向心力
课程目标：
1．理解向心力的概念及其表达式的确切含义；
2．知道向心力的大小与哪些因素有关，并能用其公式进行计算；
3．知道在变速圆周运动中，可用上述公式求质点在某一点的向心力和向心加速度．
基础导读探究：
一、向心力
1．定义：做圆周运动的物体受到的指向_____的合外力． 2．作用效果：产生___________，不断改变线速度的_____． 3．方向：总是沿半径指向_____． 4．大小：F 向＝______＝______＝______.
5．向心力是按_________来命名的，是一种______力 二、变速圆周运动
1．受力特点：做圆周运动的物体受到的合外力并不一定指向____，可以将其分解为沿____的力和_________的力．
2．加速度：切向分力F t 产生的加速度为___________，改变做圆周运动物体的线速度的______；法向分力F n 产生_____________，改变物体速度的________． 3．变速圆周运动：同时具有________________________的圆周运动． 三、一般曲线运动
1．定义：运动轨迹既不是____也不是_____的曲线运动．
2．处理方法：将曲线运动分成许多小段，每一小段都可以看成___________的一部分．
考点剖析 典例升华：
知识点一 向心力
(1)定义：做匀速圆周运动的物体，受到的大小恒定不变，方向始终指向圆心的合力．这个合力叫做向心力．
①向心力并不是像重力、弹力、摩擦力那样作为具有某种性质的力来命名的，在对物体进行受力分析时，切不可在重力、弹力等性质的力之外再添加一个向心力． ②向心力是按力的效果来命名的，它的效果使物体产生向心加速度． ③向心力可以是某一个力，也可以是几个力的合力．
(2)向心力的方向：始终指向圆心，与线速度方向垂直，时刻改变，因此向心力是变力． (3)向心力的作用：只改变线速度的方向，不改变线速度的大小． (4)向心力的大小
v 24π22①向心力表达式的推导：因为向心加速度公式为a n ＝或a n ＝ωr 或a n ＝，由牛顿第二定
r T v 24π22
律F n ＝ma ，得向心力F n ＝m 或F n ＝mωr 或F n ＝m r T v 24π22
②向心力的表达式：F n ＝m ＝mωr ＝m r T ③对向心力表达式的理解
A ．由公式可知向心力的大小与物体的质量m ，圆周半径r ，线速度v(或角速度ω或周期T) 都有关系．
B ．向心力公式是从匀速圆周运动中得出的，但也适用于一般的圆周运动，只是在运用公式求解一般的圆周运动某点的向心力时，必须是该点对应的瞬时速度和对应时刻的半径． 【例1】 下列关于向心力的说法中，正确的是( ) A ．物体受到向心力的作用，才可能做圆周运动
B ．做匀速圆周运动的物体，向心力是指向圆心方向的合力 C ．向心力可以是某一种力的分力
D ．做匀速圆周运动的物体，向心力只改变物体运动方向，不改变物体运动的快慢
变式训练1 下列说法中正确的是 ( ) A ．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
B ．向心力只改变做匀速圆周运动物体的线速度的方向，不改变线速度的大小 C ．做匀速圆周运动物体向心力一定等于其所受的合力 D ．做匀速圆周运动物体的向心力是不变的
知识点二 用动力学处理圆周运动问题
1．指导思路：凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心力．而物体所受外力的合力充当向心力，这是处理该类问题的基础． 2．解题步骤
(1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图．
(2)将物体所受外力通过力的分解将其作用在两条直线上，其中一部分力沿半径方向． v 24π2mr
(3)列方程：沿半径方向满足F 合1＝mrω＝m ，另一方面F 合2＝0.
r T
2
3．几种常见的匀速圆周运动的实例图表
【例2】 长为L 的细线，拴一质量为m 的小球，一端固定于O 点，让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动) ，如图所示．当摆线L 与竖直方向的夹角是α时，求：
(1)线的拉力F ；
(2)小球运动的线速度的大小； (3)小球运动的角速度及周期．
变式训练2 如图所示，一半径为r 的圆柱形圆桶做匀速圆周运动，圆桶内壁有一小木块质量为m ，随圆桶一起转动，与圆桶保持相对静止，调整圆桶的转速，当圆桶角速度恰好为ω时，木块恰好不下滑，求圆柱与木块之间的动摩擦因数是多少．
知识点三 变速圆周运动和一般的曲线运动
(1)变速圆周运动：做变速圆周运动的物体，合力不指向圆心，这个力可以分解为沿圆周切线方向的分力和指向圆心的分力，沿圆周的切线方向的分力，产生切向加速度，改变速度的大小，指向圆心的分力提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向．切向加速度，描述速度大小变化快慢的物理量；向心加速度，描述速度方向变化快慢的物理量． ①在变速圆周运动中，向心力的大小和方向都变化．
v 2mv 22②在变速圆周运动中，仍可以用a n ＝＝ωr ，F n ＝mω2r ，求某一点的向心加速度和向
r r 心力，但此时的ω、v 为该点的瞬时值．
③速度与合力的夹角与速度变化的关系，当夹角0
①运动轨迹既不是直线，也不是圆周的曲线运动称为一般的曲线运动．
②处理一般的曲线运动的方法：把曲线分割成许多极短的小段，每一个段都可以看做是不同半径的圆周上的一段圆弧，对每一小段可以采用圆周运动的分析方法处理． (3)匀速圆周运动的进一步理解
①特点：线速度大小不变，方向时刻改变．角速度、周期、频率恒定不变．向心加速度和向心力都大小不变，方向指向圆心，时刻改变．
②性质：A. 是线速度大小不变、方向时刻改变的变速运动．B. 向心加速度大小不变，方向时刻改变的非匀变速曲线运动．C. 匀速圆周运动具有周期性，即每经过一个周期，运动物体回到原来的位置，重复原来的运动情况．
③物体做匀速圆周运动的条件：合力的大小不变，方向始终与速度垂直且指向圆心，即向心力就是物体所受的合力．
【例3】 如图所示，质量为m 的物体，沿半径为r 的圆轨道自A 点滑下，A 与圆心O 等高，滑至B 点(B点在O 点正下方) 时的速度为v ，已知物体与轨道间的动摩擦因数为μ，求物体在B 点所受的摩擦力．
变式训练3 如右图所示，行车的钢丝长L ＝3 m，下面吊着质量m ＝2.8×103 kg的货物，以速度v ＝2 m/s行驶．
行车突然刹车时，钢丝绳受到的拉力是多少？(g取10 m/s2)
课时作业：
[概念规律题组]
1． 如图1所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体一起运动，提供物体所需向心力 的是
( )
A ．重力 B ．弹力 C ．静摩擦力 D ．滑动摩擦力
2． 汽车甲和汽车乙质量相等，以相等速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的 外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为F f 甲和F f 乙，以下说法正确的是 A ．F f 甲小于F f 乙 B ．F f 甲等于F f 乙
C ．F f 甲大于F f 乙 D ．F f 甲和F f 乙大小均与汽车速率无关 3． 如图2所示，一小球用细绳悬挂于O 点，将其拉离竖直位置一个 角度后释放，则小球以O 点为圆心做圆周运动，运动中提供小球所需 向心力的是 A ．绳的拉力
B ．重力和绳拉力的合力
C ．重力和绳拉力的合力沿绳的方向的分力 D ．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
4． 如图3
所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距
( )
( )
圆心为r 处P 点不动．关于小强的受力，下列说法正确的是 ( ) A ．小强在P 点不动，因此不受摩擦力作用
B ．若使圆盘以较小的转速转动时，小强在P 点受到的摩擦力为零 C ．小强随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力
D ．如果小强随圆盘一起做变速圆周运动，那么其所受摩擦力仍指向圆心
5． 一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M 向N 行驶，速度逐渐增加．选项A 、B 、C 、 D 分别画出了汽车转弯时所受合力F 的四种方向，其中你认为正确的是
(
)
6． 质量为m 的飞机，以速率v 在水平面内做半径为R 的匀速圆周运动，空气对飞机作用 力的大小等于 A ．m C ．m
2
( )
v 2
B ．m R D ．mg
g ＋
R 2
－g R
7． 如图4所示，质量为m 的小球固定在长为l 的细轻杆的一端，轻杆的另一端O 在竖直 平面内做圆周运动．球转到最高点A 时，线速度的大小为 mg
A ．杆受到
2mg
B ．杆受到
23
C ．杆受到mg 的拉力
23
D ．杆受到mg 的压力
2
[方法技巧题组]
8． 一质量为m 的物体，沿半径为R 的向下凹的圆形轨道滑行，如图5所示，经过最低点
时速度为v ，物体与轨道之间的动摩擦因数为μ，则它在最低点时受到的摩擦力为( ) A ．μmg
( ) 2
μmv2B.
R v 2
C ．μm(g＋
R v 2
D ．μm(g－R
9． 两个质量相同的小球，在同一水平面内做匀速圆周运动，悬 点相同，如图6所示，A 运动的半径比B 的大，则
( )
A ．A 所需的向心力比B 的大 B ．B 所需的向心力比A 的大 C ．A 的角速度比B 的大 D ．B 的角速度比A 的大 10．如图7所示，A 、B 两个小球质量相等，用一根轻绳相连，另有 一根轻绳的两端分别连接O 点和B 点，让两个小球绕O 点在光滑水 平桌面上以相同的角速度做匀速圆周运动，若OB 绳上的拉力为F 1， AB 绳上的拉力为F 2，OB ＝AB ，则 ( ) A ．A 球所受向心力为F 1，B 球所受向心力为F 2 B ．A 球所受向心力为F 2，B 球所受向心力为F 1 C ．A 球所受向心力为F 2，B 球所受向心力为F 1－F 2 D ．F 1∶F 2＝3∶2
11．如图8所示，已知绳长为L ＝20 cm ，水平杆L′＝0.1 m ，小球质量m ＝0.3 kg ，整个装
置可绕竖直轴转动．(g取10 m/s2) 问：
(1)要使绳子与竖直方向成45°角，试求该装置必须以多大的角速度转动才行？ (2)此时绳子的张力多大？
图8
[创新应用]
12．如图9所示，在水平转台上放一个质量M ＝2 kg 的木块，它与转台间最大静摩擦力F fmax
＝6.0 N，绳的一端系在木块上，穿过转台的中心孔O(孔光滑，忽略小滑轮的影响) ，另一端悬挂一个质量m ＝1.0 kg的物体，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O 点的距离可以是(g取10 m/s2，M 、m 均视为质点) (
)
A ．0.04 m C ．0.16 m
图9
B ．0.08 m D ．0.32 m
向心力
课程目标：
1．理解向心力的概念及其表达式的确切含义；
2．知道向心力的大小与哪些因素有关，并能用其公式进行计算；
3．知道在变速圆周运动中，可用上述公式求质点在某一点的向心力和向心加速度．
基础导读探究：
一、向心力
1．定义：做圆周运动的物体受到的指向_____的合外力． 2．作用效果：产生___________，不断改变线速度的_____． 3．方向：总是沿半径指向_____． 4．大小：F 向＝______＝______＝______.
5．向心力是按_________来命名的，是一种______力 二、变速圆周运动
1．受力特点：做圆周运动的物体受到的合外力并不一定指向____，可以将其分解为沿____的力和_________的力．
2．加速度：切向分力F t 产生的加速度为___________，改变做圆周运动物体的线速度的______；法向分力F n 产生_____________，改变物体速度的________． 3．变速圆周运动：同时具有________________________的圆周运动． 三、一般曲线运动
1．定义：运动轨迹既不是____也不是_____的曲线运动．
2．处理方法：将曲线运动分成许多小段，每一小段都可以看成___________的一部分．
考点剖析 典例升华：
知识点一 向心力
(1)定义：做匀速圆周运动的物体，受到的大小恒定不变，方向始终指向圆心的合力．这个合力叫做向心力．
①向心力并不是像重力、弹力、摩擦力那样作为具有某种性质的力来命名的，在对物体进行受力分析时，切不可在重力、弹力等性质的力之外再添加一个向心力． ②向心力是按力的效果来命名的，它的效果使物体产生向心加速度． ③向心力可以是某一个力，也可以是几个力的合力．
(2)向心力的方向：始终指向圆心，与线速度方向垂直，时刻改变，因此向心力是变力． (3)向心力的作用：只改变线速度的方向，不改变线速度的大小． (4)向心力的大小
v 24π22①向心力表达式的推导：因为向心加速度公式为a n ＝或a n ＝ωr 或a n ＝，由牛顿第二定
r T v 24π22
律F n ＝ma ，得向心力F n ＝m 或F n ＝mωr 或F n ＝m r T v 24π22
②向心力的表达式：F n ＝m ＝mωr ＝m r T ③对向心力表达式的理解
A ．由公式可知向心力的大小与物体的质量m ，圆周半径r ，线速度v(或角速度ω或周期T) 都有关系．
B ．向心力公式是从匀速圆周运动中得出的，但也适用于一般的圆周运动，只是在运用公式求解一般的圆周运动某点的向心力时，必须是该点对应的瞬时速度和对应时刻的半径． 【例1】 下列关于向心力的说法中，正确的是( ) A ．物体受到向心力的作用，才可能做圆周运动
B ．做匀速圆周运动的物体，向心力是指向圆心方向的合力 C ．向心力可以是某一种力的分力
D ．做匀速圆周运动的物体，向心力只改变物体运动方向，不改变物体运动的快慢
变式训练1 下列说法中正确的是 ( ) A ．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
B ．向心力只改变做匀速圆周运动物体的线速度的方向，不改变线速度的大小 C ．做匀速圆周运动物体向心力一定等于其所受的合力 D ．做匀速圆周运动物体的向心力是不变的
知识点二 用动力学处理圆周运动问题
1．指导思路：凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心力．而物体所受外力的合力充当向心力，这是处理该类问题的基础． 2．解题步骤
(1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图．
(2)将物体所受外力通过力的分解将其作用在两条直线上，其中一部分力沿半径方向． v 24π2mr
(3)列方程：沿半径方向满足F 合1＝mrω＝m ，另一方面F 合2＝0.
r T
2
3．几种常见的匀速圆周运动的实例图表
【例2】 长为L 的细线，拴一质量为m 的小球，一端固定于O 点，让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动) ，如图所示．当摆线L 与竖直方向的夹角是α时，求：
(1)线的拉力F ；
(2)小球运动的线速度的大小； (3)小球运动的角速度及周期．
变式训练2 如图所示，一半径为r 的圆柱形圆桶做匀速圆周运动，圆桶内壁有一小木块质量为m ，随圆桶一起转动，与圆桶保持相对静止，调整圆桶的转速，当圆桶角速度恰好为ω时，木块恰好不下滑，求圆柱与木块之间的动摩擦因数是多少．
知识点三 变速圆周运动和一般的曲线运动
(1)变速圆周运动：做变速圆周运动的物体，合力不指向圆心，这个力可以分解为沿圆周切线方向的分力和指向圆心的分力，沿圆周的切线方向的分力，产生切向加速度，改变速度的大小，指向圆心的分力提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向．切向加速度，描述速度大小变化快慢的物理量；向心加速度，描述速度方向变化快慢的物理量． ①在变速圆周运动中，向心力的大小和方向都变化．
v 2mv 22②在变速圆周运动中，仍可以用a n ＝＝ωr ，F n ＝mω2r ，求某一点的向心加速度和向
r r 心力，但此时的ω、v 为该点的瞬时值．
③速度与合力的夹角与速度变化的关系，当夹角0
①运动轨迹既不是直线，也不是圆周的曲线运动称为一般的曲线运动．
②处理一般的曲线运动的方法：把曲线分割成许多极短的小段，每一个段都可以看做是不同半径的圆周上的一段圆弧，对每一小段可以采用圆周运动的分析方法处理． (3)匀速圆周运动的进一步理解
①特点：线速度大小不变，方向时刻改变．角速度、周期、频率恒定不变．向心加速度和向心力都大小不变，方向指向圆心，时刻改变．
②性质：A. 是线速度大小不变、方向时刻改变的变速运动．B. 向心加速度大小不变，方向时刻改变的非匀变速曲线运动．C. 匀速圆周运动具有周期性，即每经过一个周期，运动物体回到原来的位置，重复原来的运动情况．
③物体做匀速圆周运动的条件：合力的大小不变，方向始终与速度垂直且指向圆心，即向心力就是物体所受的合力．
【例3】 如图所示，质量为m 的物体，沿半径为r 的圆轨道自A 点滑下，A 与圆心O 等高，滑至B 点(B点在O 点正下方) 时的速度为v ，已知物体与轨道间的动摩擦因数为μ，求物体在B 点所受的摩擦力．
变式训练3 如右图所示，行车的钢丝长L ＝3 m，下面吊着质量m ＝2.8×103 kg的货物，以速度v ＝2 m/s行驶．
行车突然刹车时，钢丝绳受到的拉力是多少？(g取10 m/s2)
课时作业：
[概念规律题组]
1． 如图1所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体一起运动，提供物体所需向心力 的是
( )
A ．重力 B ．弹力 C ．静摩擦力 D ．滑动摩擦力
2． 汽车甲和汽车乙质量相等，以相等速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的 外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为F f 甲和F f 乙，以下说法正确的是 A ．F f 甲小于F f 乙 B ．F f 甲等于F f 乙
C ．F f 甲大于F f 乙 D ．F f 甲和F f 乙大小均与汽车速率无关 3． 如图2所示，一小球用细绳悬挂于O 点，将其拉离竖直位置一个 角度后释放，则小球以O 点为圆心做圆周运动，运动中提供小球所需 向心力的是 A ．绳的拉力
B ．重力和绳拉力的合力
C ．重力和绳拉力的合力沿绳的方向的分力 D ．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
4． 如图3
所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距
( )
( )
圆心为r 处P 点不动．关于小强的受力，下列说法正确的是 ( ) A ．小强在P 点不动，因此不受摩擦力作用
B ．若使圆盘以较小的转速转动时，小强在P 点受到的摩擦力为零 C ．小强随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力
D ．如果小强随圆盘一起做变速圆周运动，那么其所受摩擦力仍指向圆心
5． 一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M 向N 行驶，速度逐渐增加．选项A 、B 、C 、 D 分别画出了汽车转弯时所受合力F 的四种方向，其中你认为正确的是
(
)
6． 质量为m 的飞机，以速率v 在水平面内做半径为R 的匀速圆周运动，空气对飞机作用 力的大小等于 A ．m C ．m
2
( )
v 2
B ．m R D ．mg
g ＋
R 2
－g R
7． 如图4所示，质量为m 的小球固定在长为l 的细轻杆的一端，轻杆的另一端O 在竖直 平面内做圆周运动．球转到最高点A 时，线速度的大小为 mg
A ．杆受到
2mg
B ．杆受到
23
C ．杆受到mg 的拉力
23
D ．杆受到mg 的压力
2
[方法技巧题组]
8． 一质量为m 的物体，沿半径为R 的向下凹的圆形轨道滑行，如图5所示，经过最低点
时速度为v ，物体与轨道之间的动摩擦因数为μ，则它在最低点时受到的摩擦力为( ) A ．μmg
( ) 2
μmv2B.
R v 2
C ．μm(g＋
R v 2
D ．μm(g－R
9． 两个质量相同的小球，在同一水平面内做匀速圆周运动，悬 点相同，如图6所示，A 运动的半径比B 的大，则
( )
A ．A 所需的向心力比B 的大 B ．B 所需的向心力比A 的大 C ．A 的角速度比B 的大 D ．B 的角速度比A 的大 10．如图7所示，A 、B 两个小球质量相等，用一根轻绳相连，另有 一根轻绳的两端分别连接O 点和B 点，让两个小球绕O 点在光滑水 平桌面上以相同的角速度做匀速圆周运动，若OB 绳上的拉力为F 1， AB 绳上的拉力为F 2，OB ＝AB ，则 ( ) A ．A 球所受向心力为F 1，B 球所受向心力为F 2 B ．A 球所受向心力为F 2，B 球所受向心力为F 1 C ．A 球所受向心力为F 2，B 球所受向心力为F 1－F 2 D ．F 1∶F 2＝3∶2
11．如图8所示，已知绳长为L ＝20 cm ，水平杆L′＝0.1 m ，小球质量m ＝0.3 kg ，整个装
置可绕竖直轴转动．(g取10 m/s2) 问：
(1)要使绳子与竖直方向成45°角，试求该装置必须以多大的角速度转动才行？ (2)此时绳子的张力多大？
图8
[创新应用]
12．如图9所示，在水平转台上放一个质量M ＝2 kg 的木块，它与转台间最大静摩擦力F fmax
＝6.0 N，绳的一端系在木块上，穿过转台的中心孔O(孔光滑，忽略小滑轮的影响) ，另一端悬挂一个质量m ＝1.0 kg的物体，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O 点的距离可以是(g取10 m/s2，M 、m 均视为质点) (
)
A ．0.04 m C ．0.16 m
图9
B ．0.08 m D ．0.32 m