1三角形的有关概念和性质
1。1三角形的内角和
在同一平面内，由一些不在同一条直线上的线段首位顺次相接所围成的封闭图形叫做多边形。组成多变形的那些线段叫做多边形的边。相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。多变形相邻两边所夹的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。多变形的角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做多边形的外角。
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180
在原来图形上添画的线叫做辅助线
依据三角形内角的特征，对三角形进行分类：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。
在直角三角形中，夹直角的两边叫做直角边，直角的对边叫做斜边。
推论1直角三角形的两个锐角互余
推论2三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
1。2三角形的有关线段
三角形一个角的平分线和对边相交，角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线
连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线
从三角形的一个顶点向其对边或对边的延长线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高
2全等三角形
2。1全等三角形的证明
边边边有三边对应相等的两个三角形全等
边角边有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
角边角有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
定理有两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
2。2直角三角形全等的判定
定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
3等腰三角形
3。1等腰三角形及其性质
三角形的三边，有的三边互不相等，有的有两边相等，有的三边都相等。三边都不相等的三角形叫做不等边三角形，有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边都相等的三角形叫做等边三角形。在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角
定理等腰三角形的底角相等
推论等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
定理有两个角相等的三角形是等腰三角形
定理一个三角形是等腰三角形的充要条件是这个三角形有两个内角相等
等边三角形定理1等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60
等边三角形定理2三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形定理3有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形
3。2线段的垂直平分线与角平分线
定理线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
定理和一条线段两个端点距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上
线段的垂直平分线可以看成是所有和线段两段距离相等的点的集合
定理点在角平分线上的充要条件是这一点到这个角两边的距离相等
角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的所有点的集合
3。3轴对称
定义如果点A，B在直线l的两侧，且l是线段AB的垂直平分线，则称点A，B关于直线l互相对称，点A，B互称为关于直线l的对称点，直线l叫做对称轴
定义在平面上，如果图形F的所有点关于平面上的直线l成轴对称，直线l叫做对称轴
定义在平面上，如果存在一条直线l，图形F的所有点关于直线l的对称点组成的图形，仍是图形F自身，则称图形F为轴对称图形，直线l是它的一条对称轴
定理（1）对称轴上的任意一点与一对对称点的距离相等（2）对称点所连线段被对称轴垂直平分
推论两个图形如果关于某直线称轴对称，那么这两个图形是全等形
3。4三角形中的不等关系
定理三角形的外角大于和它不相邻的任一内角
定理三角形任何两边的和大于第三边
推论三角形任何两边的差小于第三边
定理在一个三角形中，如果两边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大
定理在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大
在一个三角形中，一条边大于另一条边的充要条件是，这条边所对的角大于另一条边所对的角
4直角三角形
4。1勾股定理逆定理
勾股定理逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足条件a+b=c，那么c所对的角是直角
4。2含30角的直角三角形的性质
定理在直角三角形中，如果一个瑞角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半
4。3直角三角形斜边上中线的性质
定理在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
5基本作图
5。1基本作图
5。1作三角形
5。3轨迹与反证法
我们把物体按某种规律运动的路线叫做物体运动的轨迹
我们就把一个点在空间按某种规律运动的路线，叫做这个点运动的轨迹，这个点就叫做动点
定义具有性质a的所有点构成的集合，叫做具有性质a的点的轨迹
轨迹具有纯粹性和完备性
基本轨迹1与两个已知点距离相等的点的轨迹是连结这两点的线段的垂直平分线
基本轨迹2与已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线
四边形的常见定理
1多边形
1。1多边形
延长多边形的任意一条边，如果这个多边形的其他各边都在这些延长所得的直线的同旁，我们把这样的多边形叫做凸多边形
在多变形中，连结不相邻两个定点的线段叫做多边形的对角线
1。2多变形的内角和
多变形的内角和定理n边形的内角和等于(n-2)*180
多边形的外角和定理任意多边形的外角和等于360
2平行四边形
2。1平行四边形的定义和性质
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
平行四边形性质定理1平行四边形的对边相等
平行四边形性质定理2平行四边形的对角相等
定理夹在两条平行线间的平行线段相等
同时垂直于两条平行线的直线叫做这两条平行线的公垂线，公垂线夹在平行线间的线段叫做公垂线段，两条平行线间公垂线短的长叫做这两条平行线间的距离
推论平行线间的距离处处相等
平行四边形性质定理3平行四边形对角线互相平分
2。2平行四边形的判定
平行四边形判定定理1两组对边分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形判定定理2两组对角分别向等的四边形是平行四边形
平行四边形判定定理3对角线互相评分的四边形是平行四边形
平行四边形判定定理4一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
23特殊的平行四边形
一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形性质定理1矩形的四个角都是直角
矩形性质定理2矩形的对角线相等
矩形的判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形
举行的判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形
菱形的性质定理1菱形的四条边都相等
菱形的性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角
菱形的判定定理1四边都相等的四边形是菱形
菱形的判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形
正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等
正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
2。4中心对称
定理1成中心对称的两个图形，对称点连线都过对称中心，并且被对称中心平分
定理2中心对称的两个图形是全等形
定理平行四边形是中心对称形，它的对称中心是两条对角线的交点
3梯形
3。1梯形
我们把一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形
梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底称为上底，较长的底称为下底，不平行的两边叫做梯形的腰
3。2等腰梯形与直角梯形
我们把两腰相等的梯形叫做等腰梯形，把有一个角是直角的梯形叫做直角梯形
等腰梯形性质定理1等腰梯形在同一底上的两个角相等
等腰梯形性质定理2等腰梯形的两条对角线相等
等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
3。3四边形的分类
3。4平行线等分线段定理
平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边
3。5三角形的中位线
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心
3。6梯形的中位线
连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线
梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半
1三角形的有关概念和性质
1。1三角形的内角和
在同一平面内，由一些不在同一条直线上的线段首位顺次相接所围成的封闭图形叫做多边形。组成多变形的那些线段叫做多边形的边。相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。多变形相邻两边所夹的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。多变形的角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做多边形的外角。
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180
在原来图形上添画的线叫做辅助线
依据三角形内角的特征，对三角形进行分类：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。
在直角三角形中，夹直角的两边叫做直角边，直角的对边叫做斜边。
推论1直角三角形的两个锐角互余
推论2三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
1。2三角形的有关线段
三角形一个角的平分线和对边相交，角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线
连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线
从三角形的一个顶点向其对边或对边的延长线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高
2全等三角形
2。1全等三角形的证明
边边边有三边对应相等的两个三角形全等
边角边有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
角边角有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
定理有两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
2。2直角三角形全等的判定
定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
3等腰三角形
3。1等腰三角形及其性质
三角形的三边，有的三边互不相等，有的有两边相等，有的三边都相等。三边都不相等的三角形叫做不等边三角形，有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边都相等的三角形叫做等边三角形。在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角
定理等腰三角形的底角相等
推论等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
定理有两个角相等的三角形是等腰三角形
定理一个三角形是等腰三角形的充要条件是这个三角形有两个内角相等
等边三角形定理1等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60
等边三角形定理2三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形定理3有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形
3。2线段的垂直平分线与角平分线
定理线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
定理和一条线段两个端点距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上
线段的垂直平分线可以看成是所有和线段两段距离相等的点的集合
定理点在角平分线上的充要条件是这一点到这个角两边的距离相等
角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的所有点的集合
3。3轴对称
定义如果点A，B在直线l的两侧，且l是线段AB的垂直平分线，则称点A，B关于直线l互相对称，点A，B互称为关于直线l的对称点，直线l叫做对称轴
定义在平面上，如果图形F的所有点关于平面上的直线l成轴对称，直线l叫做对称轴
定义在平面上，如果存在一条直线l，图形F的所有点关于直线l的对称点组成的图形，仍是图形F自身，则称图形F为轴对称图形，直线l是它的一条对称轴
定理（1）对称轴上的任意一点与一对对称点的距离相等（2）对称点所连线段被对称轴垂直平分
推论两个图形如果关于某直线称轴对称，那么这两个图形是全等形
3。4三角形中的不等关系
定理三角形的外角大于和它不相邻的任一内角
定理三角形任何两边的和大于第三边
推论三角形任何两边的差小于第三边
定理在一个三角形中，如果两边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大
定理在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大
在一个三角形中，一条边大于另一条边的充要条件是，这条边所对的角大于另一条边所对的角
4直角三角形
4。1勾股定理逆定理
勾股定理逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足条件a+b=c，那么c所对的角是直角
4。2含30角的直角三角形的性质
定理在直角三角形中，如果一个瑞角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半
4。3直角三角形斜边上中线的性质
定理在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
5基本作图
5。1基本作图
5。1作三角形
5。3轨迹与反证法
我们把物体按某种规律运动的路线叫做物体运动的轨迹
我们就把一个点在空间按某种规律运动的路线，叫做这个点运动的轨迹，这个点就叫做动点
定义具有性质a的所有点构成的集合，叫做具有性质a的点的轨迹
轨迹具有纯粹性和完备性
基本轨迹1与两个已知点距离相等的点的轨迹是连结这两点的线段的垂直平分线
基本轨迹2与已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线
四边形的常见定理
1多边形
1。1多边形
延长多边形的任意一条边，如果这个多边形的其他各边都在这些延长所得的直线的同旁，我们把这样的多边形叫做凸多边形
在多变形中，连结不相邻两个定点的线段叫做多边形的对角线
1。2多变形的内角和
多变形的内角和定理n边形的内角和等于(n-2)*180
多边形的外角和定理任意多边形的外角和等于360
2平行四边形
2。1平行四边形的定义和性质
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
平行四边形性质定理1平行四边形的对边相等
平行四边形性质定理2平行四边形的对角相等
定理夹在两条平行线间的平行线段相等
同时垂直于两条平行线的直线叫做这两条平行线的公垂线，公垂线夹在平行线间的线段叫做公垂线段，两条平行线间公垂线短的长叫做这两条平行线间的距离
推论平行线间的距离处处相等
平行四边形性质定理3平行四边形对角线互相平分
2。2平行四边形的判定
平行四边形判定定理1两组对边分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形判定定理2两组对角分别向等的四边形是平行四边形
平行四边形判定定理3对角线互相评分的四边形是平行四边形
平行四边形判定定理4一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
23特殊的平行四边形
一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形性质定理1矩形的四个角都是直角
矩形性质定理2矩形的对角线相等
矩形的判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形
举行的判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形
菱形的性质定理1菱形的四条边都相等
菱形的性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角
菱形的判定定理1四边都相等的四边形是菱形
菱形的判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形
正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等
正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
2。4中心对称
定理1成中心对称的两个图形，对称点连线都过对称中心，并且被对称中心平分
定理2中心对称的两个图形是全等形
定理平行四边形是中心对称形，它的对称中心是两条对角线的交点
3梯形
3。1梯形
我们把一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形
梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底称为上底，较长的底称为下底，不平行的两边叫做梯形的腰
3。2等腰梯形与直角梯形
我们把两腰相等的梯形叫做等腰梯形，把有一个角是直角的梯形叫做直角梯形
等腰梯形性质定理1等腰梯形在同一底上的两个角相等
等腰梯形性质定理2等腰梯形的两条对角线相等
等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
3。3四边形的分类
3。4平行线等分线段定理
平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边
3。5三角形的中位线
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心
3。6梯形的中位线
连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线
梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半