必修四数学公式概念
第一章 三角函数
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
1、一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S =
{ββ=α+k ⋅36︒0, k ∈Z }.
{ββ=α+90︒+k ⋅180︒, k ∈Z }.
与角α终边垂直的角的集合：S =
1.1.2 弧度制
2、如图，圆O 的半径为1，3、角α的弧度数的绝对值是：
的长等于1，∠AOB 就是1弧度的角。
=
l
l
变形： r =l =⋅r r
其中 半径r ，圆心角α，弧长l .
5、弧长公式：l =r 6、扇形面积公式：S 扇形=
11
lr =αr 2 22
1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
1、如图：OP =r = ①正弦：sin α=
x 2+y 2>0
y x ②余弦：cos α= r r y
③正切：tan α=(x ≠0)
x
2三角函数定义域
3、三角函数值的符号
4、诱导公式一
_ _
+ +
s i n α(+k ⋅2π) =s i n α, c o s α(+k ⋅2π) =c o αs , t a n α(+k ⋅2π) =t a n α,
其中k ∈Z .
利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为[0, 2π)内的三角函数值。 5、三角函数线
如图，sin α=y =MP , cos α=x =OM , tan α=AT =6、特殊角的三角函数
y
x
补充1、如图，角平分线落在一、三象限线(x =y )上方，则sin x >cos x . 补充2、如图，当α∈ 0, 证明：
x=y
⎛
⎝
π⎫
⎪时，sin α>α>tan α 2⎭
S ∆OPA
OA OM
222
∴MP
∴sin α
1.2.2 同角三角函数的基本关系
222222
7、平方关系：sin α+cos α=1 变形：sin α=1-cos α，cos α=1-sin α
8、商数关系：
sin αsin α
=tan α 变形：sin α=tan α⋅cos α，cos α=
cos αtan α
2
tan 2α12
9、推导公式： ①cos α= ②sin α= 22
1+tan α1+tan α
③(sin α±cos α)=1±2sin αcos α ④(sin α+cos α)+(sin α-cos α)=2
2
2
2
1.3 三角函数的诱导公式
公式二： 公式三： 公式四：
π+α=-s i n s i n α,
t a (n π+α)=t a n α. ⎛π⎫
s i n s , -α⎪=c o α⎝2⎭s c o
-α=-s i n s i n α,
t a (n -α)=-t a n α. ⎛π⎫
s
i n s ,
+α⎪=c
o α⎝2⎭
π-α=s i n s i n α,
t a (n π-α)=-t a n α.
s π+α)=-c o αs , c o (s -α)=c o αs , c o (s π-α)=-c o αs , c o (
公式五： 公式六：
⎛π⎫⎛π⎫
-α⎪=s i n α, c o s +α⎪=-s i n α, ⎝2⎭⎝2⎭
11⎛π⎫⎛π⎫
t a n -α⎪=. t a n +α⎪=-.
2t a n α2t a n α⎝⎭⎝⎭
1.4 三角函数图象与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像
1、正弦、余弦函数图象
2、在正弦和余弦函数中，起关键作用的五个点的坐标为：
⎛π⎫⎛3π⎫
y =sin x ，x ∈[0, 2π]：0, 0, , 1⎪, π, 0, , -1⎪, 2π, 0
⎝2⎭⎝2⎭
()()()
⎛π⎫⎛3π⎫
y =cos x ，x ∈[0, 2π]：(0, 1), , 0⎪, (π, -1), , 0⎪, (2π, 1)
⎝2⎭⎝2⎭
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
3、对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有、非零常数T 就叫做这个函数的周期。 f (x +T )=f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数．．．．．．函数y =A sin (ωx +ϕ)及函数y =A cos (ωx +ϕ)的周期T =4、重要推论
（1）若函数f (a +x )=f (a -x )，则f (x )关于x =a 对称； 若函数f (a +x )=-f (a -x )，则f (x )关于点a , 0对称. （2）与周期相关的结论
①f (x +a )=-f (x )，则函数f (x )的一个周期T =2a ； ②f (x +a )=
2π
ω
.
()
1
，则函数f (x )的一个周期T =2a ； f x 1
，则函数f (x )的一个周期T =2a ； f x ③f (x +a )=-
④f (x +a )=f (x +b )，则函数f (x )的一个周期T =a -b ； ⑤f (x +a )=
1+f (x )，则函数f (x )的一个周期T =4a ； 1-f x ⑥f (x )关于x =a 和x =b 对称，则f (x )周期T =2a -b ； ⑦f (x )关于a , 0和b , 0对称，则f (x )周期T =2a -b ； ⑧f (x )关于a , 0和x =b 对称，则f (x )周期T =4a -b . 5、正弦函数y =sin x 的定义域为R ；值域为[-1, 1]. 当x =
((
)()
)
π
2
+2k π(k ∈Z )时，y 取最大值1；当x =-
π
2
+2k π(k ∈Z )时，y 取最小值-1.
6、余弦函数y =cos x 的定义域为R ；值域为[-1, 1].
当x =2k π(k ∈Z )时，y 取最大值1；当x =π+2k π(k ∈Z )时，y 取最小值-1. 7、奇偶性
由诱导公式sin (-x )=-sin x ，cos (-x )=cos x 可知： 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。 ．．．．．．8、对称性
（1）正弦曲线对称中心坐标为k π, 0
(
(k ∈Z ). )(k ∈Z )；对称轴方程是x =k π+π
2
⎫
, 0⎪(k ∈Z )；对称轴方程是x =k π(k ∈Z ). 2⎭
（2）余弦曲线对称中心坐标为 k π+9、单调性
（1）正弦函数y =sin x 在⎢-
⎛⎝
π
π⎡π⎤
+2k π, +2k π⎥(k ∈Z )上都是增函数，其值从-1增大
2⎣2⎦
到1；在⎢
3π⎡π⎤
+2k π, +2k π⎥(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到-1.
2⎣2⎦
（2）余弦函数y =cos x 在-π+2k π, 2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从-1增大到1；在[2k π,
[
π+2k π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到-1.
1.4.3 正切函数的性质与图像
10、正切函数的图像 11、正切函数y =tan x 的定义域是：
⎨x x ≠k π+
⎧⎩
π
⎫, k ∈Z ⎬. 2⎭
12、周期性
由诱导公式tan (x +π)=tan x , x ∈R ,
x ≠
π
2
+k π, k ∈Z 可知，正切函数是周
期函数，周期是T =π.
13、奇偶性
由诱导公式tan (-x )=-tan x , x ∈R ，
x ≠
π
2
+k π, k ∈Z 可知，正切函数是奇
函数。
14、单调性：正切函数在开区间 -15、值域：正切函数的值域为R.
π⎛π⎫
+k π, +k π⎪k ∈Z 内都是增函数。
2⎝2⎭
1.5 函数y =A sin (ωx +ϕ)的图像
1、ϕ对y =sin (x +ϕ)，x ∈R 图像的影响
函数y =sin (x +ϕ)（ϕ≠0）的图像，可以看做是把y =sin x 的图像上各点向左（ϕ>0）或向右（ϕ0)对y =sin (ωx +ϕ)图像的影响
函数y =sin(x +ϕ) 的图像上点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0
3、A (A >0)对y =A sin (ωx +ϕ)图像的影响
函数y =A sin (ωx +ϕ)的图像，可以看做是把y =sin (ωx +ϕ)上所有点的纵坐标伸长
1
ω
倍
(A >1) 或缩短(0
4、y =A sin (ωx +ϕ) ，x ∈[0, +∞]，A >0,
ω>0 的性质
（1）对称轴：令sin (ωx +ϕ)=±1，即ωx +ϕ=
π
2
+k π，∴x =
k π+
π
-ϕ
(k ∈Z )
ω
，
（2）对称中心：令sin (ωx +ϕ)=0，∴ωx +ϕ=k π，∴x =
k π-ϕ
ω
⎛k π-ϕ⎫
∴ , 0⎪ ω⎪(k ∈Z ) ⎝⎭
（3）最值：⎨y max =1, ωx +ϕ=（4）单调区间：A ,
⎧
⎩
π
2
+2k π, y min =-1, ωx +ϕ=-
π
2
+2k π
ω均大于0以后，将ωx +ϕ整体代入
2π
5、当函数y =A sin (ωx +ϕ)(x ≥0)(A >0, ω>0)表示一个振动量时，A 为振幅，T =．．．．．是周期，f =．．
ω
1ω
是频率，ωx +ϕ为相位，ϕ为初相。 =．．．．．．
T 2π
第二章 平面向量
2.1 平面向量的基本概念
2.1.1 平面向量的概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。
2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度面积、体积、质量等）称为数量。
2.1.2 向量的几何表示
3、有向线段：如图，具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。
4、向量的模：向量可以用有向线段表示。向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB 或者a .
5、零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0。零向量的方向不确定，是任意的。 6、单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
7、向量的字母表示：向量在印刷体时，用黑体小写字母a 、b 、c 、„表示向量；手写时，写成带箭头的小写字母a 、、、b c …表示。
8、平行向量：方向相同或相反的的非零向量叫做平行向量。通常记作a //b 。零向量与任一向量平行，即对于任意向量a ，都有0//a . 平行向量也叫做共线向量。
2.1.3 相等向量与共线向量
9、相等向量：长度相等且方向相反的向量叫做相等向量。 10、共线向量：任一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以，平行向量也叫做共线向量。
2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
1、三角形法则：如图，已知非零向量a 、b ，在平面内任
取一点A ，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a +b ，即a +b =AB +BC =AC .
对于零向量与任一向量a ，仍然有0+a =a +0=a 2、平行四边形法则：如图，以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作OACB ，则以O 为起点的对角线OC 就
是a 与b 的和。记作a +b =AC . 3、向量a 、b 、a +b 的关系 （1）a 、b 都为非零向量 （Ⅰ）当a 、b
不共线时，
a -b
（Ⅱ）当a 、b 共线时，①同向，则a +b =a +b ；②反向，则a +b =a -b （2）当a 、b 至少有一个为零向量时，a +b =a +b =a -b
综上所述：当a 、b 不共线时，一般地，我们有 a +b ≤a +b ≤a +b . 4、向量加法（1）交换律：a +b =b +a （2）结合律：(a +b )+c =a +(b +c ) 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
5、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作-a . 若a 、b 是互为相反的向量，则a =-b ，b =-a ，a +b =0. 6、向量的减法：如图，已知向量a 于b ，在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则
BA =a -b ，即a -b 表示的向量从向量b 的终点
指向向量a 的终点的向量。 7、向量a 、b 、a -b 的关系 （1）a 、b 都为非零向量，
（Ⅰ）当a 、b 不共线时：a -b
（Ⅱ）当a 、b 共线时，①同向，则a -b =a -b ；②方向，则a -b =a +b （2）当a 、b 少有一个为零向量时，a -b =a -b =a +b
综上所述：当a 、b 不共线时，一般地，我们有a -b ≤a -b ≤a +b . 2.2.3 向量乘法运算及其几何意义
8、向量的数乘：实数λ于向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：
λa
λa =a −
a
当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ
设λ、μ为实数，则有 结合律：λ(μa )=(λμ)a ； 第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa ；第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 特别的，我们有(-λ)a =-(λa )=λ(-a )；λ(a -b )=λa -λb
.
10、数乘向量与原向量之间的位置关系 （1）当a =0时，λa 与a 共线；
（2）当a ≠0时，λa 与a 同向，则λ>0；反向，则λ
11、对于向量a (a ≠0)、b ，如果有一个实数λ，使b =λa ，那么由向量数乘的定义知，
a 与b 共线。
12、共线向量定理
（1）判定定理：如果b =λa (λ∈R )，那么a //b
（2）性质定理：如果a //b ，a ≠0，那么存在唯一一个实数λ，使得b =λa
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
1、平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使
a =λ1e 1+λ2e 2. 我们把不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
2、两向量的夹角
如图，非零向量a 、b 中，作OA =a ，OB =b ，则
∠AOB =θ(0o ≤θ≤108o )叫做向量a 与b 的夹角。如果a 与b 的夹
角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .
2.3.2 平面性量的正交分解及坐标表示
3、正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解
4、如图，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实x 、y 使得
a =x i +y j .
把a =(x , y )叫做向量的坐标表示。 2.3.3 平面向量的坐标运算 5、向量的加减法运算
若a =(x 1, y 1)，b =(x 2, y 2)，则a +b =(x 1+x 2, y 1+y 2)，a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2) 两个向量的和与差的坐标分别分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 6、实数于向量的积
若a =(x 1, y 1)，b =(x 2, y 2)，则λa =λ(x 1, y 1)=(λx 1, λy 1) 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 7、若A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)，则AB =(x 2-x 1, y 2-
y 1)
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
8、设A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)，其中b ≠0，当且仅当x 1y 2-x 2y 1=0时，向量a 、b 共线。即a //b （b ≠0）⇔x 1y 2-x 2y 1=0.
2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的含义
1、数量积：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量a b cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ，即a b =a b cos θ. 其中，θ是a 与b 的夹角。 我们规定，零向量与任一向量的数量积为0. 即0⋅a =0. 注意：（1）a 、b 运算结果是数量；（2）它在⎢0, 2、根据向量数量积的定义得出的结论 （1）a ⊥b ⇔a b =0
（2）当a 与b 同向时，a b =a b ；当a 与b 反向时，a b =-a b . 特别的，
⎡⎣
π⎫
2⎭
⎪为正，
⎛π⎤
, π⎥为负。 ⎝2⎦
a a =a =a
2或a ==（3）a b ≤a b （共线时取等号）
（4）求投影，由a b =a b cos θ⇒a cos θ=
2
a b
. b
求夹角，由a b =a b cos θ⇒cos =3、平面向量数量积的几何意义
a b
a b
数量积a b 等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影b cos θ的乘积。 4、向量的运算律
（1）交换律：a b =b a （2）结合律：(λa )b =λ(a b )=a （3）分配律：(a +b )c =a c +b c
2222
（4）(a +b )=a +2a b +b （5）(a +b )(a -b )=a -b
2
(λb )
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
5、平面向量数量积的坐标表示
设A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)，则a b =x 1x 2+y 1y 2.
也就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 6、向量的长度（模）的坐标表示
（1）向量的长度（模）：若a =(x , y )，则有a
2
=x 2+y 2
，a =
（2）两点间的距离公式：设A 、B 两点坐标分别为(
x A , y A )，(
x B , y B )
，则
AB =
7、两向量垂直的充要条件的坐标表示
设a =(x 1, y 1)，b =(x 2, y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0 8、两向量夹角的坐标表示
设a =(x 1, y 1)，b =(x 2, y 2)，a ，b 的夹角为θ
，则有
cos θ=
a b
a b
= 平面向量补充内容
补充1、平面内不同四点为O , A , B , C ，则
A , B , C 三点共线⇔OC =λOA +μOB (λ+μ=1)或
OC =λOA +(1-λ)OB .
特别的，当λ=
1
2
时，C 为AB 中点，OC =12(OA +OB )
. 补充2、（1）若GA +GB +GC =0，则G 为△ABC 的重心。 （2）若A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)，C (x 3, y 3)
，则G 坐标为
⎧
x =x 1+x 2+x 3 ⎪⎪⎨3⎪y +y +y
⎩
y =1
23⎪3补充3、当PP 1=λPP 2时，则(x -x 1, y -y 1)=λ(x 2-x , y 2-y )
x ⎧⎧
1+λx 2
∴⎪⎨x -x 1=λ(x 2-x )⎪⎪x =1+λ
⎪-y )
∴
⎩y -y ⎨
1=λ(y 2⎪y =y +
λy
12⎪⎩
1+λ
总结：若P ，则 起P 分=P 分P 终
⎛x 起+λx 终y 起+λy 终⎫
, ⎪.
1+λ⎭⎝1+λ
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
1、cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β （C (α-β)）
给出任意角α，β的正弦、余弦值与其夹角α-β的余弦值之间的关系. 称为差角的余弦公式。简记作C (α-β).
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2、两角和的余弦公式 c o s (α+
β)=c o αs c o βs -
（C (α+β)） s αi n βs i n
3、两角和（差）的正弦公式 s i n (α+ s i n (α-
β)=s i αn c o βs +β)=s i αn c o βs -
i n （S (α+β)） c αo s βs i n （S (α-β)） c αo s βs
4、两角和（差）的正切公式 t a n (α+β)=
t a n α+t a βn
（T (α+β)）
1-t a αn t a βn t a n α-t a βn
（T (α-β)）
1+t a αn t a βn
t a n (α-β)=
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
5、二倍角的正弦、余弦、正切公式
2= s i n α
2s αi n
c α o s （S 2α）
2
2= c o s α2= t a n α
c 2o αs -s αi n =2
2c αo -s =-1
12αn C 2α） 2 s i （
2t a αn
（T 2α）
1-t a 2n α
2
8、公式的逆运算即变形公式
22
（1）1±sin 2α=sin α+cos α±2sin αcos α=(sin α±cos α)
（2）升幂公式：1+cos α=2cos
2
α
2
1-cos α=2sin
2
α
2
降幂公式：cos α=
2
1-c o s α21+cos 2α2
s i n α=
22
补充1
：辅助角公式：a sin α+b cos α=
⎫αα⎪
⎭
补充2：若在三角形“△”中，sin A =a ,cos B =b ， 则a >b ⇔A sin B .
3.2 简单的三角恒等变换
6、半倍角的正弦、余弦、正切公式
s i =α
2
α
cos =2
t a =α
2
s i αn -1c αo s
==
+1c αo s αs i n
7、半倍角平方的正弦、余弦、正切公式 s i n
2
α
2
=
1-c o αs 1+cos α1-c o αs 2α2α= cos t a n =
22221+c o αs
若给出角α的范围（某一区间）时，可先求出
的范围，然后再根据所在的范围来22
确定符号。如果没有决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号
9、三角函数的积化和差公式
1
s n +βi n -)β⎡⎤ (i α)+(s α⎣⎦21
αs i βn =⎡s n +βi n -)β⎤ c o s (i α)-(s α⎦ 2⎣
1
αc o βs =⎡c α-s )β⎤ c o s (o αs +β)+(c o ⎣⎦ 2
1
αs i βn =⎡c αs +βαs -)β⎤ s i n (o )-(c o ⎣⎦2
αc o βs = s i n
10、三角函数的和差化积公式
α+s i βn = s i n
α-s i βn = s i n
α+β
2⋅
2α+β2⋅
2
2α-β 2
α-β
α+β2⋅
2α+β
α-c o βs =-2⋅ c o s
2α+c o βs = c o s
α-β
2α-β 2
11、三倍角的正弦、余弦、正切公式
s i n α3=3s αi -n 43
s α i n cos3α=4cos 3α-3cos α
t a n α3=3t a αn -t 3a αn
1-3t a 2
n α
12、其他一些恒等变换
2tan
θ
1-t a 2n
θ2tan
θ sin θ=
c o s θ=
tan θ=
1+tan 2
2
1+t a 2n 2
1-tan 2
2
必修四数学公式概念
第一章 三角函数
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
1、一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S =
{ββ=α+k ⋅36︒0, k ∈Z }.
{ββ=α+90︒+k ⋅180︒, k ∈Z }.
与角α终边垂直的角的集合：S =
1.1.2 弧度制
2、如图，圆O 的半径为1，3、角α的弧度数的绝对值是：
的长等于1，∠AOB 就是1弧度的角。
=
l
l
变形： r =l =⋅r r
其中 半径r ，圆心角α，弧长l .
5、弧长公式：l =r 6、扇形面积公式：S 扇形=
11
lr =αr 2 22
1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
1、如图：OP =r = ①正弦：sin α=
x 2+y 2>0
y x ②余弦：cos α= r r y
③正切：tan α=(x ≠0)
x
2三角函数定义域
3、三角函数值的符号
4、诱导公式一
_ _
+ +
s i n α(+k ⋅2π) =s i n α, c o s α(+k ⋅2π) =c o αs , t a n α(+k ⋅2π) =t a n α,
其中k ∈Z .
利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为[0, 2π)内的三角函数值。 5、三角函数线
如图，sin α=y =MP , cos α=x =OM , tan α=AT =6、特殊角的三角函数
y
x
补充1、如图，角平分线落在一、三象限线(x =y )上方，则sin x >cos x . 补充2、如图，当α∈ 0, 证明：
x=y
⎛
⎝
π⎫
⎪时，sin α>α>tan α 2⎭
S ∆OPA
OA OM
222
∴MP
∴sin α
1.2.2 同角三角函数的基本关系
222222
7、平方关系：sin α+cos α=1 变形：sin α=1-cos α，cos α=1-sin α
8、商数关系：
sin αsin α
=tan α 变形：sin α=tan α⋅cos α，cos α=
cos αtan α
2
tan 2α12
9、推导公式： ①cos α= ②sin α= 22
1+tan α1+tan α
③(sin α±cos α)=1±2sin αcos α ④(sin α+cos α)+(sin α-cos α)=2
2
2
2
1.3 三角函数的诱导公式
公式二： 公式三： 公式四：
π+α=-s i n s i n α,
t a (n π+α)=t a n α. ⎛π⎫
s i n s , -α⎪=c o α⎝2⎭s c o
-α=-s i n s i n α,
t a (n -α)=-t a n α. ⎛π⎫
s
i n s ,
+α⎪=c
o α⎝2⎭
π-α=s i n s i n α,
t a (n π-α)=-t a n α.
s π+α)=-c o αs , c o (s -α)=c o αs , c o (s π-α)=-c o αs , c o (
公式五： 公式六：
⎛π⎫⎛π⎫
-α⎪=s i n α, c o s +α⎪=-s i n α, ⎝2⎭⎝2⎭
11⎛π⎫⎛π⎫
t a n -α⎪=. t a n +α⎪=-.
2t a n α2t a n α⎝⎭⎝⎭
1.4 三角函数图象与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像
1、正弦、余弦函数图象
2、在正弦和余弦函数中，起关键作用的五个点的坐标为：
⎛π⎫⎛3π⎫
y =sin x ，x ∈[0, 2π]：0, 0, , 1⎪, π, 0, , -1⎪, 2π, 0
⎝2⎭⎝2⎭
()()()
⎛π⎫⎛3π⎫
y =cos x ，x ∈[0, 2π]：(0, 1), , 0⎪, (π, -1), , 0⎪, (2π, 1)
⎝2⎭⎝2⎭
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
3、对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有、非零常数T 就叫做这个函数的周期。 f (x +T )=f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数．．．．．．函数y =A sin (ωx +ϕ)及函数y =A cos (ωx +ϕ)的周期T =4、重要推论
（1）若函数f (a +x )=f (a -x )，则f (x )关于x =a 对称； 若函数f (a +x )=-f (a -x )，则f (x )关于点a , 0对称. （2）与周期相关的结论
①f (x +a )=-f (x )，则函数f (x )的一个周期T =2a ； ②f (x +a )=
2π
ω
.
()
1
，则函数f (x )的一个周期T =2a ； f x 1
，则函数f (x )的一个周期T =2a ； f x ③f (x +a )=-
④f (x +a )=f (x +b )，则函数f (x )的一个周期T =a -b ； ⑤f (x +a )=
1+f (x )，则函数f (x )的一个周期T =4a ； 1-f x ⑥f (x )关于x =a 和x =b 对称，则f (x )周期T =2a -b ； ⑦f (x )关于a , 0和b , 0对称，则f (x )周期T =2a -b ； ⑧f (x )关于a , 0和x =b 对称，则f (x )周期T =4a -b . 5、正弦函数y =sin x 的定义域为R ；值域为[-1, 1]. 当x =
((
)()
)
π
2
+2k π(k ∈Z )时，y 取最大值1；当x =-
π
2
+2k π(k ∈Z )时，y 取最小值-1.
6、余弦函数y =cos x 的定义域为R ；值域为[-1, 1].
当x =2k π(k ∈Z )时，y 取最大值1；当x =π+2k π(k ∈Z )时，y 取最小值-1. 7、奇偶性
由诱导公式sin (-x )=-sin x ，cos (-x )=cos x 可知： 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。 ．．．．．．8、对称性
（1）正弦曲线对称中心坐标为k π, 0
(
(k ∈Z ). )(k ∈Z )；对称轴方程是x =k π+π
2
⎫
, 0⎪(k ∈Z )；对称轴方程是x =k π(k ∈Z ). 2⎭
（2）余弦曲线对称中心坐标为 k π+9、单调性
（1）正弦函数y =sin x 在⎢-
⎛⎝
π
π⎡π⎤
+2k π, +2k π⎥(k ∈Z )上都是增函数，其值从-1增大
2⎣2⎦
到1；在⎢
3π⎡π⎤
+2k π, +2k π⎥(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到-1.
2⎣2⎦
（2）余弦函数y =cos x 在-π+2k π, 2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从-1增大到1；在[2k π,
[
π+2k π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到-1.
1.4.3 正切函数的性质与图像
10、正切函数的图像 11、正切函数y =tan x 的定义域是：
⎨x x ≠k π+
⎧⎩
π
⎫, k ∈Z ⎬. 2⎭
12、周期性
由诱导公式tan (x +π)=tan x , x ∈R ,
x ≠
π
2
+k π, k ∈Z 可知，正切函数是周
期函数，周期是T =π.
13、奇偶性
由诱导公式tan (-x )=-tan x , x ∈R ，
x ≠
π
2
+k π, k ∈Z 可知，正切函数是奇
函数。
14、单调性：正切函数在开区间 -15、值域：正切函数的值域为R.
π⎛π⎫
+k π, +k π⎪k ∈Z 内都是增函数。
2⎝2⎭
1.5 函数y =A sin (ωx +ϕ)的图像
1、ϕ对y =sin (x +ϕ)，x ∈R 图像的影响
函数y =sin (x +ϕ)（ϕ≠0）的图像，可以看做是把y =sin x 的图像上各点向左（ϕ>0）或向右（ϕ0)对y =sin (ωx +ϕ)图像的影响
函数y =sin(x +ϕ) 的图像上点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0
3、A (A >0)对y =A sin (ωx +ϕ)图像的影响
函数y =A sin (ωx +ϕ)的图像，可以看做是把y =sin (ωx +ϕ)上所有点的纵坐标伸长
1
ω
倍
(A >1) 或缩短(0
4、y =A sin (ωx +ϕ) ，x ∈[0, +∞]，A >0,
ω>0 的性质
（1）对称轴：令sin (ωx +ϕ)=±1，即ωx +ϕ=
π
2
+k π，∴x =
k π+
π
-ϕ
(k ∈Z )
ω
，
（2）对称中心：令sin (ωx +ϕ)=0，∴ωx +ϕ=k π，∴x =
k π-ϕ
ω
⎛k π-ϕ⎫
∴ , 0⎪ ω⎪(k ∈Z ) ⎝⎭
（3）最值：⎨y max =1, ωx +ϕ=（4）单调区间：A ,
⎧
⎩
π
2
+2k π, y min =-1, ωx +ϕ=-
π
2
+2k π
ω均大于0以后，将ωx +ϕ整体代入
2π
5、当函数y =A sin (ωx +ϕ)(x ≥0)(A >0, ω>0)表示一个振动量时，A 为振幅，T =．．．．．是周期，f =．．
ω
1ω
是频率，ωx +ϕ为相位，ϕ为初相。 =．．．．．．
T 2π
第二章 平面向量
2.1 平面向量的基本概念
2.1.1 平面向量的概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。
2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度面积、体积、质量等）称为数量。
2.1.2 向量的几何表示
3、有向线段：如图，具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。
4、向量的模：向量可以用有向线段表示。向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB 或者a .
5、零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0。零向量的方向不确定，是任意的。 6、单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
7、向量的字母表示：向量在印刷体时，用黑体小写字母a 、b 、c 、„表示向量；手写时，写成带箭头的小写字母a 、、、b c …表示。
8、平行向量：方向相同或相反的的非零向量叫做平行向量。通常记作a //b 。零向量与任一向量平行，即对于任意向量a ，都有0//a . 平行向量也叫做共线向量。
2.1.3 相等向量与共线向量
9、相等向量：长度相等且方向相反的向量叫做相等向量。 10、共线向量：任一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以，平行向量也叫做共线向量。
2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
1、三角形法则：如图，已知非零向量a 、b ，在平面内任
取一点A ，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a +b ，即a +b =AB +BC =AC .
对于零向量与任一向量a ，仍然有0+a =a +0=a 2、平行四边形法则：如图，以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作OACB ，则以O 为起点的对角线OC 就
是a 与b 的和。记作a +b =AC . 3、向量a 、b 、a +b 的关系 （1）a 、b 都为非零向量 （Ⅰ）当a 、b
不共线时，
a -b
（Ⅱ）当a 、b 共线时，①同向，则a +b =a +b ；②反向，则a +b =a -b （2）当a 、b 至少有一个为零向量时，a +b =a +b =a -b
综上所述：当a 、b 不共线时，一般地，我们有 a +b ≤a +b ≤a +b . 4、向量加法（1）交换律：a +b =b +a （2）结合律：(a +b )+c =a +(b +c ) 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
5、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作-a . 若a 、b 是互为相反的向量，则a =-b ，b =-a ，a +b =0. 6、向量的减法：如图，已知向量a 于b ，在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则
BA =a -b ，即a -b 表示的向量从向量b 的终点
指向向量a 的终点的向量。 7、向量a 、b 、a -b 的关系 （1）a 、b 都为非零向量，
（Ⅰ）当a 、b 不共线时：a -b
（Ⅱ）当a 、b 共线时，①同向，则a -b =a -b ；②方向，则a -b =a +b （2）当a 、b 少有一个为零向量时，a -b =a -b =a +b
综上所述：当a 、b 不共线时，一般地，我们有a -b ≤a -b ≤a +b . 2.2.3 向量乘法运算及其几何意义
8、向量的数乘：实数λ于向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：
λa
λa =a −
a
当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ
设λ、μ为实数，则有 结合律：λ(μa )=(λμ)a ； 第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa ；第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 特别的，我们有(-λ)a =-(λa )=λ(-a )；λ(a -b )=λa -λb
.
10、数乘向量与原向量之间的位置关系 （1）当a =0时，λa 与a 共线；
（2）当a ≠0时，λa 与a 同向，则λ>0；反向，则λ
11、对于向量a (a ≠0)、b ，如果有一个实数λ，使b =λa ，那么由向量数乘的定义知，
a 与b 共线。
12、共线向量定理
（1）判定定理：如果b =λa (λ∈R )，那么a //b
（2）性质定理：如果a //b ，a ≠0，那么存在唯一一个实数λ，使得b =λa
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
1、平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使
a =λ1e 1+λ2e 2. 我们把不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
2、两向量的夹角
如图，非零向量a 、b 中，作OA =a ，OB =b ，则
∠AOB =θ(0o ≤θ≤108o )叫做向量a 与b 的夹角。如果a 与b 的夹
角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .
2.3.2 平面性量的正交分解及坐标表示
3、正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解
4、如图，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实x 、y 使得
a =x i +y j .
把a =(x , y )叫做向量的坐标表示。 2.3.3 平面向量的坐标运算 5、向量的加减法运算
若a =(x 1, y 1)，b =(x 2, y 2)，则a +b =(x 1+x 2, y 1+y 2)，a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2) 两个向量的和与差的坐标分别分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 6、实数于向量的积
若a =(x 1, y 1)，b =(x 2, y 2)，则λa =λ(x 1, y 1)=(λx 1, λy 1) 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 7、若A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)，则AB =(x 2-x 1, y 2-
y 1)
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
8、设A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)，其中b ≠0，当且仅当x 1y 2-x 2y 1=0时，向量a 、b 共线。即a //b （b ≠0）⇔x 1y 2-x 2y 1=0.
2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的含义
1、数量积：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量a b cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ，即a b =a b cos θ. 其中，θ是a 与b 的夹角。 我们规定，零向量与任一向量的数量积为0. 即0⋅a =0. 注意：（1）a 、b 运算结果是数量；（2）它在⎢0, 2、根据向量数量积的定义得出的结论 （1）a ⊥b ⇔a b =0
（2）当a 与b 同向时，a b =a b ；当a 与b 反向时，a b =-a b . 特别的，
⎡⎣
π⎫
2⎭
⎪为正，
⎛π⎤
, π⎥为负。 ⎝2⎦
a a =a =a
2或a ==（3）a b ≤a b （共线时取等号）
（4）求投影，由a b =a b cos θ⇒a cos θ=
2
a b
. b
求夹角，由a b =a b cos θ⇒cos =3、平面向量数量积的几何意义
a b
a b
数量积a b 等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影b cos θ的乘积。 4、向量的运算律
（1）交换律：a b =b a （2）结合律：(λa )b =λ(a b )=a （3）分配律：(a +b )c =a c +b c
2222
（4）(a +b )=a +2a b +b （5）(a +b )(a -b )=a -b
2
(λb )
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
5、平面向量数量积的坐标表示
设A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)，则a b =x 1x 2+y 1y 2.
也就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 6、向量的长度（模）的坐标表示
（1）向量的长度（模）：若a =(x , y )，则有a
2
=x 2+y 2
，a =
（2）两点间的距离公式：设A 、B 两点坐标分别为(
x A , y A )，(
x B , y B )
，则
AB =
7、两向量垂直的充要条件的坐标表示
设a =(x 1, y 1)，b =(x 2, y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0 8、两向量夹角的坐标表示
设a =(x 1, y 1)，b =(x 2, y 2)，a ，b 的夹角为θ
，则有
cos θ=
a b
a b
= 平面向量补充内容
补充1、平面内不同四点为O , A , B , C ，则
A , B , C 三点共线⇔OC =λOA +μOB (λ+μ=1)或
OC =λOA +(1-λ)OB .
特别的，当λ=
1
2
时，C 为AB 中点，OC =12(OA +OB )
. 补充2、（1）若GA +GB +GC =0，则G 为△ABC 的重心。 （2）若A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)，C (x 3, y 3)
，则G 坐标为
⎧
x =x 1+x 2+x 3 ⎪⎪⎨3⎪y +y +y
⎩
y =1
23⎪3补充3、当PP 1=λPP 2时，则(x -x 1, y -y 1)=λ(x 2-x , y 2-y )
x ⎧⎧
1+λx 2
∴⎪⎨x -x 1=λ(x 2-x )⎪⎪x =1+λ
⎪-y )
∴
⎩y -y ⎨
1=λ(y 2⎪y =y +
λy
12⎪⎩
1+λ
总结：若P ，则 起P 分=P 分P 终
⎛x 起+λx 终y 起+λy 终⎫
, ⎪.
1+λ⎭⎝1+λ
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
1、cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β （C (α-β)）
给出任意角α，β的正弦、余弦值与其夹角α-β的余弦值之间的关系. 称为差角的余弦公式。简记作C (α-β).
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2、两角和的余弦公式 c o s (α+
β)=c o αs c o βs -
（C (α+β)） s αi n βs i n
3、两角和（差）的正弦公式 s i n (α+ s i n (α-
β)=s i αn c o βs +β)=s i αn c o βs -
i n （S (α+β)） c αo s βs i n （S (α-β)） c αo s βs
4、两角和（差）的正切公式 t a n (α+β)=
t a n α+t a βn
（T (α+β)）
1-t a αn t a βn t a n α-t a βn
（T (α-β)）
1+t a αn t a βn
t a n (α-β)=
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
5、二倍角的正弦、余弦、正切公式
2= s i n α
2s αi n
c α o s （S 2α）
2
2= c o s α2= t a n α
c 2o αs -s αi n =2
2c αo -s =-1
12αn C 2α） 2 s i （
2t a αn
（T 2α）
1-t a 2n α
2
8、公式的逆运算即变形公式
22
（1）1±sin 2α=sin α+cos α±2sin αcos α=(sin α±cos α)
（2）升幂公式：1+cos α=2cos
2
α
2
1-cos α=2sin
2
α
2
降幂公式：cos α=
2
1-c o s α21+cos 2α2
s i n α=
22
补充1
：辅助角公式：a sin α+b cos α=
⎫αα⎪
⎭
补充2：若在三角形“△”中，sin A =a ,cos B =b ， 则a >b ⇔A sin B .
3.2 简单的三角恒等变换
6、半倍角的正弦、余弦、正切公式
s i =α
2
α
cos =2
t a =α
2
s i αn -1c αo s
==
+1c αo s αs i n
7、半倍角平方的正弦、余弦、正切公式 s i n
2
α
2
=
1-c o αs 1+cos α1-c o αs 2α2α= cos t a n =
22221+c o αs
若给出角α的范围（某一区间）时，可先求出
的范围，然后再根据所在的范围来22
确定符号。如果没有决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号
9、三角函数的积化和差公式
1
s n +βi n -)β⎡⎤ (i α)+(s α⎣⎦21
αs i βn =⎡s n +βi n -)β⎤ c o s (i α)-(s α⎦ 2⎣
1
αc o βs =⎡c α-s )β⎤ c o s (o αs +β)+(c o ⎣⎦ 2
1
αs i βn =⎡c αs +βαs -)β⎤ s i n (o )-(c o ⎣⎦2
αc o βs = s i n
10、三角函数的和差化积公式
α+s i βn = s i n
α-s i βn = s i n
α+β
2⋅
2α+β2⋅
2
2α-β 2
α-β
α+β2⋅
2α+β
α-c o βs =-2⋅ c o s
2α+c o βs = c o s
α-β
2α-β 2
11、三倍角的正弦、余弦、正切公式
s i n α3=3s αi -n 43
s α i n cos3α=4cos 3α-3cos α
t a n α3=3t a αn -t 3a αn
1-3t a 2
n α
12、其他一些恒等变换
2tan
θ
1-t a 2n
θ2tan
θ sin θ=
c o s θ=
tan θ=
1+tan 2
2
1+t a 2n 2
1-tan 2
2