．

③经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的______圆．

外接圆的圆心是三角形三条边________________线的交点，这个点叫做这个三角形的___________．二、精讲多动

1、例1 （1）已知⊙O的直径为10cm，有一点P到圆心O的距离为3cm，求点P与圆有何位置关系？

（2）若有一点M到某圆的最大距离为8cm，最小距离为2cm，求这个圆的半径． 2、仿练：

⑴⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线的AB距离d＝OD＝3cm．在直线AB上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＞4cm．P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎么样的？

⑵Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，AB＝13，AC＝5，对C点为圆心，为半

径的圆与点A、B、D的位置关系是怎样的？

3、不在同一条直线上的三个点确定一个圆

经过三角形三个顶点可以画个圆，并且只能画个．

叫做三角形的外接圆．叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个

圆的．三角形的外心就是

的交点，它到的距离相等．

思考：随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直线上，是否一定可以画一个圆经过这四点？请举例说明．

4、例2．某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．

作法提示：可联想垂径定理的逆定理：弦的垂直平分线必经过____________,并平分弦所对的两条_____________．

例2

5、例3、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，求△ABC的外接圆半径．

6、例4、如图，等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC＝10cm，求△ABC外接圆的半径． B C

7、仿练：已知等边三角形ABC中，边长为6cm，求它的外接圆半径．

8、探究：过不在同一直线上的三点有且只有一个圆，那么过同一直线上的三点能不能画一个圆呢？

9、这个证明与我们以前学过的证明不同，它不是直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题的成立，这样的证明方法叫做反证法．

用反证法证明命题一般有下面三个步骤：（1）假设命题的结论不成立；

（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

（3）由矛盾判断假设不正确，从而肯定命题的结论正确．

用反证法证明一个命题，在分析“从假设出发，经过推理论证，得出矛盾”这一步骤时，一定要注意推理的严密性，每一步都要有理论根据，并且一定要真正理解矛盾在哪里，和学过的什么矛盾．

10、仿练：用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角．已知：△ABC．

求证：∠A、∠B、∠C不能有两个角是直角．

三、小结

1、点与圆的三种位置关系的判定； 2、三角形的外接圆与圆的内接三角形； 3、反证法．

三、优选精练

1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；•③圆有且只有一个内接三角形； ④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有（• ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，则它的外心与顶点C的距离为（）．

A．2．5 B．2．

5cm C．3cm D．4cm

A O

第2题图第3题图第4题图

3．如图，若△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC＝4，AC＝3，CD平分∠ACB，则弦AD长为 4、（2009年甘肃庆阳）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（）

A．2 B．3 C．4 D．5

5． ⊙O的半径10cm，根据下列点P到圆心O的距离，判断点P和圆O的位置关

A系．

（1）PO＝8cm （2）PO＝10cm （3）PO＝12cm

6．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以A为圆心，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，求此圆的半径R的范围．

7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AB上一点，连结BD，并延长至E，连结AD若AB＝AC，∠ADE＝65°，试求∠BOC的度数．

7题

8．如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图所示，A、B、C•为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，

•要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址． 8题 9、（2009年江西省）在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，

A⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（）

A．当a＜5时，点B在⊙A内 B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内 C．当a＜1时，点B在⊙A外 D．当a＞5时，点B在⊙A外

10、如图，点A、D、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC

＝a，EF＝b，NH＝c，则下列各式正确的是（）

A、a＞b＞c； B、a＝b＝c； C、c＞a＞b； D、b＞c＞a．

OFC

第10题图

11、如果点A到⊙O的最短举例是3cm，最长距离是6cm，则⊙O的半径是 cm．

12、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，则它的外心与顶点C的距离为 cm．

13、已知⊙O的半径为1，点P与圆心O的距离为为d，且方程x2－2x＋d＝0没有

实数根，则点P与⊙O的位置关系是．

14、棱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．求证：E、F、G、H四点在以O为圆心的同一个圆上． 15、如图，⊙O′经过坐标原点，点O′的坐标为（1，1），试判断P（－1，1）

Q（1，0），R（2，2）与⊙O′的位置．

16、如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝4，BC＝9，M为AB的中点，以CD为直径画⊙P．

⑴当CD的长取何值时，点M在⊙P外？ ⑵当CD的长取何值时，点M在⊙P上？ ⑶当CD的长取何值时，点M在⊙P内？

第16题图

17、如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝90°，B为AN的中点，P为直径MN上一动点，求PA＋PB的最小值．

18、用反正法证明：圆内不是直径两条弦不能互相平分．

19、如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AB＝48cm，CD＝30cm，高27cm，求作一个圆经过A、B、C、D四点，写出作法并求出这个圆的半径

20、如图，用三个边长为1的正方形组成的一个品字型轴对称图形，求能将三个

正方形完全覆盖的圆的最小半径．