1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD
D
解：延长AD 到E, 使AD=DE ；∵D 是BC 中点 ∴BD=DC
在△ACD 和△BDE 中； AD=DE；∠BDE=∠ADC ；BD=DC
∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2
∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE
∵AB=4
即4-2＜2AD ＜4+2 ；1＜AD ＜3
∴AD=2
2、已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：CD
1AB 2
延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP
∵DP=DC,DA=DB
∴ACBP 为平行四边形
又∠ACB=90
∴平行四边形ACBP 为矩形
∴AB=CP=1/2AB
3、已知：BC=DE，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2
B
证明：连接BF 和EF
∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ；∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)
∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF
连接BE
在三角形BEF 中,BF=EF
∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE。
在三角形ABF 和三角形AEF 中
AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF
∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2) 。
4、已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC
F
过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G
CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD ； DE ＝DC ； ∠FDE ＝∠GDC （对顶角）
∴△EFD ≌△CGD
EF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD
又，EF ∥AB ∴，∠EFD ＝∠1
∠1=∠2
∴∠CGD ＝∠2 ∴△AGC 为等腰三角形，
AC ＝CG 又 EF ＝CG
∴EF ＝AC
5、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C
A
证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE
∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD
∵AE ＝AC ，AD ＝AD
∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C
∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD
∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E
∵∠ABC ＝∠E+∠BDE ∴∠ABC ＝2∠E
∴∠ABC ＝2∠C
6、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：
AE=AD+BE
证明：
在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF
∵CE ⊥AB ∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°
∵EB ＝EF ，CE ＝CE ， ∴△CEB ≌△CEF
∴∠B ＝∠CFE ∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180°
∴∠D ＝∠CFA
∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC
∵AC ＝AC ∴△ADC ≌△AFC （SAS ）
∴AD ＝AF
∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE
7、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD
D 解：延长AD 到E, 使AD=DE
∵D 是BC 中点 ∴BD=DC
在△ACD 和△BDE 中
AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC
∴△ACD ≌△BDE
∴AC=BE=2
∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4
即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3
∴AD=2
12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点
E 在AD 上。求证：BC=AB+DC。
在BC 上截取BF=AB，连接EF
∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE
又∵BE=BE ∴⊿ABE ≌⊿FBE （SAS ） ∴∠A=∠BFE
∵AB//CD ∴∠A+∠D=180º
∵∠BFE+∠CFE=180º ∴∠D=∠CFE
又∵∠DCE=∠FCE
CE 平分∠BCD CE=CE
∴⊿DCE ≌⊿FCE （AAS ） ∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD
13. 已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE ，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C
AB ‖ED ，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度，
∵∠EAB=∠BDE ， ∴∠AED=∠ABD ，
∴四边形ABDE 是平行四边形。
∴得：AE=BD，
∵AF=CD,EF=BC，
∴三角形AEF 全等于三角形DBC ，
∴∠F=∠C 。
14. 已知：AB=CD，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C
证明：设线段AB,CD 所在的直线交于E ，（当ADBC时，E 点是射线AB,DC 的交点）。则：
△AED 是等腰三角形。
∴AE=DE
而AB=CD
∴BE=CE (等量加等量，或等量减等量）
∴△BEC 是等腰三角形
∴∠B=∠C.
15、P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB，求证：PC-PB
D
在AC 上取点E ，使AE ＝AB 。 ∵AE ＝AB
AP ＝AP ∠EAP ＝∠BAE ，
∴△EAP ≌△BAP ∴PE ＝PB 。
PC ＜EC ＋PE
∴PC ＜（AC －AE ）＋PB
∴PC －PB ＜AC －AB 。
16、已知∠ABC=3∠C ，∠
1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE
证明：
在AC 上取一点D ，使得角DBC=角C
∵∠ABC=3∠C
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C ；
∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C; ∴AB=AD
∴AC – AB =AC-AD=CD=BD
在等腰三角形ABD 中，AE 是角BAD 的角平分线，
∴AE 垂直BD ∵BE ⊥AE
∴点E 一定在直线BD 上，
在等腰三角形ABD 中，AB=AD，AE 垂直BD
∴点E 也是BD 的中点
∴BD=2BE ∵BD=CD=AC-AB
∴AC-AB=2BE
17、已知，E 是AB 中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC
∵作AG ∥BD 交DE 延长线于G
∴AGE 全等BDE ∴AG=BD=5
∴AGF ∽CDF
AF=AG=5
∴DC=CF=2
18．如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．
解：延长AD 至BC 于点E,
∵BD=DC ∴△BDC 是等腰三角形
∴∠DBC=∠DCB
又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2
即∠ABC=∠ACB
∴△ABC 是等腰三角形
∴AB=AC
在△ABD 和△ACD 中
｛AB=AC ∠1=∠2 BD=DC
∴△ABD 和△ACD 是全等三角形（边角边）
∴∠BAD=∠CAD
∴AE 是△ABC 的中垂线 ∴AE ⊥BC
∴AD ⊥BC
19．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP , MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．
求证：∠OAB =∠OBA
证明：
∵OM 平分∠PO ∴∠POM ＝∠QOM
∵MA ⊥OP ，MB ⊥OQ ∴∠MAO ＝∠MBO ＝90
∵OM ＝OM
∴△AOM ≌△BOM （AAS ）
∴OA ＝OB ∵ON ＝ON
∴△AON ≌△BON （SAS ） ∴∠OAB=∠OBA ，∠ONA=∠ONB
∵∠ONA+∠ONB ＝180 ∴∠ONA ＝∠ONB ＝90
∴OM ⊥AB
20．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．
P E
D
做BE 的延长线，与AP 相交于F 点， B A ∵PA//BC
∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE ，BE 均为∠PAB 和∠CBA 的角平分线
∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB 为直角三角形
在三角形ABF 中，AE ⊥BF ，且AE 为∠FAB 的角平分线
∴三角形FAB 为等腰三角形，AB=AF,BE=EF
在三角形DEF 与三角形BEC 中，
∠EBC=∠DFE, 且BE=EF，∠DEF=∠CEB ，
∴三角形DEF 与三角形BEC 为全等三角形，∴DF=BC
∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
22．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．
（1）求证：MB =MD ，ME =MF
（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
（1）连接BE ，DF ．
∵DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE ∥BF ，
在Rt △DEC 和Rt △BFA 中， ∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt △DEC ≌Rt △BFA （HL ）， ∴DE=BF．
∴四边形BEDF 是平行四边形．
∴MB=MD，ME=MF；
（2）连接BE ，DF ．
∵DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE ∥BF ，
在Rt △DEC 和Rt △BFA 中，
∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt △DEC ≌Rt △BFA （HL ），
∴DE=BF．
∴四边形BEDF 是平行四边形．
∴MB=MD，ME=MF．
23．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，
（1）求证：△AED ≌△EBC ．
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：
A
证明：
∵DC ∥AB ∴∠CDE ＝∠AED D E ∵DE ＝DE ，DC ＝AE
∴△AED ≌△EDC
∵E 为AB 中点 ∴AE ＝BE ∴BE ＝DC
B C ∵DC ∥AB ∴∠DCE ＝∠BEC
∵CE ＝CE
∴△EBC ≌△EDC ∴△AED ≌△EBC
24．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长
线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．
求证：BD =2CE ．
证明：∵∠CEB=∠CAB=90°
∴ABCE 四点共元
∵∠AB E=∠CB E ∴AE=CE
∴∠ECA=∠EAC
取线段BD 的中点G ，连接AG ，则：AG=BG=DG
∴∠GAB=∠ABG
而：∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等）
∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB 而：AC=AB
∴△AEC ≌△AGB
∴EC=BG=DG
∴BE=2CE
25、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。
D E F C B A E F C
A B
证明：∵DF=CE， ∴DF-EF=CE-EF，
即DE=CF，
在△AED 和△BFC 中，
∵ AD=BC， ∠D=∠C ，DE=CF
∴△AED ≌△BFC （SAS ）
26、（10分）如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF。
求证：AM 是△ABC 的中线。
A
F
B
E M C
证明：
∵BE ‖CF ∴∠E=∠CFM ，∠EBM=∠FCM
∵BE=CF ∴△BEM ≌△CFM
∴BM=CM ∴AM 是△ABC 的中线.
27、（10分）如图：在△ABC 中，BA=BC，D 是AC 的中点。求证：BD ⊥AC 。
A
D
B C
∵△ABD 和△BCD 的三条边都相等
∴△ABD=△BCD ∴∠ADB=∠CD
∴∠ADB=∠CDB=90°
∴BD ⊥AC
28、（10分）AB=AC，DB=DC，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF
A
D
B C
F
在△ABD 与△ACD 中
AB=AC BD=DC AD=AD
∴△ABD ≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC
在△BDF 与△FDC 中
BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF
∴△FBD ≌△FCD ∴BF=FC
29、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。
A
F B
E
C D
∵AB=DC AE=DF, CE=FB
CE+EF=EF+FB ∴△ABE=△CDF
∵∠DCB=∠ABF AB=DC BF=CE
△ABF=△CDE
∴AF=DE
30. 公园里有一条“Z ”字形道路ABCD ，如图所示，其中AB ∥CD ，在AB ，CD ，BC 三段路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点，试说明三只石凳E ，F ，M 恰好在一条直线上
.
证明：连接EF
∵AB ∥CD ∴∠B=∠C
∵M 是BC 中点 ∴BM=CM
在△BEM 和△CFM 中
BE=CF ∠B=∠C BM=CM
∴△BEM ≌△CFM （SAS ）
∴CF=BE
31．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ．
∵AF=CE,FE=EF. ∴AE=CF.
∵DF//BE, ∴∠AEB=∠CFD （两直线平行，内错角相等）
∵BE=DF
∴：△ABE ≌△CDF （SAS ）
32. 已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。
连接BD ；
∵AB=AD BC=D
∴∠ADB=∠ABD
∠CDB=∠A BD; 两角相加，∠ADC=∠ABC ；
∵BC=DC E\F是中点 ∴DE=BF；
∵AB=AD DE=BF ∠ADC=∠ABC
∴AE=AF。
33．如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．
A C
证明：
在△ADC ，△ABC 中 ∵AC=AC，∠BAC=∠DAC ，∠BCA=∠DCA
∴△ADC ≌△ABC （两角加一边） ∵AB=AD，BC=CD
在△DEC 与△BEC 中
∠BCA=∠DCA ，CE=CE，BC=CD
∴△DEC ≌△BEC
（两边夹一角） ∴∠DEC=∠BEC
34．已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ．
∵AD=DF ∴AC=DF
∵AB //DE ∴∠A=∠EDF
又∵BC //EF ∴∠F=∠BCA
∴△ABC ≌△DEF （ASA ）
35．已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求
证：BE =CD ．
E
证明： A
∵BD ⊥AC ∴∠BDC=90°
∵CE ⊥AB ∴∠BEC=90°
∴∠BDC=∠BEC=90° ∵AB=AC
∴∠DCB=∠EBC ∴BC=BC
∴Rt △BDC ≌Rt △BEC （AAS)
∴BE=CD
36、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。
求证：DE =DF．
证明：
∵AD 是∠BAC 的平分线 ∴∠EAD=∠FAD
∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴∠BFD=∠CFD=90°
∴∠AED 与∠AFD=90°
在△AED 与△AFD 中
∠EAD=∠FAD AD=AD ∠AED=∠AFD
∴△AED ≌△AFD （AAS ）
∴AE=AF
在△AEO 与△AFO 中
∠EAO=∠FAO AO=AO AE=AF
∴△AEO ≌△AFO （SAS ）
∴∠AOE=∠AOF=90° ∴AD ⊥EF
37. 已知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE ．若AB = 5 ,求AD 的长？
∵AD ⊥AB
∴∠BAC=∠ADE
又∵AC ⊥BC 于C ，DE ⊥AC 于E
根据三角形角度之和等于180度
∴∠ABC=∠
DAE
∵BC=AE，△ABC ≌△DAE （ASA ）
∴AD=AB=5
38．如图：AB=AC，ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，ME=MF。求证：MB=MC
C
证明：
∵AB=AC ∴∠B=∠C
∵ME ⊥AB ，MF ⊥AC ∴∠BEM=∠CFM=90°
在△BME 和△CMF 中
∵ ∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF
∴△BME ≌△CMF （AAS ）
∴MB=MC．
39. 如图，给出五个等量关系：①AD =BC ②AC =BD ③CE =DE ④∠D =∠C ⑤∠DAB =∠CBA ．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．
已知：①AD=BC，⑤∠DAB=∠CBA
求证：△DAB ≌△CBA
证明：∵AD=BC，∠DAB=∠CBA
又∵AB=AB
∴△DAB ≌△CBA
40．在△ABC 中，∠ACB
=90︒，AC =BC ，直线MN 经过点
C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①∆ADC ≌∆CEB ；②DE =AD +BE ；
(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
（1）
①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．
∴∠CAD=∠BCE ． ∵AC=BC， ∴△ADC ≌△CEB ．
②∵△ADC ≌△CEB ， ∴CE=AD，CD=BE．
∴DE=CE+CD=AD+BE．
（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CBE ． 又∵AC=BC，
∴△ACD ≌△CBE ．
∴CE=AD，CD=BE．
∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE
41．如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC ⊥BF
C
（1）∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ， （2）如图，根据（1），△ABF ≌△AEC ， ∴∠BAE=∠CAF=90°， ∴∠AEC=∠ABF ，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC ， ∵AE ⊥AB ，
即∠EAC=∠BAF ， ∴∠BAE=90° 在△ABF 和△AEC 中， ∴∠AEC+∠ADE=90°，
∵AE=AB，∠EAC=∠BAF ，AF=AC， ∵∠ADE=∠BDM （对顶角相等）， ∴△ABF ≌△AEC （SAS ）， ∴∠ABF+∠BDM=90°， ∴EC=BF； 在△BDM 中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°， ∴EC ⊥BF ．
42．如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM ⊥AN 。
证明：
（1）
∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC，CN=AB ∴△ABM ≌△NAC
∴AM=AN
（2） ∵△ABM ≌△NAC ∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90° ∴AM ⊥AN
43．如图, 已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥
EF
在△ABF 和△CDE 中
,AB=DE ∠A=∠D AF=CD
∴△ABF ≡△CDE （边角边）
∴FB=CE
在四边形BCEF 中
FB=CE BC=EF
∴四边形BCEF 是平行四边形
∴BC ‖EF
44．如图, 已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD相等吗？请说明理由
在AB 上取点N ,使得AN=AC
∵∠CAE=∠EAN ∴AE 为公共,
∴△CAE ≌△EAN ∴∠ANE=∠ACE
又∵AC 平行BD
∴∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180
∴∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN
∵BE 为公共边 ∴△EBN ≌△EBD ∴BD=BN
∴AB=AN+BN=AC+BD
45、（10分） 如图, 已知: AD是BC 上的中线 , 且DF=DE．求证:BE∥CF ．
证明：
∵AD 是△ABC的中线 BD=CD
∵DF=DE（已知） ∠BDE=∠FDC
∴△BDE≌△FDC 则∠EBD=∠FCD
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）。
46、(10分) 已知：如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，DE BF ． 求证：AB ∥CD ．
A
B C
证明：
∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ∴∠CED=∠AFB=90º
又∵AB=CD，BF=DE ∴Rt ⊿ABF ≌Rt ⊿CDE （HL ）
∴AF=CE ∠BAF=∠DCE
∴AB//CD
47、(10分) 如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD
A D
324
C B
∵, ∠3=∠4 ∴OB=OC
在△AOB 和△DOC 中
∠1=∠2 OB=OC ∠AOB=∠DOC
△AOB ≌△DOC
∴AO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB
在△ACB 和△DBC 中
AC=DB , ∠3=∠4 BC=CB
△ACB ≌△DBC
∴AB=CD
48、 (10分) 如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论.
CE>DE。当∠AEB 越小，则DE 越小。 证明：
过D 作AE 平行线与AC 交于F ，连接FB
由已知条件知AFDE 为平行四边形，ABEC 为矩形 ，且△DFB B E 为等腰三角形。
RT △BAE 中，∠AEB 为锐角，即∠AEB
∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB
△DFB 中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°
RT △AFB 中，∠FBA=90°-∠DBF
∠AFB=90°-∠FBA>45°
∴AB>AF
∵AB=CE AF=DE
∴CE>DE
49、 (10分) 如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE ，求证：AE ＝DE.
证明：∵AB=DC,AC=DB，BC=BC
∴△ABC ≌△DCB ，
∴∠ABC=∠DCB
又∵BE=CE，AB=DC
∴△ABE ≌△DCE
∴AE=DE
50．如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．
图9 E B 作CG ⊥AB, 交AD 于H,
则∠ACH=45º, ∠BCH=45º
∵∠CAH=90º-∠CDA, ∠BCE=90º-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE 又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45º
∴△ACH ≌△CBE, ∴CH=BE
又∵∠DCH=∠B=45º, CD=DB
∴△CFD ≌△BED
∴∠ADC=∠BD
1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD
D
解：延长AD 到E, 使AD=DE ；∵D 是BC 中点 ∴BD=DC
在△ACD 和△BDE 中； AD=DE；∠BDE=∠ADC ；BD=DC
∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2
∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE
∵AB=4
即4-2＜2AD ＜4+2 ；1＜AD ＜3
∴AD=2
2、已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：CD
1AB 2
延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP
∵DP=DC,DA=DB
∴ACBP 为平行四边形
又∠ACB=90
∴平行四边形ACBP 为矩形
∴AB=CP=1/2AB
3、已知：BC=DE，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2
B
证明：连接BF 和EF
∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ；∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)
∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF
连接BE
在三角形BEF 中,BF=EF
∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE。
在三角形ABF 和三角形AEF 中
AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF
∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2) 。
4、已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC
F
过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G
CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD ； DE ＝DC ； ∠FDE ＝∠GDC （对顶角）
∴△EFD ≌△CGD
EF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD
又，EF ∥AB ∴，∠EFD ＝∠1
∠1=∠2
∴∠CGD ＝∠2 ∴△AGC 为等腰三角形，
AC ＝CG 又 EF ＝CG
∴EF ＝AC
5、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C
A
证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE
∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD
∵AE ＝AC ，AD ＝AD
∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C
∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD
∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E
∵∠ABC ＝∠E+∠BDE ∴∠ABC ＝2∠E
∴∠ABC ＝2∠C
6、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：
AE=AD+BE
证明：
在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF
∵CE ⊥AB ∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°
∵EB ＝EF ，CE ＝CE ， ∴△CEB ≌△CEF
∴∠B ＝∠CFE ∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180°
∴∠D ＝∠CFA
∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC
∵AC ＝AC ∴△ADC ≌△AFC （SAS ）
∴AD ＝AF
∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE
7、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD
D 解：延长AD 到E, 使AD=DE
∵D 是BC 中点 ∴BD=DC
在△ACD 和△BDE 中
AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC
∴△ACD ≌△BDE
∴AC=BE=2
∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4
即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3
∴AD=2
12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点
E 在AD 上。求证：BC=AB+DC。
在BC 上截取BF=AB，连接EF
∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE
又∵BE=BE ∴⊿ABE ≌⊿FBE （SAS ） ∴∠A=∠BFE
∵AB//CD ∴∠A+∠D=180º
∵∠BFE+∠CFE=180º ∴∠D=∠CFE
又∵∠DCE=∠FCE
CE 平分∠BCD CE=CE
∴⊿DCE ≌⊿FCE （AAS ） ∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD
13. 已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE ，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C
AB ‖ED ，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度，
∵∠EAB=∠BDE ， ∴∠AED=∠ABD ，
∴四边形ABDE 是平行四边形。
∴得：AE=BD，
∵AF=CD,EF=BC，
∴三角形AEF 全等于三角形DBC ，
∴∠F=∠C 。
14. 已知：AB=CD，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C
证明：设线段AB,CD 所在的直线交于E ，（当ADBC时，E 点是射线AB,DC 的交点）。则：
△AED 是等腰三角形。
∴AE=DE
而AB=CD
∴BE=CE (等量加等量，或等量减等量）
∴△BEC 是等腰三角形
∴∠B=∠C.
15、P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB，求证：PC-PB
D
在AC 上取点E ，使AE ＝AB 。 ∵AE ＝AB
AP ＝AP ∠EAP ＝∠BAE ，
∴△EAP ≌△BAP ∴PE ＝PB 。
PC ＜EC ＋PE
∴PC ＜（AC －AE ）＋PB
∴PC －PB ＜AC －AB 。
16、已知∠ABC=3∠C ，∠
1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE
证明：
在AC 上取一点D ，使得角DBC=角C
∵∠ABC=3∠C
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C ；
∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C; ∴AB=AD
∴AC – AB =AC-AD=CD=BD
在等腰三角形ABD 中，AE 是角BAD 的角平分线，
∴AE 垂直BD ∵BE ⊥AE
∴点E 一定在直线BD 上，
在等腰三角形ABD 中，AB=AD，AE 垂直BD
∴点E 也是BD 的中点
∴BD=2BE ∵BD=CD=AC-AB
∴AC-AB=2BE
17、已知，E 是AB 中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC
∵作AG ∥BD 交DE 延长线于G
∴AGE 全等BDE ∴AG=BD=5
∴AGF ∽CDF
AF=AG=5
∴DC=CF=2
18．如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．
解：延长AD 至BC 于点E,
∵BD=DC ∴△BDC 是等腰三角形
∴∠DBC=∠DCB
又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2
即∠ABC=∠ACB
∴△ABC 是等腰三角形
∴AB=AC
在△ABD 和△ACD 中
｛AB=AC ∠1=∠2 BD=DC
∴△ABD 和△ACD 是全等三角形（边角边）
∴∠BAD=∠CAD
∴AE 是△ABC 的中垂线 ∴AE ⊥BC
∴AD ⊥BC
19．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP , MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．
求证：∠OAB =∠OBA
证明：
∵OM 平分∠PO ∴∠POM ＝∠QOM
∵MA ⊥OP ，MB ⊥OQ ∴∠MAO ＝∠MBO ＝90
∵OM ＝OM
∴△AOM ≌△BOM （AAS ）
∴OA ＝OB ∵ON ＝ON
∴△AON ≌△BON （SAS ） ∴∠OAB=∠OBA ，∠ONA=∠ONB
∵∠ONA+∠ONB ＝180 ∴∠ONA ＝∠ONB ＝90
∴OM ⊥AB
20．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．
P E
D
做BE 的延长线，与AP 相交于F 点， B A ∵PA//BC
∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE ，BE 均为∠PAB 和∠CBA 的角平分线
∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB 为直角三角形
在三角形ABF 中，AE ⊥BF ，且AE 为∠FAB 的角平分线
∴三角形FAB 为等腰三角形，AB=AF,BE=EF
在三角形DEF 与三角形BEC 中，
∠EBC=∠DFE, 且BE=EF，∠DEF=∠CEB ，
∴三角形DEF 与三角形BEC 为全等三角形，∴DF=BC
∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
22．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．
（1）求证：MB =MD ，ME =MF
（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
（1）连接BE ，DF ．
∵DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE ∥BF ，
在Rt △DEC 和Rt △BFA 中， ∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt △DEC ≌Rt △BFA （HL ）， ∴DE=BF．
∴四边形BEDF 是平行四边形．
∴MB=MD，ME=MF；
（2）连接BE ，DF ．
∵DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE ∥BF ，
在Rt △DEC 和Rt △BFA 中，
∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt △DEC ≌Rt △BFA （HL ），
∴DE=BF．
∴四边形BEDF 是平行四边形．
∴MB=MD，ME=MF．
23．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，
（1）求证：△AED ≌△EBC ．
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：
A
证明：
∵DC ∥AB ∴∠CDE ＝∠AED D E ∵DE ＝DE ，DC ＝AE
∴△AED ≌△EDC
∵E 为AB 中点 ∴AE ＝BE ∴BE ＝DC
B C ∵DC ∥AB ∴∠DCE ＝∠BEC
∵CE ＝CE
∴△EBC ≌△EDC ∴△AED ≌△EBC
24．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长
线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．
求证：BD =2CE ．
证明：∵∠CEB=∠CAB=90°
∴ABCE 四点共元
∵∠AB E=∠CB E ∴AE=CE
∴∠ECA=∠EAC
取线段BD 的中点G ，连接AG ，则：AG=BG=DG
∴∠GAB=∠ABG
而：∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等）
∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB 而：AC=AB
∴△AEC ≌△AGB
∴EC=BG=DG
∴BE=2CE
25、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。
D E F C B A E F C
A B
证明：∵DF=CE， ∴DF-EF=CE-EF，
即DE=CF，
在△AED 和△BFC 中，
∵ AD=BC， ∠D=∠C ，DE=CF
∴△AED ≌△BFC （SAS ）
26、（10分）如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF。
求证：AM 是△ABC 的中线。
A
F
B
E M C
证明：
∵BE ‖CF ∴∠E=∠CFM ，∠EBM=∠FCM
∵BE=CF ∴△BEM ≌△CFM
∴BM=CM ∴AM 是△ABC 的中线.
27、（10分）如图：在△ABC 中，BA=BC，D 是AC 的中点。求证：BD ⊥AC 。
A
D
B C
∵△ABD 和△BCD 的三条边都相等
∴△ABD=△BCD ∴∠ADB=∠CD
∴∠ADB=∠CDB=90°
∴BD ⊥AC
28、（10分）AB=AC，DB=DC，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF
A
D
B C
F
在△ABD 与△ACD 中
AB=AC BD=DC AD=AD
∴△ABD ≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC
在△BDF 与△FDC 中
BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF
∴△FBD ≌△FCD ∴BF=FC
29、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。
A
F B
E
C D
∵AB=DC AE=DF, CE=FB
CE+EF=EF+FB ∴△ABE=△CDF
∵∠DCB=∠ABF AB=DC BF=CE
△ABF=△CDE
∴AF=DE
30. 公园里有一条“Z ”字形道路ABCD ，如图所示，其中AB ∥CD ，在AB ，CD ，BC 三段路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点，试说明三只石凳E ，F ，M 恰好在一条直线上
.
证明：连接EF
∵AB ∥CD ∴∠B=∠C
∵M 是BC 中点 ∴BM=CM
在△BEM 和△CFM 中
BE=CF ∠B=∠C BM=CM
∴△BEM ≌△CFM （SAS ）
∴CF=BE
31．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ．
∵AF=CE,FE=EF. ∴AE=CF.
∵DF//BE, ∴∠AEB=∠CFD （两直线平行，内错角相等）
∵BE=DF
∴：△ABE ≌△CDF （SAS ）
32. 已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。
连接BD ；
∵AB=AD BC=D
∴∠ADB=∠ABD
∠CDB=∠A BD; 两角相加，∠ADC=∠ABC ；
∵BC=DC E\F是中点 ∴DE=BF；
∵AB=AD DE=BF ∠ADC=∠ABC
∴AE=AF。
33．如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．
A C
证明：
在△ADC ，△ABC 中 ∵AC=AC，∠BAC=∠DAC ，∠BCA=∠DCA
∴△ADC ≌△ABC （两角加一边） ∵AB=AD，BC=CD
在△DEC 与△BEC 中
∠BCA=∠DCA ，CE=CE，BC=CD
∴△DEC ≌△BEC
（两边夹一角） ∴∠DEC=∠BEC
34．已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ．
∵AD=DF ∴AC=DF
∵AB //DE ∴∠A=∠EDF
又∵BC //EF ∴∠F=∠BCA
∴△ABC ≌△DEF （ASA ）
35．已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求
证：BE =CD ．
E
证明： A
∵BD ⊥AC ∴∠BDC=90°
∵CE ⊥AB ∴∠BEC=90°
∴∠BDC=∠BEC=90° ∵AB=AC
∴∠DCB=∠EBC ∴BC=BC
∴Rt △BDC ≌Rt △BEC （AAS)
∴BE=CD
36、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。
求证：DE =DF．
证明：
∵AD 是∠BAC 的平分线 ∴∠EAD=∠FAD
∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴∠BFD=∠CFD=90°
∴∠AED 与∠AFD=90°
在△AED 与△AFD 中
∠EAD=∠FAD AD=AD ∠AED=∠AFD
∴△AED ≌△AFD （AAS ）
∴AE=AF
在△AEO 与△AFO 中
∠EAO=∠FAO AO=AO AE=AF
∴△AEO ≌△AFO （SAS ）
∴∠AOE=∠AOF=90° ∴AD ⊥EF
37. 已知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE ．若AB = 5 ,求AD 的长？
∵AD ⊥AB
∴∠BAC=∠ADE
又∵AC ⊥BC 于C ，DE ⊥AC 于E
根据三角形角度之和等于180度
∴∠ABC=∠
DAE
∵BC=AE，△ABC ≌△DAE （ASA ）
∴AD=AB=5
38．如图：AB=AC，ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，ME=MF。求证：MB=MC
C
证明：
∵AB=AC ∴∠B=∠C
∵ME ⊥AB ，MF ⊥AC ∴∠BEM=∠CFM=90°
在△BME 和△CMF 中
∵ ∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF
∴△BME ≌△CMF （AAS ）
∴MB=MC．
39. 如图，给出五个等量关系：①AD =BC ②AC =BD ③CE =DE ④∠D =∠C ⑤∠DAB =∠CBA ．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．
已知：①AD=BC，⑤∠DAB=∠CBA
求证：△DAB ≌△CBA
证明：∵AD=BC，∠DAB=∠CBA
又∵AB=AB
∴△DAB ≌△CBA
40．在△ABC 中，∠ACB
=90︒，AC =BC ，直线MN 经过点
C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①∆ADC ≌∆CEB ；②DE =AD +BE ；
(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
（1）
①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．
∴∠CAD=∠BCE ． ∵AC=BC， ∴△ADC ≌△CEB ．
②∵△ADC ≌△CEB ， ∴CE=AD，CD=BE．
∴DE=CE+CD=AD+BE．
（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CBE ． 又∵AC=BC，
∴△ACD ≌△CBE ．
∴CE=AD，CD=BE．
∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE
41．如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC ⊥BF
C
（1）∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ， （2）如图，根据（1），△ABF ≌△AEC ， ∴∠BAE=∠CAF=90°， ∴∠AEC=∠ABF ，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC ， ∵AE ⊥AB ，
即∠EAC=∠BAF ， ∴∠BAE=90° 在△ABF 和△AEC 中， ∴∠AEC+∠ADE=90°，
∵AE=AB，∠EAC=∠BAF ，AF=AC， ∵∠ADE=∠BDM （对顶角相等）， ∴△ABF ≌△AEC （SAS ）， ∴∠ABF+∠BDM=90°， ∴EC=BF； 在△BDM 中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°， ∴EC ⊥BF ．
42．如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM ⊥AN 。
证明：
（1）
∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC，CN=AB ∴△ABM ≌△NAC
∴AM=AN
（2） ∵△ABM ≌△NAC ∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90° ∴AM ⊥AN
43．如图, 已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥
EF
在△ABF 和△CDE 中
,AB=DE ∠A=∠D AF=CD
∴△ABF ≡△CDE （边角边）
∴FB=CE
在四边形BCEF 中
FB=CE BC=EF
∴四边形BCEF 是平行四边形
∴BC ‖EF
44．如图, 已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD相等吗？请说明理由
在AB 上取点N ,使得AN=AC
∵∠CAE=∠EAN ∴AE 为公共,
∴△CAE ≌△EAN ∴∠ANE=∠ACE
又∵AC 平行BD
∴∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180
∴∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN
∵BE 为公共边 ∴△EBN ≌△EBD ∴BD=BN
∴AB=AN+BN=AC+BD
45、（10分） 如图, 已知: AD是BC 上的中线 , 且DF=DE．求证:BE∥CF ．
证明：
∵AD 是△ABC的中线 BD=CD
∵DF=DE（已知） ∠BDE=∠FDC
∴△BDE≌△FDC 则∠EBD=∠FCD
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）。
46、(10分) 已知：如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，DE BF ． 求证：AB ∥CD ．
A
B C
证明：
∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ∴∠CED=∠AFB=90º
又∵AB=CD，BF=DE ∴Rt ⊿ABF ≌Rt ⊿CDE （HL ）
∴AF=CE ∠BAF=∠DCE
∴AB//CD
47、(10分) 如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD
A D
324
C B
∵, ∠3=∠4 ∴OB=OC
在△AOB 和△DOC 中
∠1=∠2 OB=OC ∠AOB=∠DOC
△AOB ≌△DOC
∴AO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB
在△ACB 和△DBC 中
AC=DB , ∠3=∠4 BC=CB
△ACB ≌△DBC
∴AB=CD
48、 (10分) 如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论.
CE>DE。当∠AEB 越小，则DE 越小。 证明：
过D 作AE 平行线与AC 交于F ，连接FB
由已知条件知AFDE 为平行四边形，ABEC 为矩形 ，且△DFB B E 为等腰三角形。
RT △BAE 中，∠AEB 为锐角，即∠AEB
∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB
△DFB 中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°
RT △AFB 中，∠FBA=90°-∠DBF
∠AFB=90°-∠FBA>45°
∴AB>AF
∵AB=CE AF=DE
∴CE>DE
49、 (10分) 如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE ，求证：AE ＝DE.
证明：∵AB=DC,AC=DB，BC=BC
∴△ABC ≌△DCB ，
∴∠ABC=∠DCB
又∵BE=CE，AB=DC
∴△ABE ≌△DCE
∴AE=DE
50．如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．
图9 E B 作CG ⊥AB, 交AD 于H,
则∠ACH=45º, ∠BCH=45º
∵∠CAH=90º-∠CDA, ∠BCE=90º-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE 又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45º
∴△ACH ≌△CBE, ∴CH=BE
又∵∠DCH=∠B=45º, CD=DB
∴△CFD ≌△BED
∴∠ADC=∠BD