一元二次方程的基本概念及性解法
b 1、 一般式：____________，a 为____________，为___________，c 为________。
即时巩固:
22
1．方程（m －1）x ＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是„（ ）
（A ）m ≠1 （B ）m ≠0 （C ）|m |≠1 （D ）m ＝±1
2. 方程(x –1)(2x +1)=2化成一般形式是 ，它的二次项系数是 . 2、 一元二次方程的解法
(1)直接开平方法 （也可以使用因式分解法）
①x 2=a (a ≥0) 解为:________ ②(x +a ) 2=b (b ≥0) 解为:__________
③(ax +b ) 2=c (c ≥0) 解为:_______ ④(ax +b ) =(cx +d ) (a ≠c ) 解为:_______ 1．方程x －2＝0的解是x ＝ ；
(2)配方法①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：
P 2P 2332222
x +Px +q =0⇔(x +) -() +q =0示例：x -3x +1=0⇔(x -) -() +1=0②二次项
2222的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：
2
22
ax 2+bx +c =0 (a ≠0) ⇒a (x 2+
b b b
x ) +c =0 ⇒a (x +) 2-a () 2+c =0a 2a 2a
(3)公式法：一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0) ，用配方法将其变形为：
b 2b 2-4ac
(x
+) =①当____________时，右端是正数．方程有两个不相等的实根：
2a 4a 2
② 当____________时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根;__________ ③ 当__________________时，右端是负数．因此，方程没有实根。 备注：公式法解方程的步骤：
①把方程化成一般形式，并确定出a 、b 、c
②求出∆=b -4ac ，并判断方程解的情况。③代公式：x 1,2=2
(4)因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法
2
如：ax +bx =0(a , b ≠0) ⇔x (ax +b ) =0 适合用提供因式，而且其中一个根为0
x 2-4x -12=0⇔(x -6)(x +2) =0 2x 2+5x -12=0⇔(2x -3)(x +4) =0
课堂巩固：
2
1、若x 1, x 2是方程x +2x -2007=0的两个根，试求下列各式的值：
(1) x 12+x 22； (2)
11
+； (3) (x 1-5)(x 2-5) ； x 1x 2
(4) |x 1-x 2|．
2
2、已知关于x 的方程x -(k +1) x +
12
k +1=0，根据下列条件，分别求出k 的值． 4
(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根x 1, x 2满足|x 1|=x 2．
3、已知x 1, x 2是一元二次方程4kx 2-4kx +k +1=0的两个实数根． （1）是否存在实数k ，使(2x 1-x 2)(x 1-2x 2) =-若不存在，请您说明理由．(2) 求使
4、韦达定理相关知识
(1)一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 有两实数根x 1和x 2，那么x 1+x 2=x 1*x 2= 。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称____________。
（2）二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式ax 2+bx +c 的因式时，如果可用公式求出方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的两个根x 1和x 2，那么_________________．如果方程
3
成立？若存在，求出k 的值； 2
x 1x 2
+-2的值为整数的实数k 的整数值． x 2x 1
ax 2+bx +c =0(a ≠0) 无根, 则此二次三项式ax 2+bx +c 不能分解。
即时巩固：
(1)一元二次方程x +px +q =0的两个根是x 1和x 2，则x 1+x 2= ，x 1∙x 2= 。 (2)以x 1和x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x -(x 1+x 2) x +x 1∙x 2=0 (3)在一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0) 中，有一根为0，则c =；有一根为1，则a +b +c = ；有一根为-1，则a -b +c = ；若两根互为倒数, 则c =；若两根互为相反数，则b =
课后练习：
22
1．方程（m －9）x ＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是（ ）
（A ）m ≠3 （B ）m ≠0 （C ）m ≠-3 （D ）m ≠±3 2．方程（3x ＋1）（x －1）＝（4x －1）（x －1）的解是（ ）
（A ）x 1＝1，x 2＝0 （B ）x 1＝1，x 2＝2 （C ）x 1＝2，x 2＝－1 （D ）无解 3．方程x +6=-x 的解是（ ）
（A ）x 1＝6，x 2＝－1 （B ）x ＝－6 （C ）x ＝－1 （D ）x 1＝2，x 2＝3
2
4．若关于x 的方程2x －ax ＋a －2＝0有两个相等的实根，则a 的值是（ ）
22
2
（A ）－4 （B ）4 （C ）4或－4 （D ）2 5．如果关于x 的方程x －2x －
2
k
＝0没有实数根，那么k 的最大整数值是（ ） 2
（A ）－3 （B ）－2 （C ）－1 （D ）0
3+13-1
和 为根的一个一元二次方程是（ ） 22
1112222
（A ）x -x +=0（B ）x +x +=0（C ）x -x +1=0（D ）x +3x -=0
222
6．以
7．4x －5在实数范围内作因式分解，结果正确的是（ ）
（A ）（2x ＋5）（2x －5）（B ）（4x ＋5）（4x －5）（C ）(x +5)(x -) （D ）(2x +5)(2x -5) 22
8．关于x 的方程x －（a －2a －15）x ＋a －1＝0的两个根互为相反数， a是（ ） （A ）5 （B ）－3 （C ）5或－3 （D ）1
9、关于x 的方程是(m –1) x +(m –1) x –2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程； 当m 时，方程为一元一次方程.
10、方程2x +3x =0的根是11、当k = 时，方程x +(k +1) x +k =0有一根是0. 12、若方程kx –6x +1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 . 13、设x 1、x 2是方程3x +4x –5=0的两根，则
2
22
2
2
2
2
2
2
11
+= .x 12+x 22= . x 1x 2
14、关于x 的方程2x +(m –9) x +m +1=0，当m = 时，两根互为倒数； 当m = 时，两根互为相反数.
15、若x 1 =3-2是二次方程x +ax +1=0的一个根，则a = ，该方程的另一个根x 2
2
= .
16、方程x +2x +a –1=0有两个负根，则a 的取值范围是 . 17、若p –3p –5=0，q －3q –5=0，且p ≠q ，则
2
2
2
11+= . q 2p 2
22
18、分解因式：x -2x -12x -3xy -y 2
19、如果把一元二次方程 x –3x –1=0的两根各加上1作为一个新一元二次方程的两根，
那么这个新一元二次方程是 .
20、已知方程x +(k +1) x +k =0的两根平方和是5，则k 21、解下列方程：
2
(1)(2x -1) =9 (2)(x +1)(x +2) =2x +4
2
2
(3)3x –4x –1=0 (4)4x –8x +1=0（用配方法）
2
22、求证：不论k 取什么实数，方程x -(k+6)x+4(k- 3)=0一定有两个不相等的实数根.
23、已知关于x 的方程（m ＋2）x －5mx +m -3=0. （1）求证方程有实数根；
（2）若方程有两个实数根，且两根平方和等于3，求m 的值．
22
24、已知关于x 的方程式x ＝（2m ＋2）x －（m ＋4m －3）中的m 为不小于0的整数，并且它的两实根的符号相反，求m 的值，并解方程．
22
25、已知a 、b 、c 为三角形三边长，且方程b (x-1)-2ax+c (x+1)=0有两个相等的实数根. 试判断此三角形形状，说明理由.
2
2
2
一元二次方程的基本概念及性解法
b 1、 一般式：____________，a 为____________，为___________，c 为________。
即时巩固:
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1．方程（m －1）x ＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是„（ ）
（A ）m ≠1 （B ）m ≠0 （C ）|m |≠1 （D ）m ＝±1
2. 方程(x –1)(2x +1)=2化成一般形式是 ，它的二次项系数是 . 2、 一元二次方程的解法
(1)直接开平方法 （也可以使用因式分解法）
①x 2=a (a ≥0) 解为:________ ②(x +a ) 2=b (b ≥0) 解为:__________
③(ax +b ) 2=c (c ≥0) 解为:_______ ④(ax +b ) =(cx +d ) (a ≠c ) 解为:_______ 1．方程x －2＝0的解是x ＝ ；
(2)配方法①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：
P 2P 2332222
x +Px +q =0⇔(x +) -() +q =0示例：x -3x +1=0⇔(x -) -() +1=0②二次项
2222的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：
2
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ax 2+bx +c =0 (a ≠0) ⇒a (x 2+
b b b
x ) +c =0 ⇒a (x +) 2-a () 2+c =0a 2a 2a
(3)公式法：一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0) ，用配方法将其变形为：
b 2b 2-4ac
(x
+) =①当____________时，右端是正数．方程有两个不相等的实根：
2a 4a 2
② 当____________时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根;__________ ③ 当__________________时，右端是负数．因此，方程没有实根。 备注：公式法解方程的步骤：
①把方程化成一般形式，并确定出a 、b 、c
②求出∆=b -4ac ，并判断方程解的情况。③代公式：x 1,2=2
(4)因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法
2
如：ax +bx =0(a , b ≠0) ⇔x (ax +b ) =0 适合用提供因式，而且其中一个根为0
x 2-4x -12=0⇔(x -6)(x +2) =0 2x 2+5x -12=0⇔(2x -3)(x +4) =0
课堂巩固：
2
1、若x 1, x 2是方程x +2x -2007=0的两个根，试求下列各式的值：
(1) x 12+x 22； (2)
11
+； (3) (x 1-5)(x 2-5) ； x 1x 2
(4) |x 1-x 2|．
2
2、已知关于x 的方程x -(k +1) x +
12
k +1=0，根据下列条件，分别求出k 的值． 4
(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根x 1, x 2满足|x 1|=x 2．
3、已知x 1, x 2是一元二次方程4kx 2-4kx +k +1=0的两个实数根． （1）是否存在实数k ，使(2x 1-x 2)(x 1-2x 2) =-若不存在，请您说明理由．(2) 求使
4、韦达定理相关知识
(1)一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 有两实数根x 1和x 2，那么x 1+x 2=x 1*x 2= 。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称____________。
（2）二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式ax 2+bx +c 的因式时，如果可用公式求出方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的两个根x 1和x 2，那么_________________．如果方程
3
成立？若存在，求出k 的值； 2
x 1x 2
+-2的值为整数的实数k 的整数值． x 2x 1
ax 2+bx +c =0(a ≠0) 无根, 则此二次三项式ax 2+bx +c 不能分解。
即时巩固：
(1)一元二次方程x +px +q =0的两个根是x 1和x 2，则x 1+x 2= ，x 1∙x 2= 。 (2)以x 1和x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x -(x 1+x 2) x +x 1∙x 2=0 (3)在一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0) 中，有一根为0，则c =；有一根为1，则a +b +c = ；有一根为-1，则a -b +c = ；若两根互为倒数, 则c =；若两根互为相反数，则b =
课后练习：
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1．方程（m －9）x ＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是（ ）
（A ）m ≠3 （B ）m ≠0 （C ）m ≠-3 （D ）m ≠±3 2．方程（3x ＋1）（x －1）＝（4x －1）（x －1）的解是（ ）
（A ）x 1＝1，x 2＝0 （B ）x 1＝1，x 2＝2 （C ）x 1＝2，x 2＝－1 （D ）无解 3．方程x +6=-x 的解是（ ）
（A ）x 1＝6，x 2＝－1 （B ）x ＝－6 （C ）x ＝－1 （D ）x 1＝2，x 2＝3
2
4．若关于x 的方程2x －ax ＋a －2＝0有两个相等的实根，则a 的值是（ ）
22
2
（A ）－4 （B ）4 （C ）4或－4 （D ）2 5．如果关于x 的方程x －2x －
2
k
＝0没有实数根，那么k 的最大整数值是（ ） 2
（A ）－3 （B ）－2 （C ）－1 （D ）0
3+13-1
和 为根的一个一元二次方程是（ ） 22
1112222
（A ）x -x +=0（B ）x +x +=0（C ）x -x +1=0（D ）x +3x -=0
222
6．以
7．4x －5在实数范围内作因式分解，结果正确的是（ ）
（A ）（2x ＋5）（2x －5）（B ）（4x ＋5）（4x －5）（C ）(x +5)(x -) （D ）(2x +5)(2x -5) 22
8．关于x 的方程x －（a －2a －15）x ＋a －1＝0的两个根互为相反数， a是（ ） （A ）5 （B ）－3 （C ）5或－3 （D ）1
9、关于x 的方程是(m –1) x +(m –1) x –2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程； 当m 时，方程为一元一次方程.
10、方程2x +3x =0的根是11、当k = 时，方程x +(k +1) x +k =0有一根是0. 12、若方程kx –6x +1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 . 13、设x 1、x 2是方程3x +4x –5=0的两根，则
2
22
2
2
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11
+= .x 12+x 22= . x 1x 2
14、关于x 的方程2x +(m –9) x +m +1=0，当m = 时，两根互为倒数； 当m = 时，两根互为相反数.
15、若x 1 =3-2是二次方程x +ax +1=0的一个根，则a = ，该方程的另一个根x 2
2
= .
16、方程x +2x +a –1=0有两个负根，则a 的取值范围是 . 17、若p –3p –5=0，q －3q –5=0，且p ≠q ，则
2
2
2
11+= . q 2p 2
22
18、分解因式：x -2x -12x -3xy -y 2
19、如果把一元二次方程 x –3x –1=0的两根各加上1作为一个新一元二次方程的两根，
那么这个新一元二次方程是 .
20、已知方程x +(k +1) x +k =0的两根平方和是5，则k 21、解下列方程：
2
(1)(2x -1) =9 (2)(x +1)(x +2) =2x +4
2
2
(3)3x –4x –1=0 (4)4x –8x +1=0（用配方法）
2
22、求证：不论k 取什么实数，方程x -(k+6)x+4(k- 3)=0一定有两个不相等的实数根.
23、已知关于x 的方程（m ＋2）x －5mx +m -3=0. （1）求证方程有实数根；
（2）若方程有两个实数根，且两根平方和等于3，求m 的值．
22
24、已知关于x 的方程式x ＝（2m ＋2）x －（m ＋4m －3）中的m 为不小于0的整数，并且它的两实根的符号相反，求m 的值，并解方程．
22
25、已知a 、b 、c 为三角形三边长，且方程b (x-1)-2ax+c (x+1)=0有两个相等的实数根. 试判断此三角形形状，说明理由.
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