3 二次函数 基础知识
1．二次函数的三种表示方式：
2
（1）一般式：y=ax +bx+c；
2
（2）顶点式：y=a(x-m) +n（常用，便于求最值、画图）；
（3）交点式： y=a(x-x1 )(x-x2 ) (△≥0时) ．
2．若函数y=f(x)的对称轴是x=h,则对f(x)定义域内的任意x, 都有f(h+x)=f(h-x);反之也成立。 3．二次方程根的分布问题，限制条件较多时可用相应抛物线位置，限制条件较少时可用韦达定理解决。
4．二次函数的最值问题
（1）二次函数y =ax +bx +c (a ≠0) 的最值．
二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况：当a >0时，函数在x =-
2
b
处取得最2a
4ac -b 24ac -b 2b 小值，没有最大值；当a
4a 4a 2a
最小值．
求二次函数最大值或最小值的步骤：
第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． （2）求二次函数在某一范围内的最值．
二次函数在某区间上的最值须用配方法，含字母的函数最值可借助图象分析。 如：求y =ax +bx +c 在m ≤x ≤n （其中m
第二步：讨论：（请同学们画出图像理解）
（1）若a >0时求最小值或a n ，即对称轴在m ≤x ≤n 的右侧。
（2） 若a >0时求最大值或a
2
m +n
，即对称轴在m ≤x ≤n 的中点的左侧； 2
②x 0>
m +n
，即对称轴在m ≤x ≤n 的中点的右侧。 2
典型例题
题型一、自变量为全体实数时的最值 【例1】求下列函数的最大值或最小值．
（1）y =2x -3x -5； （2）y =-x -3x +4．
题型二、自变量限制在某区间内时的最值
【例2】当1≤x ≤2时，求函数y =-x -x +1的最大值和最小值．
【例3】当x ≥0时，求函数y =-x (2-x ) 的取值范围．
题型三、自变量所在某区间变动时的最值 【例4】当t ≤x ≤t +1时，求函数y =
2
22
125
x -x -的最小值(其中t 为常数) ． 22
【例5】已知函数y ＝x 2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．
【例6】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件) 与每件的销售价x (元) 满足一次函数m =162-3x ,30≤x ≤54．
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式； (2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
达标训练
1．选择题：
（1）已知一个二次函数的顶点坐标为(0,4) ，且过(1,5)点，则这个二次函数的解析式为
（ ） A ．y =
121
x +1 B ．y =x 2+4 C ．y =4x 2+1 D ．y =x 2+4 44
2
2．已知函数y =-x +4ax 在[1,3]是单调递减的，则实数a 的取值范围为 （ ）
A ．(-∞, ] B ．(-∞,1) C ．[, ] D ．[, +∞)
3．二次函数f (x )满足f (x +2)=f (-x +2)，又f (0)=3，f (2)=1，若在[0，m ]上有
12132232
最大值3，最小值1，则m 的取值范围是（ ）
A. (0, +∞) B. [2, +∞) C. (0, 2] D. [2,4]
2．填空：设函数f(x)= x2 -2ax+a2 +b．
（1）当f(x)在区间(-∞,1)上是减函数时,a 的取值范围是 （2）如果对所有x ∈R, 恒有f(x)≥0,则b 的取值范围是 （3）如果a ＜0时, 方程f(x)=0在区间(1,2)上只有一根, 则a,b 应满足的关系是 ;
（4）图象与f(x)的图象关于原点对称的函数是;
（5）f(x)的图象被x 轴割得的弦长为1的函数是 3．求函数的最大值和最小值: (1) f(x)=x -x , x ∈[0,4]; (2) f(x)=
12
121
+5, x ∈[-1,]. --x 2x 2
4．当｜x ｜≤1时, (1)求二次函数y=x2 -2ax+a的最小值;
(2)若知最小值为-2, 如何求a; (3)如何求最大值。 5．已知x 1 、x 2 是方程4x 2 -4mx+m+2=0的两个实根,
(1) 当x 12 +x22 取最小值时, 实数m 的值是（ ）
A ．
11
; B ． - ; C ． -1 ; D ． 2 ; 44
1
(2) x 1 、x 2 都大于, 求m 的取值范围。
2
2
6. 对于关于x 的方程x +(2m -1) x +4-2m =0, 求满足下列条件的m 的取值范围. （1）两个正根； （2）有两个负根；
（3）两个根都小于-1； （4）两个根都大于
1； 2
（5）一个正根，一个负根且正根绝对值较大； （6）一个根大于2，一个根小于2； （7）两个根都在（0 ，2）内；
（8）两个根有且仅有一个在（0，2）内；
（9）一个根在（-2，0）内，另一个根在（1，3）内； （10）一个根小于2，一个根大于4．
典型例题答案解析
【例1】【思路分析】由于函数y =2x -3x -5和y =-x -3x +4的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解：（1）因为二次函数y =2x 2-3x -5中的二次项系数2＞0，所以抛物线y =2x 2-3x -5有
2
2
3349最低点，即函数有最小值．因为y =2x 2-3x -5=2(x -) 2-，所以当x =时，函数
448
49． y =2x 2-3x -5有最小值是-82
（2）因为二次函数y =-x -3x +4中的二次项系数-1＜0，所以抛物线y =-x 2-3x +4有
最高点，即函数有最大值．因为y =-x 2-3x +4=-(x +) 2+数y =-x 2-3x +4有最大值
32253
，所以当x =-时，函42
25
． 4
【例2】解：作出函数的图象．当x =1时，y m ax =-1，当x =2时，y m in =-5．
【说明】二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．
根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一
些常见情况：
【例3】解：作出函数y =-x (2-x ) =x -2x 在x ≥0内的图象．
2
可以看出：当x =1时，y min =-1，无最大值．所以，当x ≥0时，函数的取值范围是
y ≥-1．
【例4】【思路分析】由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 解：函数y =
125
x -x -的对称轴为x =1．画出其草图． 22
125
t -t -； 22
(2) 当对称轴在所给范围之间．即t ≤1≤t +1⇒0≤t ≤1时： 当时，x =1
15
y m =⨯12n -1-=-3；
22
(3) 当对称轴在所给范围右侧．即t +1
151
y min =(t +1) 2-(t +1) -=t 2-3．
222
(1) 当对称轴在所给范围左侧．即t >1时：当x =t 时，y min =
⎧12
⎪2t -3, t
综上所述：y =⎨-3,0≤t ≤1
⎪15
⎪t 2-t -, t >1
2⎩2
【例5】【思路分析】本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨
论．
【例5】解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点(－2，4) ，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；
（2）当－2＜a ＜0时，由图①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a 2；
（3）当0≤a＜2时，由图②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；
（4）当a≥2时，由图③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a ；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．
2
③
①
②
【说明】在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题． 【例6】解：
(1) 由已知得每件商品的销售利润为(x -30) 元，那么m 件的销售利润为y =m (x -30) ， 又m =162-3x ．∴ y =(x -30)(162-3x ) =-3x +252x -4860,30≤x ≤54 (2) 由(1)知对称轴为x =42，位于x 的范围内，另抛物线开口向下
2
∴当x =42时，y max =-3⨯422+252⨯42-4860=432
∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．
达标训练答案
1．（1）D ；（2）A ；（3）D ．
2．函数f(x)= x2 -2ax+a2 +b =(x-a)2+b ．
（1）当f(x)在区间(-∞,1)上是减函数时, 顶点在x=1的右侧，∴a≥1; （2）如果对所有x ∈R, 恒有f(x)≥0,则顶点在x 轴上方，∴b≥0；
（3）a ＜0时, 方程f(x)=0在区间(1,2)上只有一根, 则f(1)
∴ 图象与f(x)的图象关于原点对称的函数是-y= (-x-a)2 +b即y=-(x+a)2 -b; （5）f(x)的图象被x 轴割得的弦长为|x1-x 2|=1, ∴(x1+x2) 2-4x 1x 2=1,
∴(2a)2-4(a2 +b)=1, ∴b=-12
11, ∴函数是f(x)= (x-a)2-; 44
121
) +, 24
3．（1）设x =t，则t ∈[0,2], y=t-t2=-(t-∴当t=
11
时y 有最大值，当t=2时y 有最小值-2． 2411125
（2）设=t , 则 y=t2-2t+5=(t-1)2+4, ∵-1≤t≤-, ∴当t=-时y 有最小值，当t=-1时y
x 224
有最大值8．
4．解：（1）∵y=(x-a)2+a-a2, ∴顶点（a ，a-a 2），只要求抛物线段（-1≤x≤1）的最低点。①若a1,则x=1时，y min = 1-a; （2）由（1）得：
①当a
②-1≤a ≤1时y 2
m in =a -a =-2, 解得a =-1或a =2(舍去），
∴a =-1 ③a >1时y m in =1-a =-2, 解得a =3
综上所述，该函数的最小值为-2时，a =-1或a =3.
（3）函数y =x 2
-2ax +a 的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x =--2a
2
=a ， 又x ≤1知-1≤x ≤1.
①若a >
-1+1
2=0，则x =-1时y 取得最大值, y m ax =1+3a . ②若a
2
=0，则x =1时y 取得最大值, y m ax =1-a .
5．(1)∵Δ=16m2-16(m+2)=16(m2-m-2)≥0, ∴m≤-1或m≥2,
2
又∵x 2
2
=(xm +211+x21+x2) 2
-2x 1x 2=m2
-2⋅⎛
⎫174= ⎝
m -4⎪⎭-16,
∴当m=-1时 x 12+x22有最小值。（易漏掉Δ≥0）.
(2)(x11-2)(x-12)>0且(x1111
21-2)+(x2-2)>0，即x 1 x2-2（x 1 +x2 ）+4
>0 且x m +2142m +1
1+x2 -1>0，-4
>0 且m -1>0, ∴m1,又∵Δ≥0∴2≤m
注意：（1） ⎨
⎧x 1x 2>ab 不能推出⎧x 1>a
⎩x ⎨.
1+x 2>a +b ⎩x 2>b
（2） 形式上是二次的方程的二次项系数是否为零、是否隐含" 根为实数" 的条件.
6．【分析】限制条件简单时宜用韦达定理，如（1）--（5），限制条件复杂时宜借助二次函数图象求解，如（6）--（10）。 解法一：利用韦达定理
⎧m ≥2⎪⎧(2m -1) -4(4-2m ) ≥0⎧∆≥0⎪⎪⎪⎪
(1) ⎨x 1+x 2>0, ⇒⎨1-2m >0, ⇒⎨
⎪x x >0⎪4-2m >0⎪⎩12⎩⎪
⎪⎩⎧m ≥2⎪⎧(2m -1) -4(4-2m ) ≥0⎧∆≥0⎪⎪⎪⎪
(2) ⎨x 1+x 2
⎪x x >0⎪4-2m >0⎪⎩12⎩⎪
⎪⎩
(3)
35
或m ≤-22
15m
22m
35或m ≤-22
13m >⇒≤m
22m
⎧m ≥2⎪⎧(2m -1) -4(4-2m ) ≥0⎧∆≥0⎪⎪⎪⎪
x +x
⎪[x -(-1)][x -(-1)]>0⎪x x +(x +x ) +1>0⎪
122⎩1⎩12⎪
⎪⎩⎧⎧⎧
⎪∆≥0⎪(2m -1) 2-4(4-2m ) ≥0⎪m ≥⎪⎪⎪(4) ⎨x 1+x 2>1, ⇒⎨（-2m -1）>1⇒⎨⎪⎪⎪1111
⎪(x 1-)(x 2-) >0⎪x 1x 2-(x 1+x 2) +>0⎪
⎩24⎩22⎩
35
或m ≤-22
3m >⇒m 无解
23m
2
35或m ≤-225m
215
m
4
⎧
2⎪m >⎧∆>0(2m -1) -4(4-2m ) >0⎧⎪⎪⎪⎪
(5) ⎨x 1+x 2>0, ⇒⎨-(2m -1) >0, ⇒⎨
⎪x x
⎪⎩
35
或m
1m
2m >2
35⎧m ≥或m ≤-⎪22⎧(2m -1) 2-4(4-2m ) ≥0⎪⎧∆≥0
(6) ⎨⇒⎨⇒⎨⇒m
(x -2)(x -2)
⎪⎩
(7)
⎧35m ≥或m ≤-⎪2
⎧(2m -1) -4(4-2m ) ≥0⎪⎧∆≥022⎪⎪x +x >01⎪-(2m -1) >0, m
x +x
⎪⎪x 1x 2
>0⎪4-2m >0⎪m >-3⎪⎪⎪⎩(x 1-2)(x 2-2) >0⎪⎩x 1x 2-2(x 1+x 2) +4>0
⎪⎪
m
m >-3解法二：借助二次函数图象 设f (x ) =x 2
+(2m -1) x +4-2m
⎧3⎪∆≥0⎧
⎧(2m -1) 2-4(4⎪m ≥2或m ≤-5
(1) ⎪⎨-b -2m ) ≥0>0, ⇒⎪⎪⎨2m -1
m
⇒m ≤-5
⎪2a ⎪⎪⎨
⎩f (0) >0
⎩4-2m >0⎪
⎪m
2⎪⎩⎧35⎪∆≥0⎧⎧(2m -1) 2-4(4-⎪m ≥2或m ≤-(2) ⎪⎨-b 2a
m >12
⇒3≤m
⎩f (0) >0
⎩4-2m >0⎪
⎪m
22
⎪⎩
⎧∆≥0⎧m ≥35⎪⎧(2m -1) 2-4(4-2m ) ⎪2或m ≤-(3) ⎪⎨-b a 32
⇒⎪2⎨-(⎪2m 无解
⎪⎪⎨
⎩f (-1) >0
⎩(-1) 2
-(2m -1) +4-2m >0⎪⎪⎪⎩m
32⎧
⎪⎪
∆≥0⎧⎪⎪(2m -1) 2-4(4-2m ) ≥0⎧⎪m ≥3(4) 2或m ≤-5⎨-
b >1, ⇒⎪⎨（-2m -1）>1⇒⎪m
⎪2a 2⎪⎪⎨121⎪m
15
2⎪1⎪() +(2m -1) +4-2m >4
⎩f (2
) >0⎩220⎪
⎩⎧m ≥3或5(6) ⎧⎨∆≥0f (2)
⎩⎩4+2(2⎪⎪m
⎩
⎧⎪∆≥0⎧(2m -1) 2-4(4-2m ) ≥0⎧m 35(7) ⎪⎪⎨0
-30⎪4-2m >0⎪
2m 0⎪⎪⎪
⎩4+2(2m -1) +4-2m >0⎪⎩
m >-3 (8)
⎧∆f (0)⋅f (2)
=0⎨⎪⎩0
2
⎩-4
⎧⎪f (-2) >0⎧⎪4-2(2m -1) +4-2m >0⎪m
3(9) ⎪⎨f (0) 0⎪m
⎪f (1) ⎪⎩f (3) >0⎩9+3(2m -1) +4-2m >0
m >-5
23⎪⎪⎪⎪2⎪⎩
（10）⎧⎨
f (2)
⇒⎧⎨4+2(2m -1) +4-2m
⎩f (4)
⎩16++4(2m -1) +4-2m
⎩
m
4 简单的一元二次不等式
基础知识
我们通过具体例子来研究一元二次不等式的解法。
二次函数y ＝x 2－x －6的对应值表与图象如下：
由对应值表及函数图象(如图) 可知：
当x ＝－2，或x ＝3时，y ＝0，即x 2－x －6＝0； 当x ＜－2，或x ＞3时，y ＞0，即x 2－x －6＞0； 当－2＜x ＜3时，y ＜0，即x 2－x －6＜0．
这就是说，如果抛物线y= x2－x －6与x 轴的交点是(－2，0) 与(3，0) ，那么 一元二次方程x 2－x －6＝0的解就是x 1＝－2，x 2＝3；
同样，结合抛物线与x 轴的相关位置，可以得到
一元二次不等式x 2－x －6＞0的解集是 x ＜－2，或x ＞3； 一元二次不等式 x 2－x －6＜0的解集是 －2＜x ＜3．
上例表明：由抛物线与x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集． 那么，怎样解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a≠0)呢？ 我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象来解
一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a≠0)．
为了方便起见，我们先来研究二次项系数a ＞0时的一元二次不等式的解．
我们知道，对于一元二次方程ax 2＋
bx ＋c ＝0(a＞0) ，设△＝b 2－4ac ，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ＞
0）与x 轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图所示) ，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax 2
＋bx ＋c ＞0（a ＞0）与ax 2
＋bx ＋c ＜0（a ＞0）的解． （1）当Δ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有两个公共点(x1，0) 和(x2，0) ，
方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根x 1和x 2(x1＜x 2) ，由图①可知 不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为 x ＜x 1，或x ＞x 2； 不等式ax ＋bx ＋c ＜0的解为 x 1＜x ＜x 2．
（2）当Δ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有且仅有一个公共点，方程ax 2b
＋bx ＋c ＝0有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－ ，由图②可知
2a b
不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为 x≠－ ；
2a
不等式ax 2＋bx ＋c ＜0无解． （3）如果△＜0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴没有公共点，方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根，由图③可知
不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为一切实数； 不等式ax 2＋bx ＋c ＜0无解． 今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．
2
典型例题
【例1】解不等式：
（1）x 2＋2x －3≤0； （2）x －x 2＋6＜0； （3）4x 2＋4x ＋1≥0； （4）x 2－6x ＋9≤0；
（5）－4＋x －x 2＜0．
【例2】解关于x 的不等式x 2－(1＋a)x ＋a ＜0（a 为常数）．
达标训练
1．解下列不等式：
（1）3x 2－x －4＞0； （2）x 2－x －12≤0； （3）x 2＋3x －4＞0； （4）16－8x ＋x 2≤0． 2．解下列不等式：
(1) 2x +x
22
(2) x -3x -18≤0 (4) x (x +9) >3(x -3)
2
(3) -x +x ≥3x +1
3. 解关于x 的不等式x 2＋2x ＋1－a 2≤0（a 为常数）．
2x -3
1
4. 解下列不等式： (1)
x +1
x +2
≤3
典型例题答案解析
【例1】解：（1）∵Δ＞0，方程x 2＋2x －3＝0的解是 x 1＝－3，x 2＝1． ∴不等式的解为
－3≤x≤1． （2）整理，得
x 2－x －6＞0．
∵Δ＞0，方程x 2－x －6=0的解为 x 1＝－2，x 2＝3． ∴所以，原不等式的解为
x ＜－2，或x >3． （3）整理，得
(2x＋1) 2≥0.
由于上式对任意实数x 都成立， ∴原不等式的解为一切实数． （4）整理，得
(x－3) 2≤0.
由于当x ＝3时，(x－3) 2＝0成立；而对任意的实数x ，(x－3) 2＜0都不成立， ∴原不等式的解为
x ＝3． （5）整理，得
x 2－x ＋4＞0．
Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．
【例2】解：不等式可变形为(x－1)(x－a) ＜0． ∴当a ＞1时，原不等式的解为1＜x ＜a ； 当a ＝1时，原不等式的无实数解； 当a ＜1时，原不等式的解为a ＜x ＜1．
达标训练答案
1．（1）x ＜－1，或x ＞4
3 ； （2）－3≤x≤4； （3）x ＜－4，或x ＞1；
（4）x ＝4． 2．(1)-
1
2
（1）当－1－a ＜－1＋a ，即a ＞0时，∴－1－a≤x≤－1＋a ；
（2）当－1－a ＝－1＋a ，即 a ＝0时，不等式即为(x +1) 2
≤0，∴x ＝－1； （3）当－1－a ＞－1＋a ，即a ＜0时，∴－1＋a≤x≤－1－a ．
综上，当a ＞0时，原不等式的解为－1－a≤x≤－1＋a ； 当a ＝0时，原不等式的解为x ＝－1；
当a ＜0时，原不等式的解为－1＋a≤x≤－1－a ．
4．【思路分析】(1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式) 相除异号，那么这两个数(式) 相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解． (2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数． 解：(1) 解法(一) 原不等式可化为：
33⎧⎧
x >⎧2x -30⎪x
． 或⇒或⇒-1
2⎩x +1>0⎩x +1-1⎪⎩x
解法(二) 原不等式可化为：(2x -3)(x +1)
3． 2
⎧(3x +5)(x +2) ≥01-3x -53x +5
⇒ -3≤0⇒≤0⇒≥0⇒⎨
x +2x +2x +2⎩x +2≠0
5x
3
【说明】 (1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．
(2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：
⎧x +2>0⎧x +2
≤3⇒⎨或⎨ ． x +2⎩3(x +2) ≥1⎩3(x +2) ≤1
（3）简单分式不等式的解法
解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零. （11·柳州）（本题满分6分）． 如图，一次函数y ＝－4x －4的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C
4
两点，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过A 、C 两点，且与x 轴
3交于点B ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为D ，求四边形ABDC 的面积；
（3）作直线MN 平行于x 轴，分别交线段AC 、BC 于点M 、N ．问
在x 轴上是否存在点P ，使得△PMN 是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）∵一次函数y ＝－4x －4的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，
∴A (－1，0) C (0，－4)
4
把A (－1，0) C (0，－4) 代入y ＝x 2＋bx ＋c 得
3
⎧⎧⎪4－b ＋c ＝0⎪b ＝－8
3 ∴⎨3 解得⎨
⎪c ＝－4⎪c ＝－4⎩⎩
48
∴y ＝2－－4
33
48416
（2）∵y ＝2－－4＝( x－1) 2－
1, －3)
3333
∴顶点为D （1，－163
设直线DC 交x 轴于点E 由D （1，－16
3C (0，－4)
(第26题图)
易求直线CD 的解析式为y ＝－4
3x －4
易求E （－3，0），B （3，0） S 116
△EDB ＝2×6×316
S 1
△ECA ＝2
×2×4＝4
S 四边形ABDC ＝S △EDB －S △ECA ＝12 （3）抛物线的对称轴为x ＝－1
做BC 的垂直平分线交抛物线于E ，交对称轴于点D 3 易求AB 的解析式为y ＝－3x 3 ∵D 3E 是BC 的垂直平分线 ∴D 3E ∥AB
设D 3E 的解析式为y ＝－3x ＋b
∵D 3E 交x 轴于（－1，0）代入解析式得b 3, ∴y ＝－3x －3 把x ＝－1代入得y ＝0 ∴D 3 (－1，0),
过B 做BH ∥x 轴，则BH ＝11
在Rt △D 1HB 中，由勾股定理得D 1H 11 ∴D 1（－1113）同理可求其它点的坐标。
可求交点坐标D 1（－1，113）, D2（－1，2）, D3 (－1，0), D4 (－
D 5（－1，－22）
（12·柳州）如图，在△ABC 中，AB=2，AC=BC= 5 ．
（1）以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系如图，请你分
别写出A 、B 、C 三点的坐标；
（2）求过A 、B 、C 三点且以C 为顶点的抛物线的解析式； （3）若D 为抛物线上的一动点，当D 点坐标为何值时，S △ABD =
1
S △ABC ； 2
（4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与x 轴交于点A ′B ′，与y 轴交于点C ′，当
平移多少个单位时，点C ′同时在以A ′B ′为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料）．
附：阅读材料
一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换
元法转化为一元二次方程求解．如解方程：y 4-4y 2+3=0． 解：令y 2=x（x ≥0），则原方程变为x 2-4x+3=0，解得x 1=1，x 2=3． 当x 1=1时，即y 2=1，∴y 1=1，y 2=-1． 当x 2=3，即y 2=3，∴y 3= 3 ，y 4=- 3 ．
所以，原方程的解是y 1=1，y 2=-1，y 3= 3 ，y 4=- 3 ．
再如x -2=
2
，可设y = ，用同样的方法也可求解．
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据y 轴是AB 的垂直平分线，则可以求得OA ，OB 的长度，在直角△OAC
中，利用勾股定理求得OC 的长度，则A 、B 、C 的坐标即可求解； （2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（3）首先求得△ABC 的面积，根据S △ABD =
1
S △ABC ，以及三角形的面积公式，2
即可求得D 的纵坐标，把D 的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得横坐标． （4）设抛物线向右平移c 个单位长度，则0＜c ≤1，可以写出平移以后的函数解析式，当点C ′同时在以A ′B ′为直径的圆上时有：OC ′2=OA•OB ，据此即可得到一个关于c 的方程求得c 的值．
【解答】解：（1）∵AB 的垂直平分线为y 轴，
∴OA=OB=
11
AB=×2=1， 22
∴A 的坐标是（-1，0），B 的坐标是（1，0）． 在直角△OAC
中，OC ==2，
则C 的坐标是：（0，2）；
（2）设抛物线的解析式是：y=ax2+b， 根据题意得：⎨
⎧a +b =0⎧a =-2
，解得：⎨ ，
⎩b =2⎩b =2
2
则抛物线的解析式是：y =-2x +2； （3）∵S △ABC =∴S △ABD =
11
AB •OC=×2×2=2， 22
1
S △ABC =1． 2
设D 的纵坐标是m ，则则m=±1．
1
AB •|m|=1， 2
， 2， 当m=1时，-2x 2+2=1，解得：x=
±
当m=-1时，，-2x 2+2=-1，解得：x=
则D 的坐标是：
（
，1）或（
- ，1
）或（，-1），或（
- ，-1）． 2222
（4）设抛物线向右平移c 个单位长度，则0＜c ≤1，OA ′=1-c，OB ′=1+c．
平移以后的抛物线的解析式是：y=-2（x-c ）2+b． 令x=0，解得y=-2c2+2．即OC ′= -2c2+2．
当点C ′同时在以A ′B ′为直径的圆上时有：OC ′2=OA′•OB ′， 则（-2c 2+2）2=（1-c ）（1+c）， 即（4c 2-3）（c 2-1）=0， 解得：
，，1，-1（舍去）．
或1个单位长度． 【点评】本题考查了勾股定理，待定系数法求二次函数的解析式，以及图象的平移，正确
理解：当点C ′同时在以A ′B ′为直径的圆上时有：OC ′2=OA•OB ，是解题的关键．
（2013•柳州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），（5，0），（3，-4）． （1）求该二次函数的解析式； （2）当y ＞-3，写出x 的取值范围；
（3）A 、B 为直线y=-2x-6上两动点，且距离为2，点C 为二次函数图象上的动点，当点C 运动到何处时△ABC 的面积最小？求出此时点C 的坐标及△ABC 面积的最小值．
考点：二次函数综合题．
专题：压轴题．
分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）求出y=3时x 的值，结合函数图象，求出y ＞-3时x 的取值范围；
（3）△ABC 的底边AB 长度为2，是定值，因此当AB 边上的高最小时，△ABC 的面积最小．如解答图所示，由点C 向直线y=-2x-6作垂线，利用三角函数（或相似三角形）求出高CE 的表达式，根据表达式求出CE 的最小值，这样问题得解．
26、
3 二次函数 基础知识
1．二次函数的三种表示方式：
2
（1）一般式：y=ax +bx+c；
2
（2）顶点式：y=a(x-m) +n（常用，便于求最值、画图）；
（3）交点式： y=a(x-x1 )(x-x2 ) (△≥0时) ．
2．若函数y=f(x)的对称轴是x=h,则对f(x)定义域内的任意x, 都有f(h+x)=f(h-x);反之也成立。 3．二次方程根的分布问题，限制条件较多时可用相应抛物线位置，限制条件较少时可用韦达定理解决。
4．二次函数的最值问题
（1）二次函数y =ax +bx +c (a ≠0) 的最值．
二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况：当a >0时，函数在x =-
2
b
处取得最2a
4ac -b 24ac -b 2b 小值，没有最大值；当a
4a 4a 2a
最小值．
求二次函数最大值或最小值的步骤：
第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． （2）求二次函数在某一范围内的最值．
二次函数在某区间上的最值须用配方法，含字母的函数最值可借助图象分析。 如：求y =ax +bx +c 在m ≤x ≤n （其中m
第二步：讨论：（请同学们画出图像理解）
（1）若a >0时求最小值或a n ，即对称轴在m ≤x ≤n 的右侧。
（2） 若a >0时求最大值或a
2
m +n
，即对称轴在m ≤x ≤n 的中点的左侧； 2
②x 0>
m +n
，即对称轴在m ≤x ≤n 的中点的右侧。 2
典型例题
题型一、自变量为全体实数时的最值 【例1】求下列函数的最大值或最小值．
（1）y =2x -3x -5； （2）y =-x -3x +4．
题型二、自变量限制在某区间内时的最值
【例2】当1≤x ≤2时，求函数y =-x -x +1的最大值和最小值．
【例3】当x ≥0时，求函数y =-x (2-x ) 的取值范围．
题型三、自变量所在某区间变动时的最值 【例4】当t ≤x ≤t +1时，求函数y =
2
22
125
x -x -的最小值(其中t 为常数) ． 22
【例5】已知函数y ＝x 2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．
【例6】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件) 与每件的销售价x (元) 满足一次函数m =162-3x ,30≤x ≤54．
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式； (2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
达标训练
1．选择题：
（1）已知一个二次函数的顶点坐标为(0,4) ，且过(1,5)点，则这个二次函数的解析式为
（ ） A ．y =
121
x +1 B ．y =x 2+4 C ．y =4x 2+1 D ．y =x 2+4 44
2
2．已知函数y =-x +4ax 在[1,3]是单调递减的，则实数a 的取值范围为 （ ）
A ．(-∞, ] B ．(-∞,1) C ．[, ] D ．[, +∞)
3．二次函数f (x )满足f (x +2)=f (-x +2)，又f (0)=3，f (2)=1，若在[0，m ]上有
12132232
最大值3，最小值1，则m 的取值范围是（ ）
A. (0, +∞) B. [2, +∞) C. (0, 2] D. [2,4]
2．填空：设函数f(x)= x2 -2ax+a2 +b．
（1）当f(x)在区间(-∞,1)上是减函数时,a 的取值范围是 （2）如果对所有x ∈R, 恒有f(x)≥0,则b 的取值范围是 （3）如果a ＜0时, 方程f(x)=0在区间(1,2)上只有一根, 则a,b 应满足的关系是 ;
（4）图象与f(x)的图象关于原点对称的函数是;
（5）f(x)的图象被x 轴割得的弦长为1的函数是 3．求函数的最大值和最小值: (1) f(x)=x -x , x ∈[0,4]; (2) f(x)=
12
121
+5, x ∈[-1,]. --x 2x 2
4．当｜x ｜≤1时, (1)求二次函数y=x2 -2ax+a的最小值;
(2)若知最小值为-2, 如何求a; (3)如何求最大值。 5．已知x 1 、x 2 是方程4x 2 -4mx+m+2=0的两个实根,
(1) 当x 12 +x22 取最小值时, 实数m 的值是（ ）
A ．
11
; B ． - ; C ． -1 ; D ． 2 ; 44
1
(2) x 1 、x 2 都大于, 求m 的取值范围。
2
2
6. 对于关于x 的方程x +(2m -1) x +4-2m =0, 求满足下列条件的m 的取值范围. （1）两个正根； （2）有两个负根；
（3）两个根都小于-1； （4）两个根都大于
1； 2
（5）一个正根，一个负根且正根绝对值较大； （6）一个根大于2，一个根小于2； （7）两个根都在（0 ，2）内；
（8）两个根有且仅有一个在（0，2）内；
（9）一个根在（-2，0）内，另一个根在（1，3）内； （10）一个根小于2，一个根大于4．
典型例题答案解析
【例1】【思路分析】由于函数y =2x -3x -5和y =-x -3x +4的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解：（1）因为二次函数y =2x 2-3x -5中的二次项系数2＞0，所以抛物线y =2x 2-3x -5有
2
2
3349最低点，即函数有最小值．因为y =2x 2-3x -5=2(x -) 2-，所以当x =时，函数
448
49． y =2x 2-3x -5有最小值是-82
（2）因为二次函数y =-x -3x +4中的二次项系数-1＜0，所以抛物线y =-x 2-3x +4有
最高点，即函数有最大值．因为y =-x 2-3x +4=-(x +) 2+数y =-x 2-3x +4有最大值
32253
，所以当x =-时，函42
25
． 4
【例2】解：作出函数的图象．当x =1时，y m ax =-1，当x =2时，y m in =-5．
【说明】二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．
根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一
些常见情况：
【例3】解：作出函数y =-x (2-x ) =x -2x 在x ≥0内的图象．
2
可以看出：当x =1时，y min =-1，无最大值．所以，当x ≥0时，函数的取值范围是
y ≥-1．
【例4】【思路分析】由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 解：函数y =
125
x -x -的对称轴为x =1．画出其草图． 22
125
t -t -； 22
(2) 当对称轴在所给范围之间．即t ≤1≤t +1⇒0≤t ≤1时： 当时，x =1
15
y m =⨯12n -1-=-3；
22
(3) 当对称轴在所给范围右侧．即t +1
151
y min =(t +1) 2-(t +1) -=t 2-3．
222
(1) 当对称轴在所给范围左侧．即t >1时：当x =t 时，y min =
⎧12
⎪2t -3, t
综上所述：y =⎨-3,0≤t ≤1
⎪15
⎪t 2-t -, t >1
2⎩2
【例5】【思路分析】本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨
论．
【例5】解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点(－2，4) ，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；
（2）当－2＜a ＜0时，由图①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a 2；
（3）当0≤a＜2时，由图②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；
（4）当a≥2时，由图③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a ；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．
2
③
①
②
【说明】在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题． 【例6】解：
(1) 由已知得每件商品的销售利润为(x -30) 元，那么m 件的销售利润为y =m (x -30) ， 又m =162-3x ．∴ y =(x -30)(162-3x ) =-3x +252x -4860,30≤x ≤54 (2) 由(1)知对称轴为x =42，位于x 的范围内，另抛物线开口向下
2
∴当x =42时，y max =-3⨯422+252⨯42-4860=432
∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．
达标训练答案
1．（1）D ；（2）A ；（3）D ．
2．函数f(x)= x2 -2ax+a2 +b =(x-a)2+b ．
（1）当f(x)在区间(-∞,1)上是减函数时, 顶点在x=1的右侧，∴a≥1; （2）如果对所有x ∈R, 恒有f(x)≥0,则顶点在x 轴上方，∴b≥0；
（3）a ＜0时, 方程f(x)=0在区间(1,2)上只有一根, 则f(1)
∴ 图象与f(x)的图象关于原点对称的函数是-y= (-x-a)2 +b即y=-(x+a)2 -b; （5）f(x)的图象被x 轴割得的弦长为|x1-x 2|=1, ∴(x1+x2) 2-4x 1x 2=1,
∴(2a)2-4(a2 +b)=1, ∴b=-12
11, ∴函数是f(x)= (x-a)2-; 44
121
) +, 24
3．（1）设x =t，则t ∈[0,2], y=t-t2=-(t-∴当t=
11
时y 有最大值，当t=2时y 有最小值-2． 2411125
（2）设=t , 则 y=t2-2t+5=(t-1)2+4, ∵-1≤t≤-, ∴当t=-时y 有最小值，当t=-1时y
x 224
有最大值8．
4．解：（1）∵y=(x-a)2+a-a2, ∴顶点（a ，a-a 2），只要求抛物线段（-1≤x≤1）的最低点。①若a1,则x=1时，y min = 1-a; （2）由（1）得：
①当a
②-1≤a ≤1时y 2
m in =a -a =-2, 解得a =-1或a =2(舍去），
∴a =-1 ③a >1时y m in =1-a =-2, 解得a =3
综上所述，该函数的最小值为-2时，a =-1或a =3.
（3）函数y =x 2
-2ax +a 的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x =--2a
2
=a ， 又x ≤1知-1≤x ≤1.
①若a >
-1+1
2=0，则x =-1时y 取得最大值, y m ax =1+3a . ②若a
2
=0，则x =1时y 取得最大值, y m ax =1-a .
5．(1)∵Δ=16m2-16(m+2)=16(m2-m-2)≥0, ∴m≤-1或m≥2,
2
又∵x 2
2
=(xm +211+x21+x2) 2
-2x 1x 2=m2
-2⋅⎛
⎫174= ⎝
m -4⎪⎭-16,
∴当m=-1时 x 12+x22有最小值。（易漏掉Δ≥0）.
(2)(x11-2)(x-12)>0且(x1111
21-2)+(x2-2)>0，即x 1 x2-2（x 1 +x2 ）+4
>0 且x m +2142m +1
1+x2 -1>0，-4
>0 且m -1>0, ∴m1,又∵Δ≥0∴2≤m
注意：（1） ⎨
⎧x 1x 2>ab 不能推出⎧x 1>a
⎩x ⎨.
1+x 2>a +b ⎩x 2>b
（2） 形式上是二次的方程的二次项系数是否为零、是否隐含" 根为实数" 的条件.
6．【分析】限制条件简单时宜用韦达定理，如（1）--（5），限制条件复杂时宜借助二次函数图象求解，如（6）--（10）。 解法一：利用韦达定理
⎧m ≥2⎪⎧(2m -1) -4(4-2m ) ≥0⎧∆≥0⎪⎪⎪⎪
(1) ⎨x 1+x 2>0, ⇒⎨1-2m >0, ⇒⎨
⎪x x >0⎪4-2m >0⎪⎩12⎩⎪
⎪⎩⎧m ≥2⎪⎧(2m -1) -4(4-2m ) ≥0⎧∆≥0⎪⎪⎪⎪
(2) ⎨x 1+x 2
⎪x x >0⎪4-2m >0⎪⎩12⎩⎪
⎪⎩
(3)
35
或m ≤-22
15m
22m
35或m ≤-22
13m >⇒≤m
22m
⎧m ≥2⎪⎧(2m -1) -4(4-2m ) ≥0⎧∆≥0⎪⎪⎪⎪
x +x
⎪[x -(-1)][x -(-1)]>0⎪x x +(x +x ) +1>0⎪
122⎩1⎩12⎪
⎪⎩⎧⎧⎧
⎪∆≥0⎪(2m -1) 2-4(4-2m ) ≥0⎪m ≥⎪⎪⎪(4) ⎨x 1+x 2>1, ⇒⎨（-2m -1）>1⇒⎨⎪⎪⎪1111
⎪(x 1-)(x 2-) >0⎪x 1x 2-(x 1+x 2) +>0⎪
⎩24⎩22⎩
35
或m ≤-22
3m >⇒m 无解
23m
2
35或m ≤-225m
215
m
4
⎧
2⎪m >⎧∆>0(2m -1) -4(4-2m ) >0⎧⎪⎪⎪⎪
(5) ⎨x 1+x 2>0, ⇒⎨-(2m -1) >0, ⇒⎨
⎪x x
⎪⎩
35
或m
1m
2m >2
35⎧m ≥或m ≤-⎪22⎧(2m -1) 2-4(4-2m ) ≥0⎪⎧∆≥0
(6) ⎨⇒⎨⇒⎨⇒m
(x -2)(x -2)
⎪⎩
(7)
⎧35m ≥或m ≤-⎪2
⎧(2m -1) -4(4-2m ) ≥0⎪⎧∆≥022⎪⎪x +x >01⎪-(2m -1) >0, m
x +x
⎪⎪x 1x 2
>0⎪4-2m >0⎪m >-3⎪⎪⎪⎩(x 1-2)(x 2-2) >0⎪⎩x 1x 2-2(x 1+x 2) +4>0
⎪⎪
m
m >-3解法二：借助二次函数图象 设f (x ) =x 2
+(2m -1) x +4-2m
⎧3⎪∆≥0⎧
⎧(2m -1) 2-4(4⎪m ≥2或m ≤-5
(1) ⎪⎨-b -2m ) ≥0>0, ⇒⎪⎪⎨2m -1
m
⇒m ≤-5
⎪2a ⎪⎪⎨
⎩f (0) >0
⎩4-2m >0⎪
⎪m
2⎪⎩⎧35⎪∆≥0⎧⎧(2m -1) 2-4(4-⎪m ≥2或m ≤-(2) ⎪⎨-b 2a
m >12
⇒3≤m
⎩f (0) >0
⎩4-2m >0⎪
⎪m
22
⎪⎩
⎧∆≥0⎧m ≥35⎪⎧(2m -1) 2-4(4-2m ) ⎪2或m ≤-(3) ⎪⎨-b a 32
⇒⎪2⎨-(⎪2m 无解
⎪⎪⎨
⎩f (-1) >0
⎩(-1) 2
-(2m -1) +4-2m >0⎪⎪⎪⎩m
32⎧
⎪⎪
∆≥0⎧⎪⎪(2m -1) 2-4(4-2m ) ≥0⎧⎪m ≥3(4) 2或m ≤-5⎨-
b >1, ⇒⎪⎨（-2m -1）>1⇒⎪m
⎪2a 2⎪⎪⎨121⎪m
15
2⎪1⎪() +(2m -1) +4-2m >4
⎩f (2
) >0⎩220⎪
⎩⎧m ≥3或5(6) ⎧⎨∆≥0f (2)
⎩⎩4+2(2⎪⎪m
⎩
⎧⎪∆≥0⎧(2m -1) 2-4(4-2m ) ≥0⎧m 35(7) ⎪⎪⎨0
-30⎪4-2m >0⎪
2m 0⎪⎪⎪
⎩4+2(2m -1) +4-2m >0⎪⎩
m >-3 (8)
⎧∆f (0)⋅f (2)
=0⎨⎪⎩0
2
⎩-4
⎧⎪f (-2) >0⎧⎪4-2(2m -1) +4-2m >0⎪m
3(9) ⎪⎨f (0) 0⎪m
⎪f (1) ⎪⎩f (3) >0⎩9+3(2m -1) +4-2m >0
m >-5
23⎪⎪⎪⎪2⎪⎩
（10）⎧⎨
f (2)
⇒⎧⎨4+2(2m -1) +4-2m
⎩f (4)
⎩16++4(2m -1) +4-2m
⎩
m
4 简单的一元二次不等式
基础知识
我们通过具体例子来研究一元二次不等式的解法。
二次函数y ＝x 2－x －6的对应值表与图象如下：
由对应值表及函数图象(如图) 可知：
当x ＝－2，或x ＝3时，y ＝0，即x 2－x －6＝0； 当x ＜－2，或x ＞3时，y ＞0，即x 2－x －6＞0； 当－2＜x ＜3时，y ＜0，即x 2－x －6＜0．
这就是说，如果抛物线y= x2－x －6与x 轴的交点是(－2，0) 与(3，0) ，那么 一元二次方程x 2－x －6＝0的解就是x 1＝－2，x 2＝3；
同样，结合抛物线与x 轴的相关位置，可以得到
一元二次不等式x 2－x －6＞0的解集是 x ＜－2，或x ＞3； 一元二次不等式 x 2－x －6＜0的解集是 －2＜x ＜3．
上例表明：由抛物线与x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集． 那么，怎样解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a≠0)呢？ 我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象来解
一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a≠0)．
为了方便起见，我们先来研究二次项系数a ＞0时的一元二次不等式的解．
我们知道，对于一元二次方程ax 2＋
bx ＋c ＝0(a＞0) ，设△＝b 2－4ac ，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ＞
0）与x 轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图所示) ，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax 2
＋bx ＋c ＞0（a ＞0）与ax 2
＋bx ＋c ＜0（a ＞0）的解． （1）当Δ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有两个公共点(x1，0) 和(x2，0) ，
方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根x 1和x 2(x1＜x 2) ，由图①可知 不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为 x ＜x 1，或x ＞x 2； 不等式ax ＋bx ＋c ＜0的解为 x 1＜x ＜x 2．
（2）当Δ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有且仅有一个公共点，方程ax 2b
＋bx ＋c ＝0有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－ ，由图②可知
2a b
不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为 x≠－ ；
2a
不等式ax 2＋bx ＋c ＜0无解． （3）如果△＜0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴没有公共点，方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根，由图③可知
不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为一切实数； 不等式ax 2＋bx ＋c ＜0无解． 今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．
2
典型例题
【例1】解不等式：
（1）x 2＋2x －3≤0； （2）x －x 2＋6＜0； （3）4x 2＋4x ＋1≥0； （4）x 2－6x ＋9≤0；
（5）－4＋x －x 2＜0．
【例2】解关于x 的不等式x 2－(1＋a)x ＋a ＜0（a 为常数）．
达标训练
1．解下列不等式：
（1）3x 2－x －4＞0； （2）x 2－x －12≤0； （3）x 2＋3x －4＞0； （4）16－8x ＋x 2≤0． 2．解下列不等式：
(1) 2x +x
22
(2) x -3x -18≤0 (4) x (x +9) >3(x -3)
2
(3) -x +x ≥3x +1
3. 解关于x 的不等式x 2＋2x ＋1－a 2≤0（a 为常数）．
2x -3
1
4. 解下列不等式： (1)
x +1
x +2
≤3
典型例题答案解析
【例1】解：（1）∵Δ＞0，方程x 2＋2x －3＝0的解是 x 1＝－3，x 2＝1． ∴不等式的解为
－3≤x≤1． （2）整理，得
x 2－x －6＞0．
∵Δ＞0，方程x 2－x －6=0的解为 x 1＝－2，x 2＝3． ∴所以，原不等式的解为
x ＜－2，或x >3． （3）整理，得
(2x＋1) 2≥0.
由于上式对任意实数x 都成立， ∴原不等式的解为一切实数． （4）整理，得
(x－3) 2≤0.
由于当x ＝3时，(x－3) 2＝0成立；而对任意的实数x ，(x－3) 2＜0都不成立， ∴原不等式的解为
x ＝3． （5）整理，得
x 2－x ＋4＞0．
Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．
【例2】解：不等式可变形为(x－1)(x－a) ＜0． ∴当a ＞1时，原不等式的解为1＜x ＜a ； 当a ＝1时，原不等式的无实数解； 当a ＜1时，原不等式的解为a ＜x ＜1．
达标训练答案
1．（1）x ＜－1，或x ＞4
3 ； （2）－3≤x≤4； （3）x ＜－4，或x ＞1；
（4）x ＝4． 2．(1)-
1
2
（1）当－1－a ＜－1＋a ，即a ＞0时，∴－1－a≤x≤－1＋a ；
（2）当－1－a ＝－1＋a ，即 a ＝0时，不等式即为(x +1) 2
≤0，∴x ＝－1； （3）当－1－a ＞－1＋a ，即a ＜0时，∴－1＋a≤x≤－1－a ．
综上，当a ＞0时，原不等式的解为－1－a≤x≤－1＋a ； 当a ＝0时，原不等式的解为x ＝－1；
当a ＜0时，原不等式的解为－1＋a≤x≤－1－a ．
4．【思路分析】(1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式) 相除异号，那么这两个数(式) 相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解． (2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数． 解：(1) 解法(一) 原不等式可化为：
33⎧⎧
x >⎧2x -30⎪x
． 或⇒或⇒-1
2⎩x +1>0⎩x +1-1⎪⎩x
解法(二) 原不等式可化为：(2x -3)(x +1)
3． 2
⎧(3x +5)(x +2) ≥01-3x -53x +5
⇒ -3≤0⇒≤0⇒≥0⇒⎨
x +2x +2x +2⎩x +2≠0
5x
3
【说明】 (1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．
(2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：
⎧x +2>0⎧x +2
≤3⇒⎨或⎨ ． x +2⎩3(x +2) ≥1⎩3(x +2) ≤1
（3）简单分式不等式的解法
解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零. （11·柳州）（本题满分6分）． 如图，一次函数y ＝－4x －4的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C
4
两点，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过A 、C 两点，且与x 轴
3交于点B ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为D ，求四边形ABDC 的面积；
（3）作直线MN 平行于x 轴，分别交线段AC 、BC 于点M 、N ．问
在x 轴上是否存在点P ，使得△PMN 是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）∵一次函数y ＝－4x －4的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，
∴A (－1，0) C (0，－4)
4
把A (－1，0) C (0，－4) 代入y ＝x 2＋bx ＋c 得
3
⎧⎧⎪4－b ＋c ＝0⎪b ＝－8
3 ∴⎨3 解得⎨
⎪c ＝－4⎪c ＝－4⎩⎩
48
∴y ＝2－－4
33
48416
（2）∵y ＝2－－4＝( x－1) 2－
1, －3)
3333
∴顶点为D （1，－163
设直线DC 交x 轴于点E 由D （1，－16
3C (0，－4)
(第26题图)
易求直线CD 的解析式为y ＝－4
3x －4
易求E （－3，0），B （3，0） S 116
△EDB ＝2×6×316
S 1
△ECA ＝2
×2×4＝4
S 四边形ABDC ＝S △EDB －S △ECA ＝12 （3）抛物线的对称轴为x ＝－1
做BC 的垂直平分线交抛物线于E ，交对称轴于点D 3 易求AB 的解析式为y ＝－3x 3 ∵D 3E 是BC 的垂直平分线 ∴D 3E ∥AB
设D 3E 的解析式为y ＝－3x ＋b
∵D 3E 交x 轴于（－1，0）代入解析式得b 3, ∴y ＝－3x －3 把x ＝－1代入得y ＝0 ∴D 3 (－1，0),
过B 做BH ∥x 轴，则BH ＝11
在Rt △D 1HB 中，由勾股定理得D 1H 11 ∴D 1（－1113）同理可求其它点的坐标。
可求交点坐标D 1（－1，113）, D2（－1，2）, D3 (－1，0), D4 (－
D 5（－1，－22）
（12·柳州）如图，在△ABC 中，AB=2，AC=BC= 5 ．
（1）以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系如图，请你分
别写出A 、B 、C 三点的坐标；
（2）求过A 、B 、C 三点且以C 为顶点的抛物线的解析式； （3）若D 为抛物线上的一动点，当D 点坐标为何值时，S △ABD =
1
S △ABC ； 2
（4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与x 轴交于点A ′B ′，与y 轴交于点C ′，当
平移多少个单位时，点C ′同时在以A ′B ′为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料）．
附：阅读材料
一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换
元法转化为一元二次方程求解．如解方程：y 4-4y 2+3=0． 解：令y 2=x（x ≥0），则原方程变为x 2-4x+3=0，解得x 1=1，x 2=3． 当x 1=1时，即y 2=1，∴y 1=1，y 2=-1． 当x 2=3，即y 2=3，∴y 3= 3 ，y 4=- 3 ．
所以，原方程的解是y 1=1，y 2=-1，y 3= 3 ，y 4=- 3 ．
再如x -2=
2
，可设y = ，用同样的方法也可求解．
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据y 轴是AB 的垂直平分线，则可以求得OA ，OB 的长度，在直角△OAC
中，利用勾股定理求得OC 的长度，则A 、B 、C 的坐标即可求解； （2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（3）首先求得△ABC 的面积，根据S △ABD =
1
S △ABC ，以及三角形的面积公式，2
即可求得D 的纵坐标，把D 的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得横坐标． （4）设抛物线向右平移c 个单位长度，则0＜c ≤1，可以写出平移以后的函数解析式，当点C ′同时在以A ′B ′为直径的圆上时有：OC ′2=OA•OB ，据此即可得到一个关于c 的方程求得c 的值．
【解答】解：（1）∵AB 的垂直平分线为y 轴，
∴OA=OB=
11
AB=×2=1， 22
∴A 的坐标是（-1，0），B 的坐标是（1，0）． 在直角△OAC
中，OC ==2，
则C 的坐标是：（0，2）；
（2）设抛物线的解析式是：y=ax2+b， 根据题意得：⎨
⎧a +b =0⎧a =-2
，解得：⎨ ，
⎩b =2⎩b =2
2
则抛物线的解析式是：y =-2x +2； （3）∵S △ABC =∴S △ABD =
11
AB •OC=×2×2=2， 22
1
S △ABC =1． 2
设D 的纵坐标是m ，则则m=±1．
1
AB •|m|=1， 2
， 2， 当m=1时，-2x 2+2=1，解得：x=
±
当m=-1时，，-2x 2+2=-1，解得：x=
则D 的坐标是：
（
，1）或（
- ，1
）或（，-1），或（
- ，-1）． 2222
（4）设抛物线向右平移c 个单位长度，则0＜c ≤1，OA ′=1-c，OB ′=1+c．
平移以后的抛物线的解析式是：y=-2（x-c ）2+b． 令x=0，解得y=-2c2+2．即OC ′= -2c2+2．
当点C ′同时在以A ′B ′为直径的圆上时有：OC ′2=OA′•OB ′， 则（-2c 2+2）2=（1-c ）（1+c）， 即（4c 2-3）（c 2-1）=0， 解得：
，，1，-1（舍去）．
或1个单位长度． 【点评】本题考查了勾股定理，待定系数法求二次函数的解析式，以及图象的平移，正确
理解：当点C ′同时在以A ′B ′为直径的圆上时有：OC ′2=OA•OB ，是解题的关键．
（2013•柳州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），（5，0），（3，-4）． （1）求该二次函数的解析式； （2）当y ＞-3，写出x 的取值范围；
（3）A 、B 为直线y=-2x-6上两动点，且距离为2，点C 为二次函数图象上的动点，当点C 运动到何处时△ABC 的面积最小？求出此时点C 的坐标及△ABC 面积的最小值．
考点：二次函数综合题．
专题：压轴题．
分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）求出y=3时x 的值，结合函数图象，求出y ＞-3时x 的取值范围；
（3）△ABC 的底边AB 长度为2，是定值，因此当AB 边上的高最小时，△ABC 的面积最小．如解答图所示，由点C 向直线y=-2x-6作垂线，利用三角函数（或相似三角形）求出高CE 的表达式，根据表达式求出CE 的最小值，这样问题得解．
26、