直线的倾斜角和斜率
西安高级中学
高 一 数 学 李 秋 侠
普通高中课程标准实验教科书（北京师范大学出版社）
数学2（必修）
第二章解析几何初步
§1.1直线的倾斜角和斜率（教学设计 ）
西安高级中学李秋侠
一、设计思想：学生在初中阶段学习过函数的图像，了解在坐标系中点与实数对x,y的对应，这正是解析几何的研
究方法，而直线是解析几何中最基本最简单的研究对象，它既能为进一步的学习做好知识上的准备，又能为后面灵活运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。所以本节课在设计时特别重视知识的形成，过程的感悟，概念的辨析，引导学生注重倾斜角、斜率的相互关系，掌握过两已知点的直线的斜率公式，并能根据直线的斜率求倾斜角，利用斜率判定三点共线；充分利用多媒体形象展示，使学生全面地、多角度、多层次地认知新概念，特别是利用几何画板的动态演示，透彻理解倾斜角、斜率的概念、取值范围、及变化规律，强化“数”与“形”的结合与转化；另外斜率公式的推导采取逐步递进，发展到用直线上的两点的坐标表示斜率，体现新课标的递进、螺旋式认知理念；通过图片展示使学生了解解析几何及其在生活科学等方面的应用，激发学生的学习热情，引导学生树立远大理想，崇尚科学。在引导学生用倾斜角的正切值表示直线的斜率时，由于学生毫无三角函数基础，只要求给出会用即可，不能用知识的联系性、思维的连贯性的传统理念，去增加补充三角函数知识，否则就与新课程理念相背离了。
二．三维目标
1.通过具体图形理解确定直线的几何要素，理解直线倾斜角、斜率的概念，感受直线的方向与倾斜角 及斜率之间的对应关系。掌握过两点的直线斜率的计算公式，初步感受解析几何的本质，用代数的 方法解决几何的问题，在教学中培养学生数形结合的数学思想。
2.培养和提高学生联系、对应、转化等辨证思维能力，形成严谨的学习态度。 3.营造轻松、和谐的学习氛围，培养学生的探究能力、合作意识及语言表述能力。
三、内容和内容分析
本课是北师大版数学必修2第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何第一节课,
主要知识点是直线倾斜角和斜率，它是解析几何的最基本的、也是重要的概念之一，也是刻画直线倾斜程度的几何要素，是用坐标法研究几何图形的解析方法的初次体现。通过本节课对直线倾斜角与斜率的研究能够使学生初步感受到解析几何的本质，步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。因而本节课的数学思想和方法尤显重要
四．教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，用代数的方法刻画直线斜率的过程及过两点的直线的斜率公式； 教学难点：斜率概念的理解和斜率公式的推导。
教学方法：通过实例创设教学环境，让学生感悟到知识的生成。
五．学情分析
初中学生已在平面坐标系中对一次函数借助几何图形研究了性质，图形非常熟悉。学生对三角函数的认识相对浅得多，对斜率用倾斜角的正切值表示困难较大，但也要求学生掌握特殊角度正切值。
六．现代信息技术使用
为了有效实现教学目标，考虑到学生的知识水平和理解能力，借助计算机工具和现实生活中的相关实物图片，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性。 1.利用图片介绍解析几何。
2.幻灯展示设问问题、例题、引入中的课件（一，二），利用几何画板演示倾斜角的大小与直线斜率的关系； 3. 幻灯展示课堂小结、课后作业及探究。 4.新知识学习过程中的探究设问：
七．导学流程
1.利用图片介绍解析几何。
2.幻灯展示设问问题、例题、引入中的课件（一，二），利用几何画板演示倾斜角的大小与直线斜率的关系；
6.幻灯展示课堂小结、课后作业及探究。
八.新知识学习过程中的探究设问：
①确定一条直线的位置需要什么条件？ ②用什么量描述直线的倾斜程度呢？ ③倾斜角概念中的要点有哪些？
④倾斜角的取值范围？能为0?90?180?大于180?
⑤任何直线都有倾斜角吗？唯一吗？
⑥除了倾斜角还有什么能表示直线的“倾斜程度”？ ⑦任何直线都有斜率吗？
⑧不与x轴垂直的直线的斜率除了用tan外，用直线上的两点的坐标怎样表示呢？ ⑨用斜率公式求直线的斜率ky2y1应注意什么？
x2x1⑩三点共线的实质是什么?
九．教学过程设计
技术支持
利用
powerpoint
放图片
利用
powerpoint 演示，教师讲解，引导学生发现生活中的美妙曲线。
利用几何画
板，
演示平面直角坐标系中的不同位置的直线。
培养学生研究归纳能力。
展示道路、楼梯的图片，观察倾斜程度
培养学生归纳，提炼知识的能力。
几何画板演
示，观察斜率的正负及大小与倾斜角的关系
板演：推到斜率公式，分析成立条件，揭示不成立的时的位置特征，学生作笔记。
老师板演，学生口述。
学生板演
感受数学丰富内涵。
十.课后反思：
本节课设计的教学目标在同学们的配合下完成的很好。这节课在以下几个方面比较成功：
1）利用多媒体形象展示，使学生真切感受到生活中的数学模型，达到了全面地、多角度、多层次地认知新概念的目的；激发了学生的学习兴趣、探知欲望，培养了学生热爱生活、热爱科学的情感，很好地体现了新课标的三维目标，注重知识的形成，过程的感悟，情感价值观的培养；
2)新知导学设问很好，问题设置合理有层次，使整个教学既有层次感，又流畅自然，学生清楚自己每个阶段的学习目标，对所要学习的新知识关注点相对集中，目的性强；
3）直线倾斜角、斜率的相互关系及变化规律，一直以来都是学生的难点和易错点，又是本节课的难点，即便是学习了三角函数知识，这个难点总是很难突破，何况新教材中的三角函数现在还没有学，我利用直线x1与直线l交点(1,k)的纵坐标k的值的变化使其得到很好的化解和突破，并且非常有利于学生理解和记忆；特别是对水平与竖直两种特殊位置的直线的斜率给出了很好的合情合理的解释，同时还培养了学生分类讨论的思想，这应该是本节课的亮点所在。 4）斜率公式的推导由过原点的直线到不过原点的直线，由直线上的一点到直线上的两点，逐步递进，升级自然，学生理解起来容易，难度分散，符合学生的认知规律，证实了新课标的递进、螺旋式认知理念是正确的； 5）通过直线的倾斜角和斜率的学习，培养了学生的数形结合、分类讨论思想；
本节课不足之处是：本节课的容量略大，留给学生活动的时间还不够充分，这一点我还是不太满意，课后探究问题的内容还不够丰富，增加一个趣味性强的探究题，对激发学生的研究热情更有利。
直线的倾斜角和斜率
西安高级中学
高 一 数 学 李 秋 侠
普通高中课程标准实验教科书（北京师范大学出版社）
数学2（必修）
第二章解析几何初步
§1.1直线的倾斜角和斜率（教学设计 ）
西安高级中学李秋侠
一、设计思想：学生在初中阶段学习过函数的图像，了解在坐标系中点与实数对x,y的对应，这正是解析几何的研
究方法，而直线是解析几何中最基本最简单的研究对象，它既能为进一步的学习做好知识上的准备，又能为后面灵活运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。所以本节课在设计时特别重视知识的形成，过程的感悟，概念的辨析，引导学生注重倾斜角、斜率的相互关系，掌握过两已知点的直线的斜率公式，并能根据直线的斜率求倾斜角，利用斜率判定三点共线；充分利用多媒体形象展示，使学生全面地、多角度、多层次地认知新概念，特别是利用几何画板的动态演示，透彻理解倾斜角、斜率的概念、取值范围、及变化规律，强化“数”与“形”的结合与转化；另外斜率公式的推导采取逐步递进，发展到用直线上的两点的坐标表示斜率，体现新课标的递进、螺旋式认知理念；通过图片展示使学生了解解析几何及其在生活科学等方面的应用，激发学生的学习热情，引导学生树立远大理想，崇尚科学。在引导学生用倾斜角的正切值表示直线的斜率时，由于学生毫无三角函数基础，只要求给出会用即可，不能用知识的联系性、思维的连贯性的传统理念，去增加补充三角函数知识，否则就与新课程理念相背离了。
二．三维目标
1.通过具体图形理解确定直线的几何要素，理解直线倾斜角、斜率的概念，感受直线的方向与倾斜角 及斜率之间的对应关系。掌握过两点的直线斜率的计算公式，初步感受解析几何的本质，用代数的 方法解决几何的问题，在教学中培养学生数形结合的数学思想。
2.培养和提高学生联系、对应、转化等辨证思维能力，形成严谨的学习态度。 3.营造轻松、和谐的学习氛围，培养学生的探究能力、合作意识及语言表述能力。
三、内容和内容分析
本课是北师大版数学必修2第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何第一节课,
主要知识点是直线倾斜角和斜率，它是解析几何的最基本的、也是重要的概念之一，也是刻画直线倾斜程度的几何要素，是用坐标法研究几何图形的解析方法的初次体现。通过本节课对直线倾斜角与斜率的研究能够使学生初步感受到解析几何的本质，步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。因而本节课的数学思想和方法尤显重要
四．教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，用代数的方法刻画直线斜率的过程及过两点的直线的斜率公式； 教学难点：斜率概念的理解和斜率公式的推导。
教学方法：通过实例创设教学环境，让学生感悟到知识的生成。
五．学情分析
初中学生已在平面坐标系中对一次函数借助几何图形研究了性质，图形非常熟悉。学生对三角函数的认识相对浅得多，对斜率用倾斜角的正切值表示困难较大，但也要求学生掌握特殊角度正切值。
六．现代信息技术使用
为了有效实现教学目标，考虑到学生的知识水平和理解能力，借助计算机工具和现实生活中的相关实物图片，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性。 1.利用图片介绍解析几何。
2.幻灯展示设问问题、例题、引入中的课件（一，二），利用几何画板演示倾斜角的大小与直线斜率的关系； 3. 幻灯展示课堂小结、课后作业及探究。 4.新知识学习过程中的探究设问：
七．导学流程
1.利用图片介绍解析几何。
2.幻灯展示设问问题、例题、引入中的课件（一，二），利用几何画板演示倾斜角的大小与直线斜率的关系；
6.幻灯展示课堂小结、课后作业及探究。
八.新知识学习过程中的探究设问：
①确定一条直线的位置需要什么条件？ ②用什么量描述直线的倾斜程度呢？ ③倾斜角概念中的要点有哪些？
④倾斜角的取值范围？能为0?90?180?大于180?
⑤任何直线都有倾斜角吗？唯一吗？
⑥除了倾斜角还有什么能表示直线的“倾斜程度”？ ⑦任何直线都有斜率吗？
⑧不与x轴垂直的直线的斜率除了用tan外，用直线上的两点的坐标怎样表示呢？ ⑨用斜率公式求直线的斜率ky2y1应注意什么？
x2x1⑩三点共线的实质是什么?
九．教学过程设计
技术支持
利用
powerpoint
放图片
利用
powerpoint 演示，教师讲解，引导学生发现生活中的美妙曲线。
利用几何画
板，
演示平面直角坐标系中的不同位置的直线。
培养学生研究归纳能力。
展示道路、楼梯的图片，观察倾斜程度
培养学生归纳，提炼知识的能力。
几何画板演
示，观察斜率的正负及大小与倾斜角的关系
板演：推到斜率公式，分析成立条件，揭示不成立的时的位置特征，学生作笔记。
老师板演，学生口述。
学生板演
感受数学丰富内涵。
十.课后反思：
本节课设计的教学目标在同学们的配合下完成的很好。这节课在以下几个方面比较成功：
1）利用多媒体形象展示，使学生真切感受到生活中的数学模型，达到了全面地、多角度、多层次地认知新概念的目的；激发了学生的学习兴趣、探知欲望，培养了学生热爱生活、热爱科学的情感，很好地体现了新课标的三维目标，注重知识的形成，过程的感悟，情感价值观的培养；
2)新知导学设问很好，问题设置合理有层次，使整个教学既有层次感，又流畅自然，学生清楚自己每个阶段的学习目标，对所要学习的新知识关注点相对集中，目的性强；
3）直线倾斜角、斜率的相互关系及变化规律，一直以来都是学生的难点和易错点，又是本节课的难点，即便是学习了三角函数知识，这个难点总是很难突破，何况新教材中的三角函数现在还没有学，我利用直线x1与直线l交点(1,k)的纵坐标k的值的变化使其得到很好的化解和突破，并且非常有利于学生理解和记忆；特别是对水平与竖直两种特殊位置的直线的斜率给出了很好的合情合理的解释，同时还培养了学生分类讨论的思想，这应该是本节课的亮点所在。 4）斜率公式的推导由过原点的直线到不过原点的直线，由直线上的一点到直线上的两点，逐步递进，升级自然，学生理解起来容易，难度分散，符合学生的认知规律，证实了新课标的递进、螺旋式认知理念是正确的； 5）通过直线的倾斜角和斜率的学习，培养了学生的数形结合、分类讨论思想；
本节课不足之处是：本节课的容量略大，留给学生活动的时间还不够充分，这一点我还是不太满意，课后探究问题的内容还不够丰富，增加一个趣味性强的探究题，对激发学生的研究热情更有利。