隔离法与整体法及其应用
前言：物理体通过绳、杆、弹簧或摩擦等形式连接起来的物理系统称作物理系。 通常在分析外力对系统的作用时，用整体法；
在分析系统内各物体（各部分）间相互作用时，用隔离法．
注意：
1. 用整体法解题时涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便，因此解题时应本着先整体后分离的原则。整体法必须满足一个条件，即连结体各部分加速度的值是相同的。如果不是这样，便只能用隔离法求解。
2. 很多情况下，通常采用整体法和隔离法相结合的方法，使用哪种方法没有固定的前提，通常情况下物理系中各物理体若保持相对静止或各物理体的加速度值相同多采用整体法，例如一些静态平衡问题。而例如一些斜面上的加速运动，绳线张力，滑轮等问题用分离法。
一、整体法的含义及其应用
在研究物理问题时，把所研究的对象作为一个整体来处理的方法，称为整体法。应用整体法就是用整体的观点去认识问题，解决问题不为局部现象所迷惑，从整体上把握事物及其变化的规律。
1. 物理系的整体处理
物理体通过绳、杆、弹簧或摩擦等形式连接起来的物理系统称作物理系。
例9．如图（8）所示，A 球和B 球用轻绳连接并静止在光滑圆柱面上。若A 球的质量为m 则B 球的质量为（ ）
（A ）3m /4 （B ）2m /3 （C ）3m /5 （D ）m /2
解：将A 球、B 球和轻绳看成整体，以圆柱面中心为转轴，由∑M =0，mgR sin 37︒-m 'gR sin 53︒=0得m '=3m ，故选A 。
4
例10．如图（9）所示，倾角α=30︒，质量M =34kg的斜面小车，始终停在粗糙水平地面上。质量为m A =14kg，m
B
=2kg的物体，通过定滑轮由细线连接。若物体A 以a =2.5m/ s 2的加速度，沿斜面加速下滑，求地面对小车的摩擦力和支持力。
解：以A 、B 和小车整体为研究对象，根据质点系的牛顿第二定律，
在水平方向，由 ΣF x =m 1a 1x +m 2a 2x +m 3a 3x 得f =m A a Ax =m A a cos30°=31N ，
在竖直方向由ΣF y =m 1a 1y +m 2a 2y +m 3a 3y
得 N -(M +m A +m B ) g =m B a -m A a sin 30︒
所以N =(M +m A +m B ) g +m B a -m A a sin 30︒=487. 5N
例11．人坐在冰车上，人与冰车的总质量为M ，冰面上还有一个质量为m 的弹性滑块，原来均处于静止。某时刻坐在冰车上的人用力将滑块推向前方一固定的挡板，滑块与挡板碰撞后又被反弹回来，滑块与挡板的碰撞不损失机械能，且滑块始终与冰车在同一直线上运动。若人以相对冰面v 0的速度推出滑块，滑块反弹后被人接住再次以相对冰面v 0的速度推向挡板，如此反复多次，已知M ∶m =31∶2，试分析人推出滑块多少次后将不可能再接到滑块？不计滑块、冰车与冰面之间的摩擦。
解：将人、冰车与滑块作为整体。挡板每次对滑块的冲量I 0=2mv 0，对系统来说，这个冲量即外力的冲量，即人每推滑块一次，挡板对研究的整体一个冲量I 0=2mv 0。设人推n 次后，冰车的速度为v ，对整体应用动量定理ΣI 0=ΔP 即n （2mv 0）=mv 0+Mv ；人不能再接到滑块：v ≥v 0可解得n ≥1M (+1) =8. 25，应取n =9。
2m
例12．如图（10）—a 所示的电路是一个无穷网络，每个电阻均为r ，试求A 、B 间的电阻R AB 。
解：因为是无穷网络，去掉图中虚线左边三个电阻及其
结构看作一个整体——等效电阻R ′，则原来的无穷网络变
成有限网络如（10）-b 所示，根据电阻的串、并联关系得
为什么R ′=R AB ，呢？
例13．如图（11）所示，容器水平放置，用销钉固定的活塞，将其分隔为两部分，体积之比为V A ∶V B =2∶1。开始，A 中气体温度t A =127℃，压强P A =1.8×105帕；B 中气体的温度t B =27℃，压强P B =1.2×105帕。拔出销钉，让活塞无摩擦地移动，且活塞停止运动时，气体温度为27℃的室温。求这时A 中气体压强。
解：当活塞停止运动时，两部分气体的压强，温度都相同，故可以视为一整体，且体积为3V ，根据混合气体的气态方程，
2P A V P B V 3PV +=，得P =1.3×105帕。 T A
T B T B
2. 对物理量的整体处理——解物理习题时常把几个未知量组成的式作为一个未知量处理，这种方法称为未知量整体法。
例16．如图（13）-a ，电压表V A 的读数为U A ，如图（13）-b 电压表读
数V A 、V B 的读数分别为U A ′U B ′，若电压表V A 和V B 的内阻很大，电源内
阻不能忽略，求该电源的电动势。
解：根据全电路的欧姆定律，
由a 图可得：ε=U A +r ⋅U A ， R A
由b 图可得：ε=U A +U B '''U A ， +r ⋅R A
U A ⋅U B '
把 r /RA 作为整体未知量，从而式中消去r /RA 得ε=
U A -U A
3. 多变量的整体分析 —— 一类选择题的解答技巧
例18．如图（16）所示，一闭合圆形线圈放在匀强磁场中，线圈的轴线n 与磁场方向成30°角，磁感应强度随时间均匀变化。在下述办法中，用哪一种可以使感应电流增加一倍？
（A ）把线圈的匝数增加一倍； （B ）把线圈的面积增加一倍；
（C ）把线圈的半径增加一倍； （D ）改变线圈轴线对磁场的方向。
解：本题的条件自变量有四个，n 、S 、r 、α, 目标量是电流I ，为了减少运算量，可以把四个可能影响I 的因素同时引入I 的表达式中，最后再看I 由哪些因素决定，这就是对多变量的整体思考。 根据法拉弟电磁感应定律和欧姆定律电阻定律
∆φ∆B πr 2cos α⋅ε∆t =∆t =∆B ⋅S 'r cos α∝r cos α∝S cos α 得I ==N (2πr ) 2πr ∆t 2ρR ρρS 'S 'N
（S ′为导线横截面积）。cos 30︒=0. 866，欲使I 加倍，D 项显然不可能，故只有选C
。
4. 对物理过程的整体处理
例14．质量为0.1kg 的小球，在离地面1.8m 的高处自由落下，跟地面碰撞后弹回的最大高度为0.8m ，整体过程所用时间为1.1s 。求碰撞时地面对小球的平均作用力大小为何值？
解：把小球从1.8m 高处落下直到弹回到0.8m 高处的全过程看作一个整体，小球的动量变化为零，则mgt 总-F t 地=0
，所以，t 下=2h 12⨯1. 8==0. 6s g 10，，则t 下=2h 22⨯0. 8==0. 4s g 10
t 总
t 地=0. 1⨯10⨯t 地=t 总-(t 上+t 下) =0. 1s F =mg
1. 1=11N 0. 1
例15．如图（12）所示，一质量为0.5kg 的小滑块，从高1m 的倾角为30°
的固定斜面顶端由静止开始下滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为/6，滑块滑
到底端时与垂直于斜面的挡板发生没有能量损失的碰撞，则滑块从开始运动到最
后静止通过的总路程是多少？
解：把滑块下滑、碰撞、上滑，反复无数次作为一个整体，设总路程为S ，根据动能定理
mgh -μmg cos 30︒S =0，∴S=4m。
5. 整体法与其它思维方法的综合运用
例19．如图（17）所示，两块质量分别为m 1、m 2的木板，用轻弹簧连接
起来，问要加多大的压力F 于上板，才能使该力突然撤去后，下板刚好被提起
来？
解：根据弹簧的对称性——压缩与拉长产生的动力学效果相同，可以作逆
向思考，变压力为向上的拉力F ′，F ′将两个物体整体刚好提起，则F =F ′=
（
m
+m ）g 。
例20．在光滑绝缘的平面上固定着质量相同的甲、乙、丙三个带电小球，三球排列在同一直线上，并且甲、乙、丙两球的距离等于乙、丙球的距离。如图（18）所
示。若使乙、丙两球固定，释放甲球，释放初始时，加速度为1m /s2，方向向
左。若固定甲、乙两球，释放丙球，释放初始时刻，丙球的加速度为2.0m /s2，方向向右；若固定甲、丙两球，释放乙球，释放初始时刻，乙球的加速度为多大？方向如何？
解：假设三球同时释放，则释放时，它们之间的距离尚未改变，每个球受到的合力不变，加速度跟固定两球，释一球时相同。
对三球构成的整体，外力为零。根据质点系的牛顿第二定律有ma 甲+ma 乙+ma 丙=0，设向右为正，(-
1) +a +2=0，所以2，方向向左。
例21．如图（19）所示，一台回旋加速器D 形电极的半径为R ，极间距离为d ，加速电压为U ，为了将质量为m ，电量为q 的离子，从静止加速到最大能量E m ，求所需的时间是多少？
解：
①粒子在匀强磁场中的运动周期T =2πm 与半径无关，所以可以把粒子沿螺qB
2πm 。粒子每qB 旋线的运动等效为n 个周期为T 的匀速圆周运动。时间t 1=nT =n
转一周被加速两次动能增加2qU ，所以n =E m m πE m ，t 1=。 22qU BUq
2E m qU =at 2=t 2，t 2=d m md qU ②又因为粒子通过电场时才能被加速，加速度大小恒定，把粒子在电场中的加速运动等效为初速度零的加速运动，末速度v m =
R =mv m =qB 2mE m
qU 2mE m ，而则B =2mE m ，
qR
∴总时间t =t 1+t 2=2mE
m πR (+d ) 。 qU 2
二、隔离法的含义及其应用
把所研究的事物从整体或系统中隔离出来进行研究，最终得出结论的方法称为隔离法。应用隔离法能排除与事物无关的因素，使该事物的主要特征明确地显示出来，从而进行有
效处理，使一些无法用整体来解决的问题得到满意的结论。
任何事物总是由各个部分组成的，事物的整体和局部之间既有联系又有区别。在处理具体的物理问题时，可以根据不同的情况把整个物体系或整个物理过程分隔成几个部分，应用相应物理规律进行处理。由于各物体在各种不同情况下会产生不同的结果，应用隔离法能为我们针对不同情况解决问题创造条件。
1（隔离物体）
例1．如图（1）所示，质量为M 的木板上放一质量为m 的木块。木块与木板间的动摩擦因数为μ1，木板与水平支持面间的摩擦因数为μ2。问：加在木板上的水平力F 多大时，才能将木板从木块下抽出来？
简解：分别对m 及M 作受力分析后，
根据牛顿第二定律对m ：μ1m g=ma 1„„①，
对M ：F-μ1mg-μ2（m +M ）g=Ma 2„„②，
将M 从m 下抽出，应满足a 2>a 1„„③，
将①、②代入③可得F>(μ1+μ2)(M+m)g
设置的目标而定。此外，对于有相互关联的几部分不同气体，分别对它们应用相关的气体实验定律或气态方程列式讨论，也属这类方法应用。对于点光源同时经不同的光学元件成像，如果要确定像的个数及虚实，或光路图等，则需要隔离光学元件进行分析。
2隔离过程—隔离过程时一定注意不要忽视中间状态
例2．如图（2）所示，用长为L 的轻绳，一端系质量为m 的小球，另一端固定在O 处。把小球拉到使轻绳和水平夹角为30°的A 点处由静止释放。求：小球落至最低点B 处时的速度大小和绳的拉力。
简解：小球A →B 的运动过程可以分隔成三段：
① A →C ：自由落体至绳刚好绷直为止；由mgL =mv c 2/2得v c =2gL ；
② 绳的绷紧过程：沿绳方向动量减小为零，只剩下垂直于绳方向的动量，切向速度v c '=v c cos 30︒=3gl ； 2
③ C →B ，小球作圆周运动，
2112'由动能定理：mgl (1-cos 60︒) =mv B -mv C ，得v B =225gl ，由
2
v
7T -m
g =m
B 得T =mg 。 2
例2 中的绳子绷紧过程易被忽视。不能全程应用机械能守恒列式，其原因就在于绳子绷紧过程有机械能损失。
例3．一粗细均匀的玻璃管，注入60mm 水银柱水平放置，如图（3）所示，若将管缓慢转到开口向下，竖直插入水银槽中，达到平衡时，封闭端空气柱长133mm 。设整个过程中等温，外界大气压为760mmHg ，求水银槽中进入玻璃管中的水银长度是多少mm ？
解：本题必须将全过程分隔为
① 璃管由水平位置缓慢转到开口向下的过程。设封闭端气体为
A ，开口端管内气体为B 。
对A 气体：P A L A =PA ′L A ′，760×140=700LA ′，∴L A ′
=152mm，
B 端空气柱L B =128mm；
② 将玻璃管下端缓慢插入水银的过程。
对A 气体：P A L A =PA ″L A ″，760×140= P A ″×133，∴P A ″=800mmHg。
对B 气体：P B ′L B ′=PB ″L B ″，760×128=（800+60）×L B ″，L B ″
=113.1mm，由水银槽中进入玻璃管的水银长度Δh=280-（133+113.1）
=33.9mm。
3隔离效果——应用隔离法时，不仅要把研究的物体隔离开来，同时也要把物体产生的效果与整体效果隔离开来，这样才能确定隔离物体产生的作用。 例4．如图（4）所示，空心金属球半径为R ，外壳接地，球外有一个点电荷，电量为Q ，到球心O 的距离为L ，则金属球上感应电荷在球心O 处产生的场强大小为（ ）
（A ）K Q Q Q Q Q -K K +K K （B ） （C ）0 （D ） L 2R 2L 2L 2R 2
解：球心处的场强由电荷Q 在O 处的场强和金属球上感应电荷在O 处的场强两部分合成，金属球内电场强度为零是指合场强为零。把两部分场强隔离开来考虑，电荷Q 在O 处的场强仍为K Q 与有无金属球无关。要O 处场强为零，则金属球上感应电荷在O 处的场L 2
Q ，但方向相反。所以选D 。 2L 强大小也应为K
例5．如图（5）所示，一个质量为m ，电量为q 的带正电小球，从距
地面h 高处以一定水平速度抛出。在距抛出点水平距离L 处，有一个竖直
管子，且管口距地面h/2，为了使小球能无碰撞地通过管子可在管子上方加
一水平向左的匀强电场。试计算：①小球的初速度v 0；②电场强度；③小
球落地时的动能E K 。 解：小球不碰撞地穿过管子的条件—在管子上方水平分速度为零，把电场的效果与重力的效果隔离开来讨论。
水平方向，电场力使小球的速度由v 0减小为零，L =竖直方向，重力使小球做自由落体运动
由上四式可得v 0=2L v 0t ，qEt =mv 0； 2h h 12=gt ，mgt =mv y =m 2g =m gh 。
222g 2mgL ，E =。 qh h
在全过程将两力做功的效果隔离分析：小球的初动能全部用于反抗电场力做功，重力
做功，使小球增加的动能即落地时的动能E K =mgh 。
4关联物理的隔离（多因素的隔离）
对各种物理现象进行比较时，常常由于这些现象中包含的因素较多，讨论起来变比较复杂。若能去除相同因素，把不同因素隔离出来进行比较，往往能使问题简单化。
例6．在圆柱形封闭容器内，有三个可绕中心轴转动的绝热活塞把容器分为三个部分，如图（6）所示。当三部分气体温度均为T 时它们的体积之比V 1∶V 2∶V 3=1∶2∶3。求：它们体积相时，温度之比T 1∶T 2∶T 3为多少？
解：三部分气体用绝热活塞隔开，它们的压强始终相等，温度可以不等，但都遵守气态方程PV P 'V '==K 。当它们T 、P 相等时V 1∶V 2∶V 3=1∶2∶3，即有K 1∶K 2∶K 3=1∶'T T
1111，当它们体积、压强相等时，则T 1∶T 2∶T 3=::=6∶3∶2。 123K 2∶3，即有T ∝
5连续介质的隔离—从连续流体中隔离出一个“微圆柱体”。
例7．一艘帆船在静水中由于风力推动作用匀速前进，若帆面的截面积为S ，风速为v 1，船速为v 2，空气密度为ρ，则帆面受到的平均风力大小为多少？
解：在处理流动物体时，需要把起作用的一部分隔离出来分析。在时间t 内作用在帆面上空气的体积V =S (v 2-v 1) t ，这部分空气的速度由v 1变为v 2，由动量定理F t =mv 2-mv 1=m (v 2-v 1) =ρS (v 1-v 2)(v 2-v 1) t =-ρS (v 1-v 2) 2t 即：F =-ρS (v 1-v 2) 2。帆面受到的平均风力F =-F =ρS (v 1-v 2) 2。
6微元隔离——在整体中隔离微小量进行分析是隔离法的一种，又称微元法或小量分析法。
例8．如图（7）所示，一个质量和带电量均匀分布的细圆环，置于光
滑水平的绝缘面上，并处于方向竖直向下的匀强磁场B 中，环半径R ，质
量m ，电量q 。若环以角速度ω绕环心顺时针方向转动（俯视）。求环中
的张力是多大？
解：从环上隔离出一微小段（微元）为研究对象，其质量Δm ，电量Δq ，微元在两个张力（T ）和洛仑兹力（f ）作用下做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律2T sin ∆θ∆θ∆θ，质量和电量-f =∆mR ω2；f =∆qvB =∆qR ωB ；Δθ很小时，sin =222
ωB ∆m ∆q ∆θ，由以上几式可得T =(m ω+qB ) 。 ==m q 2π2π沿环均匀分布：
三、隔离法与整体法的组合运用
在解题中，我们运用隔离法，不仅可以对局部事物深入了解，同时也可以通过局部去认识整体的性质和关系；而运用整体法时不仅对整体事物作全面的把握，同时也可以通过整体去把握局部事物的性质及其与整体或其它局部的关系。但事实上，对多数问题而言，往往是交替运用隔离法与整体法才能使面临的问题得到顺利解决。
例22．如图（20）所示，在水平地面上放着A 、B 两个物体，
质量分别为μA 、μB ，一细线连接A 、B 。细线与水平方向成θ角，
在A 物体上加一水平力F ，使它们做匀速直线运动，则（ ）
（A ）μA =μB ，F 与θ无关；
（B ）若μA =μB ，θ越大，F 越大；
（C ）若μA
（D ）若μA >μB ，θ越大，F 越大。
解：
对A 、B 整体，竖直方向，N A +N B =（M +m ）g „„①；水平方向F =μA N A +μB N B „„②。 对B 物体：竖直方向N B +Tsin θ=m B g „„③；水平方向Tcos θ=μB N B „„④。
由以上四式消去T 、N A 、N B 后F =
C 、D 三个正确。
例23．如图（21）所示，三个质量相等的小球A 、B 、C 固定在轻质硬杆
上，OA =AB =BC ，现将整个装置放在光滑的水平面上，并使OC 绕过O 端且垂
直于OC 的竖直轴匀速转动。设OA 段对A 球的拉力为T 1，杆AB 段对B 球的
拉力为T 2，杆BC 段对C 球的拉力为T 3。求三个拉力之比T 1∶T 2∶T 3=？
解：把A 、B 、C 三个小球看成一个系统，则有μB -μA mg +μA (M +m ) g 。逐一检验选项可得A 、1+μB tg θT 1=ma A +ma B +ma c =m ω2l +m ω22l +
m ω23l =6m ω2l ；将B 、C 两球看成整体有T 2=ma B +ma c =5m ω2l ，对C 球有T 3=3m ω2l ，所以T 1:T 2:T 3=6:5:3。
本例也可以分别对三个球列出运动方程，对C ：T 3=3m ω2l ；对B ：T 2-T 3=m ω22l ；对C 球：T 1-T 2=m ω2l 。联立三式求解可得结果。
例24．一平直长木板C 静止在光滑水平面上，今有两小物块A 和B
分别以2v 0和v 0的初速度沿同一直线从长木板C 两端相向水平地滑上长
木板，如图（22）所示。设A 、B 两小物块与长木板C 间的动摩擦因数均
为μ，A 、B 、C 三者质量相等。
（1）若A 、B 两小物块不发生碰撞，则由开始滑上C 到静止在C 上，B 通过的总路程是多大？经过时间多长？
（2）为使A 、B 两小物块不发生碰撞长木板C 的长度至少多长？
解：（1）B 从v 0减速到速度为零的过程，A 、B 对C 的摩擦力等值反向，C 静止，
B
22v v v 0v 0在C 上滑动的位移即对地位移设为S （向左），S 1=，所用时间t 1=0=0。 =a B μg 2a B 2μg
此后，B 与C 一起向右做加速运动，加速度a =
以共同速度v 运动，所用时间t 2。 1μg ，A 作减速运动，直到A 、B 、C 2
v 0。3对A 、B 、C 整体由动量守恒定律m A 2v 0-m B v 0=(m A +m B +m C ) v ，v =222v v 11v 0v v t 2=1=0，B 向右的位移S 2=t 2=0。故总路程S =S 1+S 2=，总时间μg 3μg 29μg 18μg t =t 1+t 2=5v 0。 3μg
（2）设车的最小长度为L ，相对静止时，A 、B 恰好接触，对A 、B 、C 整体应用能量守恒定律得
7v L =0。 3μg 21112m A (2v 0) 2+m B v 0=(m A +m B +m C ) v 2+μm B gS 1+μm A g (L -S 1) ，所以222
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隔离法与整体法及其应用
前言：物理体通过绳、杆、弹簧或摩擦等形式连接起来的物理系统称作物理系。 通常在分析外力对系统的作用时，用整体法；
在分析系统内各物体（各部分）间相互作用时，用隔离法．
注意：
1. 用整体法解题时涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便，因此解题时应本着先整体后分离的原则。整体法必须满足一个条件，即连结体各部分加速度的值是相同的。如果不是这样，便只能用隔离法求解。
2. 很多情况下，通常采用整体法和隔离法相结合的方法，使用哪种方法没有固定的前提，通常情况下物理系中各物理体若保持相对静止或各物理体的加速度值相同多采用整体法，例如一些静态平衡问题。而例如一些斜面上的加速运动，绳线张力，滑轮等问题用分离法。
一、整体法的含义及其应用
在研究物理问题时，把所研究的对象作为一个整体来处理的方法，称为整体法。应用整体法就是用整体的观点去认识问题，解决问题不为局部现象所迷惑，从整体上把握事物及其变化的规律。
1. 物理系的整体处理
物理体通过绳、杆、弹簧或摩擦等形式连接起来的物理系统称作物理系。
例9．如图（8）所示，A 球和B 球用轻绳连接并静止在光滑圆柱面上。若A 球的质量为m 则B 球的质量为（ ）
（A ）3m /4 （B ）2m /3 （C ）3m /5 （D ）m /2
解：将A 球、B 球和轻绳看成整体，以圆柱面中心为转轴，由∑M =0，mgR sin 37︒-m 'gR sin 53︒=0得m '=3m ，故选A 。
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例10．如图（9）所示，倾角α=30︒，质量M =34kg的斜面小车，始终停在粗糙水平地面上。质量为m A =14kg，m
B
=2kg的物体，通过定滑轮由细线连接。若物体A 以a =2.5m/ s 2的加速度，沿斜面加速下滑，求地面对小车的摩擦力和支持力。
解：以A 、B 和小车整体为研究对象，根据质点系的牛顿第二定律，
在水平方向，由 ΣF x =m 1a 1x +m 2a 2x +m 3a 3x 得f =m A a Ax =m A a cos30°=31N ，
在竖直方向由ΣF y =m 1a 1y +m 2a 2y +m 3a 3y
得 N -(M +m A +m B ) g =m B a -m A a sin 30︒
所以N =(M +m A +m B ) g +m B a -m A a sin 30︒=487. 5N
例11．人坐在冰车上，人与冰车的总质量为M ，冰面上还有一个质量为m 的弹性滑块，原来均处于静止。某时刻坐在冰车上的人用力将滑块推向前方一固定的挡板，滑块与挡板碰撞后又被反弹回来，滑块与挡板的碰撞不损失机械能，且滑块始终与冰车在同一直线上运动。若人以相对冰面v 0的速度推出滑块，滑块反弹后被人接住再次以相对冰面v 0的速度推向挡板，如此反复多次，已知M ∶m =31∶2，试分析人推出滑块多少次后将不可能再接到滑块？不计滑块、冰车与冰面之间的摩擦。
解：将人、冰车与滑块作为整体。挡板每次对滑块的冲量I 0=2mv 0，对系统来说，这个冲量即外力的冲量，即人每推滑块一次，挡板对研究的整体一个冲量I 0=2mv 0。设人推n 次后，冰车的速度为v ，对整体应用动量定理ΣI 0=ΔP 即n （2mv 0）=mv 0+Mv ；人不能再接到滑块：v ≥v 0可解得n ≥1M (+1) =8. 25，应取n =9。
2m
例12．如图（10）—a 所示的电路是一个无穷网络，每个电阻均为r ，试求A 、B 间的电阻R AB 。
解：因为是无穷网络，去掉图中虚线左边三个电阻及其
结构看作一个整体——等效电阻R ′，则原来的无穷网络变
成有限网络如（10）-b 所示，根据电阻的串、并联关系得
为什么R ′=R AB ，呢？
例13．如图（11）所示，容器水平放置，用销钉固定的活塞，将其分隔为两部分，体积之比为V A ∶V B =2∶1。开始，A 中气体温度t A =127℃，压强P A =1.8×105帕；B 中气体的温度t B =27℃，压强P B =1.2×105帕。拔出销钉，让活塞无摩擦地移动，且活塞停止运动时，气体温度为27℃的室温。求这时A 中气体压强。
解：当活塞停止运动时，两部分气体的压强，温度都相同，故可以视为一整体，且体积为3V ，根据混合气体的气态方程，
2P A V P B V 3PV +=，得P =1.3×105帕。 T A
T B T B
2. 对物理量的整体处理——解物理习题时常把几个未知量组成的式作为一个未知量处理，这种方法称为未知量整体法。
例16．如图（13）-a ，电压表V A 的读数为U A ，如图（13）-b 电压表读
数V A 、V B 的读数分别为U A ′U B ′，若电压表V A 和V B 的内阻很大，电源内
阻不能忽略，求该电源的电动势。
解：根据全电路的欧姆定律，
由a 图可得：ε=U A +r ⋅U A ， R A
由b 图可得：ε=U A +U B '''U A ， +r ⋅R A
U A ⋅U B '
把 r /RA 作为整体未知量，从而式中消去r /RA 得ε=
U A -U A
3. 多变量的整体分析 —— 一类选择题的解答技巧
例18．如图（16）所示，一闭合圆形线圈放在匀强磁场中，线圈的轴线n 与磁场方向成30°角，磁感应强度随时间均匀变化。在下述办法中，用哪一种可以使感应电流增加一倍？
（A ）把线圈的匝数增加一倍； （B ）把线圈的面积增加一倍；
（C ）把线圈的半径增加一倍； （D ）改变线圈轴线对磁场的方向。
解：本题的条件自变量有四个，n 、S 、r 、α, 目标量是电流I ，为了减少运算量，可以把四个可能影响I 的因素同时引入I 的表达式中，最后再看I 由哪些因素决定，这就是对多变量的整体思考。 根据法拉弟电磁感应定律和欧姆定律电阻定律
∆φ∆B πr 2cos α⋅ε∆t =∆t =∆B ⋅S 'r cos α∝r cos α∝S cos α 得I ==N (2πr ) 2πr ∆t 2ρR ρρS 'S 'N
（S ′为导线横截面积）。cos 30︒=0. 866，欲使I 加倍，D 项显然不可能，故只有选C
。
4. 对物理过程的整体处理
例14．质量为0.1kg 的小球，在离地面1.8m 的高处自由落下，跟地面碰撞后弹回的最大高度为0.8m ，整体过程所用时间为1.1s 。求碰撞时地面对小球的平均作用力大小为何值？
解：把小球从1.8m 高处落下直到弹回到0.8m 高处的全过程看作一个整体，小球的动量变化为零，则mgt 总-F t 地=0
，所以，t 下=2h 12⨯1. 8==0. 6s g 10，，则t 下=2h 22⨯0. 8==0. 4s g 10
t 总
t 地=0. 1⨯10⨯t 地=t 总-(t 上+t 下) =0. 1s F =mg
1. 1=11N 0. 1
例15．如图（12）所示，一质量为0.5kg 的小滑块，从高1m 的倾角为30°
的固定斜面顶端由静止开始下滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为/6，滑块滑
到底端时与垂直于斜面的挡板发生没有能量损失的碰撞，则滑块从开始运动到最
后静止通过的总路程是多少？
解：把滑块下滑、碰撞、上滑，反复无数次作为一个整体，设总路程为S ，根据动能定理
mgh -μmg cos 30︒S =0，∴S=4m。
5. 整体法与其它思维方法的综合运用
例19．如图（17）所示，两块质量分别为m 1、m 2的木板，用轻弹簧连接
起来，问要加多大的压力F 于上板，才能使该力突然撤去后，下板刚好被提起
来？
解：根据弹簧的对称性——压缩与拉长产生的动力学效果相同，可以作逆
向思考，变压力为向上的拉力F ′，F ′将两个物体整体刚好提起，则F =F ′=
（
m
+m ）g 。
例20．在光滑绝缘的平面上固定着质量相同的甲、乙、丙三个带电小球，三球排列在同一直线上，并且甲、乙、丙两球的距离等于乙、丙球的距离。如图（18）所
示。若使乙、丙两球固定，释放甲球，释放初始时，加速度为1m /s2，方向向
左。若固定甲、乙两球，释放丙球，释放初始时刻，丙球的加速度为2.0m /s2，方向向右；若固定甲、丙两球，释放乙球，释放初始时刻，乙球的加速度为多大？方向如何？
解：假设三球同时释放，则释放时，它们之间的距离尚未改变，每个球受到的合力不变，加速度跟固定两球，释一球时相同。
对三球构成的整体，外力为零。根据质点系的牛顿第二定律有ma 甲+ma 乙+ma 丙=0，设向右为正，(-
1) +a +2=0，所以2，方向向左。
例21．如图（19）所示，一台回旋加速器D 形电极的半径为R ，极间距离为d ，加速电压为U ，为了将质量为m ，电量为q 的离子，从静止加速到最大能量E m ，求所需的时间是多少？
解：
①粒子在匀强磁场中的运动周期T =2πm 与半径无关，所以可以把粒子沿螺qB
2πm 。粒子每qB 旋线的运动等效为n 个周期为T 的匀速圆周运动。时间t 1=nT =n
转一周被加速两次动能增加2qU ，所以n =E m m πE m ，t 1=。 22qU BUq
2E m qU =at 2=t 2，t 2=d m md qU ②又因为粒子通过电场时才能被加速，加速度大小恒定，把粒子在电场中的加速运动等效为初速度零的加速运动，末速度v m =
R =mv m =qB 2mE m
qU 2mE m ，而则B =2mE m ，
qR
∴总时间t =t 1+t 2=2mE
m πR (+d ) 。 qU 2
二、隔离法的含义及其应用
把所研究的事物从整体或系统中隔离出来进行研究，最终得出结论的方法称为隔离法。应用隔离法能排除与事物无关的因素，使该事物的主要特征明确地显示出来，从而进行有
效处理，使一些无法用整体来解决的问题得到满意的结论。
任何事物总是由各个部分组成的，事物的整体和局部之间既有联系又有区别。在处理具体的物理问题时，可以根据不同的情况把整个物体系或整个物理过程分隔成几个部分，应用相应物理规律进行处理。由于各物体在各种不同情况下会产生不同的结果，应用隔离法能为我们针对不同情况解决问题创造条件。
1（隔离物体）
例1．如图（1）所示，质量为M 的木板上放一质量为m 的木块。木块与木板间的动摩擦因数为μ1，木板与水平支持面间的摩擦因数为μ2。问：加在木板上的水平力F 多大时，才能将木板从木块下抽出来？
简解：分别对m 及M 作受力分析后，
根据牛顿第二定律对m ：μ1m g=ma 1„„①，
对M ：F-μ1mg-μ2（m +M ）g=Ma 2„„②，
将M 从m 下抽出，应满足a 2>a 1„„③，
将①、②代入③可得F>(μ1+μ2)(M+m)g
设置的目标而定。此外，对于有相互关联的几部分不同气体，分别对它们应用相关的气体实验定律或气态方程列式讨论，也属这类方法应用。对于点光源同时经不同的光学元件成像，如果要确定像的个数及虚实，或光路图等，则需要隔离光学元件进行分析。
2隔离过程—隔离过程时一定注意不要忽视中间状态
例2．如图（2）所示，用长为L 的轻绳，一端系质量为m 的小球，另一端固定在O 处。把小球拉到使轻绳和水平夹角为30°的A 点处由静止释放。求：小球落至最低点B 处时的速度大小和绳的拉力。
简解：小球A →B 的运动过程可以分隔成三段：
① A →C ：自由落体至绳刚好绷直为止；由mgL =mv c 2/2得v c =2gL ；
② 绳的绷紧过程：沿绳方向动量减小为零，只剩下垂直于绳方向的动量，切向速度v c '=v c cos 30︒=3gl ； 2
③ C →B ，小球作圆周运动，
2112'由动能定理：mgl (1-cos 60︒) =mv B -mv C ，得v B =225gl ，由
2
v
7T -m
g =m
B 得T =mg 。 2
例2 中的绳子绷紧过程易被忽视。不能全程应用机械能守恒列式，其原因就在于绳子绷紧过程有机械能损失。
例3．一粗细均匀的玻璃管，注入60mm 水银柱水平放置，如图（3）所示，若将管缓慢转到开口向下，竖直插入水银槽中，达到平衡时，封闭端空气柱长133mm 。设整个过程中等温，外界大气压为760mmHg ，求水银槽中进入玻璃管中的水银长度是多少mm ？
解：本题必须将全过程分隔为
① 璃管由水平位置缓慢转到开口向下的过程。设封闭端气体为
A ，开口端管内气体为B 。
对A 气体：P A L A =PA ′L A ′，760×140=700LA ′，∴L A ′
=152mm，
B 端空气柱L B =128mm；
② 将玻璃管下端缓慢插入水银的过程。
对A 气体：P A L A =PA ″L A ″，760×140= P A ″×133，∴P A ″=800mmHg。
对B 气体：P B ′L B ′=PB ″L B ″，760×128=（800+60）×L B ″，L B ″
=113.1mm，由水银槽中进入玻璃管的水银长度Δh=280-（133+113.1）
=33.9mm。
3隔离效果——应用隔离法时，不仅要把研究的物体隔离开来，同时也要把物体产生的效果与整体效果隔离开来，这样才能确定隔离物体产生的作用。 例4．如图（4）所示，空心金属球半径为R ，外壳接地，球外有一个点电荷，电量为Q ，到球心O 的距离为L ，则金属球上感应电荷在球心O 处产生的场强大小为（ ）
（A ）K Q Q Q Q Q -K K +K K （B ） （C ）0 （D ） L 2R 2L 2L 2R 2
解：球心处的场强由电荷Q 在O 处的场强和金属球上感应电荷在O 处的场强两部分合成，金属球内电场强度为零是指合场强为零。把两部分场强隔离开来考虑，电荷Q 在O 处的场强仍为K Q 与有无金属球无关。要O 处场强为零，则金属球上感应电荷在O 处的场L 2
Q ，但方向相反。所以选D 。 2L 强大小也应为K
例5．如图（5）所示，一个质量为m ，电量为q 的带正电小球，从距
地面h 高处以一定水平速度抛出。在距抛出点水平距离L 处，有一个竖直
管子，且管口距地面h/2，为了使小球能无碰撞地通过管子可在管子上方加
一水平向左的匀强电场。试计算：①小球的初速度v 0；②电场强度；③小
球落地时的动能E K 。 解：小球不碰撞地穿过管子的条件—在管子上方水平分速度为零，把电场的效果与重力的效果隔离开来讨论。
水平方向，电场力使小球的速度由v 0减小为零，L =竖直方向，重力使小球做自由落体运动
由上四式可得v 0=2L v 0t ，qEt =mv 0； 2h h 12=gt ，mgt =mv y =m 2g =m gh 。
222g 2mgL ，E =。 qh h
在全过程将两力做功的效果隔离分析：小球的初动能全部用于反抗电场力做功，重力
做功，使小球增加的动能即落地时的动能E K =mgh 。
4关联物理的隔离（多因素的隔离）
对各种物理现象进行比较时，常常由于这些现象中包含的因素较多，讨论起来变比较复杂。若能去除相同因素，把不同因素隔离出来进行比较，往往能使问题简单化。
例6．在圆柱形封闭容器内，有三个可绕中心轴转动的绝热活塞把容器分为三个部分，如图（6）所示。当三部分气体温度均为T 时它们的体积之比V 1∶V 2∶V 3=1∶2∶3。求：它们体积相时，温度之比T 1∶T 2∶T 3为多少？
解：三部分气体用绝热活塞隔开，它们的压强始终相等，温度可以不等，但都遵守气态方程PV P 'V '==K 。当它们T 、P 相等时V 1∶V 2∶V 3=1∶2∶3，即有K 1∶K 2∶K 3=1∶'T T
1111，当它们体积、压强相等时，则T 1∶T 2∶T 3=::=6∶3∶2。 123K 2∶3，即有T ∝
5连续介质的隔离—从连续流体中隔离出一个“微圆柱体”。
例7．一艘帆船在静水中由于风力推动作用匀速前进，若帆面的截面积为S ，风速为v 1，船速为v 2，空气密度为ρ，则帆面受到的平均风力大小为多少？
解：在处理流动物体时，需要把起作用的一部分隔离出来分析。在时间t 内作用在帆面上空气的体积V =S (v 2-v 1) t ，这部分空气的速度由v 1变为v 2，由动量定理F t =mv 2-mv 1=m (v 2-v 1) =ρS (v 1-v 2)(v 2-v 1) t =-ρS (v 1-v 2) 2t 即：F =-ρS (v 1-v 2) 2。帆面受到的平均风力F =-F =ρS (v 1-v 2) 2。
6微元隔离——在整体中隔离微小量进行分析是隔离法的一种，又称微元法或小量分析法。
例8．如图（7）所示，一个质量和带电量均匀分布的细圆环，置于光
滑水平的绝缘面上，并处于方向竖直向下的匀强磁场B 中，环半径R ，质
量m ，电量q 。若环以角速度ω绕环心顺时针方向转动（俯视）。求环中
的张力是多大？
解：从环上隔离出一微小段（微元）为研究对象，其质量Δm ，电量Δq ，微元在两个张力（T ）和洛仑兹力（f ）作用下做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律2T sin ∆θ∆θ∆θ，质量和电量-f =∆mR ω2；f =∆qvB =∆qR ωB ；Δθ很小时，sin =222
ωB ∆m ∆q ∆θ，由以上几式可得T =(m ω+qB ) 。 ==m q 2π2π沿环均匀分布：
三、隔离法与整体法的组合运用
在解题中，我们运用隔离法，不仅可以对局部事物深入了解，同时也可以通过局部去认识整体的性质和关系；而运用整体法时不仅对整体事物作全面的把握，同时也可以通过整体去把握局部事物的性质及其与整体或其它局部的关系。但事实上，对多数问题而言，往往是交替运用隔离法与整体法才能使面临的问题得到顺利解决。
例22．如图（20）所示，在水平地面上放着A 、B 两个物体，
质量分别为μA 、μB ，一细线连接A 、B 。细线与水平方向成θ角，
在A 物体上加一水平力F ，使它们做匀速直线运动，则（ ）
（A ）μA =μB ，F 与θ无关；
（B ）若μA =μB ，θ越大，F 越大；
（C ）若μA
（D ）若μA >μB ，θ越大，F 越大。
解：
对A 、B 整体，竖直方向，N A +N B =（M +m ）g „„①；水平方向F =μA N A +μB N B „„②。 对B 物体：竖直方向N B +Tsin θ=m B g „„③；水平方向Tcos θ=μB N B „„④。
由以上四式消去T 、N A 、N B 后F =
C 、D 三个正确。
例23．如图（21）所示，三个质量相等的小球A 、B 、C 固定在轻质硬杆
上，OA =AB =BC ，现将整个装置放在光滑的水平面上，并使OC 绕过O 端且垂
直于OC 的竖直轴匀速转动。设OA 段对A 球的拉力为T 1，杆AB 段对B 球的
拉力为T 2，杆BC 段对C 球的拉力为T 3。求三个拉力之比T 1∶T 2∶T 3=？
解：把A 、B 、C 三个小球看成一个系统，则有μB -μA mg +μA (M +m ) g 。逐一检验选项可得A 、1+μB tg θT 1=ma A +ma B +ma c =m ω2l +m ω22l +
m ω23l =6m ω2l ；将B 、C 两球看成整体有T 2=ma B +ma c =5m ω2l ，对C 球有T 3=3m ω2l ，所以T 1:T 2:T 3=6:5:3。
本例也可以分别对三个球列出运动方程，对C ：T 3=3m ω2l ；对B ：T 2-T 3=m ω22l ；对C 球：T 1-T 2=m ω2l 。联立三式求解可得结果。
例24．一平直长木板C 静止在光滑水平面上，今有两小物块A 和B
分别以2v 0和v 0的初速度沿同一直线从长木板C 两端相向水平地滑上长
木板，如图（22）所示。设A 、B 两小物块与长木板C 间的动摩擦因数均
为μ，A 、B 、C 三者质量相等。
（1）若A 、B 两小物块不发生碰撞，则由开始滑上C 到静止在C 上，B 通过的总路程是多大？经过时间多长？
（2）为使A 、B 两小物块不发生碰撞长木板C 的长度至少多长？
解：（1）B 从v 0减速到速度为零的过程，A 、B 对C 的摩擦力等值反向，C 静止，
B
22v v v 0v 0在C 上滑动的位移即对地位移设为S （向左），S 1=，所用时间t 1=0=0。 =a B μg 2a B 2μg
此后，B 与C 一起向右做加速运动，加速度a =
以共同速度v 运动，所用时间t 2。 1μg ，A 作减速运动，直到A 、B 、C 2
v 0。3对A 、B 、C 整体由动量守恒定律m A 2v 0-m B v 0=(m A +m B +m C ) v ，v =222v v 11v 0v v t 2=1=0，B 向右的位移S 2=t 2=0。故总路程S =S 1+S 2=，总时间μg 3μg 29μg 18μg t =t 1+t 2=5v 0。 3μg
（2）设车的最小长度为L ，相对静止时，A 、B 恰好接触，对A 、B 、C 整体应用能量守恒定律得
7v L =0。 3μg 21112m A (2v 0) 2+m B v 0=(m A +m B +m C ) v 2+μm B gS 1+μm A g (L -S 1) ，所以222
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