题目：房价问题的数学建模
摘要
住房问题关系国计民生，既是经济问题，更是影响社会稳定的重要民生问题。
本文通过分析所查找的数据，建立了多项式拟合模型和时间序列模型，可以好好地预测出平均房价并得出一些关于房价的结论和建议。
对于问题一，首先，我们查找相关资料及数据，初步了解影响房价的几个因素；其次，我们利用excel 表格，做出各个因素对房价的影响拟合曲线及曲线方程，并且得出对房价有影响的主要有人均可支配收入，人口密度，贷款利率（五年以上）和土地价格四个因素的结论，其中平均房价随人均可支配收入的变化方
32
y =-3E -09x +0.0002x -2.3653x +11650；随人口密度变化方程11程为：
32
为：y =-1E -05x 2+0.0741x 2-132.04x +68190； 随着贷款利率的变化
6543
y =110770x 3-5E +06x 3+8E +07x 3-7E +08x 3+4E
2+09x 3-1E +10x +1E +10方程为：
；随土地
2
y =6E -0.5x 4-0.5801x +2717.9 价格变动曲线方程为：
对于问题二，用时间序列模型，根据所查找的数据分析得出上海平均房价随时间变化的曲线方程为：y =-63.745t +384012t -8E +08t +5E +11，并由此预测出上海近两年的平均房价；
对于问题三、四、五，综合前面的结论和观点总结出自己的结论并给出合理的消费投资建议。
3
2
关键词：平均房价、 时间序列、Excel 、多项式拟合
一 问题重述
众所周知，社会的进步和发展首先要解决人们的基本需求，而“住”则是基本需求之一；但是，为什么现实生活中“住”却越来越困难了呢？特别是，近年来房价的急速上涨已经成为笼罩在社会大众心头的巨大阴影，那么，这个问题是如何产生的？我们试着收集数据来讨论影响房价的各种因素，对国家制定调控政策和家庭合理消费和投资给出相关的建议。
请建立数学模型，解决问题：
问题一：通过分析找出影响房价的主要原因，并建立一个城市房价的数学模型，对房价的形成、演化机理和房地产投机进行深入细致的分析。 问题二：选择某一地区（如北京、上海、深圳），调查近些年（如2000年至2010年）房价变化情况，并根据你所调查的数据，预测下一阶段（如2010年下半年或2011年）该地区房价的走势。
问题三：房价的变化也会影响“二手房”房价和出租房租金的变化，请研究同一地区“二手房”房价、租金与房价之间的关系。
问题四：请根据国家和各地方政府的一系列调控房价的政策（如购房贷款政策等等）出台的时间与房价的变化情况，分析这些政策对调控房价所起的作用。
问题五：根据你所得到结果，给出你关于购房（新房或“二手房” ）或租房的一些建议。
二 问题分析
此题目旨在了解房价的波动，分析影响房价的多种因素，同时给出相关的合理建议。我们做出如下分析：
1. 房价的波动与政治、经济、行政、社会、自然等因素有关并搜集了很多相关资料和数据。
2. 通过相关系数得出几个因素的重要程度即权重。 3. 正反对比矩阵进行进一步分析几种因素。
4. 运用层次分析法给几个因素并综合参考文献给出合理的结论和建议。
三 问题假设
1. 假设所有数据真实可靠。
2. 假设除该文提到的政治、经济、行政、社会、自然等因素外，其他的因素对房价的影响非常小，可以忽略不计。
四 符号说明
五 模型的建立与求解
1. 模型一的建立与求解 1.1. 基于时间分析源数据 1.1.1数据处理
查找平均房价，人均可支配收入，人口密度，贷款利率和土地价格随时间变化的数据，通过时间的关系建立平均放假与上述四种因素的关系。 1.2多项式拟合模型的建立与求解 1.2.1对影响房价的因素分类结果
依据影响属性我们将因素分为人均可支配收入，人口密度，土地价格，贷款利率4大类。 1.2.2．分析各个影响因素对房价影响的特点
1）人均可支配收入影响特点
利用Excel 作图描绘出人均可支配收入与平均房价变动散点图，再进行非线性拟合，得出如下所示图表：
图一
得出平均房价随人均可支配收入变化的方程为：
3
y =-3E -09x 1+0.0002x 12-2.3653x +11650
因为判定系数R 2=0.9729，所以拟合程度好，即平均房价随人均可支配收入呈三次多项式模型，且平均房价随着人均可支配收入的增长而增长。
2）人口密度影响特点
利用Excel 作图描绘出人口密度与平均房价变动散点图，再进行非线性拟合，得出如下所示图表：
图二
得出平均房价随人口密度变化的方程为：：
32
y =-1E -05x 2+0.0741x 2-132.04x +68190
2
因为判定系数R =0.6769>0.5，拟合程度还可以。从收集到的数据可以看出是从2006
年至今，平均房价大致随着人口密度的增长而增加，其趋势如图二所示，即正相关趋势。
3）贷款利率影响特点
利用Excel 作图描绘出贷款利率与平均房价变动散点图，再进行非线性拟合，得出如下所示图表：
图三
得出平均房价随贷款利率变化的方程为：
6543
y =110770x 3-5E +06x 3+8E +07x 3-7E +08x 3+4E
+09x -1E +10x +1E +10
2
3
因为判定系数R 2=0.8544，所以拟合程度好。但是该拟合达到了6次多项式，且趋势为：平均房价随着贷款利率（五年以上）的增长而上涨。
4）土地价格影响特点
利用Excel 作图描绘出土地价格与平均房价变动散点图，再进行非线性拟合，得出如下所示图表：
图四
得出平均房价随土地价格变化的方程为：
32
y =-3E -09x 4+0.0002x 4-1.4666x 4+5104.6
因为判定系数R 2=0.9687，所以拟合程度好，也即是说明平均房价随着土地价的上涨而上涨。
1.3. 基于所建模型得出各个影响因素对房价的具体影响：
由上述平均房价随着人均可支配收入，人口密度，贷款利率和土地价格变化的趋势曲线方程和关系强度值R ，我们得出人均可支配收入，人口密度，贷款利率和土地价格这四种因素均对平均房价有影响，其中人均可支配收入与平均房价拟合的关系强度值最大，由此我们认为人均可支配收入对平均房价影响效果最强，具体表现为人均可支配收入越多，平均房价越高。而贷款利率（五年以上）每年的变化值不大，对平均房价虽有影响，但相对于其他三种影响因素影响效果不显著。
2
2．模型二的建立与求解
1）对2013年上海平均房价进行预测 2.1. 基于时间序列模型分析源数据 2.1.1时间序列模型的基本方法
在生产和科学研究中，对某一个或一组变量x (t ) 进行观察测量，将在一系列时刻
t 1, t 2
t n (t为自变量，且t 1
x (t n ) ，我们称之
互关系的数学表达式。所得到的离散数字组成序列集合x (t 1), x (t 2) 为时间序列，这种有时间意义的序列也称为动态数据。 2.1.2时间序列模型的建立与求解
利用Excel 作图描绘出时间年份与上海平均房价变动散点图，再进行非线性拟合，得出如下所示图表：
图五
2
y =10.474t -40810t +4E +07. 判定系由此得到上海平均房价变化趋势的方程为：
2
数R =0.8917，也即是说明上海平均房价随着时间的变化趋势符合方程
y =10.474t 2-40810t +4E +07。所以在2013年，即t =2013时，平均房价的预测
2
y =10.474⨯2013-40810⨯2013+4E +07=291888.106 值为：
预测方程为：y =1254.832667t -2509435.378
预测值y =1254.832667⨯2013-2509435.378=16542.78 所以当2013年时，平均房价预测值为 16542.78 元/平方米。
当2014年时，平均房价预测值为y =1254.832667⨯2014-2509435.378=17797.61 2）对2013年上海二手房房价进行预测
2.1.1时间序列模型的建立与求解
利用Excel 作图描绘出时间年份与上海二手房房价变动散点图，再进行非线性拟合，得出如下所示图表：
图六
由此得到上海二手房房价变化趋势的方程为：
y =431.81t 2-2E +06t +2E +09
因为判定系数R 2=0.932，所以拟合程度好，也即是说明上海二手房房价随着时间的变
2
y =431.81t -2E +06t +2E +09 化趋势符合方程
3. 模型三的建立与求解
3.1. 基于时间分析源数据 3.1.1数据处理
由上述时间序列模型建立出上海平均房价和上海某一具体地区的二手房随时间变化的拟合曲线，由时间关系得到平均房价与二手房房价的关系，建立多项式拟合。 3.2.1多项式拟合模型的建立与求解
1）分析房价对二手房价格的影响：
利用Excel 作图描绘出二手房房价与平均房价变动散点图，再进行非线性拟合，得出如
图七
2
得出上海二手房房价随着平均房价变化的方程为：y =0.0005t -9.2887t +61962 因为判定系数R 2=0.8265，所以拟合程度好，且二手房房价与平均房价呈二次关系，即上海平均房价的变化会影响二手房的房价，且二手房房价随着平均房价的增长而增长。 4. 问题四的求解： 4.1数据来源：
为了研究政府出台政策对平均房价的影响，我们选择上海这一地区进行分析。经上网查找数据的出上海在2010年出台的政策日期及对应时期的房价如下图所示： 图八
4.2 模型的建立与求解 4.2.1 建立时间序列模型：
图九
由此得到上海房价随政府出台政策变化趋势的方程为：
y =0.0002t 3-27.988t 2+1E +06t -2E +10
因为判定系数R 2=0.8775，所以拟合程度好，也即是说明政府出台的政策会对房价产生影响。
5. 问题五的求解：
1）关于房价调控的几点建议
首先，国家可以通过调控土地的价格来控制住房的价格。由我们所建模型解出，土地的价格对房价的影响较大，所以政府可以通过调控土地的价格进而调控房价。但同时由于中国人口稠密，人均土地占有量小，所以虽然调控土地价格可以影响住房价格，但其实施性较差。
其次，银行可以调控五年以上的贷款利率（之所以选五年以上的贷款利率是因为购房还贷一般要五年以上）。五年以上的贷款利率与房价正相关。所以在保证银行的正常运行的条件下，可以通过降低五年以上的贷款利率的方法使房价降低。 2）关于家庭购房的几点建议
适度消费，多样投资。对于有购房需求的年轻家庭，消费支出比例偏高，建议在满足基本生活支出的基础上，适当提高生活质量，并适当减少一些可以避免的消费支出。可在年初做好家庭财务计划，养成做预算及记账的习惯。此外，依据个人不同情况和年龄调整投资策略，实现稳健策略和激进策略在不同时期和不同情况下的有效运用。其实，房价一直居高不下，有购房需求的家庭应居安思危。住房市场变幻莫测，唯有尽早及时准备才是上策。
六、模型的综合评价
模型优点： 模型一：基于最小二乘法的多项式拟合模型，得出我国平均房价随着人均可支配收入，人口密度，贷款利率（五年以上），土地价格的变化而变化的特点，并且建模过程简单，准确。
模型二： 利用时间序列模型对上海平均房价的走势做出分析并进行预测，过程简单。 模型三：四都与模型二用相同的时间序列模型方法，分别就上海平均房价对二手房房价的影响和国家政策对平均房价的影响做出分析和判断。 模型缺点：
对于所有模型，基于简便的计算和简单的理解，拟合的多项式大部分不超过三次，所以所有模型可以进行更高次的拟合，分析预测出的结果会更准确。
参考文献
[1] 贾俊平，何晓群，金勇进，统计学，中国人民大学出版社，2012.3 [2] 韩中庚，《数学建模方法及其应用》，北京：高等教育出版社，2009
[3] http://data.stats.gov.cn/
[4] http://www.doc88.com/p-[1**********]50.html
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题目：房价问题的数学建模
摘要
住房问题关系国计民生，既是经济问题，更是影响社会稳定的重要民生问题。
本文通过分析所查找的数据，建立了多项式拟合模型和时间序列模型，可以好好地预测出平均房价并得出一些关于房价的结论和建议。
对于问题一，首先，我们查找相关资料及数据，初步了解影响房价的几个因素；其次，我们利用excel 表格，做出各个因素对房价的影响拟合曲线及曲线方程，并且得出对房价有影响的主要有人均可支配收入，人口密度，贷款利率（五年以上）和土地价格四个因素的结论，其中平均房价随人均可支配收入的变化方
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y =-3E -09x +0.0002x -2.3653x +11650；随人口密度变化方程11程为：
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为：y =-1E -05x 2+0.0741x 2-132.04x +68190； 随着贷款利率的变化
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y =110770x 3-5E +06x 3+8E +07x 3-7E +08x 3+4E
2+09x 3-1E +10x +1E +10方程为：
；随土地
2
y =6E -0.5x 4-0.5801x +2717.9 价格变动曲线方程为：
对于问题二，用时间序列模型，根据所查找的数据分析得出上海平均房价随时间变化的曲线方程为：y =-63.745t +384012t -8E +08t +5E +11，并由此预测出上海近两年的平均房价；
对于问题三、四、五，综合前面的结论和观点总结出自己的结论并给出合理的消费投资建议。
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关键词：平均房价、 时间序列、Excel 、多项式拟合
一 问题重述
众所周知，社会的进步和发展首先要解决人们的基本需求，而“住”则是基本需求之一；但是，为什么现实生活中“住”却越来越困难了呢？特别是，近年来房价的急速上涨已经成为笼罩在社会大众心头的巨大阴影，那么，这个问题是如何产生的？我们试着收集数据来讨论影响房价的各种因素，对国家制定调控政策和家庭合理消费和投资给出相关的建议。
请建立数学模型，解决问题：
问题一：通过分析找出影响房价的主要原因，并建立一个城市房价的数学模型，对房价的形成、演化机理和房地产投机进行深入细致的分析。 问题二：选择某一地区（如北京、上海、深圳），调查近些年（如2000年至2010年）房价变化情况，并根据你所调查的数据，预测下一阶段（如2010年下半年或2011年）该地区房价的走势。
问题三：房价的变化也会影响“二手房”房价和出租房租金的变化，请研究同一地区“二手房”房价、租金与房价之间的关系。
问题四：请根据国家和各地方政府的一系列调控房价的政策（如购房贷款政策等等）出台的时间与房价的变化情况，分析这些政策对调控房价所起的作用。
问题五：根据你所得到结果，给出你关于购房（新房或“二手房” ）或租房的一些建议。
二 问题分析
此题目旨在了解房价的波动，分析影响房价的多种因素，同时给出相关的合理建议。我们做出如下分析：
1. 房价的波动与政治、经济、行政、社会、自然等因素有关并搜集了很多相关资料和数据。
2. 通过相关系数得出几个因素的重要程度即权重。 3. 正反对比矩阵进行进一步分析几种因素。
4. 运用层次分析法给几个因素并综合参考文献给出合理的结论和建议。
三 问题假设
1. 假设所有数据真实可靠。
2. 假设除该文提到的政治、经济、行政、社会、自然等因素外，其他的因素对房价的影响非常小，可以忽略不计。
四 符号说明
五 模型的建立与求解
1. 模型一的建立与求解 1.1. 基于时间分析源数据 1.1.1数据处理
查找平均房价，人均可支配收入，人口密度，贷款利率和土地价格随时间变化的数据，通过时间的关系建立平均放假与上述四种因素的关系。 1.2多项式拟合模型的建立与求解 1.2.1对影响房价的因素分类结果
依据影响属性我们将因素分为人均可支配收入，人口密度，土地价格，贷款利率4大类。 1.2.2．分析各个影响因素对房价影响的特点
1）人均可支配收入影响特点
利用Excel 作图描绘出人均可支配收入与平均房价变动散点图，再进行非线性拟合，得出如下所示图表：
图一
得出平均房价随人均可支配收入变化的方程为：
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y =-3E -09x 1+0.0002x 12-2.3653x +11650
因为判定系数R 2=0.9729，所以拟合程度好，即平均房价随人均可支配收入呈三次多项式模型，且平均房价随着人均可支配收入的增长而增长。
2）人口密度影响特点
利用Excel 作图描绘出人口密度与平均房价变动散点图，再进行非线性拟合，得出如下所示图表：
图二
得出平均房价随人口密度变化的方程为：：
32
y =-1E -05x 2+0.0741x 2-132.04x +68190
2
因为判定系数R =0.6769>0.5，拟合程度还可以。从收集到的数据可以看出是从2006
年至今，平均房价大致随着人口密度的增长而增加，其趋势如图二所示，即正相关趋势。
3）贷款利率影响特点
利用Excel 作图描绘出贷款利率与平均房价变动散点图，再进行非线性拟合，得出如下所示图表：
图三
得出平均房价随贷款利率变化的方程为：
6543
y =110770x 3-5E +06x 3+8E +07x 3-7E +08x 3+4E
+09x -1E +10x +1E +10
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因为判定系数R 2=0.8544，所以拟合程度好。但是该拟合达到了6次多项式，且趋势为：平均房价随着贷款利率（五年以上）的增长而上涨。
4）土地价格影响特点
利用Excel 作图描绘出土地价格与平均房价变动散点图，再进行非线性拟合，得出如下所示图表：
图四
得出平均房价随土地价格变化的方程为：
32
y =-3E -09x 4+0.0002x 4-1.4666x 4+5104.6
因为判定系数R 2=0.9687，所以拟合程度好，也即是说明平均房价随着土地价的上涨而上涨。
1.3. 基于所建模型得出各个影响因素对房价的具体影响：
由上述平均房价随着人均可支配收入，人口密度，贷款利率和土地价格变化的趋势曲线方程和关系强度值R ，我们得出人均可支配收入，人口密度，贷款利率和土地价格这四种因素均对平均房价有影响，其中人均可支配收入与平均房价拟合的关系强度值最大，由此我们认为人均可支配收入对平均房价影响效果最强，具体表现为人均可支配收入越多，平均房价越高。而贷款利率（五年以上）每年的变化值不大，对平均房价虽有影响，但相对于其他三种影响因素影响效果不显著。
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2．模型二的建立与求解
1）对2013年上海平均房价进行预测 2.1. 基于时间序列模型分析源数据 2.1.1时间序列模型的基本方法
在生产和科学研究中，对某一个或一组变量x (t ) 进行观察测量，将在一系列时刻
t 1, t 2
t n (t为自变量，且t 1
x (t n ) ，我们称之
互关系的数学表达式。所得到的离散数字组成序列集合x (t 1), x (t 2) 为时间序列，这种有时间意义的序列也称为动态数据。 2.1.2时间序列模型的建立与求解
利用Excel 作图描绘出时间年份与上海平均房价变动散点图，再进行非线性拟合，得出如下所示图表：
图五
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y =10.474t -40810t +4E +07. 判定系由此得到上海平均房价变化趋势的方程为：
2
数R =0.8917，也即是说明上海平均房价随着时间的变化趋势符合方程
y =10.474t 2-40810t +4E +07。所以在2013年，即t =2013时，平均房价的预测
2
y =10.474⨯2013-40810⨯2013+4E +07=291888.106 值为：
预测方程为：y =1254.832667t -2509435.378
预测值y =1254.832667⨯2013-2509435.378=16542.78 所以当2013年时，平均房价预测值为 16542.78 元/平方米。
当2014年时，平均房价预测值为y =1254.832667⨯2014-2509435.378=17797.61 2）对2013年上海二手房房价进行预测
2.1.1时间序列模型的建立与求解
利用Excel 作图描绘出时间年份与上海二手房房价变动散点图，再进行非线性拟合，得出如下所示图表：
图六
由此得到上海二手房房价变化趋势的方程为：
y =431.81t 2-2E +06t +2E +09
因为判定系数R 2=0.932，所以拟合程度好，也即是说明上海二手房房价随着时间的变
2
y =431.81t -2E +06t +2E +09 化趋势符合方程
3. 模型三的建立与求解
3.1. 基于时间分析源数据 3.1.1数据处理
由上述时间序列模型建立出上海平均房价和上海某一具体地区的二手房随时间变化的拟合曲线，由时间关系得到平均房价与二手房房价的关系，建立多项式拟合。 3.2.1多项式拟合模型的建立与求解
1）分析房价对二手房价格的影响：
利用Excel 作图描绘出二手房房价与平均房价变动散点图，再进行非线性拟合，得出如
图七
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得出上海二手房房价随着平均房价变化的方程为：y =0.0005t -9.2887t +61962 因为判定系数R 2=0.8265，所以拟合程度好，且二手房房价与平均房价呈二次关系，即上海平均房价的变化会影响二手房的房价，且二手房房价随着平均房价的增长而增长。 4. 问题四的求解： 4.1数据来源：
为了研究政府出台政策对平均房价的影响，我们选择上海这一地区进行分析。经上网查找数据的出上海在2010年出台的政策日期及对应时期的房价如下图所示： 图八
4.2 模型的建立与求解 4.2.1 建立时间序列模型：
图九
由此得到上海房价随政府出台政策变化趋势的方程为：
y =0.0002t 3-27.988t 2+1E +06t -2E +10
因为判定系数R 2=0.8775，所以拟合程度好，也即是说明政府出台的政策会对房价产生影响。
5. 问题五的求解：
1）关于房价调控的几点建议
首先，国家可以通过调控土地的价格来控制住房的价格。由我们所建模型解出，土地的价格对房价的影响较大，所以政府可以通过调控土地的价格进而调控房价。但同时由于中国人口稠密，人均土地占有量小，所以虽然调控土地价格可以影响住房价格，但其实施性较差。
其次，银行可以调控五年以上的贷款利率（之所以选五年以上的贷款利率是因为购房还贷一般要五年以上）。五年以上的贷款利率与房价正相关。所以在保证银行的正常运行的条件下，可以通过降低五年以上的贷款利率的方法使房价降低。 2）关于家庭购房的几点建议
适度消费，多样投资。对于有购房需求的年轻家庭，消费支出比例偏高，建议在满足基本生活支出的基础上，适当提高生活质量，并适当减少一些可以避免的消费支出。可在年初做好家庭财务计划，养成做预算及记账的习惯。此外，依据个人不同情况和年龄调整投资策略，实现稳健策略和激进策略在不同时期和不同情况下的有效运用。其实，房价一直居高不下，有购房需求的家庭应居安思危。住房市场变幻莫测，唯有尽早及时准备才是上策。
六、模型的综合评价
模型优点： 模型一：基于最小二乘法的多项式拟合模型，得出我国平均房价随着人均可支配收入，人口密度，贷款利率（五年以上），土地价格的变化而变化的特点，并且建模过程简单，准确。
模型二： 利用时间序列模型对上海平均房价的走势做出分析并进行预测，过程简单。 模型三：四都与模型二用相同的时间序列模型方法，分别就上海平均房价对二手房房价的影响和国家政策对平均房价的影响做出分析和判断。 模型缺点：
对于所有模型，基于简便的计算和简单的理解，拟合的多项式大部分不超过三次，所以所有模型可以进行更高次的拟合，分析预测出的结果会更准确。
参考文献
[1] 贾俊平，何晓群，金勇进，统计学，中国人民大学出版社，2012.3 [2] 韩中庚，《数学建模方法及其应用》，北京：高等教育出版社，2009
[3] http://data.stats.gov.cn/
[4] http://www.doc88.com/p-[1**********]50.html
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