感谢各位数学大虾
美丽的蝴蝶定理
已知圆O，PQ是一条弦，设M为弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。 设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
证明：过圆心O作AD与BC垂线，垂足为S、T， 连接OX，OY，OM。SM。MT。 ∵△AMD∽△CMB， 且SD=1/2ADBT=1/2BC， ∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B ∴△MSD∽△MTB，∠MSD=∠MTB ∴∠MSX=∠MTY；
又∵O，S，X，M与O，T。Y。M均是四点共圆， ∴∠XOM=∠YOM ∵OM⊥PQ ∴XM=YM
北京高考题
１，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b＞r＞0）。
（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率； （Ⅱ）直线y=k1x交椭圆于两点Ｃ（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞０）；直线y=k2x交椭圆于两点Ｇ（x3，y3），Ｈ（x4，y4）（y
４
＞０）。
求证：k１x１x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。
求证： | OP | = | OQ |。
（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）
（Ⅰ）解：椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1 焦点坐标为（±（a2-b2）1/2，0）
（Ⅱ）证明
将直线CD的方程y=kx入椭圆方程， 得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2，整理，得 (b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0 根据韦达定理，得
x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)， x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12)， 所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ①
将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得 x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ②
由①， ②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2)/2r=k2x3x4/(x3+x4) 所以结论成立。
（Ⅲ）证明：设点P（p，o），点Q（q，o）。 由C，P，H共线，得 (x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4 解得P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4) 由D，Q，G共线，同理可得 q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3) （*）
由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，
变形得：
x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)
即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4) 所以 |p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。 （*）
设： k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)为①式，两边同取倒数，得 1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①’
设：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为 ②式，两边同取倒数， 得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3， 移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②’ 将①’两边同乘以k1·k2，即得 k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 可见①与②相同
小学几何 梯形蝴蝶定理
[公式]
梯形蝴蝶定理
如图，在梯形中，存在以下关系：
(1)相似图形，面积比等于对应边长比的平方S1：S2=a^2/b^2 （2）S1︰S2︰S3︰S4= a^2︰b^2︰ab︰ab ； （3）S3=S4 ；
（4）S1×S2=S3×S4(由S1/S3=S4/S2推导出)
其它搜集（仅供参考）
[推广] 二次曲线S的三条弦AB,CD,EF交于一点M,ED交AB于Q,CF交AB于P,
则1/QM-1/PM=1/AM-1/BM.
以M为原点，AB为x轴，S:Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0, CD:y=k1x,EF:Y=k2x,过C,D,E,F四点的二次曲线系方程： S+t(y-k1x)(y-k2x)=0.
令y=0,得(A+tk1k2)x^2+Dx+F=0,其根为曲线与横轴交点的横坐标， 则Fx^2+Dx+A+tk1k2=0根为横坐标的倒数，其和=-D/F为定值。 即1/QM+1/(-PM)=1/AM+1/(-BM). 得证。 如图:Area(ABC)表示三角形ABC的面积
根据三角形面积公式：Area(ABC)=0.5*a*b*sinC， 如果两个三角形中有一个角相等，那么他们的面积比， 就是这个角的两个夹边的比。
1: Area(XAM)/Area(MCY) = AX·AM / CM·CY 2: Area(CMY)/Area(DMX) = CM·MY / DM·MX 3: Area(XDM)/Area(MBY) = DX·DM / BM·BY 4: Area(BMY)/Area(AMX) = BM·MY / AM·MX
现在，四个比例式相乘，等号左边是1。于是有：
AX·DX·MY^2 / CY·BY·MX^2 = 1, 即
(1) AX·DX / CY·BY = MX^2/ MY^2. 点X的对于圆的幂：
AX·DX = PX·QX = (MP - MX)·(MQ + MX) 同理：
CY·BY = QY·PY = (MQ - MY)·(MP + MY). 带入1式，得：
(2) (MP - MX)·(MQ + MX) / MX^2 = (MQ - MY)·(MP + MY)/ MY2. 因为 MP = MQ, 我们得到： MP^2/ MX^2 - 1 = MP^2/ MY^2 - 1, 即 MX = MY.
命题 1 蝴蝶定理对于椭圆、双曲线、抛物线都成立．
特别地，当二次曲线退化成两条直线时，有
命题 2 l1 、 l2 是两条相交或平行的直线，点 P、 Q分别在 l1 、 l2 上， M为 PQ中点，过 M任作两直线 AB、 CD与 l1 、 l2 分别交于 A、 B， C、 D连结 AC、 BD，交直线 PQ于 S、 T两点，则 PS= QT(或 QS=PT)．
在射影变换下， M是 PQ中点的性质不再保持，为了使蝴蝶定理具有纯粹的射影形式，可以对其适当改造．
本定理的实质在于： PM=QM蕴含 PS=QT(或 MS=MT)．这等价于 (P， S； T， M)=- (Q， T； S， M) (1)
因此得到下述定理：
命题 3 (坎迪定理 )设 PQ是圆锥曲线Г的弦，过 PQ上一点 M任作两弦 AB、 CD，连结 AC、 BD交直线 PQ于 S、 T，则 (2)式成立． 1/SM - 1/TM = 1/PM - 1/QM （2）
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已知圆O，PQ是一条弦，设M为弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。 设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
证明：过圆心O作AD与BC垂线，垂足为S、T， 连接OX，OY，OM。SM。MT。 ∵△AMD∽△CMB， 且SD=1/2ADBT=1/2BC， ∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B ∴△MSD∽△MTB，∠MSD=∠MTB ∴∠MSX=∠MTY；
又∵O，S，X，M与O，T。Y。M均是四点共圆， ∴∠XOM=∠YOM ∵OM⊥PQ ∴XM=YM
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１，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b＞r＞0）。
（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率； （Ⅱ）直线y=k1x交椭圆于两点Ｃ（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞０）；直线y=k2x交椭圆于两点Ｇ（x3，y3），Ｈ（x4，y4）（y
４
＞０）。
求证：k１x１x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。
求证： | OP | = | OQ |。
（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）
（Ⅰ）解：椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1 焦点坐标为（±（a2-b2）1/2，0）
（Ⅱ）证明
将直线CD的方程y=kx入椭圆方程， 得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2，整理，得 (b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0 根据韦达定理，得
x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)， x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12)， 所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ①
将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得 x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ②
由①， ②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2)/2r=k2x3x4/(x3+x4) 所以结论成立。
（Ⅲ）证明：设点P（p，o），点Q（q，o）。 由C，P，H共线，得 (x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4 解得P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4) 由D，Q，G共线，同理可得 q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3) （*）
由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，
变形得：
x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)
即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4) 所以 |p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。 （*）
设： k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)为①式，两边同取倒数，得 1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①’
设：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为 ②式，两边同取倒数， 得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3， 移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②’ 将①’两边同乘以k1·k2，即得 k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 可见①与②相同
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[公式]
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如图，在梯形中，存在以下关系：
(1)相似图形，面积比等于对应边长比的平方S1：S2=a^2/b^2 （2）S1︰S2︰S3︰S4= a^2︰b^2︰ab︰ab ； （3）S3=S4 ；
（4）S1×S2=S3×S4(由S1/S3=S4/S2推导出)
其它搜集（仅供参考）
[推广] 二次曲线S的三条弦AB,CD,EF交于一点M,ED交AB于Q,CF交AB于P,
则1/QM-1/PM=1/AM-1/BM.
以M为原点，AB为x轴，S:Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0, CD:y=k1x,EF:Y=k2x,过C,D,E,F四点的二次曲线系方程： S+t(y-k1x)(y-k2x)=0.
令y=0,得(A+tk1k2)x^2+Dx+F=0,其根为曲线与横轴交点的横坐标， 则Fx^2+Dx+A+tk1k2=0根为横坐标的倒数，其和=-D/F为定值。 即1/QM+1/(-PM)=1/AM+1/(-BM). 得证。 如图:Area(ABC)表示三角形ABC的面积
根据三角形面积公式：Area(ABC)=0.5*a*b*sinC， 如果两个三角形中有一个角相等，那么他们的面积比， 就是这个角的两个夹边的比。
1: Area(XAM)/Area(MCY) = AX·AM / CM·CY 2: Area(CMY)/Area(DMX) = CM·MY / DM·MX 3: Area(XDM)/Area(MBY) = DX·DM / BM·BY 4: Area(BMY)/Area(AMX) = BM·MY / AM·MX
现在，四个比例式相乘，等号左边是1。于是有：
AX·DX·MY^2 / CY·BY·MX^2 = 1, 即
(1) AX·DX / CY·BY = MX^2/ MY^2. 点X的对于圆的幂：
AX·DX = PX·QX = (MP - MX)·(MQ + MX) 同理：
CY·BY = QY·PY = (MQ - MY)·(MP + MY). 带入1式，得：
(2) (MP - MX)·(MQ + MX) / MX^2 = (MQ - MY)·(MP + MY)/ MY2. 因为 MP = MQ, 我们得到： MP^2/ MX^2 - 1 = MP^2/ MY^2 - 1, 即 MX = MY.
命题 1 蝴蝶定理对于椭圆、双曲线、抛物线都成立．
特别地，当二次曲线退化成两条直线时，有
命题 2 l1 、 l2 是两条相交或平行的直线，点 P、 Q分别在 l1 、 l2 上， M为 PQ中点，过 M任作两直线 AB、 CD与 l1 、 l2 分别交于 A、 B， C、 D连结 AC、 BD，交直线 PQ于 S、 T两点，则 PS= QT(或 QS=PT)．
在射影变换下， M是 PQ中点的性质不再保持，为了使蝴蝶定理具有纯粹的射影形式，可以对其适当改造．
本定理的实质在于： PM=QM蕴含 PS=QT(或 MS=MT)．这等价于 (P， S； T， M)=- (Q， T； S， M) (1)
因此得到下述定理：
命题 3 (坎迪定理 )设 PQ是圆锥曲线Г的弦，过 PQ上一点 M任作两弦 AB、 CD，连结 AC、 BD交直线 PQ于 S、 T，则 (2)式成立． 1/SM - 1/TM = 1/PM - 1/QM （2）
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