专题复习——求轨迹方程
x 2y 2
0) 为定点，求线段AB 的中点M 的 例1. 点B 是椭圆2+2=1上的动点，A(2a ，a b
轨迹方程。
2) ，并且以y 轴为准线，离心率为 例2. 动椭圆过定点M (1，
迹方程。
1，求椭圆的左顶 点A 的轨2
例3. 过点P （2，4）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，
若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
22例4. 已知定点A （2，0），点Q 是圆x ＋y ＝1的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上
移动时，求动点M 的轨迹方程。
例5. 如图，给出定点A （a ，0），（a>0）与定直线l ：x ＝－1，点B 是l 上动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C ，求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值关系。
【模拟试题】
1. 长为3a （a>0）的线段AB 的两端点A 、B 分别在y 轴、x 轴上运动，P 点分线段AB 或正比2：1，求点P 的轨迹方程。
x 2y 2
-=1的焦点，点C 在抛物线y ＝4x 2上运动，求△ABC 2. △ABC 的顶点B 、C 双曲线169
的重心G 的轨迹方程。
3. 自双曲线x -y =1上的动点A 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程。
4. 已知定点A （－1，0），B （2，0），P 为动点，且∠PBA ＝2∠PAB ，求动点P 的轨迹方程。
5. 以双曲线x -y =2的右准线l 为左准线，以双曲线的右焦点F 为左焦点的椭圆C 的短轴顶点为B ，求BF 中点M 的轨迹方程。
2222
答案：
例一; 分析：题中涉及了三个点A 、B 、M ，其中A 为定点，而B 、M 为动点，且点B 的运动是有规律的，显然M 的运动是由B 的运动而引发的，可见M 、B 为相关点，故采用相关点法求动点M 的轨迹方程。
解：设动点M 的坐标为（x ，y ），而设B 点坐标为（x 0，y 0）
则由M 为线段AB 中点，可得 ⎧x 0+2a =x ⎪⎧x 0=2x -2a ⎪2⇒⎨ ⎨ y +0y =2y ⎩0⎪0=y ⎪⎩2
即点B 坐标可表为（2x －2a ，2y ） x 2y 2
又 点B (x 0，y0) 2+2=1上 a b
x y ∴0
2+02=1a b 22(2x -2a ) 2(2y ) 2从而有+2=1， a 2b
4(x -a ) 24y 2
+2=1 整理，得动点M a 2b
0) 为中心，长半轴为 动点M 的轨迹是以(a ，a b ，短半轴为的椭圆。 22
例二： 分析：先画出示意图，如图所示：根据已知条件：动椭圆过M （1，2）且以y 轴为其准线，可见该椭圆位于y 轴右侧，注意到点M 在椭圆上，故联想到椭圆的几何性质：椭圆上任一点到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率。即可发现间接涉及动顶点A 的等量关系。只需用A 的坐标先表示出左焦点F 的坐标，即可列出轨迹方程。
解：设A (x ，y ) ，左焦点为F (x 0，y) ，则由离心率e =
可得1，及点A 在椭圆上， 2x -x 1|AF |1=，即0=， |AK |2x 2
33x ，∴F (x ，y ) 22 ∴x 0=
又∵M 在椭圆上， ∴|MF |1=，即|MN |2(1-32x ) +(2-y ) 212=， 12
2(x -) 2
22(y -2) 2
2 化简，得9(x -) +4(y -2) =1，即+=1 113
94
2112) 为中心，长半轴为，短半轴为的椭圆。 该方程表示以(， 323
例三：
分析1：设M （x ，y ），由已知l 1⊥l 2，联想到两直线垂直的充要条件：k 1k 2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M 点坐标表示A 、B 两点坐标。事实上，由M 为AB 的中点，易找出它们的坐标之间的联系。
解法1：设M （x ，y ），∵M 为AB 中点，∴A （2x ，0），B （0，2y ）。
又l 1，l 2过点P （2，4），且l 1⊥l 2
∴PA ⊥PB ，从而k PA ·k PB ＝－1， 4-04-2y ，kPB = 2-2x 2-0
44-2y =-1，化简，得x +2y -5=0 ∴2-2x 2 而k PA =
注意到l 1⊥x 轴时，l 2⊥y 轴，此时A （2，0），B （0，4）
中点M （1，2），经检验，它也满足方程x ＋2y －5＝0
综上可知，点M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0。
分析2：解法1中在利用k 1k 2＝－1时，需注意k 1、k 2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB 为直角三角形的几何特性： |MP |=1|AB | 2
解法2：设M （x ，y ），连结MP ，则A （2x ，0），B （0，2y ），
∵l 1⊥l 2，∴△PAB 为直角三角形 由直角三角形的性质，|MP |=
∴(x -2) +(y -4) =221|AB | 21(2x ) 2+(2y ) 2 2
化简，得x ＋2y －5＝0，此即M 的轨迹方程。
分析3：从运动的角度观察发现，点M 的运动是由直线l 1引发的，可设出l 1的斜率k 作为参数，建立动点M 坐标（x ，y ）满足的参数方程。
解法3：设M （x ，y ），设直线l 1的方程为y －4＝k （x －2），（k ≠０）
由l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为y -4=-1(x -2) k
4，0) ， k
24+) ， l 2与y 轴交点B 的坐标为(0，k ∴l 1与x 轴交点A 的坐标为(2-
∵M 为AB 的中点， 4⎧2-⎪k =1-2x =⎪⎪2k ∴⎨(k 为参数) 2⎪4+⎪k =2+1y =⎪2k ⎩
消去k ，得x ＋2y －5＝0。
另外，当k ＝0时，AB 中点为M （1，2），满足上述轨迹方程；
当k 不存在时，AB 中点为M （1，2），也满足上述轨迹方程。
综上所述，M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0。
的性质，知例四：分析1：由三角形的内角平分线
|AM |=2， |MQ ||AM ||OA |= |MQ ||OQ | 而|OA |=2，|OQ |=1，故
即点M 分成比为λ=2，
若设出M （x ，y ），则由分点坐标公式，可表示出点Q 的坐标，因Q 、M 为相关点，（Q 点运动导致点M 运动），可采用相关点法求点M 的轨迹方程。
解法1：设M （x ，y ）， 质定理，得 由三角形内角平分线性
∵M 在AQ 上，
∴点M 分AQ 成比为λ=2， |AM ||AO |==2， |MQ ||OQ |
2+2·x 0⎧x =⎪⎪1+20) 若设点Q 的坐标为(x 0，y0) ，则⎨ 又A (2， 0+2·y 0⎪y =⎪1+2⎩
3x -2⎧x =⎪⎪02 ∴⎨⎪y =3y
0⎪2⎩
22而点Q (x 0，y0) 在圆x 2+y 2=1上 3x -223y 24) +() 2=1，化简，得(x -) 2+y 2= 2239
2242 ∴点M 的轨迹方程为(x -) +y =。 39 ∴x 0+y 0=1，即(
分析2：由三角形的内角平分线性质，知|AM ||AO |==2， |QM ||QO |
若过M 作MN ∥OQ 交OA 于N ，则|AN ||AM |==2， |ON ||QM |
0) ，而 从而N (，
|MN |= ∴23|MN ||AM |2==，|OQ |=1， |OQ ||AQ |3222|OQ |=为定值，可见动点M 到定点N 的距离为定值。 333
2 因此M 的轨迹是以N 为圆心，半径为的圆， 3
2242 ∴其方程为(x -) +y =， 39
而当∠AOQ ＝180°时，其角分线为y 轴，它与AQ 交点为原点O ，显然，该点也满足上述轨迹方程。
注：此种解法为定义法。
例五： 解法1：设B （－1，b ），C （x ，y ），直线OB 的方程为y ＝－bx ，即bx ＋y ＝0， ∵OC 平分∠AOB ，∴点C 到角的两边距离相等。 ∴|bx +y |
b +12=|y |①
又∵点C 在直线AB 上，∴A 、B 、C 三点共线 y b =，x -a -1-a
(1+a ) y ③ 由②得b =a -x ∴k AC =k AB ，即
由①得b (x -y ) +2·xy =022② ④
把③代入④，得 (1+a ) y (x 2-y 2) +2xy =0 a -x (0≤x
y ≠0时，(1+a ) ·(x 2-y 2) +2x (a -x ) =0，即(a -1) x 2-(a +1) y 2+2ax =0 (0≤x
y＝0时，b ＝0，∠AOB ＝180°，点C 坐标为（0，0），满足上述方程。
22 故方程（a －1）x －(a＋1)y ＋2ax ＝0是点C 的轨迹方程。
2 当a ＝1时，方程为y ＝x ，（0≤x∴01时，轨迹为双曲线弧。
解法2：设B （－1，b ），C （x ，y ） 则k OA =0，kOC =y ，kx OB =-b
∵OC 平分∠AOB ∴∠AOC ＝∠COB ∴tg ∠AOC ＝tg ∠COB ， y y -0-b -y bx +y ∴=，整理，得=，① y y x by -x 1+·01+(-b ) ·x x
y b (a +1) y =∴b =，代入①式，消去b ，得 又x -a -1-a a -x
(1+a ) y (x -y ) +2xy (a -x ) =0，(0≤x
以下略，（见解法1的相应部分）
解法3：设B （－1，b ），C （x ，y ），又A （a ，0） 22
|AC |= ∴(a +1) 2+b 2，|BC |=(x +1) 2+(y -b ) 2，|AO |=a ，|BO |=b 2+1 ∵OC 平分∠AOB ，由三角形内角平分线性质，得 (a +1) 2+b 2|AC ||AO |a =，即= 222|BC ||BO |(x +1) +(y -b ) +1
整理，得(b＋1) ·[(a＋1) ＋b ]＝a [(x＋1) ＋(y－b) ] (a +1) y 又由k AC =k AB 得b =代入上式，整理，得 a -x
(1+a ) y (x -y ) +2xy (a -x ) =0，(0≤x
以下略。（同解法1的相应部分）
【试题答案】
1. x 2+4y 2=4a 2
2. y =12x 2，(x ≠0，y≠0) 3. 2x -2y -2x +2y -1=0，(x ≠2253，y≠) 44
y 2
=1，(x >-1) 4. x -32
5. y =
21(x -2) ，(x >1) 2
专题复习——求轨迹方程
x 2y 2
0) 为定点，求线段AB 的中点M 的 例1. 点B 是椭圆2+2=1上的动点，A(2a ，a b
轨迹方程。
2) ，并且以y 轴为准线，离心率为 例2. 动椭圆过定点M (1，
迹方程。
1，求椭圆的左顶 点A 的轨2
例3. 过点P （2，4）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，
若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
22例4. 已知定点A （2，0），点Q 是圆x ＋y ＝1的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上
移动时，求动点M 的轨迹方程。
例5. 如图，给出定点A （a ，0），（a>0）与定直线l ：x ＝－1，点B 是l 上动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C ，求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值关系。
【模拟试题】
1. 长为3a （a>0）的线段AB 的两端点A 、B 分别在y 轴、x 轴上运动，P 点分线段AB 或正比2：1，求点P 的轨迹方程。
x 2y 2
-=1的焦点，点C 在抛物线y ＝4x 2上运动，求△ABC 2. △ABC 的顶点B 、C 双曲线169
的重心G 的轨迹方程。
3. 自双曲线x -y =1上的动点A 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程。
4. 已知定点A （－1，0），B （2，0），P 为动点，且∠PBA ＝2∠PAB ，求动点P 的轨迹方程。
5. 以双曲线x -y =2的右准线l 为左准线，以双曲线的右焦点F 为左焦点的椭圆C 的短轴顶点为B ，求BF 中点M 的轨迹方程。
2222
答案：
例一; 分析：题中涉及了三个点A 、B 、M ，其中A 为定点，而B 、M 为动点，且点B 的运动是有规律的，显然M 的运动是由B 的运动而引发的，可见M 、B 为相关点，故采用相关点法求动点M 的轨迹方程。
解：设动点M 的坐标为（x ，y ），而设B 点坐标为（x 0，y 0）
则由M 为线段AB 中点，可得 ⎧x 0+2a =x ⎪⎧x 0=2x -2a ⎪2⇒⎨ ⎨ y +0y =2y ⎩0⎪0=y ⎪⎩2
即点B 坐标可表为（2x －2a ，2y ） x 2y 2
又 点B (x 0，y0) 2+2=1上 a b
x y ∴0
2+02=1a b 22(2x -2a ) 2(2y ) 2从而有+2=1， a 2b
4(x -a ) 24y 2
+2=1 整理，得动点M a 2b
0) 为中心，长半轴为 动点M 的轨迹是以(a ，a b ，短半轴为的椭圆。 22
例二： 分析：先画出示意图，如图所示：根据已知条件：动椭圆过M （1，2）且以y 轴为其准线，可见该椭圆位于y 轴右侧，注意到点M 在椭圆上，故联想到椭圆的几何性质：椭圆上任一点到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率。即可发现间接涉及动顶点A 的等量关系。只需用A 的坐标先表示出左焦点F 的坐标，即可列出轨迹方程。
解：设A (x ，y ) ，左焦点为F (x 0，y) ，则由离心率e =
可得1，及点A 在椭圆上， 2x -x 1|AF |1=，即0=， |AK |2x 2
33x ，∴F (x ，y ) 22 ∴x 0=
又∵M 在椭圆上， ∴|MF |1=，即|MN |2(1-32x ) +(2-y ) 212=， 12
2(x -) 2
22(y -2) 2
2 化简，得9(x -) +4(y -2) =1，即+=1 113
94
2112) 为中心，长半轴为，短半轴为的椭圆。 该方程表示以(， 323
例三：
分析1：设M （x ，y ），由已知l 1⊥l 2，联想到两直线垂直的充要条件：k 1k 2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M 点坐标表示A 、B 两点坐标。事实上，由M 为AB 的中点，易找出它们的坐标之间的联系。
解法1：设M （x ，y ），∵M 为AB 中点，∴A （2x ，0），B （0，2y ）。
又l 1，l 2过点P （2，4），且l 1⊥l 2
∴PA ⊥PB ，从而k PA ·k PB ＝－1， 4-04-2y ，kPB = 2-2x 2-0
44-2y =-1，化简，得x +2y -5=0 ∴2-2x 2 而k PA =
注意到l 1⊥x 轴时，l 2⊥y 轴，此时A （2，0），B （0，4）
中点M （1，2），经检验，它也满足方程x ＋2y －5＝0
综上可知，点M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0。
分析2：解法1中在利用k 1k 2＝－1时，需注意k 1、k 2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB 为直角三角形的几何特性： |MP |=1|AB | 2
解法2：设M （x ，y ），连结MP ，则A （2x ，0），B （0，2y ），
∵l 1⊥l 2，∴△PAB 为直角三角形 由直角三角形的性质，|MP |=
∴(x -2) +(y -4) =221|AB | 21(2x ) 2+(2y ) 2 2
化简，得x ＋2y －5＝0，此即M 的轨迹方程。
分析3：从运动的角度观察发现，点M 的运动是由直线l 1引发的，可设出l 1的斜率k 作为参数，建立动点M 坐标（x ，y ）满足的参数方程。
解法3：设M （x ，y ），设直线l 1的方程为y －4＝k （x －2），（k ≠０）
由l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为y -4=-1(x -2) k
4，0) ， k
24+) ， l 2与y 轴交点B 的坐标为(0，k ∴l 1与x 轴交点A 的坐标为(2-
∵M 为AB 的中点， 4⎧2-⎪k =1-2x =⎪⎪2k ∴⎨(k 为参数) 2⎪4+⎪k =2+1y =⎪2k ⎩
消去k ，得x ＋2y －5＝0。
另外，当k ＝0时，AB 中点为M （1，2），满足上述轨迹方程；
当k 不存在时，AB 中点为M （1，2），也满足上述轨迹方程。
综上所述，M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0。
的性质，知例四：分析1：由三角形的内角平分线
|AM |=2， |MQ ||AM ||OA |= |MQ ||OQ | 而|OA |=2，|OQ |=1，故
即点M 分成比为λ=2，
若设出M （x ，y ），则由分点坐标公式，可表示出点Q 的坐标，因Q 、M 为相关点，（Q 点运动导致点M 运动），可采用相关点法求点M 的轨迹方程。
解法1：设M （x ，y ）， 质定理，得 由三角形内角平分线性
∵M 在AQ 上，
∴点M 分AQ 成比为λ=2， |AM ||AO |==2， |MQ ||OQ |
2+2·x 0⎧x =⎪⎪1+20) 若设点Q 的坐标为(x 0，y0) ，则⎨ 又A (2， 0+2·y 0⎪y =⎪1+2⎩
3x -2⎧x =⎪⎪02 ∴⎨⎪y =3y
0⎪2⎩
22而点Q (x 0，y0) 在圆x 2+y 2=1上 3x -223y 24) +() 2=1，化简，得(x -) 2+y 2= 2239
2242 ∴点M 的轨迹方程为(x -) +y =。 39 ∴x 0+y 0=1，即(
分析2：由三角形的内角平分线性质，知|AM ||AO |==2， |QM ||QO |
若过M 作MN ∥OQ 交OA 于N ，则|AN ||AM |==2， |ON ||QM |
0) ，而 从而N (，
|MN |= ∴23|MN ||AM |2==，|OQ |=1， |OQ ||AQ |3222|OQ |=为定值，可见动点M 到定点N 的距离为定值。 333
2 因此M 的轨迹是以N 为圆心，半径为的圆， 3
2242 ∴其方程为(x -) +y =， 39
而当∠AOQ ＝180°时，其角分线为y 轴，它与AQ 交点为原点O ，显然，该点也满足上述轨迹方程。
注：此种解法为定义法。
例五： 解法1：设B （－1，b ），C （x ，y ），直线OB 的方程为y ＝－bx ，即bx ＋y ＝0， ∵OC 平分∠AOB ，∴点C 到角的两边距离相等。 ∴|bx +y |
b +12=|y |①
又∵点C 在直线AB 上，∴A 、B 、C 三点共线 y b =，x -a -1-a
(1+a ) y ③ 由②得b =a -x ∴k AC =k AB ，即
由①得b (x -y ) +2·xy =022② ④
把③代入④，得 (1+a ) y (x 2-y 2) +2xy =0 a -x (0≤x
y ≠0时，(1+a ) ·(x 2-y 2) +2x (a -x ) =0，即(a -1) x 2-(a +1) y 2+2ax =0 (0≤x
y＝0时，b ＝0，∠AOB ＝180°，点C 坐标为（0，0），满足上述方程。
22 故方程（a －1）x －(a＋1)y ＋2ax ＝0是点C 的轨迹方程。
2 当a ＝1时，方程为y ＝x ，（0≤x∴01时，轨迹为双曲线弧。
解法2：设B （－1，b ），C （x ，y ） 则k OA =0，kOC =y ，kx OB =-b
∵OC 平分∠AOB ∴∠AOC ＝∠COB ∴tg ∠AOC ＝tg ∠COB ， y y -0-b -y bx +y ∴=，整理，得=，① y y x by -x 1+·01+(-b ) ·x x
y b (a +1) y =∴b =，代入①式，消去b ，得 又x -a -1-a a -x
(1+a ) y (x -y ) +2xy (a -x ) =0，(0≤x
以下略，（见解法1的相应部分）
解法3：设B （－1，b ），C （x ，y ），又A （a ，0） 22
|AC |= ∴(a +1) 2+b 2，|BC |=(x +1) 2+(y -b ) 2，|AO |=a ，|BO |=b 2+1 ∵OC 平分∠AOB ，由三角形内角平分线性质，得 (a +1) 2+b 2|AC ||AO |a =，即= 222|BC ||BO |(x +1) +(y -b ) +1
整理，得(b＋1) ·[(a＋1) ＋b ]＝a [(x＋1) ＋(y－b) ] (a +1) y 又由k AC =k AB 得b =代入上式，整理，得 a -x
(1+a ) y (x -y ) +2xy (a -x ) =0，(0≤x
以下略。（同解法1的相应部分）
【试题答案】
1. x 2+4y 2=4a 2
2. y =12x 2，(x ≠0，y≠0) 3. 2x -2y -2x +2y -1=0，(x ≠2253，y≠) 44
y 2
=1，(x >-1) 4. x -32
5. y =
21(x -2) ，(x >1) 2