数值分析上机报告
题目：插值法学号：姓名：靳会有
201014924
一、调用MATLAB内带函数插值
1、MATLAB内带插值函数列举如下：
2、取其中的一维数据内插函数（）为例，程序如下：
其调用格式为：
yi=interp1(x, y, xi)
yi=interp1(x, y, xi, method)
举例如下：
x=0:10:100
y=[40 44 46 52 65 76 80 82 88 92 110]; xi=0:1:100
yi=interp1(x,y,xi,'spline') 3、其他内带函数调用格式为： Interpft函数：
y=interpft(x,n) y=interpft(x,n,dim) interp2函数：
ZI=interp2(X, Y, Z, XI, YI)， ZI=imerp2(Z, ntimes)
ZI=interp2(Z, XI, YI) ，ZI=interp2(X, Y, Z, XI, YI, method) interp3函数：
VI=interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI) VI=interp3(V, ntimes) VI=interp3(V,XI,YI,ZI) VI=interp3(…, method) Interpn函数：
VI=interpn(X1, X2, X3, …, V, Y1, Y2, Y3, …) VI=interpn(V, ntimes)
VI=interpn(V, Yl, Y2, Y3, …) VI=interpn(…, method) Spline函数：
yi=spline(x,y,xi) pp=spline(x,y) meshgrid函数：
[X,Y]=meshgrid(x,y) [X,Y]=meshgrid(x)
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z) Ndgrid函数：
[X1, X2, X3, …]=ndgrid(x1, x2, x3, …) [X1, X2, X3, …]=ndgrid(x) Griddata函数：
ZI=griddata(x, y, z, XI, YI)
[XI, YI, ZI]=griddata(x, y, z, xi, yi) […]=griddata(… method) 二、自编函数插值 1、拉格朗日插值法： 建立M 文件：
function f = Language(x,y,x0) syms t l;
if(length(x) == length(y)) n = length(x); else
disp('x和y的维数不相等！'); return; %检错
end h=sym(0); for (i=1:n) l=sym(y(i)); for(j=1:i-1)
l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j)); end; for(j=i+1:n)
l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j)); end; h=h+l; end simplify(h); if(nargin == 3)
f = subs (h,'t',x0); %计算插值点的函数值 else
f=collect(h);
f = vpa(f,6); %将插值多项式的系数化成6位精度的小数 end
在MATLAB中输入：
x=[18 31 66 68 70 72 70;] y=[23 33 52 51 43 40 46]; f=Language(x,y) plot(x,y)
结果为：
f =Inf + (-t)*Inf - 54329.8*t^2 + 1503.75*t^3 - 22.2065*t^4 + 0.16789*t^5 - 0.000512106*t^6
图形如下：
MATLAB实现拉格朗日插值
建立如下拉格朗日插值函数：
function y=lagrange(x0,y0,x); n=length(x0); m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k
p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end
s=p*y0(k)+s; end
y(i)=s; end
画图程序如下： x=[-5:1:5]; y=1./(1+x.^2); x0=[-5:0.001:5]; y0=lagrange(x,y,x0); y1=1./(1+x0.^2); plot(x0,y0,'r') hold on
plot(x0,y1,'g')
注：画出的图形为n =10的图形
得到图形如下：
牛顿K次插值多项式
一、实验目的：
1、掌握牛顿插值法的基本思路和步骤。 2、 培养编程与上机调试能力。
二、牛顿插值法基本思路与计算步骤：
给定插值点序列（xi,f(xi)),i0,1,,n,。构造牛顿插值多项式Nn(u)。输入要计算的函数点x,并计算Nn(x)的值，利用牛顿插值公式，当增加一个节点时，只需在后面多计算一项，而前面的计算仍有用；另一方面Nn(x)的各项系数恰好又是各阶均差，而各阶均差可用均差公式来计算。
为 的 一阶均差。
为
均差表：
的 k 阶均差。
1． 输入n值及（i2． 对给定的x,由
x,f(xi)),i0,1,,n,
；要计算的函数点x。
Nn(x)f(x0)(xx0)fx0,x1(xx0)(xx1)fx0,x1,x2(xx0)(xx1)(xxn1)fx0,x1,xn
计算
Nn(x)
的值。
3．输出n。 程序清单：
function[c, d]=newpoly(x, y) %牛顿插值的MATLAB实现
%这里 x为n个节点的横坐标所组成的向量，y为纵坐标所组成的向量。 %c为所求的牛顿插值多项式的系数构成的向量。 n=length(x);%取x的个数。
d=zeros(n, n);%构造nXn的空数组。 d(: , 1)=y'; for j=2 : n for k=j : n
d(k, j)=(d(k, j-1) - d(k-1, j-1)) / (x(k)-x(k-j+1)); end end
c =d(n, n);
for k=(n-1) : - 1 : 1
c =conv(c, poly(x(k)));% conv求积，poly(x)将该多项式的系数赋给向量。 m=length(c);
c(m)=c(m)+d(k, k); end
五、测试数据与结果：
测试数据：（第三章习题第三题第2题）
01234Y0=-0.916291, y1=-0.693147, y2=-0.510826, y3=-0.357765, y4=-0.223144
N(x
)
建立一个主程序np.m clc clear
newpoly([0.4,0.5,0.6,0.7,0.8],[ -0.916291, -0.693147, -0.510826, -0.357765, -0.223144]) 计算结果如下： ans =
-0.3096 2.6083 -5.4861 5.6921 -2.4744 由此看出所求的牛顿多项式为：
P(x)= -0.3096x4+2.6083x3-5.4861x2+5.6921x-2.4744 P(0.53)= -0.6347。
数值分析上机报告
题目：插值法学号：姓名：靳会有
201014924
一、调用MATLAB内带函数插值
1、MATLAB内带插值函数列举如下：
2、取其中的一维数据内插函数（）为例，程序如下：
其调用格式为：
yi=interp1(x, y, xi)
yi=interp1(x, y, xi, method)
举例如下：
x=0:10:100
y=[40 44 46 52 65 76 80 82 88 92 110]; xi=0:1:100
yi=interp1(x,y,xi,'spline') 3、其他内带函数调用格式为： Interpft函数：
y=interpft(x,n) y=interpft(x,n,dim) interp2函数：
ZI=interp2(X, Y, Z, XI, YI)， ZI=imerp2(Z, ntimes)
ZI=interp2(Z, XI, YI) ，ZI=interp2(X, Y, Z, XI, YI, method) interp3函数：
VI=interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI) VI=interp3(V, ntimes) VI=interp3(V,XI,YI,ZI) VI=interp3(…, method) Interpn函数：
VI=interpn(X1, X2, X3, …, V, Y1, Y2, Y3, …) VI=interpn(V, ntimes)
VI=interpn(V, Yl, Y2, Y3, …) VI=interpn(…, method) Spline函数：
yi=spline(x,y,xi) pp=spline(x,y) meshgrid函数：
[X,Y]=meshgrid(x,y) [X,Y]=meshgrid(x)
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z) Ndgrid函数：
[X1, X2, X3, …]=ndgrid(x1, x2, x3, …) [X1, X2, X3, …]=ndgrid(x) Griddata函数：
ZI=griddata(x, y, z, XI, YI)
[XI, YI, ZI]=griddata(x, y, z, xi, yi) […]=griddata(… method) 二、自编函数插值 1、拉格朗日插值法： 建立M 文件：
function f = Language(x,y,x0) syms t l;
if(length(x) == length(y)) n = length(x); else
disp('x和y的维数不相等！'); return; %检错
end h=sym(0); for (i=1:n) l=sym(y(i)); for(j=1:i-1)
l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j)); end; for(j=i+1:n)
l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j)); end; h=h+l; end simplify(h); if(nargin == 3)
f = subs (h,'t',x0); %计算插值点的函数值 else
f=collect(h);
f = vpa(f,6); %将插值多项式的系数化成6位精度的小数 end
在MATLAB中输入：
x=[18 31 66 68 70 72 70;] y=[23 33 52 51 43 40 46]; f=Language(x,y) plot(x,y)
结果为：
f =Inf + (-t)*Inf - 54329.8*t^2 + 1503.75*t^3 - 22.2065*t^4 + 0.16789*t^5 - 0.000512106*t^6
图形如下：
MATLAB实现拉格朗日插值
建立如下拉格朗日插值函数：
function y=lagrange(x0,y0,x); n=length(x0); m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k
p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end
s=p*y0(k)+s; end
y(i)=s; end
画图程序如下： x=[-5:1:5]; y=1./(1+x.^2); x0=[-5:0.001:5]; y0=lagrange(x,y,x0); y1=1./(1+x0.^2); plot(x0,y0,'r') hold on
plot(x0,y1,'g')
注：画出的图形为n =10的图形
得到图形如下：
牛顿K次插值多项式
一、实验目的：
1、掌握牛顿插值法的基本思路和步骤。 2、 培养编程与上机调试能力。
二、牛顿插值法基本思路与计算步骤：
给定插值点序列（xi,f(xi)),i0,1,,n,。构造牛顿插值多项式Nn(u)。输入要计算的函数点x,并计算Nn(x)的值，利用牛顿插值公式，当增加一个节点时，只需在后面多计算一项，而前面的计算仍有用；另一方面Nn(x)的各项系数恰好又是各阶均差，而各阶均差可用均差公式来计算。
为 的 一阶均差。
为
均差表：
的 k 阶均差。
1． 输入n值及（i2． 对给定的x,由
x,f(xi)),i0,1,,n,
；要计算的函数点x。
Nn(x)f(x0)(xx0)fx0,x1(xx0)(xx1)fx0,x1,x2(xx0)(xx1)(xxn1)fx0,x1,xn
计算
Nn(x)
的值。
3．输出n。 程序清单：
function[c, d]=newpoly(x, y) %牛顿插值的MATLAB实现
%这里 x为n个节点的横坐标所组成的向量，y为纵坐标所组成的向量。 %c为所求的牛顿插值多项式的系数构成的向量。 n=length(x);%取x的个数。
d=zeros(n, n);%构造nXn的空数组。 d(: , 1)=y'; for j=2 : n for k=j : n
d(k, j)=(d(k, j-1) - d(k-1, j-1)) / (x(k)-x(k-j+1)); end end
c =d(n, n);
for k=(n-1) : - 1 : 1
c =conv(c, poly(x(k)));% conv求积，poly(x)将该多项式的系数赋给向量。 m=length(c);
c(m)=c(m)+d(k, k); end
五、测试数据与结果：
测试数据：（第三章习题第三题第2题）
01234Y0=-0.916291, y1=-0.693147, y2=-0.510826, y3=-0.357765, y4=-0.223144
N(x
)
建立一个主程序np.m clc clear
newpoly([0.4,0.5,0.6,0.7,0.8],[ -0.916291, -0.693147, -0.510826, -0.357765, -0.223144]) 计算结果如下： ans =
-0.3096 2.6083 -5.4861 5.6921 -2.4744 由此看出所求的牛顿多项式为：
P(x)= -0.3096x4+2.6083x3-5.4861x2+5.6921x-2.4744 P(0.53)= -0.6347。