圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用

金荣生（上海市市北中学 200071）

2003年北京高考数学卷第18（III）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到圆锥曲线的若干性质.

定理1：在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则有MPMQ.

证明：如图1，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系.

设圆锥曲线的方程为Ax2BxyCy2DxEyF0(*)，设A（0，t），B（0，-t），知t，-t是Cy2EyF0的两个根，所以E0.

若CD，EF有一条斜率不存在，则P，Q与A，B重合，结论成立. 若CD，EF斜率都存在，设C（x1，k1x1）, D（x2，k1x2），E（x3，k2x3）, F（x4,k2x4），P（0，p），Q（0，q），

kxkx

CE:y2311(xx1)k1x

x3x1

p

k2x3k1x1xx(kk2)

(0x1)k1x1131

x3x1x3x1

同

理

q

(kk2)[x3x4(x1x2)x1x2(x3x4)]x2x4(k1k2)

, 所以pq1

x4x2(x4x2)(x3x1)

将

yk1x代入(*)得(ABk1Ck1)x2(DEk1)xF0

,又

E0

得,

x1x2

DABk1Ck1

x1x2

FABk1Ck1

, 同理

x3x4

D

ABk2Ck2

x3x4

ABk2Ck2

，所以pq0，即MPMQ.

注:2003年高考数学北京卷第18（III）题，就是定理1中取圆锥曲线为椭圆，AB为平行长轴的弦的特殊情形.

定理2：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M的直线l∥AB，过M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线l于P，Q，则有MP证明：如图2，以M为原点，AB所在的直线为y设

圆

锥

曲

线

的

方

程

为A

Ax2BxyCy2DxEyF0(*)，设

（x1,y1），B（x1,y2），则切线MA的方程是

DEDE

x1y1F0，切线MB的方程是x1y2F0，得E(y1y2)0，所以E0.（下2222

面与定理1的证明相同，略）

特别的，当弦AB垂直圆锥曲线的对称轴时，点M在圆锥曲线的该对称轴上.

x2y2

性质1：过点M（m，0）做椭圆、双曲线221的弦CD，EF是其焦点轴，则直线CE、DF

aba2

的连线交点G在直线l：x上.特别的，当M为焦点时，l就是准线.当M为准线与焦点轴所在直线

的交点时，l就是过焦点的直线.

证明：如图3，过M做直线AB垂直焦点轴所在的直线，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则根据定理1，定理2得MPMQ.

过G做GH垂直焦点轴所在直线于H，得

EMHE



MPHG



MQHG



FMFH

，设M（m，0），H（n，0），

amam

焦点轴长为2a，则有，得

anan

注:性质1就是文[1]中的性质1，文[2]中的推

mna2.

论2.

若圆锥曲线为抛物线，

于是得到性质2.

性质2：过点M（m，0）做抛物线y2px的弦CD，E是抛物线的顶点，直线DF与抛物线的对称轴平行，则直线CE、DF的连线交点在直线l：xm上.特别的，当M为焦点时，l就是准线.当M为准线与焦点轴的交点时，l就是过焦点的直线.

注:2001年全国高考数学卷第18题，就是性质2中

M为焦点的情形.性质2就是文[1]中的性质2，文[2]中的推论1.

a2性质3：直线l：x，过点M（m，0l与CD交

m于点I，则

CMCI



DMDI

证明：如图4，由定理1，定理2及性质1得：

CMCI



MPIG



MQIG



DMDI

性质4：过点M（m，0）做椭圆、双曲线

x2y2

1的弦CD、EF，则直线CE、DF的连线a2b2

交点G在

直线l：x上.

证明：如图5，过G做GH垂直焦点轴所在的直线，由定理1，定理2得：

a2a2

，由性质3得，点I在直线l：x上，所以点G在直线l：x上. 

mmCIIGIGDI

类似性质3、性质4得到性质5、性质6.

性质5：直线l：xm，过点M（m，0）做抛物线y22px的弦CD，直线l与CD交于点I，

MPMQDM

则

CMCI



DMDI

性质6：过点M（m，0）做抛物线y22px的弦CD、EF，则直线CE、DF的连线交点G在直线l：

xm上.

注: 文[3]中的定理是性质4、性质6的特殊情形，即取M为焦点时，直线CE、DF的连线交点G落在相应准线上.

x2y2

性质7：过点M（m，0）做椭圆、双曲线221的弦CD

aba2

线的交点G在直线l：x

上.

证明：如图6，设切线CG交直线l于G1，连接G1D，若G1D与圆锥曲线有除D点外的公共点F，做直线FM交圆锥曲线于E，由性质4知CE与DF的交点在直线l上，所以C、E、G1三点共线，与CG1是圆锥曲线的切线矛盾，所以G1D与圆锥曲线只有一个公共点D，G1D是圆锥曲线的切线，G1与G重合， G在直线l上.

性质8：过点M（m，0）做抛物线y22px的弦CD，则以C，G在直线l： xm上.

注:性质7、性质8也是性质4、性质6的一种极端情形，就是文[4]a2x2y2

性质9：直线l：x，过点M（m，0的弦CD，C、D在l上的

m射影为C1、D1，在焦点轴所在直线上的射影为C2、D2证明：如图

7，由性质

得：

CC1DD1



CMDM



CIDI



DD2CC2

,所以

CC1CC2



DD1DD2

性质10：直线l：xm，过点M（m，0）做抛物线y22px的弦CD，C、D在l上的射影为C1、D1，在对称轴上的射影为C2、D2，则

CC1CC2



DD1DD2

注:性质9、10即文[5]中的定理1、2、3，文[5]中的推论也可由性质3、5直接推出. 性质11：在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两

EF，直线CE与DF交于点G，过G做GI∥AB，直线则

CD和FE于I，

EMEI



FMFI

证明：如图8，直线CE与DF交直线AB于P，得

：

MPMQ

MQIG

FMFI

, 所以

EMEI



MPIG

性质12：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交于点G，过G做GI∥AB，直线GI交FE于I，则

EMEI



FMFI

性质11，12可认为是性质1，2，3，5的推广，从性质11，12出发可以得到类似性质4，6，7，8，9，10的结论，限于篇幅，本文不再给出。

参考文献

1 金美琴.二次曲线的定点弦.数学通报，2003，7

2 陈天雄.一道高考解析几何试题的引申和推广.数学通报，2002，6 3 廖应春.圆锥曲线焦点弦的一个性质.数学通报，2003，4 4李笛淼.圆锥曲线的两个性质.数学通报，1999，2

5姜坤崇.姜男.圆锥曲线的一个有趣性质极其推论.数学通报，2003，7

圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用

金荣生（上海市市北中学 200071）

定理1：在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则有MPMQ.

证明：如图1，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系.

设圆锥曲线的方程为Ax2BxyCy2DxEyF0(*)，设A（0，t），B（0，-t），知t，-t是Cy2EyF0的两个根，所以E0.

kxkx

CE:y2311(xx1)k1x

x3x1

p

k2x3k1x1xx(kk2)

(0x1)k1x1131

x3x1x3x1

同

理

q

(kk2)[x3x4(x1x2)x1x2(x3x4)]x2x4(k1k2)

, 所以pq1

x4x2(x4x2)(x3x1)

将

yk1x代入(*)得(ABk1Ck1)x2(DEk1)xF0

,又

E0

得,

x1x2

DABk1Ck1

x1x2

FABk1Ck1

, 同理

x3x4

D

ABk2Ck2

x3x4

ABk2Ck2

，所以pq0，即MPMQ.

注:2003年高考数学北京卷第18（III）题，就是定理1中取圆锥曲线为椭圆，AB为平行长轴的弦的特殊情形.

圆

锥

曲

线

的

方

程

为A

Ax2BxyCy2DxEyF0(*)，设

（x1,y1），B（x1,y2），则切线MA的方程是

DEDE

x1y1F0，切线MB的方程是x1y2F0，得E(y1y2)0，所以E0.（下2222

面与定理1的证明相同，略）

特别的，当弦AB垂直圆锥曲线的对称轴时，点M在圆锥曲线的该对称轴上.

x2y2

性质1：过点M（m，0）做椭圆、双曲线221的弦CD，EF是其焦点轴，则直线CE、DF

aba2

的连线交点G在直线l：x上.特别的，当M为焦点时，l就是准线.当M为准线与焦点轴所在直线

的交点时，l就是过焦点的直线.

证明：如图3，过M做直线AB垂直焦点轴所在的直线，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则根据定理1，定理2得MPMQ.

过G做GH垂直焦点轴所在直线于H，得

EMHE



MPHG



MQHG



FMFH

，设M（m，0），H（n，0），

amam

焦点轴长为2a，则有，得

anan

注:性质1就是文[1]中的性质1，文[2]中的推

mna2.

论2.

若圆锥曲线为抛物线，

于是得到性质2.

注:2001年全国高考数学卷第18题，就是性质2中

M为焦点的情形.性质2就是文[1]中的性质2，文[2]中的推论1.

a2性质3：直线l：x，过点M（m，0l与CD交

m于点I，则

CMCI



DMDI

证明：如图4，由定理1，定理2及性质1得：

CMCI



MPIG



MQIG



DMDI

性质4：过点M（m，0）做椭圆、双曲线

x2y2

1的弦CD、EF，则直线CE、DF的连线a2b2

交点G在

直线l：x上.

证明：如图5，过G做GH垂直焦点轴所在的直线，由定理1，定理2得：

a2a2

，由性质3得，点I在直线l：x上，所以点G在直线l：x上. 

mmCIIGIGDI

类似性质3、性质4得到性质5、性质6.

性质5：直线l：xm，过点M（m，0）做抛物线y22px的弦CD，直线l与CD交于点I，

MPMQDM

则

CMCI



DMDI

性质6：过点M（m，0）做抛物线y22px的弦CD、EF，则直线CE、DF的连线交点G在直线l：

xm上.

注: 文[3]中的定理是性质4、性质6的特殊情形，即取M为焦点时，直线CE、DF的连线交点G落在相应准线上.

x2y2

性质7：过点M（m，0）做椭圆、双曲线221的弦CD

aba2

线的交点G在直线l：x

上.

性质8：过点M（m，0）做抛物线y22px的弦CD，则以C，G在直线l： xm上.

注:性质7、性质8也是性质4、性质6的一种极端情形，就是文[4]a2x2y2

性质9：直线l：x，过点M（m，0的弦CD，C、D在l上的

m射影为C1、D1，在焦点轴所在直线上的射影为C2、D2证明：如图

7，由性质

得：

CC1DD1



CMDM



CIDI



DD2CC2

,所以

CC1CC2



DD1DD2

性质10：直线l：xm，过点M（m，0）做抛物线y22px的弦CD，C、D在l上的射影为C1、D1，在对称轴上的射影为C2、D2，则

CC1CC2



DD1DD2

注:性质9、10即文[5]中的定理1、2、3，文[5]中的推论也可由性质3、5直接推出. 性质11：在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两

EF，直线CE与DF交于点G，过G做GI∥AB，直线则

CD和FE于I，

EMEI



FMFI

证明：如图8，直线CE与DF交直线AB于P，得

：

MPMQ

MQIG

FMFI

, 所以

EMEI



MPIG

性质12：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交于点G，过G做GI∥AB，直线GI交FE于I，则

EMEI



FMFI

性质11，12可认为是性质1，2，3，5的推广，从性质11，12出发可以得到类似性质4，6，7，8，9，10的结论，限于篇幅，本文不再给出。

参考文献

1 金美琴.二次曲线的定点弦.数学通报，2003，7

5姜坤崇.姜男.圆锥曲线的一个有趣性质极其推论.数学通报，2003，7

圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用

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