静力学解题方法2——相似三角形法
(非常好的方法,仔细分析例题,静力学受力分析三大方法之一)
(1)相似三角形:正确作出力的三角形后,如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形(几何三角形)相似,则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系,从而达到求未知量的目的。
(2)往往涉及三个力,其中一个力为恒力,另两个力的大小和方向均发生变化,则此时用相似三角形分析。相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法,解题的关键是正确的受力分析,寻找力三角形和结构三角形相似。
例1、半径为R 的球形物体固定在水平地面上,球心正上方有一光滑的小滑轮,滑轮到球面B 的距离为h ,轻绳的一端系一小球,靠放在半球上的A 点,另一端绕过定滑轮后用力拉住,使小球静止,如图1-1所示,现缓慢地拉绳,在使小球由A 到B 的过程中,半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化的情况是( )
A 、N 变大,T 变小 B 、N 变小,T 变大
C 、N 变小,T 先变小后变大 D 、N 不变,T 变小
解析:如图1-2所示,对小球:受力平衡,由于缓慢地拉绳,所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态,其中重力mg 不变,支持力N ,绳子的拉力T 一直在改变,但是总形成封闭的动态三角形(图1-2中小阴影三角形)。由于在这个三角形中有四个变量:支持力N 的大小和方向、绳子的拉力T 的大小和方向,所以还要利用其它条件。实物(小球、绳、球面的球心)形成的三角形也是一个动态的封闭三角形(图1-2中大阴影三角形),并且始终与三力形成的封闭三角形相似,则有如下比例式:
T mg N == L h +R R
可得:T =L mg 运动过程中L 变小,T 变小。 h +R
N =
R mg 运动中各量均为定值,支持力N 不变。正确答案D 。 h +R
例2、如图2-1所示,竖直绝缘墙壁上的Q 处由一固定的质点A ,在Q 的正上方的P 点用细线悬挂一质点B ,A 、B 两点因为带电而相互排斥,致使悬线与竖直方向成θ角,由于漏电使A 、B 两质点的电量逐渐减小,在电荷漏空之前悬线对悬点P 的拉力T 大小( )
A 、T 变小
B 、T 变大
C 、T 不变
D 、T 无法确定
解析:有漏电现象,F AB 减小,则漏电瞬间质点B 的静止状态被打破,必定向下运动。对小球漏电前和漏电过程中进行受力分析有如图2-2
所示,由于漏电过程缓慢进行,则任意时刻均可视为平衡状态。三力作用构成动态下的封
闭三角形,而对应的实物质点A 、B 及绳墙和P 点构成动态封闭三角形,且有如图2-3不同位置时阴影三角形的相似情况,则有如下相似比例:
mg T F ==AB PQ PB AB
可得:T =PB ⋅m g 变化过程PB 、PQ 、mg 均为定值,所以T 不变。正确答案C 。 PQ
以上两例题均通过相似关系求解,相对平衡关系求解要直观、简洁得多,有些问题也可以直接通过图示关系得出结论。
例3 如图1所示,一个重力G 的匀质球放在光滑斜面上,斜面倾角为,在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球,使之处于静止状态。今使板与斜面的夹角
缓慢增大,问:在此过程中,挡板和斜面对球的压力大小如何变化?
F 1
G 图1-1 图1-2
图1-3 F 2
解析:取球为研究对象,如图1-2所示,球受重力G 、斜面支持力F 1、挡板支持力F 2。因为球始终处于平衡状态,故三个力的合力始终为零,将三个力矢量构成封闭的三角形。F 1的方向不变,但方向不变,始终与斜面垂直。F 2的大小、方向均改变,随着挡板逆时针转动时,F 2的方向也逆时针转动,动态矢量三角形图1-3中一画出的一系列虚线表示变化的F 2。由此可知,F 2先减小后增大,F 1随增大而始终减小。
例4所示,小球被轻质细绳系着,斜吊着放在光滑斜面上,小球质量为m ,斜面倾角为θ,向右缓慢推动斜面,直到细线与斜面平行,在这个过程中,绳上张力、斜面对小球的支持力的变化情况?(答案:绳上张力减小,斜面对小球的支持力增大)
图1-4
例5.一轻杆BO ,其O 端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO 上,B 端挂一重物,且系一细绳,细绳跨过杆顶A 处的光滑小滑轮,用力F 拉住,如图2-1所示。现将细绳缓慢往左拉,使杆BO 与杆A O 间的夹角θ逐渐减少,则在此过程中,拉力F 及杆BO 所受压力F N 的大小变化情况是
( )
A .F N 先减小,后增大 B.F N 始终不变
C .F 先减小,后增大 D.F 始终不变
图
2-1 图2-2
解析:取BO 杆的B 端为研究对象,受到绳子拉力(大小为F ) 、BO 杆的支持力F N 和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G ) 的作用,将F N 与G 合成,其合力与F 等值反向,如图2-2所示,将三个力矢量构成封闭的三角形(如图中画斜线部分) ,力的三角形与几何三角形OBA 相似,利用相似三角形对应边成比例可得:(如图2-2所示,设AO 高为H ,BO 长为L ,绳长l ,) G F N F ==,式中G 、H 、L 均不变,l 逐渐变小,所以可知F N 不变,F 逐渐变小。正确答案为选项B H L l
例6:如图2-3所示,光滑的半球形物体固定在水平地面上,球心正上方有一光滑的小滑轮,轻绳的一端系一小球,靠放在半球上的A 点,另一端绕过定滑轮,后用力拉住,使小球静止.现缓慢地拉绳,在使小球沿球面由A 到半球的顶点B 的过程中,半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化情况是( D )。
(A)N 变大,T 变小,
(B)N 变小,T 变大
(C)N 变小,T 先变小后变大
(D)N 不变,T 变小
图2-3
例7、如图3-1所示,物体G 用两根绳子悬挂,开始时绳OA 水平,现将两绳同时顺时针转过90°,且保持两绳之间的夹角α不变(α>90) ,物体保持静止状态,在旋转过程中,设绳OA 的拉力为F 1,绳OB 的拉力为F 2,则( )。
(A)F 1先减小后增大
(B)F 1先增大后减小
(C)F 2逐渐减小
(D)F 2最终变为零
图3-2 图3-1 图3-3
解析:取绳子结点O 为研究对角,受到三根绳的拉力,如图3-2所示分别为F 1、
F 2、F 3,将三力构成矢量三角形(如图3-3所示的实线三角形CDE) ,需满足力F 3大小、方向不变,角∠ CDE不变(因为角α不变) ,由于角∠DCE
为直角,则三力的几何关系可以从以DE 边为直径的圆中找,则动态矢量三角形如图3-3中一画出的一系列虚线表示的三角形。由此可知,F 1先增大后减小,F 2随始终减小,且转过90°时,当好为零。
正确答案选项为B 、C 、D
例8如图3-4所示,在做“验证力的平行四边形定则”的实验时,用M 、N 两个测力计通过细线拉橡皮条的结点,使其到达O 点,此时α+β= 90°.然后保持M 的读数不变,而使α角减小,为保持结点位置不变,可采用的办法是( A )。 (A)减小N 的读数同时减小β角
(B)减小N 的读数同时增大β角 (C)增大N 的读数同时增大β角 (D)增大N 的读数同时减小β角
图3-4
例9.如图4-1所示,在水平天花板与竖直墙壁间,通过不计质量的柔软绳子和光滑的轻小滑轮悬挂重物G =40N,绳长L =2.5m,OA =1.5m,求绳中张力的大小,并讨论:
(1)当B 点位置固定,A 端缓慢左移时,绳中张力如何变化?
(2)当A 点位置固定,B 端缓慢下移时,绳中张力又如何变化?
′ 4-1 图图4-3 图4-4 图4-2
解析:取绳子c 点为研究对角,受到三根绳的拉力,如图4-2所示分别为F 1、F 2、F 3,延长绳AO 交竖直墙于D 点,由于是同一根轻绳,可得:F 1=F 2,BC 长度等于CD ,AD 长度等于绳长。设角∠OAD 为θ;根据三个力平衡可得:
G OD ;在三角形AOD 中可知,sin θ=。如果A 端左移,AD 变为如图4-3中虚线A ′D ′所示,可知A ′2sin θAD
D ′不变,OD ′减小,sin θ减小,F 1变大。如果B 端下移,BC 变为如图4-4虚线B ′C ′所示,可知AD 、OD 不变,sin θF 1=不变,F 1不变。
同
静力学解题方法2——相似三角形法
(非常好的方法,仔细分析例题,静力学受力分析三大方法之一)
(1)相似三角形:正确作出力的三角形后,如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形(几何三角形)相似,则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系,从而达到求未知量的目的。
(2)往往涉及三个力,其中一个力为恒力,另两个力的大小和方向均发生变化,则此时用相似三角形分析。相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法,解题的关键是正确的受力分析,寻找力三角形和结构三角形相似。
例1、半径为R 的球形物体固定在水平地面上,球心正上方有一光滑的小滑轮,滑轮到球面B 的距离为h ,轻绳的一端系一小球,靠放在半球上的A 点,另一端绕过定滑轮后用力拉住,使小球静止,如图1-1所示,现缓慢地拉绳,在使小球由A 到B 的过程中,半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化的情况是( )
A 、N 变大,T 变小 B 、N 变小,T 变大
C 、N 变小,T 先变小后变大 D 、N 不变,T 变小
解析:如图1-2所示,对小球:受力平衡,由于缓慢地拉绳,所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态,其中重力mg 不变,支持力N ,绳子的拉力T 一直在改变,但是总形成封闭的动态三角形(图1-2中小阴影三角形)。由于在这个三角形中有四个变量:支持力N 的大小和方向、绳子的拉力T 的大小和方向,所以还要利用其它条件。实物(小球、绳、球面的球心)形成的三角形也是一个动态的封闭三角形(图1-2中大阴影三角形),并且始终与三力形成的封闭三角形相似,则有如下比例式:
T mg N == L h +R R
可得:T =L mg 运动过程中L 变小,T 变小。 h +R
N =
R mg 运动中各量均为定值,支持力N 不变。正确答案D 。 h +R
例2、如图2-1所示,竖直绝缘墙壁上的Q 处由一固定的质点A ,在Q 的正上方的P 点用细线悬挂一质点B ,A 、B 两点因为带电而相互排斥,致使悬线与竖直方向成θ角,由于漏电使A 、B 两质点的电量逐渐减小,在电荷漏空之前悬线对悬点P 的拉力T 大小( )
A 、T 变小
B 、T 变大
C 、T 不变
D 、T 无法确定
解析:有漏电现象,F AB 减小,则漏电瞬间质点B 的静止状态被打破,必定向下运动。对小球漏电前和漏电过程中进行受力分析有如图2-2
所示,由于漏电过程缓慢进行,则任意时刻均可视为平衡状态。三力作用构成动态下的封
闭三角形,而对应的实物质点A 、B 及绳墙和P 点构成动态封闭三角形,且有如图2-3不同位置时阴影三角形的相似情况,则有如下相似比例:
mg T F ==AB PQ PB AB
可得:T =PB ⋅m g 变化过程PB 、PQ 、mg 均为定值,所以T 不变。正确答案C 。 PQ
以上两例题均通过相似关系求解,相对平衡关系求解要直观、简洁得多,有些问题也可以直接通过图示关系得出结论。
例3 如图1所示,一个重力G 的匀质球放在光滑斜面上,斜面倾角为,在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球,使之处于静止状态。今使板与斜面的夹角
缓慢增大,问:在此过程中,挡板和斜面对球的压力大小如何变化?
F 1
G 图1-1 图1-2
图1-3 F 2
解析:取球为研究对象,如图1-2所示,球受重力G 、斜面支持力F 1、挡板支持力F 2。因为球始终处于平衡状态,故三个力的合力始终为零,将三个力矢量构成封闭的三角形。F 1的方向不变,但方向不变,始终与斜面垂直。F 2的大小、方向均改变,随着挡板逆时针转动时,F 2的方向也逆时针转动,动态矢量三角形图1-3中一画出的一系列虚线表示变化的F 2。由此可知,F 2先减小后增大,F 1随增大而始终减小。
例4所示,小球被轻质细绳系着,斜吊着放在光滑斜面上,小球质量为m ,斜面倾角为θ,向右缓慢推动斜面,直到细线与斜面平行,在这个过程中,绳上张力、斜面对小球的支持力的变化情况?(答案:绳上张力减小,斜面对小球的支持力增大)
图1-4
例5.一轻杆BO ,其O 端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO 上,B 端挂一重物,且系一细绳,细绳跨过杆顶A 处的光滑小滑轮,用力F 拉住,如图2-1所示。现将细绳缓慢往左拉,使杆BO 与杆A O 间的夹角θ逐渐减少,则在此过程中,拉力F 及杆BO 所受压力F N 的大小变化情况是
( )
A .F N 先减小,后增大 B.F N 始终不变
C .F 先减小,后增大 D.F 始终不变
图
2-1 图2-2
解析:取BO 杆的B 端为研究对象,受到绳子拉力(大小为F ) 、BO 杆的支持力F N 和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G ) 的作用,将F N 与G 合成,其合力与F 等值反向,如图2-2所示,将三个力矢量构成封闭的三角形(如图中画斜线部分) ,力的三角形与几何三角形OBA 相似,利用相似三角形对应边成比例可得:(如图2-2所示,设AO 高为H ,BO 长为L ,绳长l ,) G F N F ==,式中G 、H 、L 均不变,l 逐渐变小,所以可知F N 不变,F 逐渐变小。正确答案为选项B H L l
例6:如图2-3所示,光滑的半球形物体固定在水平地面上,球心正上方有一光滑的小滑轮,轻绳的一端系一小球,靠放在半球上的A 点,另一端绕过定滑轮,后用力拉住,使小球静止.现缓慢地拉绳,在使小球沿球面由A 到半球的顶点B 的过程中,半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化情况是( D )。
(A)N 变大,T 变小,
(B)N 变小,T 变大
(C)N 变小,T 先变小后变大
(D)N 不变,T 变小
图2-3
例7、如图3-1所示,物体G 用两根绳子悬挂,开始时绳OA 水平,现将两绳同时顺时针转过90°,且保持两绳之间的夹角α不变(α>90) ,物体保持静止状态,在旋转过程中,设绳OA 的拉力为F 1,绳OB 的拉力为F 2,则( )。
(A)F 1先减小后增大
(B)F 1先增大后减小
(C)F 2逐渐减小
(D)F 2最终变为零
图3-2 图3-1 图3-3
解析:取绳子结点O 为研究对角,受到三根绳的拉力,如图3-2所示分别为F 1、
F 2、F 3,将三力构成矢量三角形(如图3-3所示的实线三角形CDE) ,需满足力F 3大小、方向不变,角∠ CDE不变(因为角α不变) ,由于角∠DCE
为直角,则三力的几何关系可以从以DE 边为直径的圆中找,则动态矢量三角形如图3-3中一画出的一系列虚线表示的三角形。由此可知,F 1先增大后减小,F 2随始终减小,且转过90°时,当好为零。
正确答案选项为B 、C 、D
例8如图3-4所示,在做“验证力的平行四边形定则”的实验时,用M 、N 两个测力计通过细线拉橡皮条的结点,使其到达O 点,此时α+β= 90°.然后保持M 的读数不变,而使α角减小,为保持结点位置不变,可采用的办法是( A )。 (A)减小N 的读数同时减小β角
(B)减小N 的读数同时增大β角 (C)增大N 的读数同时增大β角 (D)增大N 的读数同时减小β角
图3-4
例9.如图4-1所示,在水平天花板与竖直墙壁间,通过不计质量的柔软绳子和光滑的轻小滑轮悬挂重物G =40N,绳长L =2.5m,OA =1.5m,求绳中张力的大小,并讨论:
(1)当B 点位置固定,A 端缓慢左移时,绳中张力如何变化?
(2)当A 点位置固定,B 端缓慢下移时,绳中张力又如何变化?
′ 4-1 图图4-3 图4-4 图4-2
解析:取绳子c 点为研究对角,受到三根绳的拉力,如图4-2所示分别为F 1、F 2、F 3,延长绳AO 交竖直墙于D 点,由于是同一根轻绳,可得:F 1=F 2,BC 长度等于CD ,AD 长度等于绳长。设角∠OAD 为θ;根据三个力平衡可得:
G OD ;在三角形AOD 中可知,sin θ=。如果A 端左移,AD 变为如图4-3中虚线A ′D ′所示,可知A ′2sin θAD
D ′不变,OD ′减小,sin θ减小,F 1变大。如果B 端下移,BC 变为如图4-4虚线B ′C ′所示,可知AD 、OD 不变,sin θF 1=不变,F 1不变。
同