格林公式的推导
推导格林公式之前，首先要深入理解高斯-散度定律：
⎰⎰⎰div F dv =⎰⎰v ΓFds (1)
其实就是一句话， 矢量的散度的体积积分=矢量的面积积分。简单来说可以这样理解：对比等式左右两端，左端的被积函数求了散度（就是微分运算）比右端低了一阶，因此左端的积分变量上就要比右端高一阶（由面元变为体元）。
详细说明如下：
注意F =i P +j Q +k R 为矢量，散度算子div =i
左端是两个矢量的标量积的体积积分。
而等式右端，面积微元ds =n ds =i cos α+j cos β+k cos γds 也是矢量，因此等式右端实际上是两个矢量的标量积的面积积分。
这样将上式（1）展开，可以得到高斯-散度定理另一种形式：
⎛∂P ∂Q ∂R ⎫++ (2) ⎪dv =⎰⎰Γ(P cos α+Q cos β+R cos γ)ds ⎰⎰⎰v ∂x ∂y ∂z ⎝⎭
注意，上述推导中矢量的处理（矢量都已加粗并上标箭头），不要混淆了。
明白了以上几点，再推导格林公式就很容易了： 令P =u
左端： ∂∂∂+j +k 也是矢量，因此等式∂x ∂y ∂z () ∂v ∂v ∂v , Q =u , R =u 代入（2）式： ∂x ∂y ∂z
⎛∂P ∂Q ∂R ⎫⎛∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ⎫++dv =u ∆vdv +++⎪ ⎪dv ⎰⎰⎰v ⎰⎰⎰⎰⎰⎰v v ⎝∂x ∂y ∂z ⎭⎝∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ⎭
右端：
⎰⎰(P cos α+Q cos β+R cos γ)ds Γ最后一步逆用了方向导数的定义，方向恰为外法线方向： =⎡⎛∂v ⎫⎤∂v ∂v u cos α+cos β+cos γ ⎪⎥ds ⎰⎰Γ⎢∂x ∂y ∂z ⎭⎦⎣⎝
∂v =⎰⎰u ds Γ∂n n =i cos α+j cos β+k cos γ
稍微整理，即得格林第一公式：
⎛∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ⎫∂u v ∆udv =v ds -++⎪dv ⎰⎰⎰v ⎰⎰Γ∂n ⎰⎰⎰v ⎝∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ⎭
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格林公式的推导
推导格林公式之前，首先要深入理解高斯-散度定律：
⎰⎰⎰div F dv =⎰⎰v ΓFds (1)
其实就是一句话， 矢量的散度的体积积分=矢量的面积积分。简单来说可以这样理解：对比等式左右两端，左端的被积函数求了散度（就是微分运算）比右端低了一阶，因此左端的积分变量上就要比右端高一阶（由面元变为体元）。
详细说明如下：
注意F =i P +j Q +k R 为矢量，散度算子div =i
左端是两个矢量的标量积的体积积分。
而等式右端，面积微元ds =n ds =i cos α+j cos β+k cos γds 也是矢量，因此等式右端实际上是两个矢量的标量积的面积积分。
这样将上式（1）展开，可以得到高斯-散度定理另一种形式：
⎛∂P ∂Q ∂R ⎫++ (2) ⎪dv =⎰⎰Γ(P cos α+Q cos β+R cos γ)ds ⎰⎰⎰v ∂x ∂y ∂z ⎝⎭
注意，上述推导中矢量的处理（矢量都已加粗并上标箭头），不要混淆了。
明白了以上几点，再推导格林公式就很容易了： 令P =u
左端： ∂∂∂+j +k 也是矢量，因此等式∂x ∂y ∂z () ∂v ∂v ∂v , Q =u , R =u 代入（2）式： ∂x ∂y ∂z
⎛∂P ∂Q ∂R ⎫⎛∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ⎫++dv =u ∆vdv +++⎪ ⎪dv ⎰⎰⎰v ⎰⎰⎰⎰⎰⎰v v ⎝∂x ∂y ∂z ⎭⎝∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ⎭
右端：
⎰⎰(P cos α+Q cos β+R cos γ)ds Γ最后一步逆用了方向导数的定义，方向恰为外法线方向： =⎡⎛∂v ⎫⎤∂v ∂v u cos α+cos β+cos γ ⎪⎥ds ⎰⎰Γ⎢∂x ∂y ∂z ⎭⎦⎣⎝
∂v =⎰⎰u ds Γ∂n n =i cos α+j cos β+k cos γ
稍微整理，即得格林第一公式：
⎛∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ⎫∂u v ∆udv =v ds -++⎪dv ⎰⎰⎰v ⎰⎰Γ∂n ⎰⎰⎰v ⎝∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ⎭
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