作者：上海市金汇学校课题组
数学教学 1999年09期
平面几何中的轴对称与中心对称概念，在日常生活中十分有用，同时也是几何学的重要内容。最近，我们通过简单邮路问题的教学，使学生在实际操作中进一步了解平面图形对称的概念，取得了良好的效果。
1.九点简单邮路问题。如图1，有三行三列的9个点，左上角为邮局。邮递员自邮局出发，经过9个点，最后回到邮局。怎样投递为最短路线？它们有多少种？彼此间有何关系？
学生很快会找出最短路线的形状共有8种，如图2，彼此之间可以通过轴对称和中心对称而得到。考虑到实际问题中，每种图形邮递员可有两种行走方向，故原问题的最优线路有16种。
2.在实际教学中，有学生提出：在上述投递过程中，如果有一封加急信件必须优先送到，该如何设计线路呢？这是一个很有意义的问题。学生通过讨论，不难得出以下结果：
(1)当加急信件要投递的地点是在邮局两侧边上，或者是中间一点时，情况可归结为图2所示的16种之一。
(2)当加急信件要投递的地点位于图3中的A点时，我们可以得到符合要求的线路图有两种（图4）。可以算出，这时的最短距离是（设边上两点间距离为1）。由对称性（以通过邮局的对角线为对称轴）可得。
当加急信件要送的地点是B点时，或当加急信件要送的地点是C点时，符合要求的线路图也都只有两种，图5(1)、5(2)或图5(3)、5(4)。这时必有点要重复经过。可以算出，线路的最短距离是，且通过观察，我们发现，上面两个图形之间关于通过邮局的对角线也是对称的。
3.自然地我们还可把“简单邮路问题”9个点的情况推广到4×4=16个点的情形。这仍然可以由学生讨论得出结果。
(1)符合最优设计的图形有6种：这时的最短距离是16，且图6(2)可以通过图6(1)旋转90°而得到；图6(4)、6(5)、6(6)可通过图6(3)顺时针方向分别旋转90°、180°、270°而得到。
(2)在16个点且有加急信件的情况：这时问题较为复杂，可在第二节课或课外进行。
4.对于n×n(n≥2)的更一般的情况，我们已获得的结论是：
本课题可以发现的结论远远不止这些，我们将结合初、高中教学进一步探索。
作者介绍：上海市金汇学校课题，201103 课题组成员是：孙联荣，凌国华，陈建祥，祝庆，胡艳，藏青，陈算荣
作者：上海市金汇学校课题组
数学教学 1999年09期
平面几何中的轴对称与中心对称概念，在日常生活中十分有用，同时也是几何学的重要内容。最近，我们通过简单邮路问题的教学，使学生在实际操作中进一步了解平面图形对称的概念，取得了良好的效果。
1.九点简单邮路问题。如图1，有三行三列的9个点，左上角为邮局。邮递员自邮局出发，经过9个点，最后回到邮局。怎样投递为最短路线？它们有多少种？彼此间有何关系？
学生很快会找出最短路线的形状共有8种，如图2，彼此之间可以通过轴对称和中心对称而得到。考虑到实际问题中，每种图形邮递员可有两种行走方向，故原问题的最优线路有16种。
2.在实际教学中，有学生提出：在上述投递过程中，如果有一封加急信件必须优先送到，该如何设计线路呢？这是一个很有意义的问题。学生通过讨论，不难得出以下结果：
(1)当加急信件要投递的地点是在邮局两侧边上，或者是中间一点时，情况可归结为图2所示的16种之一。
(2)当加急信件要投递的地点位于图3中的A点时，我们可以得到符合要求的线路图有两种（图4）。可以算出，这时的最短距离是（设边上两点间距离为1）。由对称性（以通过邮局的对角线为对称轴）可得。
当加急信件要送的地点是B点时，或当加急信件要送的地点是C点时，符合要求的线路图也都只有两种，图5(1)、5(2)或图5(3)、5(4)。这时必有点要重复经过。可以算出，线路的最短距离是，且通过观察，我们发现，上面两个图形之间关于通过邮局的对角线也是对称的。
3.自然地我们还可把“简单邮路问题”9个点的情况推广到4×4=16个点的情形。这仍然可以由学生讨论得出结果。
(1)符合最优设计的图形有6种：这时的最短距离是16，且图6(2)可以通过图6(1)旋转90°而得到；图6(4)、6(5)、6(6)可通过图6(3)顺时针方向分别旋转90°、180°、270°而得到。
(2)在16个点且有加急信件的情况：这时问题较为复杂，可在第二节课或课外进行。
4.对于n×n(n≥2)的更一般的情况，我们已获得的结论是：
本课题可以发现的结论远远不止这些，我们将结合初、高中教学进一步探索。
作者介绍：上海市金汇学校课题，201103 课题组成员是：孙联荣，凌国华，陈建祥，祝庆，胡艳，藏青，陈算荣