椭圆顶点的教学需要设计吗

椭圆顶点的教学需要设计吗？

1.问题的背景

x2y2

椭圆C: 2+2=1(a>b>0)的顶点是A1(－a,0), A2(a,0), B1(0,－b),和ab

B2(0,b).这是椭圆的一个十分简单的几何性质,因而对这一概念的教学,通常只是照搬教材上的定义,原汁原味的直接抛出,不作任何加工处理.笔者在教学这段内容时,围绕顶点的几何特征,精心设计了教学过程,引导学生展开探索.令人始料不及的是,这种做法却在一定范围内引起争议.本文就此作一些阐述,希望引起同行们的关注.

2.椭圆顶点的教学设计

x2y2

“椭圆C: 2+2=1(a>b>0) 与其对称轴有四个交点A1(－a,0), A2(a,0), ab

B1(0,－b),和B2(0,b).这四个交点称为椭圆的顶点”在给出教材上的定义后,提出如下问题:

师:为什么将这四个点定义为椭圆的顶点？

生(类比二次函数的图象)因为它们是椭圆与其对称轴的交点. 师:圆有无数条对称轴,可是圆没有顶点.

师:“顶”字常常具有最值性,如顶峰、顶尖高手、顶端等.那么椭圆的顶点具有最值性吗？(观察图形！)

生: 顶点 A1, A2是椭圆C上离其中心最远的点;顶点B1,和B2是椭圆C上离其中心最近的点.

师:从图上看应该如此！那么 ,结论是否真的可靠？

生:要严格证明.(有的说要量量看)

师:我们先取几个点度量一下(用几何画板或刻度尺,由对称性只需在第一象限内取点)…度量的结果支持上述结论.

师:度量不能代替严格的论证,那么怎样证明上述结论成立呢？

生:…

师: A1, A2到中心的距离是a, B1, B2到中心的距离是b.问题即证椭圆上的点到其中心距离的最大值为a,最小值为b.

生:在椭圆上任取一点P(x0,y0),然后,求PO的最大值与最小值.

师:(板书) PO=x20+y20？

xy 生:点P在椭圆上,坐标满足方程0

2+02=1,可代入消元. ab22

x022 师:y0=b(1－2) a

PO =x20+y20 2

=x02x+b(1-0

2) a22

b22=(1-2)x0+b2 a

c222x+b= 02a 生:∵－a≤x0≤a

∴0≤x02≤a2

∴x0=±a时,POmax=c2+b2=a

x0=0时,POmin=b

即A1, A2到中心的距离最远, B1, B2到中心的距离最近.

c22x0+b2可知当点P在第一象限内由A2移动到B2PO 师：由PO=2a

逐渐减小。由对称性可知在其它象限有类似结果。

师：再看看图形,顶点还有其它最值性吗？

生: A1, A2是椭圆C上离Y轴最远的点, B1, B2是椭圆C上离X轴最远的点师：可以证明吗？

生: 由椭圆的范围即可证出.

师：还有其他的最值性吗？…除了中心、对称轴,椭圆还有什么特殊的点和线？

生: 焦点,顶点到焦点的距离似乎也具有最值性！

生: A1, A2是椭圆C上离F2,F1最远与最近点;但B1, B2到两个焦点的距离相等

师：怎样证明呢？

生: 仿照上面的证法,在椭圆上任取一点P(x0,y0),求PF1或PF2最值

师：按照这一思路,看能否推证出来！

生: (板演)设P(x0,y0)为椭圆C上任意一点,

PF2=(x0-c)2+y0∵ 2

∵点P在椭圆C上

∴y02=b2(1－x0) 2a

22x22) ∴PF2=(x0-c)+b(1-0

b22=(1-2)x0-2cx0+c2+b2 a=… 师:注意a,b,c的关系

生: ∵a2=b2＋c2 c222x-2cx+a∴PF2= 002a

c=(x0-a)2 a

师:=cx0-a a… cx0-a的符号是否确定？ a

生: ∵－a≤x0≤a

c∴－c≤x0≤c a

c∴x0-a＜0 a

c∴PF2=a－x0 a

∴当x0=a时, PF2min=a－c;当x0=－a时PF2max=a＋c

∴A1, A2是椭圆C上离F2最远与最近点,由对称性可知A2,A1是椭圆C上离F1最远与最近点

c师:我们同样可以推出PF1=a＋x0. a

ccPF1=a＋x0,PF2=a－x0称为椭圆上点的焦半径公式. aa

由公式可以看出当点P从A1移动到A2时, PF1逐渐增大;而PF2逐渐减小. 师:这样我们便证明了定点所具有几方面的最值性.从这些最值性来看,把对称轴与椭圆的交点定义为椭圆的顶点实属当之无愧！

师:以上我们首先建立了距离函数(目标函数),再求这一目标函数的最值.实际上完全是用代数的方法推证出了结论.对图形的观察,让我们得到了猜想,而代数论证则使这些猜想变为可靠的结论！

解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科,我们便是利用了解析几何的基本方法,探索、研究了椭圆顶点的最值性.

3.顶点最值性的一个实际应用

如图,我国发射的第一颗人照地球卫星的运型轨道,是以地心F2(地球的中心)为一个焦点的椭圆,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km,远地点B(离地面最远的点)离地面2384km.并且F2,A,B在同一条直线上,地球的半径约为6371km,求卫星运行轨道的方程(精确到1km).

这是全日制普通高中教科书(试验修订本·必修)数学第二册上的一道例题,安排在椭圆的几何性质之后,远(近)地点离椭圆的中心也最远(近),因此,根据椭圆顶点的几何性质可知:A,B即为轨道椭圆长轴的两个端点A,B,F2必定共线！这样题目中给出的条件“F2,A,B在同一条直线上”便是多余的！

关于天体运行轨道的很多问题都需应用顶点的最值性来处理.

是增加一个多余条件,还是让学生探索出顶点的最值性,再用此处理问题？

前者只能导致学生的机械学习,而后者无疑是有意义的发现学习.

4.设计的教育价值分析

对十分简单的顶点问题，作如此复杂的教学加工，是否值得？是否小题大做？得不偿失？从以上的阐述不难看出这种做法的意义与价值.

首先,探索顶点的几何特征是解决问题的需要.不仅仅是解决天体运行轨道这一问题的直接需要,也是处理其它解析几何问题的需要.因为顶点的这些特征在反映自身性质的同时也衬托出其它点的特性:

若P1(x1 y1), P2(x2 y2)在椭圆C上, 0≤x1

则b≤OP1≤OP2≤a;a≥P1F2>P2F2≥a－c

进一步地还可以推出长轴是椭圆过其中心的最长的弦; 短轴是椭圆过其中心的最短的弦;这也是称它们为长、短轴的缘由之一.这样学生对椭圆及其相关概念的理解便会深刻的多.

因为这些特征揭示了椭圆的有别于定义的一种动态的变化规律(随着点的变动两种距离增大或减小),所以这些特征对于解题者准确地观察图形,捕捉有用的信息也会有很大的帮助.

其次,激发学生探索顶点几何特征的目的决非仅为了解决几个具体的问题.

观察图形－－－－－形成猜想－－－－－－检验猜想－－－－－－论证猜想,这一思维模式的渗透与运用对培养学生的探索能力具有重要意义;

用代数的方法研究几何问题，作为解析几何这门学科的基本思想方法如何在教学中加以渗透、体现，以让学生逐步掌握这一工具，从而完成学科教学的基本任务？上述的设计实质上是借助顶点这一载体，让学生在探索的过程中体验代数论证的魅力；感受数形结合的相得益彰；领悟到怎样将几何问题代数化的途径。可以毫不夸张地说，椭圆顶点这一概念提供了一个教学锲机－－－－渗透解析几何基本思想方法的一个极好的机会！不应错过这一良机.

第三,笔者的上述设计基本上遵循了当今数学教育的一些基本理念:着眼于学科能力,一般学数能力的培养; 着眼于主体对数学知识的深刻理解;着眼于帮助学生形成良好的认知结构等.国内外关于数学教育的研究已取得丰硕的成果,也

形成许多共识,但诸如要关注概念的形成过程、数学学习是学生主动建构的过程、知识的掌握与能力的形成需要主体有一个良好的认知结构等这些基本理念仍未被很多人所接受,这是本设计引起争议的直接原因之一.这种现象值得关注！给出定义－－－－解题训练,概念教学的这一模式在中学数学教学中已沿用多年,可谓根深蒂固,在当今的中学数学教学中仍占有相当大的“市场份额”.其特征是舍弃概念的形成过程, 直接给出定义后便很快地进入解题训练. 这种模式表面上是出于应试的需要(高考只考解题),实际上是对实现目标的手段的一种简单化的处理.它需要用大量的解题训练来代偿概念教学的不足,其结果仍难以使学生真正理解概念.由于认知结构的缺陷,学生的数学能力也难以达到其应有的程度.事实上,即便是应试能力的培养也需要理解概念的本质,需要建立起良好的认知结构,需要有较好的数学能力.我们认为现代数学教育理念的贯彻不会削弱学生的“应试能力”.

关于这一设计的可接受性,有人提出疑问.由于学习解析几何的时间不长,学生较难很快想到推证方法,即能否将问题转化为求POPF2的最值问题,点P在椭圆上这一几何条件代数化的作用等都是推证过程的障碍,但这些都是学生学习解析几何时所必须面临的问题.如担心不易接受便绕开,那么,学生的代数论证能力将永远也形成不了,更何况课堂实践表明通过教师的引导,学生不仅可以理解这种推证,而且主要的方法仍可由学生得出.

椭圆顶点的教学需要设计吗？

1.问题的背景

x2y2

椭圆C: 2+2=1(a>b>0)的顶点是A1(－a,0), A2(a,0), B1(0,－b),和ab

2.椭圆顶点的教学设计

x2y2

“椭圆C: 2+2=1(a>b>0) 与其对称轴有四个交点A1(－a,0), A2(a,0), ab

B1(0,－b),和B2(0,b).这四个交点称为椭圆的顶点”在给出教材上的定义后,提出如下问题:

师:为什么将这四个点定义为椭圆的顶点？

生(类比二次函数的图象)因为它们是椭圆与其对称轴的交点. 师:圆有无数条对称轴,可是圆没有顶点.

师:“顶”字常常具有最值性,如顶峰、顶尖高手、顶端等.那么椭圆的顶点具有最值性吗？(观察图形！)

生: 顶点 A1, A2是椭圆C上离其中心最远的点;顶点B1,和B2是椭圆C上离其中心最近的点.

师:从图上看应该如此！那么 ,结论是否真的可靠？

生:要严格证明.(有的说要量量看)

师:我们先取几个点度量一下(用几何画板或刻度尺,由对称性只需在第一象限内取点)…度量的结果支持上述结论.

师:度量不能代替严格的论证,那么怎样证明上述结论成立呢？

生:…

师: A1, A2到中心的距离是a, B1, B2到中心的距离是b.问题即证椭圆上的点到其中心距离的最大值为a,最小值为b.

生:在椭圆上任取一点P(x0,y0),然后,求PO的最大值与最小值.

师:(板书) PO=x20+y20？

xy 生:点P在椭圆上,坐标满足方程0

2+02=1,可代入消元. ab22

x022 师:y0=b(1－2) a

PO =x20+y20 2

=x02x+b(1-0

2) a22

b22=(1-2)x0+b2 a

c222x+b= 02a 生:∵－a≤x0≤a

∴0≤x02≤a2

∴x0=±a时,POmax=c2+b2=a

x0=0时,POmin=b

即A1, A2到中心的距离最远, B1, B2到中心的距离最近.

c22x0+b2可知当点P在第一象限内由A2移动到B2PO 师：由PO=2a

逐渐减小。由对称性可知在其它象限有类似结果。

师：再看看图形,顶点还有其它最值性吗？

生: A1, A2是椭圆C上离Y轴最远的点, B1, B2是椭圆C上离X轴最远的点师：可以证明吗？

生: 由椭圆的范围即可证出.

师：还有其他的最值性吗？…除了中心、对称轴,椭圆还有什么特殊的点和线？

生: 焦点,顶点到焦点的距离似乎也具有最值性！

生: A1, A2是椭圆C上离F2,F1最远与最近点;但B1, B2到两个焦点的距离相等

师：怎样证明呢？

生: 仿照上面的证法,在椭圆上任取一点P(x0,y0),求PF1或PF2最值

师：按照这一思路,看能否推证出来！

生: (板演)设P(x0,y0)为椭圆C上任意一点,

PF2=(x0-c)2+y0∵ 2

∵点P在椭圆C上

∴y02=b2(1－x0) 2a

22x22) ∴PF2=(x0-c)+b(1-0

b22=(1-2)x0-2cx0+c2+b2 a=… 师:注意a,b,c的关系

生: ∵a2=b2＋c2 c222x-2cx+a∴PF2= 002a

c=(x0-a)2 a

师:=cx0-a a… cx0-a的符号是否确定？ a

生: ∵－a≤x0≤a

c∴－c≤x0≤c a

c∴x0-a＜0 a

c∴PF2=a－x0 a

∴当x0=a时, PF2min=a－c;当x0=－a时PF2max=a＋c

∴A1, A2是椭圆C上离F2最远与最近点,由对称性可知A2,A1是椭圆C上离F1最远与最近点

c师:我们同样可以推出PF1=a＋x0. a

ccPF1=a＋x0,PF2=a－x0称为椭圆上点的焦半径公式. aa

解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科,我们便是利用了解析几何的基本方法,探索、研究了椭圆顶点的最值性.

3.顶点最值性的一个实际应用

关于天体运行轨道的很多问题都需应用顶点的最值性来处理.

是增加一个多余条件,还是让学生探索出顶点的最值性,再用此处理问题？

前者只能导致学生的机械学习,而后者无疑是有意义的发现学习.

4.设计的教育价值分析

对十分简单的顶点问题，作如此复杂的教学加工，是否值得？是否小题大做？得不偿失？从以上的阐述不难看出这种做法的意义与价值.

若P1(x1 y1), P2(x2 y2)在椭圆C上, 0≤x1

则b≤OP1≤OP2≤a;a≥P1F2>P2F2≥a－c

其次,激发学生探索顶点几何特征的目的决非仅为了解决几个具体的问题.

观察图形－－－－－形成猜想－－－－－－检验猜想－－－－－－论证猜想,这一思维模式的渗透与运用对培养学生的探索能力具有重要意义;

椭圆顶点的教学需要设计吗

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