二次根式定义及性质
教学内容：
1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：
，
2.重点：
；
，
及其运用．
，并利用它们进行计算和化简．
，
3.难点：利用，
知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如
知识点二：二次根式的性质 1. 2.
； ；
，解决具体问题.
(a≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
3.；
；
4. 积的算术平方根的性质：
5. 商的算术平方根的性质：
知识点三：代数式
.
形如5，a，a+b，ab，
，x3，
这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、
除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).
成功在励志 成才要得法
1
经典例题透析
类型一：二次根式的概念
例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．
思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．
解：二次根式有：
、
(x＞0)、
、
、
(x≥0，y≥0)；
不是二次根式的有：、、、．
例2、当x是多少时，
在实数范围内有意义？
思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，
义．
解：由3x-1≥0，得：x≥
当x≥时，在实数范围内有意义．
总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．
举一反三
【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？
(1)； (2)；
解：(1)由
≥0，解得：x取任意实数
∴ 当x取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义.
(2)由x-1≥0，且x-1≠0，解得：x＞1
∴ 当x＞1时，二次根式在实数范围内都有意义.
成功在励志 成才要得法
2
才能有意
•
【变式2】当x是多少时，+在实数范围内有意义？
思路点拨：要使
+在实数范围内有意义，
必须同时满足中的2x+3≥0和中的x+1≠0．
解：依题意，得
由①得：x≥- 由②得：x≠-1
当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．
类型二：二次根式的性质 例1、计算：
(1) (5)
(2)(b≥0) (6)
(3)
(4)
思路点拨：我们可以直接利用 解：
(a≥0)的结论解题．
(1) (2)=； (3)；
(4) (6)
=； (5)
．
；
举一反三
【变式1】计算：
(1)
成功在励志 成才要得法
； (2)；
3
(3)； (4).
思路点拨：(1)因为x≥0，所以x+1＞0； (2)a2≥0；
(3)a2+2a+1=(a+1)2≥0； (4)4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2≥0． 所以上面的4题都可以运用 解：(1)因为x≥0，所以x+1＞0
；
的重要结论解题．
(2)∵a2≥0，∴ (3)∵a2+2a+1=(a+1)2
；
又∵(a+1)2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴ (4)∵4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2 又∵(2x-3)2≥0
=a2+2a+1；
∴4x2-12x+9≥0，∴
例2、化简: (1)
； (2)
； (3)
； (4)
=4x2-12x+9.
.
去化简．
思路点拨：因为(1)9=32，(2)(-4)2=42，(3)25=52，(4)(-3)2=32，所以都可运用 解：(1) (3)
例3、填空：当a≥0时， (1)若 (2)若 (3)
=____；当a＜0时，
==
=3； (2)=5； (4)
==
=4； =3.
=______，•并根据这一性质回答下列问题．
=a，则a可以是什么数？ =-a，则a可以是什么数？ ＞a，则a可以是什么数？
思路点拨： ∵
=a(a≥0)，
4
成功在励志 成才要得法
∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“( )2”中的数是正数， 因为，当a≤0时，
=
，那么-a≥0．
，而
要
(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据(1)、(2)可知大于a，只有什么时候才能保证呢？ 解：(1)因为 (2)因为
(3)因为当a≥0时 要使
，所以a≥0； ，所以a≤0；
，要使
，即使a＞a所以a不存在；当a＜0时，
，
，即使-a＞a，即a＜0；综上，a＜0.
类型三：二次根式性质的应用 例1、当x=-4时，求二次根式
的值.
思路点拨：二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同. 解：将x=-4代入二次根式，得
=
.
例2、(1)已知
y= (2)若
+
++5，求=0，求
的值．
的值．
解：(1)由 (2)
可得，，
例3、在实数范围内分解因式： (1)x2-5； (2)x3-2x； 解:(1)原式
成功在励志 成才要得法
5
(2)
原式
.
.
学习成果测评 基础达标
一、选择题
1.下列式子中，不是二次根式的是( )
A． B． C． D．
2.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是( )
A．5 B．
C． D．以上皆不对
3.(福建省福州市)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为( )
A．x＞0 B．x≥0 C．x ≠ 0 D．x≥0且x ≠ 1
4．的值是( )
A．0 B．
5．a≥0时， A． C．
、
、
C．4 D．以上都不对
，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是( )
B． D．
6.(辽宁省大连市) 如图，数轴上点N表示的数可能是( ) A． C．
成功在励志 成才要得法
6
B． D．
二、填空题 1.若 2.若 3．- 4. 5. 6.若 7.若
8.化简：
=__________. ，则
____________；若
，则____________.
，则
____________.
=____________. =________．
有意义，则的取值范围是____________. ，则 x = ____________.
=____________.
9. 计算：(1)=_______；
(2)
(3)
=________；
=________。
10.(内蒙古鄂尔多斯市)如图，在数轴上，A、B两点之间表示整数的点有_______个．
三、解答题
1. 求下列二次根式中字母a的取值范围： 成功在励志 成才要得法
7
(1)， (2)； (3).
2.某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
能力提升
一、选择题 1.使式子
有意义的未知数x有( )个
A．0 B．1 C．2 D．无数
2.(山西省临汾市) 若 A．
B．
C．
，则与3的大小关系是( )
D．
3.下列计算正确的是( ) A．
B．
C．
D．
4.(福建省厦门市) 下列四个结论中，正确的是( )
A.
二、填空题
B.
C.
D.
1.若
2．若
3.已知实数
，则____________.
是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
在数轴上的对应点如图所示，则____________.
三、解答题
1.当x是多少时，成功在励志 成才要得法
+x2在实数范围内有意义？
8
2.若
3.(北京市海淀区) 已知实数x，y满足
4.已知
综合探究
1.(福建省南安市) 观察分析下列数据，寻找规律：0，第10个数据应是____________.
2.(江苏省苏州市)等式
3．先化简再求值：当a=9时，求a+ 甲的解答为：原式=a+ 乙的解答为：原式=a+
=a+(1-a)=1； =a+(a-1)=2a-1=17．
的值，甲乙两人的解答如下： 中的括号应填入____________.
，
，3，2
，
，3
，„„那么
，求x+y的值.
，求代数式
的值.
+
有意义，求
的值.
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 4. 若
时，试化简
.
5．在实数范围内分解下列因式: (1)
二次根式定义及性质测试题
； (2)
.
一、复习
1、什么叫平方根？开平方？ 2、平方根如何表示？
3、求下列各数的平方根： 4、求下列各数的正平方根：
（1）4； （2）0.16； （3）成功在励志 成才要得法
925
. （1）225; （2）0.0001； （3）
9
16. 81
二、二次根式的意义
1. 二次根式的意义
代数式______________叫做二次根式，读作______________,其中__________是被开方数. 通常把形如_________________的式子也叫做二次根式.
2．二次根式何时有意义
二次根式有意义的条件是___________________________.
3. 例题
例题1 下列各式是二次根式吗？
2、
2
、2、 3
a21、b
(b0. )
例题2 设x是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？
（1）2x1； （2）2x； （3）
12； （4）x. x
4．练习（一）
设x是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？ （1
; （2
（3
三、二次根式的性质
性质1：______________________; 性质2：________________________________;
性质3：______________________; 性质4：________________________________.
例题3 求下列二次根式的值：
2x1（1）(3)； （2）x，其中x3.
成功在励志 成才要得法
10
22
例题4 化简二次根式
（1
；（2
；（3
x0；
（4
；（5
（6
b0)
例题5 设a、b、c分别是三角形三边的长，化简：(abc)(bca)
练习（二）：1、化简下列二次根式
（1
（2
x0)； （3
（4
22n0)； （5
； （6）
2、选择题
b1)(a1)（1）、实数a、b在数轴上对应的位置如图，则(（ ）
A、b-a B、2-a-b C、a-b D、2+a-b
（2）、化简(12)的结果是（ ）
A、12 B、21 C、21) D、(12) 222a 0 b 1
（3）、如果x1
x2x1，那么x的取值范围是（ ） x2
A、1≤x≤2 B、1＜x≤2 C、x≥2 D、x＞2
最简二次根式和同类二次根式
1、最简二次根式符合的两个条件：
（1）_________________________________________________;
（2）_________________________________________________.
例题6 判断下列二次根式是不是最简二次根式：
（1
；（2
（3
；（4
a1)
例题7 将下列二次根式化成最简二次根式：
y0（1（2
；0；（3
mn0
2、练习（三）
（1）判断下列二次根式中，哪些是最简二次根式：
（2）找出下列二次根式中的非最简二次根式，并把它们化成最简二次根式：
ay
0
（3）将下列各二次根式化成最简二次根式：
bxypq0
3、同类二次根式
几个二次根式化成_____________________后，如果_______________相同,那么这几个二次根式叫做同
类二次根式.
例题8 下列二次根式中，哪些是同类二次根式？
aa0
例题9 合并下列各式中的同类二次根式：
（1）211； （2） 32xy
4、练习（四）
（1）判断下列各组中的二次根式是不是同类二次根式：
ay0
B. x0;
（2）合并下列各式中的同类二次根式：
A.
B.
二次根式定义及性质
教学内容：
1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：
，
2.重点：
；
，
及其运用．
，并利用它们进行计算和化简．
，
3.难点：利用，
知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如
知识点二：二次根式的性质 1. 2.
； ；
，解决具体问题.
(a≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
3.；
；
4. 积的算术平方根的性质：
5. 商的算术平方根的性质：
知识点三：代数式
.
形如5，a，a+b，ab，
，x3，
这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、
除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).
成功在励志 成才要得法
1
经典例题透析
类型一：二次根式的概念
例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．
思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．
解：二次根式有：
、
(x＞0)、
、
、
(x≥0，y≥0)；
不是二次根式的有：、、、．
例2、当x是多少时，
在实数范围内有意义？
思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，
义．
解：由3x-1≥0，得：x≥
当x≥时，在实数范围内有意义．
总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．
举一反三
【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？
(1)； (2)；
解：(1)由
≥0，解得：x取任意实数
∴ 当x取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义.
(2)由x-1≥0，且x-1≠0，解得：x＞1
∴ 当x＞1时，二次根式在实数范围内都有意义.
成功在励志 成才要得法
2
才能有意
•
【变式2】当x是多少时，+在实数范围内有意义？
思路点拨：要使
+在实数范围内有意义，
必须同时满足中的2x+3≥0和中的x+1≠0．
解：依题意，得
由①得：x≥- 由②得：x≠-1
当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．
类型二：二次根式的性质 例1、计算：
(1) (5)
(2)(b≥0) (6)
(3)
(4)
思路点拨：我们可以直接利用 解：
(a≥0)的结论解题．
(1) (2)=； (3)；
(4) (6)
=； (5)
．
；
举一反三
【变式1】计算：
(1)
成功在励志 成才要得法
； (2)；
3
(3)； (4).
思路点拨：(1)因为x≥0，所以x+1＞0； (2)a2≥0；
(3)a2+2a+1=(a+1)2≥0； (4)4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2≥0． 所以上面的4题都可以运用 解：(1)因为x≥0，所以x+1＞0
；
的重要结论解题．
(2)∵a2≥0，∴ (3)∵a2+2a+1=(a+1)2
；
又∵(a+1)2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴ (4)∵4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2 又∵(2x-3)2≥0
=a2+2a+1；
∴4x2-12x+9≥0，∴
例2、化简: (1)
； (2)
； (3)
； (4)
=4x2-12x+9.
.
去化简．
思路点拨：因为(1)9=32，(2)(-4)2=42，(3)25=52，(4)(-3)2=32，所以都可运用 解：(1) (3)
例3、填空：当a≥0时， (1)若 (2)若 (3)
=____；当a＜0时，
==
=3； (2)=5； (4)
==
=4； =3.
=______，•并根据这一性质回答下列问题．
=a，则a可以是什么数？ =-a，则a可以是什么数？ ＞a，则a可以是什么数？
思路点拨： ∵
=a(a≥0)，
4
成功在励志 成才要得法
∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“( )2”中的数是正数， 因为，当a≤0时，
=
，那么-a≥0．
，而
要
(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据(1)、(2)可知大于a，只有什么时候才能保证呢？ 解：(1)因为 (2)因为
(3)因为当a≥0时 要使
，所以a≥0； ，所以a≤0；
，要使
，即使a＞a所以a不存在；当a＜0时，
，
，即使-a＞a，即a＜0；综上，a＜0.
类型三：二次根式性质的应用 例1、当x=-4时，求二次根式
的值.
思路点拨：二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同. 解：将x=-4代入二次根式，得
=
.
例2、(1)已知
y= (2)若
+
++5，求=0，求
的值．
的值．
解：(1)由 (2)
可得，，
例3、在实数范围内分解因式： (1)x2-5； (2)x3-2x； 解:(1)原式
成功在励志 成才要得法
5
(2)
原式
.
.
学习成果测评 基础达标
一、选择题
1.下列式子中，不是二次根式的是( )
A． B． C． D．
2.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是( )
A．5 B．
C． D．以上皆不对
3.(福建省福州市)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为( )
A．x＞0 B．x≥0 C．x ≠ 0 D．x≥0且x ≠ 1
4．的值是( )
A．0 B．
5．a≥0时， A． C．
、
、
C．4 D．以上都不对
，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是( )
B． D．
6.(辽宁省大连市) 如图，数轴上点N表示的数可能是( ) A． C．
成功在励志 成才要得法
6
B． D．
二、填空题 1.若 2.若 3．- 4. 5. 6.若 7.若
8.化简：
=__________. ，则
____________；若
，则____________.
，则
____________.
=____________. =________．
有意义，则的取值范围是____________. ，则 x = ____________.
=____________.
9. 计算：(1)=_______；
(2)
(3)
=________；
=________。
10.(内蒙古鄂尔多斯市)如图，在数轴上，A、B两点之间表示整数的点有_______个．
三、解答题
1. 求下列二次根式中字母a的取值范围： 成功在励志 成才要得法
7
(1)， (2)； (3).
2.某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
能力提升
一、选择题 1.使式子
有意义的未知数x有( )个
A．0 B．1 C．2 D．无数
2.(山西省临汾市) 若 A．
B．
C．
，则与3的大小关系是( )
D．
3.下列计算正确的是( ) A．
B．
C．
D．
4.(福建省厦门市) 下列四个结论中，正确的是( )
A.
二、填空题
B.
C.
D.
1.若
2．若
3.已知实数
，则____________.
是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
在数轴上的对应点如图所示，则____________.
三、解答题
1.当x是多少时，成功在励志 成才要得法
+x2在实数范围内有意义？
8
2.若
3.(北京市海淀区) 已知实数x，y满足
4.已知
综合探究
1.(福建省南安市) 观察分析下列数据，寻找规律：0，第10个数据应是____________.
2.(江苏省苏州市)等式
3．先化简再求值：当a=9时，求a+ 甲的解答为：原式=a+ 乙的解答为：原式=a+
=a+(1-a)=1； =a+(a-1)=2a-1=17．
的值，甲乙两人的解答如下： 中的括号应填入____________.
，
，3，2
，
，3
，„„那么
，求x+y的值.
，求代数式
的值.
+
有意义，求
的值.
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 4. 若
时，试化简
.
5．在实数范围内分解下列因式: (1)
二次根式定义及性质测试题
； (2)
.
一、复习
1、什么叫平方根？开平方？ 2、平方根如何表示？
3、求下列各数的平方根： 4、求下列各数的正平方根：
（1）4； （2）0.16； （3）成功在励志 成才要得法
925
. （1）225; （2）0.0001； （3）
9
16. 81
二、二次根式的意义
1. 二次根式的意义
代数式______________叫做二次根式，读作______________,其中__________是被开方数. 通常把形如_________________的式子也叫做二次根式.
2．二次根式何时有意义
二次根式有意义的条件是___________________________.
3. 例题
例题1 下列各式是二次根式吗？
2、
2
、2、 3
a21、b
(b0. )
例题2 设x是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？
（1）2x1； （2）2x； （3）
12； （4）x. x
4．练习（一）
设x是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？ （1
; （2
（3
三、二次根式的性质
性质1：______________________; 性质2：________________________________;
性质3：______________________; 性质4：________________________________.
例题3 求下列二次根式的值：
2x1（1）(3)； （2）x，其中x3.
成功在励志 成才要得法
10
22
例题4 化简二次根式
（1
；（2
；（3
x0；
（4
；（5
（6
b0)
例题5 设a、b、c分别是三角形三边的长，化简：(abc)(bca)
练习（二）：1、化简下列二次根式
（1
（2
x0)； （3
（4
22n0)； （5
； （6）
2、选择题
b1)(a1)（1）、实数a、b在数轴上对应的位置如图，则(（ ）
A、b-a B、2-a-b C、a-b D、2+a-b
（2）、化简(12)的结果是（ ）
A、12 B、21 C、21) D、(12) 222a 0 b 1
（3）、如果x1
x2x1，那么x的取值范围是（ ） x2
A、1≤x≤2 B、1＜x≤2 C、x≥2 D、x＞2
最简二次根式和同类二次根式
1、最简二次根式符合的两个条件：
（1）_________________________________________________;
（2）_________________________________________________.
例题6 判断下列二次根式是不是最简二次根式：
（1
；（2
（3
；（4
a1)
例题7 将下列二次根式化成最简二次根式：
y0（1（2
；0；（3
mn0
2、练习（三）
（1）判断下列二次根式中，哪些是最简二次根式：
（2）找出下列二次根式中的非最简二次根式，并把它们化成最简二次根式：
ay
0
（3）将下列各二次根式化成最简二次根式：
bxypq0
3、同类二次根式
几个二次根式化成_____________________后，如果_______________相同,那么这几个二次根式叫做同
类二次根式.
例题8 下列二次根式中，哪些是同类二次根式？
aa0
例题9 合并下列各式中的同类二次根式：
（1）211； （2） 32xy
4、练习（四）
（1）判断下列各组中的二次根式是不是同类二次根式：
ay0
B. x0;
（2）合并下列各式中的同类二次根式：
A.
B.