专题 分类讨论的数学思想
分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。 题型一 分类讨论在集合中的应用
1．已知集合M=｛a , a+1,－3｝, N=｛a －3, 2a－1, a+1｝, 若M ∩N=｛－3｝, 则a 的值（ ）
A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 2．设A ={x ||x +
A ．(-
2
2
31
|≤},B ={x |(ax -1)(x +a ) >0},若A ⊂B ，则a 的取值范围为（ ）
≠ 22
B ．(-∞, -1) (0, 1) D ．(-∞, -1) (2, +∞)
1
, 1) 2
C ．(-∞, 1) (1, 2)
3．集合A ＝{x||x|≤4,x ∈R}，B ＝{x||x－3|≤a ，x ∈R}，若A ⊇B ，那么a 的范围是__ ___。
A. 0≤a ≤1 B. a≤1 C. aC ={z |z =x 2, x ∈A },且C ⊆B ，求实数a 的取值范围.
5. 设a ∈R
, 函数
f (x =)
2
a -x 2-x 若2. f a (x ) >0的解集为
A ，
B ={x |1
6. 已知集合A ={x ｜x 2–3x +2=0},B ={x ｜x 2–ax +(a –1)=0}，C ={x ｜x 2–mx +2=0}，且A ∪B =A ，A ∩C =C ，则a 的值为，m 的取值范围为7. 已知集合A ={x ｜x 2+px +q =0}，B ={x ｜qx 2+px +1=0},A , B 同时满足： ①A ∩B ≠∅, ②A ∩B ={–2}.求p 、q 的值
题型二 分类讨论在函数、方程、不等式中的应用
8．函数f (x ) =sin x +2a cos x -a -1的最大值是2，则a 的值为（ ）
2
A ．－1 B ．－1或2 C ．－1或3
1
D ．－1或2或3
9. 设偶函数f(x)满足f(x)=2x -4(x≥0), 则{xf(x-2) >0}=()
{xx6}D {xx2} A {xx4}B {xx4}C
10. 已知不等式a ≤3x 2-3x +4≤b 的解集为[a,b](a,b为常数, 且0
4
11．已知函数f (x ) =-3x -3x +4b +b 的值.
12．已知函数f (x )=-4x 2+4ax -a -a 2在区间[-1, 1]上有最大值2，求a 的值．
13．求函数f (x )=ax 2-2x +1，x ∈[-1, 3]的最大值．
14. 设函数f(x)＝ax －2x ＋2，对于满足10，求实数a 的取值范围。
15．已知a 为实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a，如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点，求a 的取值范围。
16．设函数f (x )=ax 2+8x +3(a ＜0) 。对于给定的负数a ，有一个最大的正数l(a ) ，使得在整个区间[0，l(a )]上，不等式|f (x )|≤5恒成立. 问：a 为何值时，l(a ) 最大？求出这个最大的l(a ) ，证明你的结论.
2
,b=
22
9
(b >0) 在区间[－b ，1－b]上的最大值为25，求4
17. 解关于x 的不等式：ax -(a +1) x +1
2
2
18. 解不等式
19． 设函数
(x +4a )(x -6a ) 1
>0 (a为常数，a ≠－)
2a +12
f (x ) =tan 2x +|tan x -2|-1.
（1）讨论函数f (x ) 的奇偶性； （2）求函数f (x ) 的最小值. 20. 设函数f (x )=x 2+｜x –a ｜+1，x ∈R .
(1)判断函数f (x ) 的奇偶性；(2)求函数f (x ) 的最小值. 21. 解不等式5-4x -x 2≥x
22. 不等式3log a x -20且a ≠1) 的解集为_____________。 23. 设00且a ≠1，比较|loga (1－x)|与|loga (1＋x)|的大小。
25. 求函数f(x)=ax (a≠0) 在[0,a ]上的值域2
26．（本小题满分12分）已知函数f (x ) =2-
x
24、已知函数f(x)=log(m+2)[mx2+(m+2)x +m +2]存在最值，试求实数m 的取值范围。
x +1
a
. x 2
(1)将y =f (x ) 的图象向右平移两个单位，得到函数y =g (x ), 求y =g (x ) 的解析式； (2)函数y =h (x ) 与函数y =g (x ) 的图象关于直线y =1对称，求y =h (x ) 的解析式； (3)设F (x ) =
1
m , 且m >2+7, 求实数a 的取值范围. f (x ) +h (x ), F (x ) 的最小值是
a
题型三 分类讨论在解析几何中的应用
27. 一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（ ） A. x +y -7=0 C. 2x -5y =0
B. x +y -7=0或2x -5y =0 D. x +y +7=0或2y -5x =0 28. 已知圆x +y=4，求经过点P （2，4），且与圆相切的直线方程。 题型四 分类讨论在立体几何中的应用
29. 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。
2
2
8
A.
9
4
B.
92
C.
9
3
4
D.
9
或
89
30. 四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A.150种 B.147种 C.144种 D.141种
31．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，过底面一边BC 作一截面与底面所成的二面角为θ. 求这截面的面积.
32. 到空间不共面的4个点距离相等的平面的个数是_____。
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
2
33．如图所示，有两个相同的直三棱柱，高为3a 、4a 、
a
5a (a >0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是________．
题型五：实际问题中分类讨论问题
34．某城市用水收费方法是：水费=基本费+超额费+排污费，若每月水量不超过最低限量am 3时，只付基本费8元和每户每定额排污费c 元；若用水量超过am 3时，除了付给同上的基本费和排污费外，超过部分每方米付b 元的超额费．已知每户每月的排污费不超过4元，该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：
4
专题 分类讨论的数学思想
分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。 题型一 分类讨论在集合中的应用
1．已知集合M=｛a , a+1,－3｝, N=｛a －3, 2a－1, a+1｝, 若M ∩N=｛－3｝, 则a 的值（ ）
A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 2．设A ={x ||x +
A ．(-
2
2
31
|≤},B ={x |(ax -1)(x +a ) >0},若A ⊂B ，则a 的取值范围为（ ）
≠ 22
B ．(-∞, -1) (0, 1) D ．(-∞, -1) (2, +∞)
1
, 1) 2
C ．(-∞, 1) (1, 2)
3．集合A ＝{x||x|≤4,x ∈R}，B ＝{x||x－3|≤a ，x ∈R}，若A ⊇B ，那么a 的范围是__ ___。
A. 0≤a ≤1 B. a≤1 C. aC ={z |z =x 2, x ∈A },且C ⊆B ，求实数a 的取值范围.
5. 设a ∈R
, 函数
f (x =)
2
a -x 2-x 若2. f a (x ) >0的解集为
A ，
B ={x |1
6. 已知集合A ={x ｜x 2–3x +2=0},B ={x ｜x 2–ax +(a –1)=0}，C ={x ｜x 2–mx +2=0}，且A ∪B =A ，A ∩C =C ，则a 的值为，m 的取值范围为7. 已知集合A ={x ｜x 2+px +q =0}，B ={x ｜qx 2+px +1=0},A , B 同时满足： ①A ∩B ≠∅, ②A ∩B ={–2}.求p 、q 的值
题型二 分类讨论在函数、方程、不等式中的应用
8．函数f (x ) =sin x +2a cos x -a -1的最大值是2，则a 的值为（ ）
2
A ．－1 B ．－1或2 C ．－1或3
1
D ．－1或2或3
9. 设偶函数f(x)满足f(x)=2x -4(x≥0), 则{xf(x-2) >0}=()
{xx6}D {xx2} A {xx4}B {xx4}C
10. 已知不等式a ≤3x 2-3x +4≤b 的解集为[a,b](a,b为常数, 且0
4
11．已知函数f (x ) =-3x -3x +4b +b 的值.
12．已知函数f (x )=-4x 2+4ax -a -a 2在区间[-1, 1]上有最大值2，求a 的值．
13．求函数f (x )=ax 2-2x +1，x ∈[-1, 3]的最大值．
14. 设函数f(x)＝ax －2x ＋2，对于满足10，求实数a 的取值范围。
15．已知a 为实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a，如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点，求a 的取值范围。
16．设函数f (x )=ax 2+8x +3(a ＜0) 。对于给定的负数a ，有一个最大的正数l(a ) ，使得在整个区间[0，l(a )]上，不等式|f (x )|≤5恒成立. 问：a 为何值时，l(a ) 最大？求出这个最大的l(a ) ，证明你的结论.
2
,b=
22
9
(b >0) 在区间[－b ，1－b]上的最大值为25，求4
17. 解关于x 的不等式：ax -(a +1) x +1
2
2
18. 解不等式
19． 设函数
(x +4a )(x -6a ) 1
>0 (a为常数，a ≠－)
2a +12
f (x ) =tan 2x +|tan x -2|-1.
（1）讨论函数f (x ) 的奇偶性； （2）求函数f (x ) 的最小值. 20. 设函数f (x )=x 2+｜x –a ｜+1，x ∈R .
(1)判断函数f (x ) 的奇偶性；(2)求函数f (x ) 的最小值. 21. 解不等式5-4x -x 2≥x
22. 不等式3log a x -20且a ≠1) 的解集为_____________。 23. 设00且a ≠1，比较|loga (1－x)|与|loga (1＋x)|的大小。
25. 求函数f(x)=ax (a≠0) 在[0,a ]上的值域2
26．（本小题满分12分）已知函数f (x ) =2-
x
24、已知函数f(x)=log(m+2)[mx2+(m+2)x +m +2]存在最值，试求实数m 的取值范围。
x +1
a
. x 2
(1)将y =f (x ) 的图象向右平移两个单位，得到函数y =g (x ), 求y =g (x ) 的解析式； (2)函数y =h (x ) 与函数y =g (x ) 的图象关于直线y =1对称，求y =h (x ) 的解析式； (3)设F (x ) =
1
m , 且m >2+7, 求实数a 的取值范围. f (x ) +h (x ), F (x ) 的最小值是
a
题型三 分类讨论在解析几何中的应用
27. 一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（ ） A. x +y -7=0 C. 2x -5y =0
B. x +y -7=0或2x -5y =0 D. x +y +7=0或2y -5x =0 28. 已知圆x +y=4，求经过点P （2，4），且与圆相切的直线方程。 题型四 分类讨论在立体几何中的应用
29. 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。
2
2
8
A.
9
4
B.
92
C.
9
3
4
D.
9
或
89
30. 四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A.150种 B.147种 C.144种 D.141种
31．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，过底面一边BC 作一截面与底面所成的二面角为θ. 求这截面的面积.
32. 到空间不共面的4个点距离相等的平面的个数是_____。
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
2
33．如图所示，有两个相同的直三棱柱，高为3a 、4a 、
a
5a (a >0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是________．
题型五：实际问题中分类讨论问题
34．某城市用水收费方法是：水费=基本费+超额费+排污费，若每月水量不超过最低限量am 3时，只付基本费8元和每户每定额排污费c 元；若用水量超过am 3时，除了付给同上的基本费和排污费外，超过部分每方米付b 元的超额费．已知每户每月的排污费不超过4元，该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：
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