直线与方程之 恒过定点
1．a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( )．
⎛11⎫ ⎪ A ． － ，⎝62⎭1⎫⎛1 － ⎪ B ． ，6⎭⎝2⎛11⎫ ⎪ C ． ，⎝26⎭ 1⎫⎛1 － ⎪ D ． ，2⎭⎝6
2．已知直线ax ＋y ＋a ＋2＝0恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是___________________．
3．直线kx -y +1=3k ，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ）
A ．(0,0) B．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1)
4．设a +b =k (k ≠0, k 为常数) ，则直线ax +by =1恒过定点 ．
5．直线kx -y +1=3k , 当k 变动时，所有直线都通过定点（ ）
（A ）（0，0） （B ）（0，1） （C ）（3，1） （D ）（2，1）
6．不论m 为何实数，直线(m -1) x -y +2m +1=0恒过定点（ ）
（A ）（1，－1）； （B ）（－2，0）； （C ）（2，3）； （D ）（－2，3）． 2
27．直线l ：mx －m y －1＝0经过点P(2，1) ，则倾斜角与直线l 的倾斜角互为补角的一条直线方程是( )．
A ．x ―y ―1＝0 B．2x ―y ―3＝0 C．x ＋y －3＝0 D．x ＋2y －4＝0
本类题的特征是：__________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ 本类题的做法是：__________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________
答案
1．B 解析：方法1：因为a ＋2b ＝1，所以a ＝1－2b ．
所以直线ax ＋3y ＋b ＝0化为(1－2b)x ＋3y ＋b ＝0．
整理得(1－2x)b ＋(x＋3y) ＝0．
11，y ＝－时上式恒成立． 26
1⎫⎛1所以直线ax ＋3y ＋b ＝0过定点 ，－ ⎪． 6⎭⎝2所以当x ＝
方法2：由a ＋2b ＝1得a －1＋2b ＝0．进一步变形为a ×
这说明直线方程ax ＋3y ＋b ＝0当x ＝1⎛1⎫＋3× － ⎪＋b ＝0． 2⎝6⎭11，y ＝－时恒成立． 26
1⎫⎛1所以直线ax ＋3y ＋b ＝0过定点 ，－ ⎪． 6⎭⎝2
2．y ＝2x 解析：已知直线变形为y ＋2＝－a(x＋1) ，所以直线恒过点(―1，―2) ．
故所求的直线方程是y ＋2＝2(x＋1) ，即y ＝2x ．
3.C 由kx -y +1=3k 得k (x -3) =y -1对于任何k ∈R 都成立，则⎨⎧x -3=0 ⎩y -1=0
⎧x -y =0
⎩ky -1=04. (, ) ax +by =1变化为ax +(k -a ) y =1, a (x -y ) +ky -1=0, 对于任何a ∈R 都成立，则⎨
5.C 6．D
211k k 7．C 解析：由点P 在l 上得2m ―m ―1＝0，所以m ＝1．即l 的方程为x ―y ―1＝0．
所以所求直线的斜率为－1，显然x ＋y －3＝0满足要求．
直线与方程之 恒过定点
1．a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( )．
⎛11⎫ ⎪ A ． － ，⎝62⎭1⎫⎛1 － ⎪ B ． ，6⎭⎝2⎛11⎫ ⎪ C ． ，⎝26⎭ 1⎫⎛1 － ⎪ D ． ，2⎭⎝6
2．已知直线ax ＋y ＋a ＋2＝0恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是___________________．
3．直线kx -y +1=3k ，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ）
A ．(0,0) B．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1)
4．设a +b =k (k ≠0, k 为常数) ，则直线ax +by =1恒过定点 ．
5．直线kx -y +1=3k , 当k 变动时，所有直线都通过定点（ ）
（A ）（0，0） （B ）（0，1） （C ）（3，1） （D ）（2，1）
6．不论m 为何实数，直线(m -1) x -y +2m +1=0恒过定点（ ）
（A ）（1，－1）； （B ）（－2，0）； （C ）（2，3）； （D ）（－2，3）． 2
27．直线l ：mx －m y －1＝0经过点P(2，1) ，则倾斜角与直线l 的倾斜角互为补角的一条直线方程是( )．
A ．x ―y ―1＝0 B．2x ―y ―3＝0 C．x ＋y －3＝0 D．x ＋2y －4＝0
本类题的特征是：__________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ 本类题的做法是：__________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________
答案
1．B 解析：方法1：因为a ＋2b ＝1，所以a ＝1－2b ．
所以直线ax ＋3y ＋b ＝0化为(1－2b)x ＋3y ＋b ＝0．
整理得(1－2x)b ＋(x＋3y) ＝0．
11，y ＝－时上式恒成立． 26
1⎫⎛1所以直线ax ＋3y ＋b ＝0过定点 ，－ ⎪． 6⎭⎝2所以当x ＝
方法2：由a ＋2b ＝1得a －1＋2b ＝0．进一步变形为a ×
这说明直线方程ax ＋3y ＋b ＝0当x ＝1⎛1⎫＋3× － ⎪＋b ＝0． 2⎝6⎭11，y ＝－时恒成立． 26
1⎫⎛1所以直线ax ＋3y ＋b ＝0过定点 ，－ ⎪． 6⎭⎝2
2．y ＝2x 解析：已知直线变形为y ＋2＝－a(x＋1) ，所以直线恒过点(―1，―2) ．
故所求的直线方程是y ＋2＝2(x＋1) ，即y ＝2x ．
3.C 由kx -y +1=3k 得k (x -3) =y -1对于任何k ∈R 都成立，则⎨⎧x -3=0 ⎩y -1=0
⎧x -y =0
⎩ky -1=04. (, ) ax +by =1变化为ax +(k -a ) y =1, a (x -y ) +ky -1=0, 对于任何a ∈R 都成立，则⎨
5.C 6．D
211k k 7．C 解析：由点P 在l 上得2m ―m ―1＝0，所以m ＝1．即l 的方程为x ―y ―1＝0．
所以所求直线的斜率为－1，显然x ＋y －3＝0满足要求．