—豳面圆圆皿ｉ；；；：”
解题教学
善于多角度分析思考问题
安振平
（成阳师范学院基础教育课程研究中心
陕西
成阳
７１２０００）
湖南王满成先生在本９１２００７年第１２期《一个不等式的代数证法》一文中，用增量代换法，证明了如下常见的不等式：
问题１：已知ｎ≥ｃ，ｂ≥ｃ，ｃ＞Ｏ，求证：
常用的，属于高中教材里的基础知识，完全能让多数高中生所接受．
思考途径２：从三角函数的角度思考，我们可以给出这样的探究．注意到条件ｏ≥ｃ，ｂ≥ｃ，ｃ＞Ｏ，变形得０＜三≤
口
、／瓦云万＋、／瓦再万≤、／面．（・）
ｂ
稍后，湖南刘少杰先生在本９１２００８年第３期上，用柯西不等式与构造二次函数法，给出了该不等式的两种简单证明．
其实，只要我们善于观察、善于分析、善于思考，就能多角度地发现此不等式更多的证明方法，并能提出一
１，ｏ＜÷≤１，联想到正余弦函数的有界性，就可以采用
三角换元的办法．设旦＝ｓｉｎ：ａ，÷：ｓｉｎ２卢，ａ，ｆｌ∈（ｏ，了＇／ｒ１，
ａ
Ｄ
、
二／
于是ｃ＝ａｓｉｎ２ｎ，ｃ＝ｂｓｉｎ２口，从而，有
些有意义的问题
１．不等式的证明，一般多用比较法，我们先考虑作商的处理手法．
思考途径１：从代数的角度思考．显然，不等式里的每一项的次数都是相同的，这样就可以采用同除技巧，将不等式（＋）等价地变形为
、／刁；万＋、／玎再万＝Ｖ＇—ｂｓｉｎｊＢ（ａ－—ａｓｉｎ２ａ）＋Ｘ／—ａｓｉｎ２ａ（ｂ－—ｂｓｉｎ徊）＝、／面（ｓｉｎ口ｃｏｓａ＋ｓｉｎａｃｏｓｆｌ）＝、／五
从变量的取值范围出发，联系三角函数，我们就将思考途径３：从向量的角度去思考．由思考途径ｌ，我
（ｓｉｎａｃｏｓｆｌ＋ｃｏｓａｓｉｎ口）＝、／ｎ６ｓｉｎ（ａ＋芦）≤１．
代数不等式转化为三角不等式了．当中，正弦函数的有界性起到了关键性的作用．们知道，所要证明的不等式等价于
迥±塑≤Ｌ
、／面
＋
７
事实上
塑掣＝佣吲ａ厢≤ｊ，Ｉ
、／曲
Ｖ
Ｄ、
６
口
口
ａ
ｌ
１
＇
这样，利用二元均值不等式来证明，就相当简单了．
构赫（候，愕例愕，仁），易
知ｔＴｎＪ＝１．ｔｎｌ＝１．
行同＋仃再乱
ｎ
ｔ一＋（・一ＩＣ＿）］＋｛［詈＋（・一｛ｉ）］＝ｔ．
当且仅当÷＝１一旦且三＝１一＿Ｃ，即旦＋÷＝１。也就ｂＤ
是二＋÷＝二时，不等式里的等号成立．
ａ
６
Ｃ
ｔ，而鬲・‘＋ｎ＝＼／詈（卜ｉＣ）＋
、／（１－詈）詈，所以，不等式（¨）成立．
因为高一／７，一＜ｔＦｎｔｆ
思考途径４：从解析几何的角度去思考，据思考途径１．尊证明的不等式等价千
需要说明的是，我们这里只用了：同除、变形、二元均值不等式，所用的知识是基本的、简单的、浅层次的和
”：ｉ；；；匝珂圆函瞳
孵题教学
、／詈（－一詈）＋、／詈（・一詈）≤－．
于是，可以构造点Ｍ（、／詈，＼／１一了Ｃ），Ⅳ【一、／１－詈，一、／詈）・显然，这两个点在单位圆矿妒＿１
上，从而ＩＭＮＩ≤２，ＨＰｌＭＮｌ２≤４，也就是
一即证ｃ（口－ｃ）≤ｎ６＋ｃ（６．ｃ）一２、／Ⅱ６ｃ（６－ｃ），
也就是２、石万研≤６ｃ＋口（６一ｃ），
等价于（、／万一、／习丽）２≥ｏ．自然成立．
思考途径８：上面的转化是先移项，再平方，笔者的思考是，不移项，直接平方，可以证明吗？请看：
要证不等式、／虱；万＋、／及丽≤、／面，
（、／詈＋、／ｔ一詈）２＋（、／－一詈＋、／詈）２≤４．展开，化简得＼／詈（１－詈）＋’ｖ／“Ｃｔｌ６ｃ／ｌ≤１．
如上可以知道，关键是用了圆的任意弦长都不超过它的直径．
思考途径５：从解析几何的角度，也可以这样去思
即ｃ叶６ｃ一２ｃ％２％／—ｃ２（ａ－ｃ）—（ｂ－ｃ）≤０６。也就是２Ｘ／—ｃＺ（ａ－ｃ）—（ｂ－ｃ）≤２ｃ２＋曲一６ｃ－ｃ口．等价于２＂Ｖ／—ｃ２（ａ－ｃ）—（ｂ－ｃ）≤ｃ２＋（俨ｃ）（６１），
以得证
到什么？
只要证（、／玎石万＋、／习再万）２≤（、／面）２，
用二元均值不等式２、／万≤ｚ竹（石，ＹＥＲ十），显然可３．一点思考的延续是，从如上的证明，我们可以得
考，构造点叫行，愕川愕，仨）湿（行一怔）２＋（愕一仨降
然，ＩＭＮｌ≥０，即有关系
对不等式＼／詈（１－詈）＋Ｖ（１－ｃ／ｃ≤ｌ，如果令
石＝三，ｙ＝÷，就得到下面的简单问题：
ａ
展开变形，得＼／詈（１－詈）＋、ｖ／“ｃ［１
ｂ
６ｅ／ｌ≤１．
问题２：已知ｚ，Ｙ∈（０，１），求证：
相比之下，这里的证明要比上面的证明简单些．、／玎Ｆ万＋、／页Ｆ万≤１．
如果对问题２里的不等式，令工＝ａ２，ｙ＝ｂ２，就得到了
Ｍ（作，，ｆｉＴｓ），Ⅳ（－愕，一仁忡溯
个点在单位圆石Ｖ＝１上，过点肘的单位圆切线ｚ的方程是
思考途径６：从解析几何的角度思考，构造点
问题３：求证：口、／Ｔ二矿＋６佩≤１．
下问题连接上了．
如果考虑这个不等式取等号的条件，就与常见的如
、／詈％＋、／１－詈‘产１＇而点删切线ｚ的距离不大于单
位圆的直径，即有
问题４：已知实数ａ，ｂ满足８、／Ｔ＝矿＋６、／Ｔ二孑＝１．求证：ａ％ｂ２＝１．
到此，我们的思考是，如果对问题２里的不等式，发展到３个字母，就有
问题５：已知茁，ｙ，ｚ∈（０，１），求证：
｜二篮：蜓：噍：选：Ｌ．＼／（行）２＋（愕）２
也就是Ｉ、／詈（１．詈）＋、／（１．詈）詈＋１ｌ≤２，
奶丽可＋坼丽可＋ｖＴｒｉａ万≤妄．
再将问题５还原到问题１的类似题目，就得问题６：已知口≥ｄ，ｂ≥ｄ，ｃ≥ｄ，ｄ≥Ｏ，求证：
所以＼／｝（卜詈）＋１ｙｖ／口ｃ／、１。ｃ，／乱
２．另外的思考是，不作商行吗？其实，用化无理为有
、／丽阿＋、／习阿＋、／五同≤÷佩．
Ｚ
理，也能实现转化
思考途径７：从代数角度思考，将原无理不等式转化为右瑚不等式．对原不等式旌项得
需要说明的是，对于一个平凡的题目，只要我们善于多角度地思考，也能够挖掘出许许多多闪光点，从中开发出解题的智慧和智慧的解题．正如本Ｔ＝１１２００７年１２期卷首语中说的那样：“激情促进思考，思考催发激情．数学教师只有多学多思，才能增强工作的激情，收获教学的成功，在看似平淡无奇的教学中体验其乐无穷的数学魅力．”
（责任编辑李闻）
ｘ／疋－ｆＡ－Ｙ≤、／石一ｖＴ－（Ｔ：万．
显然、／五一Ｖ－Ｆ（５－；Ｙ＞ｏ；于是。只要证明（、／瓦云万）２≤（、／万一、／玎再万）２，
４５
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解题教学
善于多角度分析思考问题
安振平
（成阳师范学院基础教育课程研究中心
陕西
成阳
７１２０００）
湖南王满成先生在本９１２００７年第１２期《一个不等式的代数证法》一文中，用增量代换法，证明了如下常见的不等式：
问题１：已知ｎ≥ｃ，ｂ≥ｃ，ｃ＞Ｏ，求证：
常用的，属于高中教材里的基础知识，完全能让多数高中生所接受．
思考途径２：从三角函数的角度思考，我们可以给出这样的探究．注意到条件ｏ≥ｃ，ｂ≥ｃ，ｃ＞Ｏ，变形得０＜三≤
口
、／瓦云万＋、／瓦再万≤、／面．（・）
ｂ
稍后，湖南刘少杰先生在本９１２００８年第３期上，用柯西不等式与构造二次函数法，给出了该不等式的两种简单证明．
其实，只要我们善于观察、善于分析、善于思考，就能多角度地发现此不等式更多的证明方法，并能提出一
１，ｏ＜÷≤１，联想到正余弦函数的有界性，就可以采用
三角换元的办法．设旦＝ｓｉｎ：ａ，÷：ｓｉｎ２卢，ａ，ｆｌ∈（ｏ，了＇／ｒ１，
ａ
Ｄ
、
二／
于是ｃ＝ａｓｉｎ２ｎ，ｃ＝ｂｓｉｎ２口，从而，有
些有意义的问题
１．不等式的证明，一般多用比较法，我们先考虑作商的处理手法．
思考途径１：从代数的角度思考．显然，不等式里的每一项的次数都是相同的，这样就可以采用同除技巧，将不等式（＋）等价地变形为
、／刁；万＋、／玎再万＝Ｖ＇—ｂｓｉｎｊＢ（ａ－—ａｓｉｎ２ａ）＋Ｘ／—ａｓｉｎ２ａ（ｂ－—ｂｓｉｎ徊）＝、／面（ｓｉｎ口ｃｏｓａ＋ｓｉｎａｃｏｓｆｌ）＝、／五
从变量的取值范围出发，联系三角函数，我们就将思考途径３：从向量的角度去思考．由思考途径ｌ，我
（ｓｉｎａｃｏｓｆｌ＋ｃｏｓａｓｉｎ口）＝、／ｎ６ｓｉｎ（ａ＋芦）≤１．
代数不等式转化为三角不等式了．当中，正弦函数的有界性起到了关键性的作用．们知道，所要证明的不等式等价于
迥±塑≤Ｌ
、／面
＋
７
事实上
塑掣＝佣吲ａ厢≤ｊ，Ｉ
、／曲
Ｖ
Ｄ、
６
口
口
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ｌ
１
＇
这样，利用二元均值不等式来证明，就相当简单了．
构赫（候，愕例愕，仁），易
知ｔＴｎＪ＝１．ｔｎｌ＝１．
行同＋仃再乱
ｎ
ｔ一＋（・一ＩＣ＿）］＋｛［詈＋（・一｛ｉ）］＝ｔ．
当且仅当÷＝１一旦且三＝１一＿Ｃ，即旦＋÷＝１。也就ｂＤ
是二＋÷＝二时，不等式里的等号成立．
ａ
６
Ｃ
ｔ，而鬲・‘＋ｎ＝＼／詈（卜ｉＣ）＋
、／（１－詈）詈，所以，不等式（¨）成立．
因为高一／７，一＜ｔＦｎｔｆ
思考途径４：从解析几何的角度去思考，据思考途径１．尊证明的不等式等价千
需要说明的是，我们这里只用了：同除、变形、二元均值不等式，所用的知识是基本的、简单的、浅层次的和
”：ｉ；；；匝珂圆函瞳
孵题教学
、／詈（－一詈）＋、／詈（・一詈）≤－．
于是，可以构造点Ｍ（、／詈，＼／１一了Ｃ），Ⅳ【一、／１－詈，一、／詈）・显然，这两个点在单位圆矿妒＿１
上，从而ＩＭＮＩ≤２，ＨＰｌＭＮｌ２≤４，也就是
一即证ｃ（口－ｃ）≤ｎ６＋ｃ（６．ｃ）一２、／Ⅱ６ｃ（６－ｃ），
也就是２、石万研≤６ｃ＋口（６一ｃ），
等价于（、／万一、／习丽）２≥ｏ．自然成立．
思考途径８：上面的转化是先移项，再平方，笔者的思考是，不移项，直接平方，可以证明吗？请看：
要证不等式、／虱；万＋、／及丽≤、／面，
（、／詈＋、／ｔ一詈）２＋（、／－一詈＋、／詈）２≤４．展开，化简得＼／詈（１－詈）＋’ｖ／“Ｃｔｌ６ｃ／ｌ≤１．
如上可以知道，关键是用了圆的任意弦长都不超过它的直径．
思考途径５：从解析几何的角度，也可以这样去思
即ｃ叶６ｃ一２ｃ％２％／—ｃ２（ａ－ｃ）—（ｂ－ｃ）≤０６。也就是２Ｘ／—ｃＺ（ａ－ｃ）—（ｂ－ｃ）≤２ｃ２＋曲一６ｃ－ｃ口．等价于２＂Ｖ／—ｃ２（ａ－ｃ）—（ｂ－ｃ）≤ｃ２＋（俨ｃ）（６１），
以得证
到什么？
只要证（、／玎石万＋、／习再万）２≤（、／面）２，
用二元均值不等式２、／万≤ｚ竹（石，ＹＥＲ十），显然可３．一点思考的延续是，从如上的证明，我们可以得
考，构造点叫行，愕川愕，仨）湿（行一怔）２＋（愕一仨降
然，ＩＭＮｌ≥０，即有关系
对不等式＼／詈（１－詈）＋Ｖ（１－ｃ／ｃ≤ｌ，如果令
石＝三，ｙ＝÷，就得到下面的简单问题：
ａ
展开变形，得＼／詈（１－詈）＋、ｖ／“ｃ［１
ｂ
６ｅ／ｌ≤１．
问题２：已知ｚ，Ｙ∈（０，１），求证：
相比之下，这里的证明要比上面的证明简单些．、／玎Ｆ万＋、／页Ｆ万≤１．
如果对问题２里的不等式，令工＝ａ２，ｙ＝ｂ２，就得到了
Ｍ（作，，ｆｉＴｓ），Ⅳ（－愕，一仁忡溯
个点在单位圆石Ｖ＝１上，过点肘的单位圆切线ｚ的方程是
思考途径６：从解析几何的角度思考，构造点
问题３：求证：口、／Ｔ二矿＋６佩≤１．
下问题连接上了．
如果考虑这个不等式取等号的条件，就与常见的如
、／詈％＋、／１－詈‘产１＇而点删切线ｚ的距离不大于单
位圆的直径，即有
问题４：已知实数ａ，ｂ满足８、／Ｔ＝矿＋６、／Ｔ二孑＝１．求证：ａ％ｂ２＝１．
到此，我们的思考是，如果对问题２里的不等式，发展到３个字母，就有
问题５：已知茁，ｙ，ｚ∈（０，１），求证：
｜二篮：蜓：噍：选：Ｌ．＼／（行）２＋（愕）２
也就是Ｉ、／詈（１．詈）＋、／（１．詈）詈＋１ｌ≤２，
奶丽可＋坼丽可＋ｖＴｒｉａ万≤妄．
再将问题５还原到问题１的类似题目，就得问题６：已知口≥ｄ，ｂ≥ｄ，ｃ≥ｄ，ｄ≥Ｏ，求证：
所以＼／｝（卜詈）＋１ｙｖ／口ｃ／、１。ｃ，／乱
２．另外的思考是，不作商行吗？其实，用化无理为有
、／丽阿＋、／习阿＋、／五同≤÷佩．
Ｚ
理，也能实现转化
思考途径７：从代数角度思考，将原无理不等式转化为右瑚不等式．对原不等式旌项得
需要说明的是，对于一个平凡的题目，只要我们善于多角度地思考，也能够挖掘出许许多多闪光点，从中开发出解题的智慧和智慧的解题．正如本Ｔ＝１１２００７年１２期卷首语中说的那样：“激情促进思考，思考催发激情．数学教师只有多学多思，才能增强工作的激情，收获教学的成功，在看似平淡无奇的教学中体验其乐无穷的数学魅力．”
（责任编辑李闻）
ｘ／疋－ｆＡ－Ｙ≤、／石一ｖＴ－（Ｔ：万．
显然、／五一Ｖ－Ｆ（５－；Ｙ＞ｏ；于是。只要证明（、／瓦云万）２≤（、／万一、／玎再万）２，
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